Sintaxis LÓGICA COMPUTACIONAL CÁLCULO DE PROPOSICIONES. Funciones boolenas. Semántica
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- Juan Manuel Andrés Aguirre Alarcón
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1 Proosiciones atómicas y comuestas Sintaxis LÓGICA COMPUTACIONAL CÁLCULO DE PROPOSICIONES Francisco Hernández Quiroz Deartamento de Matemáticas Facultad de Ciencias, UNAM fh@cienciasunammx Página Web: wwwmatematicasunammx/fh La sintaxis del cálculo de roosiciones es muy simle Por un lado, tenemos el conjunto P A = {,, r, 0, } de roosiciones atómicas y, or otro lado, las conectivas lógicas usuales: O en notación de Backus-Naur:,,,, α ::= P A α (α α) (α α) (α α) (α α) Facultad de Ciencias donde P A ::= r N N r N, donde N es un número natural Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 1 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 2 / 44 Semántica Funciones boolenas La semántica del cálculo de roosiciones se exresa en términos de valores de verdad (generalmente) Los valores de verdad más utilizados son los valores booleanos B = {V, F} Una evaluación es una función e : P A B Esta función se uede extender a roosiciones comuestas cuando se combina con funciones booleanas asociadas a cada una de las conectivas Funciones de 0 argumentos Funciones de un argumento id / π1 1 V 1 F 1 V V V F F F F V F V V 0 y F 0 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 3 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 4 / 44
2 Funciones boolenas binarias Interdefinibilidad π1 2 π2 2 V 2 F 2 V V V V V F V V V V F F F V F F F F V F V F V F F V F F V F V V V F V F F V F V V F F V V F V F V F F V F V F F F F V F F F V V F V V V V V F F π 1 es la royección 1 π 2 es la royección del 2 V 2 es la constante verdadero F 2 es la constante falso es la conjunción es la disyunción es la imlicación es doble imlicación es el o exclusivo es la negación conjunta es la negación alternativa es la contraimlicación las 4 siguientes no tienen un nombre estándar Todas las conectivas se ueden definir en términos de 1 y una de las siguientes 2 ; 3 1 ; 2 ; 3 ; Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 5 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 6 / 44 Bastan las conectivas binarias ara todo Demostración El teorema anterior arece referirse sólo a las conectivas binarias o unarias Sin embargo, se alica a las funciones boolenas de cualuier número de argumentos Por ejemlo, la conectiva ternaria siguiente se uede definir en términos de dos binarias: if then else r def ( ) ( r) Y esto se uede generalizar a cualuier valor de n Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 7 / 44 Por inducción en el número de argumentos de la función, con una salvedad: Los casos básicos son las constantes, las conectivas unarias y las binarias La hiótesis inductiva es: Para toda k < n, toda función booleana f : {V, F} k {V, F} se uede definir con alguna de las ociones del teorema Caso inductivo: toda función booleana g : {V, F} n {V, F} se uede definir con alguna de las ociones del teorema Sugerencia: g se uede exresar como una combinación de una función h : {V, F} n 1 {V, F} y una función b : {V, F} 2 {V, F} Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 8 / 44
3 Formas normales I Formas normales II Llamaremos literal a una fórmula si es una roosición atómica o la negación de una roosición atómica Una fórmula está en forma normal conjuntiva (o CNF, ara abreviar) si tiene la siguiente forma ( n m ) α i,j, donde α i,j es una literal i=1 i=1 Una fórmula está en forma normal disyuntiva (o DNF, ara abreviar) si tiene la siguiente forma ( n m ) α i,j i=1 i=1 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 9 / 44 Las fórmulas ( ) (r ) ( ) (r ) están en CNF y DNF, resectivamente Cada una de las disyunciones ue comonen una fórmula en CNF es una cláusula (análogamente ara las conjunciones en DNF) Si el número de literales ue aarece en una cláusula es menor o igual a n, diremos ue la fórmula está en ncnf (análogamente, en ndnf) Las fórmulas del ejemlo anterior están en 2CNF y 2DNF, resectivamente Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 10 / 44 Conversión de fórmulas a CNF y DNF Tautologías, contradicciones y contingencias I Toda fórmula α tiene fórmulas euivalente en CNF y DNF Por ejemlo, es euivalente a la fórmula (ue está en 2CNF o 1DNF) Para transformar una fórmula arbitraria a CNF se ueden utilizar las euivalencias siguientes de manera sucesiva (α β) ( α β) (α β) ( α β) (α β) α α (α β) α β (α β) α β α (β γ) (α β) (α γ) Y, desde luego, la conmutatividad de y Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 11 / 44 La mayoría de las roosiciones comuestas son contingentes: algunas asignaciones de valores de verdad a sus roosiciones atómicas roducen V y otras F Ejemlo: ues si entonces en cambio, si entonces ( ) e() = e() = V e(( )) = V, e() = V e() = F e(( )) = F Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 12 / 44
