1. Ilustre con dibujos e interprete geométricamente las propiedades 2,3 y 4 del producto por un escalar en R 2. u + v = w + v,

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1 Geometría Analítica I Grupo 4054 TAREA 3 Parte I 1. Ilustre con dibujos e interprete geométricamente las propiedades 2,3 y 4 del producto por un escalar en R Sea (x, y) R 2 tal que (x, y) (0, 0). Demuestre que para todo t, s R, Es decir, el vector se cancela. 3. Si u, v y w son vectores en R 2 tales que entonces prueba que u = w. t(x, y) = s(x, y) t = s. u + v = w + v, 4. Sea λ R tal que λ 0. Demuestra que para todo (x, y), (w, z) R 2, λ(x, y) = λ(w, z) (x, y) = (w, z). 5. Demuestre la ley del paralelogramo: Si (x, y) R 2 y (w, z) R 2, entonces 2 (x, y) (w, z) 2 = (x, y) + (w, z) 2 + (x, y) (w, z) 2 Haga un dibujo e interprete geométricamente. 6. Define apropiadamente la suma de vectores en R 3. Enuncie y demuestre las propiedades de cerradura, conmutatividad, asociatividad, existencia y unicidad del neutro, y existencia y unicidad de inversos relativos a la suma de vectores en R 3. Interprete geométricamente. 7. Define apropiadamente el producto por un escalar en R 3. Como en el jercicio anterior, enuncie y demuestre las propiedades del producto por un escalar análogas a las propiedades del producto por un escalar que vimos en R 2. Interprete geométricamente. 8. Haga lo mismo que en los ejercicios 6 y 7 anteriores pero ahora sobre R n, con n 1 arbitraria. Parte II 1. Sea v = ( 1, 1). Encuentra constantes A y B tales que para todo (x, y) R 2, Ax + By = 0 (x, y) L v. 2. Sean A y B constantes no ambas cero, y A y B constantes no ambas cero. Demuestre que L 0 A,B = L 0 A,B (rectas por el origen en R 2 ) si y sólo si, para alguna constante γ 0, A = γa y B = γb. 1

2 3. Ecuación continua de la recta por el origen en R 2. Sea v = (v 1, v 2 ) R 2 un vector no nulo. Demuestre que (x, y) L v si y solo si, v 2 x = v 1 y. Haga una interpretación geométrica. 4. Sean u y v vectores no nulos en R 2 (o R 3 ). Demuetre que L v = L u si y sólo si, para alguna constante c 0, u = cv. Interprete geométricamente. 5. Demuestre que si L R 2 (o R 3 ) es una recta por el origen, entonces para cualquier u L, u 0, L = L u. 6. Demuestre que si L R 2 (o R 3 ) es una recta por el origen, y u 0 y v están en L, entonces v es múltiplo escalar de u. Es cierto el recíproco? (Esto es, si L R 2 (o R 3 ) y si para todo u 0 y v en L se tiene que v es múltiplo escalar de u, es cierto que L es entonces una recta por el origen?) 7. Sea L R 2 (o R 3 ), con {0} L, tal que para todo u 0 en L, se tiene que todo v L es múltiplo escalar de u. Demuestre que L es una recta por el origen. 8. Pruebe la Regla de MacLaurin-Cramer: Sean a, b, c y d constantes tales que ad bc 0. Entonces para todo e y f (números reales), el sistema de ecuaciones con dos incógnitas x y y, tiene una única solución. Parte III e = ax + by f = cx + dy 1. Sean u, v y u, v, vectores no nulos de R 3. Demuestra que P 0 u,v = P 0 u,v si y sólo si u = s 0 u y v = t 0 v, donde s 0 y t 0 son constantes no nulas. Interprete geométricamente. 2. Sean A, B, C constantes no todas cero, y A, B, C constantes no todas cero. Demuestra que PA,B,C 0 = P0 A,B,C si y sólo si, para alguna constante γ no nula, A = γa, B = γb y C = γc. 3. Demuestra que si u y v son vectores en R 3 ninguno de ellos múliplo escalar del otro (i.e. paralelos, i.e. linealmente independientes), entonces existen constantes A, B y C no todas cero tales que ϕ(s, t) = su + tv es una función biyectiva de R 2 sobre P 0 A,B,C. 4. Si u = (1, 0, 2) y v = ( 1, 1, 1), encuentre la ecuación del plano cuya ecuación paramétrica es ϕ(s, t) = su + tv. Haga un dibujo. 5. Sea u un vector no nulo de R 3. Demuestra que para todo v y w vectores ninguno de ellos múliplo escalar del otro (i.e. paralelos, i.e. linealmente independientes) de R 3, y toda constante c 0, { Pu,v 0 Pcu,w 0 Pu,v 0 si w = dv para alguna constante d 0, = L 0 u si w tv para todo t R. 6. Demuestra que si P R 3 es un plano por el origen, y u 0, v 0 y w están en P, entonces w es combinación lineal de u y v (es decir, para algunas constantes s 0 y t 0, w = s 0 u + t 0 v). Es cierto el recíproco? (Esto es, si P R 3 y para todo u 0, v 0 y w en P, se tiene que w es combinación lineal de u y v, entonces P es un plano por el origen?). 7. Demuestre que si {0} P R 3 tal que para todo u 0 y v 0 se tiene que todo w P es combinación lineal de u y v, entonces P es plano que pasa por el origen. 2

