Asignación de verdad a FBF

Transcripción

1 Semántica Asignación del valor cierto o falso a una proposición (simple o compuesta), con independencia de los significados que para nosotros tengan las proposiciones. Asignación de verdad a fórmulas atómicas o interpretación: V: A {falso, cierto} Asocia a los átomos un valor de verdad (cierto o falso). Esto nos permite conocer el valor de las fórmulas atómicas, pero para conocer el valor de la expresión son necesarias más reglas para aplicarlas sobre las FBFs Asignación de verdad a FBF Dada una asignación V para fórmulas atómicas, definimos V: {α α es una FBF} {falso, cierto} como sigue: 1. Si α es un átomo, entonces V(α) = V(α) 2. Si α, β son FBF, entonces: a) α = β, V(α) = cierto si V(β) = falso y falso si V(β)= cierto b) V(α β) = cierto si V(α) = V(β) = cierto; V(α β) = falso en otro caso c) V(α β) = falso si V(α) = V(β) = falso; V(α β) = cierto en otro caso d) V(α β) = falso si V(α) = cierto y V(β) = falso; V(α β) = cierto en otro caso e) V(α β) = cierto si V(α) = V(β) y V(α β) = falso en otro caso 1

2 En el caso en que se conozcan los valores de verdad (V) de un conjunto de proposiciones es inmediato determinar el valor de verdad de las FBFs aplicando estas reglas. Deben respetarse los paréntesis, resolviendo primero los más internos. Si no se ponen paréntesis es necesario resolver las fórmulas respetando las prioridades entre conectores que son, de mayor a menor:,,,, Si dos conectores tienen la misma prioridad, se evalúan de izquierda a derecha Ejemplo: Dada la asignación de verdad a fórmulas atómicas V = {α = cierto, β = falso, ρ = falso}, determínese los valores de verdad de las siguientes FBFs (para abreviar: t cierto, f falso): (α β) ρ α β ρ α β ρ (α β) ρ (α β) ρ (α β) ρ α β ρ α (β ρ) α (β ρ) α β β α (α β) (β α) α β β α α β ρ α (β ρ) α (β ρ) (α β) (β α) (α β) 2

3 Interpretación y validez Ejemplo: Evalúese la fórmula (P Q) (R ( S)) con los valores de verdad {P, Q, R, S} = {T, F, T, T} En el caso en el que no se conozcan los valores de verdad, V, existen 2 n posibles interpretaciones. La única forma de conocer todos los valores de la fórmula G es construir una tabla de verdad. Def. Una tabla de verdad muestra los valores de verdad de una fórmula G para todas las posibles interpretaciones de la misma. Ejemplo: α β α α β α β α β α β F F T F F T T F T T F T T F T F F F T F F T T F T T T T Interpretación y validez (cont.) Ejercicio: Realícese la tabla de verdad de G (P Q) (R S) Cómo se deben interpretar los resultados de la evaluación de G? Consistencia o validez. Una FBF α se dice consistente o válida sii V V(α) = T Tautología. Una FBF α se dice que es una tautología sii V V(α) = T Contradicción. Una FBF α se dice que es una contradicción sii V V(α) = T Los conceptos de tautología y contradicción son muy importantes a la hora de razonar y programar. 3

4 Interpretación y validez (cont.) Ejercicios Comprobar si las siguientes fórmulas son tautologías, contradicciones o son consistentes: P P P P FALSO P P CIERTO (P Q) P ( R (P Q)) (P Q) P Q (P Q) ( P Q) P Q R Puede simplificarse la siguiente FBF? (P Q) (P R) Manipulaciones sintácticas Equivalencia. Dadas α, β dos FBF, se dicen equivalentes: α β sii V(α) = V(β) V Definición alternativa: α β sii α β es una tautología. Si 2 FBFs son equivalentes, se pueden intercambiar, sin alterar su valor semántico. Cómo saber si dos FBF son equivalentes? Realizando la tabla de verdad de ambas FBFs (analizan todas las interpretaciones) y comprueban que los valores de verdad de ambas son iguales para todas sus posibles interpretaciones. Pero además... 4

