Introducción a la Teoría de Códigos

Transcripción

1 Introducción a la Teoría de Códigos M.A. García, L. Martínez, T. Ramírez Facultad de Ciencia y Tecnología. UPV/EHU Ejercicios y Problemas resueltos Tema 1: PRELIMINARES SOBRE ÁLGEBRA LINEAL Mayo de 2017

2 Ejercicios Resueltos: Preliminares sobre Álgebra Lineal 1. Sea (K, +, ) un cuerpo. Demostrar que K n = {(k 1,..., k n ) k i K, i {1, 2,..., n}} con la suma definida por: para cualesquiera (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) K n (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) y la multiplicación por un escalar: λ K, (x 1,..., x n ) K n, λ(x 1,..., x n ) = (λx 1,..., λx n ) es un K-espacio vectorial. Solución (K n, +,.) es un K-espacio vectorial ya que (a) (K n, +) es un grupo abeliano porque se cumple i. Asociativa: (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ), (z 1,..., z n ) K n, se cumple ((x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n )) + (z 1,..., z n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) + (z 1,..., z n ) = ((x 1 + y 1 ) + z 1,..., (x n + y n ) + z n ) = (x 1 + (y 1 + z 1 ),..., x n + (y n + z n )) = (x 1,..., x n ) + (y 1 + z 1,..., y n + z n ) = (x 1,..., x n ) + ((y 1,..., y n ) + (z 1,..., z n )) por verificarse la propiedad asociativa en (K, +). ii. Conmutativa: (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) K n, se cumple (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) = (y 1 + x 1,..., y n + x n ) = (y 1,..., y n ) + (x 1,..., x n ) por verificarse la propiedad conmutativa en (K, +). 1

3 iii. Existencia de elemento neutro: Si tomamos el elemento (0 K,..., 0 K ) resulta que para todo (x 1,..., x n ) K n se cumple (x 1,..., x n ) + (0 K,..., 0 K ) = (x K,..., x n + 0 K ) = (x 1,..., x n ), por ser 0 K el elemento neutro para (K, +). iv. Existencia de elemento opuesto: Dado (x 1,..., x n ) K n, el elemento ( x 1,..., x n ) está también en K n y cumple (x 1,..., x n )+( x 1,..., x n ) = (x 1 +( x 1 ),..., x n +( x n )) = (0 K,..., 0 K ), por lo que existe elemento opuesto. (b) La multiplicación por un escalar verifica: i. 1 K (x 1,..., x n ) = (1 K x 1,..., 1 K x n ) = (x 1,..., x n ), (x 1,..., x n ) K n, por ser 1 K el elemento identidad del cuerpo K. ii. Para todo λ 1, λ 2 K y (x 1,..., x n ) K n, se cumple (λ 1 + λ 2 )(x 1,..., x n ) = ((λ 1 + λ 2 )x 1,..., (λ 1 + λ 2 )x n ) = (λ 1 x 1 + λ 2 x 1,..., λ 1 x n + λ 2 x n ) = (λ 1 x 1,..., λ 1 x n ) + (λ 2 x 1,..., λ 2 x n ) = λ 1 (x 1,..., x n ) + λ 2 (x 1,..., x n ) por ser (K, +,.) un cuerpo. iii. Para todo λ K y (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) K n, usando que (K, +,.) es un cuerpo, se tiene λ((x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n )) = λ(x 1 + y 1,..., x n + y n ) = (λ(x 1 + y 1 ),..., λ(x n + y n )) = (λx 1 + λy 1,..., λx n + λy n ) = (λx 1,..., λx n ) + (λy 1,..., λy n ) = λ(x 1,..., x n ) + λ(y 1,..., y n ). iv. Para todo λ 1, λ 2 K y (x 1,..., x n ) K n, se tiene (λ 1 λ 2 )(x 1,..., x n ) = ((λ 1 λ 2 )x 1,..., (λ 1 λ 2 )x n ) = (λ 1 (λ 2 x 1 ),..., λ 1 (λ 2 x n )) = λ 1 (λ 2 x 1,..., λ 2 x n ) = λ 1 (λ 2 (x 1,..., x n )), usando que (K, +,.) es un cuerpo. 2. Estudiar si los siguientes conjuntos son F q -subespacios vectoriales de F n q y determinar su dimensión. (a) S 1 = {(a, a,..., a) a F q } F n q. (b) S 2 = {(x 1,..., x n ) F n q x n = n 1 x i}. 2