3 8. Ecuaciones implícitas de la recta en el espacio. Si u 0 es un vector de R 3 demuestre que existe dos conjuntos de constantes no todas cero A, B, C y A, B, C, tales que ϕ(s) = su es una función biyectiva de R sobre P 0 A,B,C P0 A,B,C. Recíprocamente, si A, B, C y A, B, C son dos conjuntos de constantes no todas cero, demuestre que existe un vector u 0 de R 3, tal que ϕ(s) = su es una función biyectiva de R sobre P 0 A,B,C P0 A,B,C. Observación 1. La primera conclusión que sacamos de este ejercicio, es que la intersección de dos planos por el origen es una recta. Observación 2. Lo segundo que dice este ejercicio, es que toda recta en R 3 esta determinada por un par de ecuaciones de la forma Ax + By + Cz = 0 A x + B y + C z = 0, donde A, B, C y A, B, C son dos conjuntos de constantes no todas cero. Y recíprocamente, un par de ecuaciones de tal forma, determinan una recta en el espacio. 9. Ecuaciones continuas de la recta en R 3. Sea u = (u 1, u 2, u 3 ) R 3 tal que u i 0, i = 1, 2, 3. Demuestre que (x, y, z, ) L u si y sólo si, x u 1 = y u 2 = z u Pruebe la Regla de MacLaurin-Cramer. Sea a i,j, con i, j = 1, 2, 3, constantes tales que det([a i,j ] 3 i,j=1) := a 1,1 (a 2,2 a 3,3 a 2,3 a 3,2 ) a 1,2 (a 2,1 a 3,3 a 2,3 a 3,1 ) + a 1,3 (a 2,1 a 3,2 a 2,2 a 3,1 ) 0. Entonces, para cualesquiera constantes b 1, b 2 y b 3, el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas: tiene una única solución. Parte IV 1. Demuestra o exhibe un contraejemplo: b 1 = a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z b 2 = a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z b 3 = a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z Si V es un espacio vectorial, entonces para todo t R: ( v V )(tv = v t = 1) 2. Para todo x = (x 1,..., x n ) y y = (y 1,..., y n ) en R n, y t R, definimos x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) y tx = (tx 1,..., tx n ). Demuestra directamente que R n es un espacio vectorial con estas operaciones. 3. Sea V = {x}, con x cualquier cosa, y definimos x + x = x y para todo t R, tx = x. Entonces demuestra que V es un espacio vectorial. 3