5 Manipulaciones sintácticas (cont.) Ejemplos de fórmulas equivalentes Identidad Dominación Idempotencia Doble negación Conmutativa Asociativa Distributiva Eliminación Eliminación Leyes de Morgan α Falso α α Cierto Cierto α α α ( α) α α β β α α β β α (α β) γ α (β γ) α (β γ) (α β) (α γ) α β α β α β (α β) (β α) (α β) α β α Cierto α α Falso Falso α α α α β β α (α β) γ α (β γ) α (β γ) (α β) (α γ) (α β) α β Una vez vista esta tabla de equivalencias, es necesario construir todas las tablas de verdad en el ejercicio anterior? Manipulaciones semánticas En el apartado anterior se sustituían unas fórmulas por otras equivalentes, pero sin alterar la semántica, ni añadir nuevas fórmulas ciertas. Existe otra forma de realizar razonamientos: obtener o derivar expresiones ciertas a partir de otras expresiones ciertas. Esto se conoce como derivación lógica. Además, a las expresiones resultantes se las conoce como consecuencias lógicas. Obtenemos nuevos hechos (conclusiones) a partir de otros hechos ya existentes (axiomas o premisas). 5

6 Manipulaciones semánticas (cont.) Por ejemplo, ya hemos aplicado los siguientes razonamientos: Premisa 1: Si el semáforo está en verde, los coches pueden avanzar Premisa 2: Observamos que el semáforo está en verde Concluimos: Los coches pueden avanzar Hemos razonado mediante Modus Ponens Premisa 1: Si se produce un robo, desaparecerán objetos Premisa 2: Observamos que no han desaparecido objetos Concluimos: No se ha producido un robo Hemos razonado mediante Modus Tollens Existen otras reglas de inferencia: abducción, adición, simplificación, silogismo disyuntivo, silogismo hipotético, combinación, ley de casos, eliminación de la equivalencia, introducción de la equivalencia Manipulaciones semánticas (cont.) Un teorema (conclusión) queda demostrado si conseguimos obtenerlo a partir del enunciado (premisas) y el conocimiento existente (axiomas). Las demostraciones de teoremas se pueden realizar (de forma automática) comprobando si: premisa1 premisa2 conclusión es una tautología premisa1 premisa2 conclusión es una contradicción Ejemplos: Modus ponens Premisa1: P Q Premisa2: P Conclusión: Q ((P Q) P) Q es una tautología (P Q) P Q es una contradicción Comprueba si el Modus Tollens y la abducción lo cumplen 6

7 2.3. La lógica proposicional, el álgebra de Boole y la Informática Sistema Analógico vs Sistema Digital Variables analógicas: magnitudes que pueden tomar infinitos valores (en un rango) Se representan por señales analógicas, procesadas por SISTEMAS ANALÓGICOS SISTEMAS DIGITALES: dispositivos (electrónicos, eléctricos, mecánicos,...) que generan / transmiten / procesan / almacenan información de magnitudes físicas que toman valores discretos Caso particular: SISTEMAS BINARIOS (2 valores) Ejemplo: Interruptores, ordenadores 2.3. La lógica proposicional,... Sistema digital x 1 x n Σ z 1 z m El ordenador es un sistema digital procesa variables binarias: (0 [0, 0'8] V, 1 [2'4, 5] V) lógica binaria lógica proposicional permite tomar decisiones en función de resultados de operaciones 7

8 Álgebra de Boole Definida por G. Boole (S. XIX) para analizar razonamientos lógicos Álgebra: B: conjunto de símbolos/elementos Leyes de composición interna Axiomas o postulados (principios básicos) Postulados Conjunto de elementos: B x, y B, x y Leyes de composición interna: x, y B, x y B, x + y B Elementos neutros únicos: 0! B x B, x + 0 = 0 + x = x 1! B x B, x 1 = 1 x = x 0 1 Conmutatividad de las l.c.i. x, y B, x + y = y + x, x y = y x Álgebra de Boole II Postulados (cont.) Distributividad de las l.c.i. x, y, z B, x + (y z) = (x + y) (x + z), x (y + z) = (x y) + (x z) Asociatividad de las l.c.i. x, y, z B, x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z x (y z) = (x y) z = x y z Complemento (elemento opuesto) único: a B, ā! B a + ā = 1, a ā = 0 Las declaraciones son duales 8

9 Álgebra de Boole III Algunos teoremas/axiomas fundamentales Teorema 1: Ley de absorción a B, a + a = a a a = a Teorema 2 a B, a + 1 = 1 a 0 = 0 Teorema 3 1 = 0 0 = 1 Teorema 4: Leyes de De Morgan a, b B, (a + b) = a b (a b) = a + b Teorema 5 a, b B, a + a b = a a (a + b) = a Teorema 6 a B ( a) = a Funciones de conmutación Variables de conmutación: pueden tomar valores 0/1 Funciones de conmutación: f(x 1, x 2,..., x n ) : {0,1} n {0,1} Álgebra de Boole, B 2, se usa en análisis y diseño de sistemas digitales 9