4 Solución (a) Observamos que S 1 es no vacío. Usando la Proposición 2.1 del Tema 1, el subconjunto S 1 = {(a, a,..., a) a F q } F n q es un F q -subespacio vectorial si para cualesquiera α, β F q y (a, a,..., a), (b, b,..., b) S 1, la combinación lineal α(a, a,..., a) + β(b, b,..., b) es otro elemento de S 1. Ahora, α(a, a,..., a) + β(b, b,..., b) = (αa + βb, αa + βb,..., αa + βb), y como α, β, a, b F q y F q es un cuerpo, sabemos que αa + βb es otro elemento de F q, por lo que (αa+βb, αa+βb,..., αa+βb) es un elemento de S 1. Consecuentemente, S 1 es un F q -subespacio vectorial de F n q. Además, (a, a,..., a) = a(1 K, 1 K,..., 1 K ), y al se (1 K, 1 K,..., 1 K ) un vector no nulo, el conjunto {(1 K, 1 K,..., 1 K )} es libre, por lo que una base de S 1 es {(1 K, 1 K,..., 1 K )} y es S 1 un subespacio de dimensión 1. (b) De nuevo, observamos que observamos que S 2 es no vacío. Usando la Proposición 2.1 del Tema 1, el subconjunto S 2 = {(x 1,..., x n ) F n q x n = x i } es un F q -subespacio vectorial si se verifican las dos condiciones siguientes: i. Para todo (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) S 2, se tiene (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) S 2. ii. Para todo α F q y (x 1,..., x n ) S 2, se cumple α(x 1,..., x n ) S 2. En efecto, i. Como (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) S 2, sabemos que Por otro lado, y x n = x i y n = y i. (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) x n + y n = x i + y i = (x i + y i ) por lo que (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) es otro elemento de S 1. 3

5 ii. Como (x 1,..., x n ) S 2, se cumple x n = n 1 x i. Por otro lado, si α F q, α(x 1,..., x n ) = (αx 1,..., αx n ) y luego α(x 1,..., x n ) S 2. αx n = α x i = αx i, Además, es fácil ver que el conjunto {(1 K, 0 K, 0 K,..., 0 K, 1 K ), (0 K, 1 K, 0 K,..., 0 K, 1 K ),..., (0 K, 0 K, 0 K,..., 0 K, 1 K, 1 K )} es una base de S 2, luego S 2 es de dimensión n Demostrar que el conjunto B = {(1 K, 0 K,..., 0 K ), (0 K, 1 K, 0 K,..., 0 K ),..., (0 K,..., 0 K, 1 K )} es una base de K n. Cuál es la dimensión de K n? Solución El conjunto B será una base de K n si es un sistema generador de K n y es libre. Ahora, B es un sistema generador ya que dado un elemento (x 1,..., x n ) F n q se cumple Además, (x 1,..., x n ) = x 1 (1 K, 0 K,..., 0 K ) + x 2 (0 K, 1 K, 0 K,..., 0 K ) + + x n (0 K,..., 0 K, 1 K ). (0 K,..., 0 K ) = α 1 (1 K, 0 K,..., 0 K )+α 2 (0 K, 1 K, 0 K,..., 0 K )+ +α n (0 K,..., 0 K, 1 K ) implica 0 = α 1 = = α n, por lo que el conjunto B es también libre. En definitiva, B es una base de K n y, por tanto, la dimensión de K n es precisamente n. 4. Sea S el subespacio vectorial de F 7 2 definido por S =< , , , > (a) Halla una base de S y la dimensión de S. (b) Estudia si la palabra x = pertenece a S y, en caso de que esté, calcula las coordenadas de x en la base calculada en el apartado anterior. 4

6 Solución (a) Por la definición de S, sabemos que T = { , , , } es un sistema generador de S. Comprobamos si este conjunto es también libre. Para ello, estudiamos si los únicos escalares de F 2 de una combinación lineal que de el vector son todos 0. Tenemos que implica = α α α α por lo que la única solución es 0 = α 1 0 = α 1 + α 2 0 = α 2 + α 3 0 = α 1 + α 3 + α 4 0 = α 2 + α 4 0 = α 3 0 = α 4 0 = α 1 = α 2 = α 3 = α 4. Por tanto, T es también libre, luego T es una base S y la dimensión de S es 4. (b) La palabra x = pertenece a S si x se puede escribir como una combinación lineal de los vectores de la base. Ahora, implica = α α α α cuya solución es esto es, 1 = α 1 0 = α 1 + α 2 0 = α 2 + α 3 0 = α 1 + α 3 + α 4 1 = α 2 + α 4 1 = α 3 0 = α 4 1 = α 1 = α 2 = α 3 0 = α 4, = y las coordenadas de en la base hallada en el apartado anterior son ( ).,, 5