4 Tautologías, contradicciones y contingencias II Consecuencia lógica Algunas roosiciones siemre son verdaderas sin imortar la asignación de valores a sus roosiciones atómicas Ejemlo: ( ), Estas roosiciones se conocen como tautologías Se acostumbra distinguirlas anteoniendo el símbolo = Y otras siemre roducen F Ejemlo: ( ) Éstas se conocen como contradicciones El símbolo = también denota una relación entre conjuntos de roosiciones y fórmulas individuales: α 1, α n = β Que se lee así β es consecuencia lógica de α 1,, α n Las roosiciones α 1,, α n se conocen como las remisas; y β, como la conclusión La exresión comleta se conoce como argumento Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 13 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 14 / 44 Argumentos válidos e inválidos Sistemas de demostración Definición Un argumento es válido sii ara toda evaluación se tiene ue si entonces α 1, α n = β e : P A {V, F} e(α 1 ) = V e(α n ) = V, e(β) = V En caso contrario, se dice ue el argumento es inválido Los sistemas de demostración son herramientas ara verificar la validez de argumentos lógicos or medios estrictamente sintácticos Un sistema de demostración está formado or un conjunto (generalmente finito) de reglas de inferencia e instrucciones sobre cómo alicar estas reglas El conceto de demostración es el núcleo de un sistema: una demostración es un conjunto de fórmulas ue ermiten ir de las remisas a la conclusión or medio de transformaciones sintácticas Para ue un sistema de demostración sea útil debe cumlir un conjunto de roiedades metateóricas: corrección, comletitud, etc Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 15 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 16 / 44
5 Reglas de inferencia Ejemlo: Sistema de Łukasiewicz Sean α 1, α n y β fórmulas del cálculo de roosiciones Una regla de inferencia tiene la siguiente forma donde 0 n; R α 1,, α n son las remisas; β es la conclusión; R es el nombre de la regla α 1,, α n β Si n = 0, el conjunto de remisas es vacío y este tio de reglas se conoce como axioma Axiomas de Łukasiewiecz: A 1 ( ) A 2 ( ( r)) (( ) ( r)) A 3 ( ) ( ) Se tiene una sola regla de derivación: modus onens MP Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 17 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 18 / 44 Demostraciones I Demostraciones II Sean η 1,, η m y θ fórmulas y sea S un sistema de demostración Diremos ue θ se infiere de η 1,, η m en S sii existe una sucesión finita de fórmulas γ 1, γ k tal ue γ k = θ; ara todo i k se tiene uno de los siguientes casos: 1 existe j n tal ue γ i = η j ; 2 existen una regla de inferencia α 1,, α n β una sustitución de fórmulas atómicas or fórmulas tales ue En ese caso diremos ue γ i1 = α 1 σ γ in = α n σ γ i = βσ η 1,, η m S θ y fórmulas σ = [ 1 := ψ 1 ;, r := ψ r ] γ i1,, γi n (con i 1,, i n < i) es un teorema de S Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 19 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 20 / 44
6 Ejemlo Deducción natural Auí tenemos un ejemlo de una demostración:, ( r) L r: 1 remisa 2 ( r) remisa 3 ( ) A 1 4 MP 1, 3 5 ( ( r)) (( ) ( r)) A 2 6 ( ) ( r) MP 2, 5 7 r MP 4, 6 La deducción natural es un sistema con un conjunto grande de reglas de inferencia La deducción natural tiene reglas ara introducir (señaladas con I) o eliminar (E) las conectivas lógicas Además, hay tres reglas adicionales: contradicción (C), sustitución (S) y falso (F) Algunas reglas contemlan la introducción de hiótesis adicionales Por esta razón, las inferencias ue se hagan utilizando estas hiótesis aarecen dentro de cajas Las cajas se ueden cerrar extrayendo una conclusión de acuerdo con las condiciones de cada regla Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 21 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 22 / 44 Reglas de deducción natural I Reglas de deducción natural II I I I E E r E r r I F S α β γ [:=β] γ [:=α] E C Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 23 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 24 / 44
