Álgebra Lineal - LM - PM - LCC Analizar si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas son espacios vectoriales.

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1 Álgebra Lineal - LM - PM - LCC 2018 Práctica 2: Espacios vectoriales 1 Analizar si los siguientes conjuntos con las operaciones denidas son espacios vectoriales a) El conjunto de los números reales positivos R` con la suma y el producto por escalar usuales b) El conjunto de los números reales positivos R` con la suma x`y denida como xy y el producto cx como x c c) El conjunto de las funciones pares con la suma y porducto por escalar usuales d) El conjunto de las funciones continuas con el producto c f denido como pc f qpxq f pcxq y la suma habitual de funciones e) El conjunto de las funciones reales biyectivas con el producto por escalar habitual y la suma f ` g denida como p f ` gqpxq f pgpxqq f ) El conjunto de los polinomios a coecientes reales de grado a lo sumo 3 incluído el polinomio nulo con la suma y producto por escalar habituales g) R 2 con el producto por escalar habitual y la suma de x px 1 x 2 q T e y py 1 y 2 q T denida como x ` y px 1 ` y 1 ` 1 x 2 ` y 2 ` 1q T 2 Decir en cada caso que no resulte ev cuál es la propiedad que se está violando Sea pv ` q un espacio vectorial En particular sabemos que existe 0 P V tal que 0 ` x x para todo x P V; y que para todo x P V existe un vector x tal que x ` x 0 Demostrar los siguientes enunciados a) Unicidad del neutro: si 0 1 P V es tal que 0 1 ` x x para todo x P V entonces b) Unicidad del opuesto: dado x P V si x 1 P V es tal que x ` x 1 0 entonces x 1 x c) Propiedad cancelativa: si z ` x z ` y entonces x y d) α 0 P K e) 0 v P V f ) p α vq α p vq pa vq donde v es el opuesto de P V g) Si α v 0 entonces α 0 o v O 3 Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son un subespacio de R 3 a) El conjunto formado por las 3-uplas pb 1 b 2 b 3 q con b 1 0 b) El conjunto formado por las 3-uplas pb 1 b 2 b 3 q con b 1 1 c) El conjunto formado por las 3-uplas pb 1 b 2 b 3 q con b 1 b 2 b 3 0 d) El conjunto formado por las 3-uplas px y zq tal que x ` y 2z 4 e) El conjunto formado por las 3-uplas pb 1 b 2 b 3 q que son combinación lineal de v p1 4 0q y w p2 2 2q f ) El conjunto formado por las 3-uplas pb 2 b 2 b 3 q tal que b 1 ` b 2 ` b 3 0 g) El conjunto formado por las 3-uplas pb 1 b 2 b 3 q que verican b 1 b 2 b 3 4 Mostrar que las dos propiedades que denen un subespacio vectorial (ie que la suma sea cerrada en el conjunto y que el producto por escalar también lo sea) son propiedades independientes una de otra Para ello buscar un conjunto que sea cerrado bajo la suma pero no bajo el producto por escalar y otro conjunto que cumpla lo contrario 5 Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de R nˆn a) El conjunto de las matrices triangulares b) El conjunto de las matrices singulares c) El conjunto de las matrices simétricas