4 4. Sea n 0, y sea P n es espacio de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a n, en una variable real. Demuestra que P n es un espacio vectorial con las operaciones que definimos en clase. 5. Sea V un espacio vectorial. Demuestra: a) Para todo t R, t0 = 0. b) Para todo v V, 0v = 0. c) Para todo v V, 1v = v. 6. Sea V un espacio vectorial. Demuestra que para todo v V y t R, tv = 0 t = 0 ó v = Sea V un espacio vectorial. Demuestre que un subconjunto U de V es un subespacio de V, si y sólo si, para todo s, t R y para todo u, v U, su + tv U. 8. Si U 1 y U 2 son subespacios de un espacio vectorial V, entonces demuestra que U 1 U 2 es un subespacio de V. Qué puede decir de la unión U 1 U 2? 9. Consideremos el conjunto de monomios M n = {µ 0,..., µ n } como los definimos en clase, entonces demuestra que gen(m n ) = P n. 10. Pruebe directamente que si u 1, u 2, y u 3, son tres vectores en R 2, entonce son l.d. Haga lo mismo para cuatro vectores u 1, u 2, u 3, u 4 de R 3. Parte V 1. Demuestre: Para todo u y v en R n, u v u v. 2. Demuestre que la igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz sucede si, y sólo si, los vectores son paralelos (linealmente independientes, o sea, alguno de ellos es múltiplo escalar de otro). Haga un dibujo en los casos n = 2, 3 e interprete. 3. Demuestre la desigualdad triangular de la norma en R n, a partir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz del producto interior. 4. Demuestre: Para todo u y v en R n, y todo t R, u tv 2 = u 2 2t u v + t 2 v Demuestra la ley del Paralelogramo en R n : Para todo u y v en R n, 2 u v 2 = u + v 2 + u v 2 4

5 6. Demuestra que para todo u y v en R n, u v = u + v 2 u v Demuestra la desigualdad de Cauchy-Schwarz del producto interior en R n a partir de la desigualdad triangular de la norma en R n. 8. Demuestre que para todo u y v en R n, 9. Sea u y v vectores de R n. Demuestre que a) u v > 0 u + v > u v. b) u v < 0 u + v < u v. (u + v) (u v) = u 2 v 2. Haga una interpretación geométrica de estos hechos cuando n = 2, 3, en términos del ángulo entre los vectores u y v, la proyección ortogonal de u sobre v, y las componentes escalar y ortgonal de u sobre v. (Haga dibujos). 10. Ley de los Cosenos. Demuestre que para todo u y v no nulos en R n, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, donde θ [0, π] es el ángulo entre los vectores u y v. Interprete geométricamente en los casos n = 2, 3. Parte VI 1. Describe todos los vectores (x, y) R 2 que son ortogonales al vector (3, 1). Verifica que tales vectores son los puntos de una recta por el origen. Haga un dibujo 2. Describe todos los vectores (x, y, z) R 3 que son ortogonales al vector ( 2, 1, 4). Verifica que tales vectores son los puntos de un plano por el origen. Haga un dibujo. 3. Demuestre: Si u R n, entonces el conjunto de todos los vectores ortogonales a u, S u = {v R n : v u = 0}, es un subespacio de R n. Si n = 2, verifica que S u es una recta por el origen, y si n = 3, verifica que S u es un plano por el origen. 4. Demuestre o exhibe un contra-ejemplo: Si S R n es un subespacio, entonces existe u R n tal que Parte VII S = S u := {v R n : v u = 0}. 1. Demuestra que el producto vectorial es distributivo. Primero directamente, y lugo usando propiedades de los determinantes. 2. En clase probamos que u u = 0 y con ello probamos en seguida que si u y v son paralelos, entonces u v = 0. Ahora prueba sin usar u u = 0 este hecho. 5

6 3. Cierto o falso? Si u v = v u entonces u = v. 4. Cierto o falso? u (v w) = (u v) w. 5. Encuentra tres vectores u, v y w en R 3 tales que u + v + w = 0. En general prueba que si u, v y w son vectores en R 3 tales que u + v + w = 0, entonces Interpreta geométricamente. u v = v w = w u. 6. Demuestra que dos vectores u y v no nulos de R 3 son paralelos si, y sólo si, sin θ = 0, donde θ es ángulo entre los vectores. Concluye entonces que dos vectores u y v no nulos de R 3 son paralelos si, y sólo si, θ = 0 o θ = π. Interpreta geométricamente. 6