7 Ejemlo 1 Ejemlo 2 Demostraremos algunos teoremas en N Primero, r N r 1 Premisa 2 r Premisa 3 Hiótesis 4 E 1, 3 5 r E 2, 4 6 r I Ahora, un ejemlo de E y F:, N 1 Premisa 2 Premisa 3 Hi 6 Hi 4 I 3, 2 5 F 4 7 E 1 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 25 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 26 / 44 Proiedades de los sistemas de demostración Definición Sea un sistema de demostración y sean α 1,, α n y β fórmulas Diremos ue es: (a) correcto sii β imlica ue = β; (b) correcto en sentido amlio sii α 1,, α n β imlica α 1,, α n = β; (c) comleto sii = β imlica ue β; (d) comleto en sentido amlio sii α 1,, α n = β imlica α 1,, α n β; (e) consistente sii no existe una fórmula γ tal ue γ y γ; (f) decidible sii existe un rocedimiento efectivo ara determinar, dada una fórmula arbitraria γ, si γ o γ Corrección de N Cuáles de estas roiedades se cumlen en N Veremos ue todas Por ahora demostraremos ue cumle con corrección (en sentido amlio): Sean α 1,, α n y β fórmulas Entonces α 1,, α n N β imlica ue α 1,, α n = β Obsérvese ue la roiedad más débil de corrección a secas es imlicada or corrección en sentido amlio Sin embargo, existen sistemas de demostración ue cumlen con corrección, ero no con corrección en sentido amlio En ocas alabras: corrección y corrección en sentido amlio no son euivalentes Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 27 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 28 / 44
8 Demostración de corrección I α 1,, α n N β significa ue tenemos una demostración 1 γ 1 donde γ k = β Obsérvese ue la definición de demostración imlica también ue k γ k α 1,, α n N γ i ara toda i k Arovechando esto, demostraremos un resultado más fuerte, a saber: α 1,, α n = γ i ara toda i k Demostración de corrección II La demostración será or inducción en demostraciones: dada una i arbitraria, suondremos ue ara todo j < i se cumle la hiótesis inductiva siguiente: α 1,, α n = γ j Sea entonces α 1,, α n N γ i La definición de demostración nos dice ue existen dos casos: Caso simle: m n α m = γ i, es decir, γ i es una remisa Este caso es trivial ues or definición de = α 1,, α n = α m Caso inferencial: Existe una regla de derivación y fórmulas γ j1,, γ jm (con j 1,, j m < i) tales ue las remisas de la regla corresonden a estas fórmulas y la conclusión corresonde a γ i (bajo una sustitución adecuada) Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 29 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 30 / 44 Demostración de corrección III Este caso se subdivide a su vez en múltiles subcasos, uno or cada regla de N Se resentarán sólo algunos ejemlos Caso I Entonces la demostración se ve así: 1 γ 1 j m γ j γ m i γ j γ m I en j y m es decir, γ i = γ j γ m Por hiótesis inductiva Demostración de corrección IV y or la tabla de verdad de la y la definición de = Caso I La demostración se ve así: 1 γ 1 α 1,, α n = γ j γ m = γ i j γ j Hi i 1 γ i 1 α 1,, α n α 1,, α n = γ j = γ m i γ j γ i 1 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 31 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 32 / 44
9 Demostración de corrección V Demostración de corrección VI es decir, γ i = γ j γ i 1 Este caso difiere del anterior or el uso de una hiótesis Se uede ver la hiótesis como una remisa adicional y entonces se tiene Por hiótesis inductiva α 1,, α n, γ j N γ i 1 Esto último sólo sería osible si γ j fuera verdadera y γ i 1 fuera falsa (or la tabla de verdad de la ), lo cual no es comatible con la hiótesis inductiva, or lo ue el resultado vale α 1,, α n, γ j = γ i 1 Ahora bien, la única forma de ue el resultado deseado La demostración continúa con los casos corresondientes a las demás reglas (como ejercicios ara el lector) α 1,, α n = γ j γ i 1 no valiera, sería si α 1,, α n fueran verdaderas ero γ j γ i 1 fuera falsa (or la definición de =) Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 33 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 34 / 44 Comletitud de N s de la deducción Para demostrar la comletitud amlia de N se seguirá esta ruta: 1 Se demostrarán varios lemas, entre ellos una versión del teorema de deducción común a otros sistemas de demostración 2 Se demostrará la comletitud simle de N 3 La comletitud en sentido amlio se obtendrá como un corolario de la comletitud simle de la deducción (versión semántica) α = β sii = α β Demostración Se sigue directamente de la definición de = y la tabla de verdad de la de la deducción (versión sintáctica) α N β sii N α β Demostración Dada una demostración de α N β, se demuestra N α β transformando α de remisa en hiótesis y alicando la regla de I A la inversa, dada una demostración de N α β y con α como una remisa adicional, la regla E nos da una demostración de α N β Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 35 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 36 / 44