2 6 Sea pv ` q un espacio vectorial y sean U y W subespacios de V Probar que es un subespacio de V Sean A y B U ` W tv P V : v u ` w u P U w P Wu 0 1 a) Describir un subespacio de R 2ˆ2 que contenga a A y no a B b) Si un subespacio de R 2ˆ2 contiene a A y a B debe contener también a I 8 Explicitar el espacio columna y el espacio nulo de las siguientes matrices: 1 3 A B C fl D fl E Para que vectores b pb 1 b 2 b 3 q T los siguientes sistemas tienen solución fl x 1 x 2 fl b 1 b 2 fl fl x1 x x 3 b Dadas A P R mˆn y B P R nˆp probar que el espacio columna de AB está contenido en el espacio columna de A Dar un ejemplo donde dicha contención sea estricta 11 Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de R 8? a) tx px 1 x 2 q P R 8 : ti P N : x i 0ues f initou b) tx px 1 x 2 q P R 8 : Di 0 P N{x i ě i 0 u c) tx px 1 x 2 q P R 8 : x i ě x P Nu (conjunto de sucesiones decrecientes) b 1 b 2 b 3 d) tx px 1 x 2 q P R 8 : D lím iñ8 x i u (conjunto de sucesiones convergentes) e) tx px 1 x 2 q P R 8 : Dc P R{x i`1 cx P Nu (conjunto de progresiones geométricas) 12 Probar el siguiente enunciado: Sean U 1 U 2 Ă V subespacios Luego V U 1 U 2 si y sólo si se verican las siguientes condiciones: iq V U 1 ` U 2 iiq U 1 X U 2 t0u Encontrar un contraejemplo para demostrar que este resultado no puede extenderse a m subespacios 13 Para cada uno de los siguientes conjuntos determinar si es un subespacio de CpRq o explique por que no lo es a) t f P CpRq : f pxq ď P Ru b) t f P CpRq : f p0q 0 u c) t f P CpRq : f p2q 0 u d) El conjunto de funciones constantes e) tα ` β sen x : α β P Ru 14 Dar un ejemplo de subespacio no vacío de U Ă R 2 tal que U sea cerrado bajo la multiplicación por escalares pero que no sea un subespacio de R 2 15 Sea Krxs el espacio vectorial de los polinomios con coecientes en K y sea U el subespacio de Krxs dado por U tax 2 ` bx 5 : a b P Ku Encontrar un subespacio W de Krxs tal que Krxs U W fl fl

3 16 Sea V un espacio vectorial sobre K y sean W 1 W 2 W 3 son subespacios de V Determinar si son verdaderas o falsas las siguientes armaciones iq Si W 1 ` W 3 W 2 ` W 3 luego W 1 W 2 iiq Si W 1 W 3 W 2 W 3 luego W 1 W 2 17 Sean A y B matrices tales que AB 0 Demostrar que el espacio columna de B está contenido en el espacio nulo de A Qué sucede con el espacio la de A y el espacio nulo de B T? 18 Sean W 1 W 2 subespacios de V Demostrar que W 1 Y W 2 es un subespacio de V si y sólo si W 1 Ă W 2 o W 2 Ă W 1 Comparar con el ejercicio 6 de la primera parte de la práctica 19 Considere el espacio vectorial V de todas las funciones con dominio y codomimio igual a R (con la suma y producto por escalares usuales) Sean V i t f P V : f es un f unción imparu y V p t f P V : f es un f unción paru Probar que a) V i y V p son subespacios de V b) V i ` V p V c) V i X V p t0u 20 En el espacio vectorial de las matrices reales de orden 3 describir el subespacio generado por cada uno de los siguientes conjuntos: $ & A 0 1fl 1 0fl fl 1 0fl fl % - 1 $ & B 0 1fl % fl 0 1 0fl fl Sea xsy el subespacio generado por un subconjunto S de V Demostrar las siguientes propiedades a) Si S Ă T entonces xsy Ă xty b) S Ă xsy c) Si S Ă T y T es un subespacio de V entonces xsy Ă T Es decir que xsy es el menor subespacio de V que contiene a S d) S es un subespacio de V si y sólo si xsy S e) Si xsy U entonces xuy U f ) Sea W Ă V Entonces iqxs X Wy Ă xsy X xwy iiqxs Y Wy Ă xsy ` xwy g) Valen las contenciones inversas en los ítems aq y f q 22 Describir el menor subespacio vectorial de R 2ˆ2 que contenga a 1 1 a) y 1 1 b) c) y Sea V el espacio vectorial de los polinomios en Rrxs de grado menor o igual a 3 Considere los siguientes polinomios: p 1 pxq x 3 ` 2x 2 ` 4 p 4 pxq 3x 3 ` 6x 2 ` 9x ` 12 p 2 pxq 2x 3 ` 5x 2 ` 11x ` 8 p 5 pxq x 3 ` 3x 2 ` 8x ` 3 p 3 pxq x 2 ` 5x Para j P t4 5u determinar si p j P xtp 1 p 2 p 3 uy

4 24 Analizar si los siguientes vectores son linealmente independientes a) p q; p q; p q; p q b) p1 1 0q; p1 0 0q; p0 1 1q; px y zq para x y z cualesquiera 25 Sea P tpx y z tq P R 4 : x 2y ` z t 0u Vericar que P es un espacio vectorial y hallar 3 vectores linealmente independientes en P 26 Probar que a) Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo es ld b) Si S es li entonces T es Ă S c) Si S es ld entonces T es Ą S 27 Si tv 1 v 2 v 3 u Ă V es un conjunto li probar que tv 1 ` v 2 v 1 ` v 3 v 2 ` v 3 u también es li 28 Sea V un espacio vectorial de dimensión nita y W un subespacio de V tal que dimpvq dimpwq Probar que V W 29 Sea A tp1 3 2q t p2 4 1q t p3 1 3q t p1 1 1qu Ă R 3 obtener: a) Una base de R 3 contenida en A b) Las componentes de los vectores de la base canónica de R 3 en la base obtenida en el apartado anterior 30 Sea S xtp1 1 1q t p2 1 0q t p4 qu Ă R 3 Obtener una base de S 31 Encontrar la dimensión de: a) el espacio de todos los vectores de R 4 cuyas componentes suman cero b) el espacio nulo de la matriz I P M 4ˆ4 c) el espacio de matrices simétricas 3 ˆ 3 Hallar una base 32 Describir los cuatro espacios asociados a las siguientes matrices A B 1 0f f fl 33 Dar en cada caso una matriz que cumpla las condiciones dadas o justicar porque no existe a) Su espacio columna está generado por los vectores p1 0 0q t p0 0 1q t y su espacio la está generado por p1 1q t pq t b) Su espacio columna tiene al vector p1 1 1q t como base y su espacio la tiene como base al vector p 1q t c) Su espacio columna contiene a los vectores p1 1 0q t p1 0 1q t pero no al vector p1 1 1q t d) Su espacio columna contiene a p 1q t su espacio nulo contiene a p 1 0 1q t y tiene determinante 1 34 Sea B 1 tv 1 v 2 v 3 u una base para un espacio vectorial V a) Demostrar que B 2 tv 1 v 1 ` v 2 v 1 ` v 2 ` v 3 u también es una base b) Hallar la matriz de cambio de base A / rvs B1 A rvs B2 " nř * 35 Sea V a i x i { a i P R y B 1 1 x x 2( base estándar de V i 0 a) Probar que B 2 x 1 1 px 1q 2( es otra base de V b) Hallar la matriz de cambio de base de B 1 a B 2

5 c) Utilizar lo obtenido en el item anterior y determinar rps B2 donde ppxq 2x 2 5x ` 6 Cuáles son las coordenadas de p en la base 1 px 1q 2 x 1 (? 36 Hallar la matriz de cambio de base de: a) la base estándar de R 2ˆ2 a la base "ˆ ˆ ˆ B Determinar ras B 1 para A P R 2ˆ2 ˆ 3 4 b) la base 1 x 1 ` 2x 2 3x ` 4x 3( de R 3 rxs a la base ` x x ` x x2 ` x 3( 37 En el espacio R 2 se considera la base estándar B 1{2 1{2 Si A existe una base B {2 1{2 1 tal que A sea la matriz de cambio de base de B a B 1? De existir hallar dicha base *