10 Lema ara comletitud I Lema Sea α una fórmula y sean 1,, n las variables roosicionales ue aarecen en α Considérese una evaluación e : P 0 B y constrúyanse las fórmulas 1,, n y α definidas de la siguiente forma: i = { i si e( i ) = V i si e( i ) = F Entonces 1,, n N α y α = { α si ê(α) = V α si ê(α) = F Demostración Por inducción sobre la estructura de α Caso básico: α = Si e() = V, entonces = = α = α Entonces tenemos el teorema trivial N Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 37 / 44 Lema ara comletitud II Si e() = F, entonces = = α = α De nuevo, trivialmente N Los casos inductivos se ueden reducir a dos: α = β y α = β γ gracias a ue las demás conectivas se ueden definir en función de y Caso α = β Sean 1,, m las roosiciones atómicas ue forman β (obsérvese ue son las mismas de α) y sea e una evaluación En este caso, la hiótesis inductiva nos dice ue 1,, m N β Y se tienen dos subcasos: β = β y β = β (deendiendo de si e(β) = V o e(β) = F, resectivamente) En el rimer subcaso, α = α = β Utilizando el teorema N y la hiótesis inductiva, obtenemos 1,, m N β = α Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 38 / 44 Lema ara comletitud III En el segundo subcaso, α = α = β y el resultado se sigue directamente de la hiótesis inductiva Caso α = β γ Sean 1,, m y 1,, r las roosiciones atómicas de β y γ, resectivamente Sea e una evaluación Entonces la hiótesis inductiva nos da 1,, m N β y 1,, r N γ (Obsérvese ue no imorta si β y γ comarten roosiciones atómicas, ues como e es una evaluación común, reciben el mismo valor de verdad) Nuevamente, hay dos subcasos: e(α) = F y e(α) = V El rimer subcaso imlica ue e(β) = e(γ) = F (or la tabla de verdad de ) En este caso, β = β γ = γ α = α = (β γ) Lema ara comletitud IV La hiótesis inductiva ahora se ve así: 1,, m N β y 1,, r N γ Alicando la regla I y el teorema de De Morgan se uede concluir N ( ) 1,, m, 1,, r N (β γ) = α En el segundo subcaso, α = α = β γ, lo ue imlica (or la tabla de verdad de la ) ue β = β o γ = γ o ambas cosas En cualuiera de los tres casos, la regla de I nos lleva a la conclusión deseada: 1,, m, 1,, r N β γ = α Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 39 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 40 / 44
11 Comletitud de N I Comletitud de N II Si = α, entonces N α Demostración Sea = α y sean 1, m las roosiciones atómicas ue aarecen en α Sea e una evaluación Por el lema anterior 1, m N α Dado ue α es una tautología, α = α, sin imortar ué asignaciones haga e Sea e( 1 ) = V, or lo ue 1 = 1 Sea e 1 una evaluación igual a e, salvo ue e 1 ( 1 ) = F y, en este caso, 1 = 1 Tenemos entonces ue Alicando el teorema de la deducción en cada caso, tenemos 2, m N 1 α 2, m N 1 α Con el teorema N ( ) ( ) y alicaciones de las reglas I y E se obtiene 2, m N α Reitiendo este roceso m 1 veces se llegará a N α 1, m N α 1, m N α Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 41 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 42 / 44 Corolario de comletitud en sentido amlio Consistencia Corolario Si α 1,, α n = β entonces α 1,, α n N β Demostración Obsérvese ue si α 1,, α n = β, el teorema de la deducción (semántico), nos da = α 1 α n β Comletitud simle a su vez nos da N α 1 α n β Y gracias al teorema de la deducción sintáctico α 1,, α n N β N es consistente, es decir, no existe α tal ue N α y N α Demostración Si existiera una α así, odríamos obtener con una alicación de I el teorema N α α, el cual debería ser una tautología, dado ue N es correcto Como esto es imosible, no uede existir esa α N es decidible, es decir, existe un rocedimiento efectivo tal ue ara toda α, nos resonde si N α Demostración Si N α fuera un teorema, or corrección tendríamos ue = α Esto último se uede verificar or medio de una tabla de verdad, cuya construcción es un rocedimiento efectivo Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 43 / 44 Francisco Hernández Quiroz LógicA Comutacional Cálculo de roosiciones 44 / 44
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