LOGICA Y ALGORITMOS. Profesores: Raúl Kantor Ana Casali. Año LyA-Proposiciones 1

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1 LOGICA Y ALGORITMOS Profesores: Raúl Kantor Ana Casali Año

2 LOGICA Y ALGORITMOS Módulos Cardinalidad y conjuntos inductivos!lógica: proposicional y de er orden ormalismos de cálculo: R y L Lenguajes y autómatas 2

3 LOGICA 3

4 Bibliografía Lógica Proposicional: Sintaxis y Semántica - A. Casali (El Bastón) Logic and Structure - Dirk an Dalen (2a. edición) Springer erlag. ISBN: Lógica para Matemáticos - Hamilton Ed Paraninfo Lógica Simbólica - Manuel Garrido (Cap 1- El Bastón) Presentación Lógica - Ing. En Computación - Univ. de la República 4

5 LOGICA - INTRODUCCION OBJETIO Uno de los fundamentales objetivos ha sido el estudio de las DEDUCCIONES, RAZONAMIENTOS O ARGUMENTOS LOGICA DEDUCTIA LOGICA del Griego: RAZON, IDEA, PALABRA 5

6 Razonamiento- Ejemplos!Si hay riesgo de lluvia, baja el barómetro. Pero el barómetro no baja. Por lo tanto no hay riesgo de lluvia.!si no llueve voy al rio. No voy al río. Por lo tanto llueve. QUE TIENEN EN COMÚN???? 6

7 Razonamiento- Ejemplos!Todo hombre es mamífero y todo mamífero es vertebrado. Por lo tanto todo hombre es vertebrado.!todo número natural es racional y todo número racional es real. Luego, todo número racional es real.. QUE TIENEN EN COMÚN???? 7

8 Razonamiento-Ejemplo Si continúa la lluvia el río aumentará. Si el río aumenta entonces el puente será arrastrado. Si la continuación de la lluvia hace que el puente sea arrastrado entonces un solo camino no será suficiente para la ciudad. O bien un solo camino es suficiente para la ciudad, o los ingenieros han cometido un error. Los Ingenieros han cometido un error??? O no??? 8

9 LOGICA - INTRODUCCION LOGICA LOGICA ORMAL Teoría formal de las deducciones Matematización de la lógica LOGICA MATEMATICA O SIMBOLICA 9

10 LOGICA - HISTORIA 350 ac Aristóteles y Estoicos ANÁLISIS DE DEDUCCIONES 1700 Liebniz-Kant LOGICA SIMBOLICA Boole-rege MATEMATICA 1950 Gentzen DEDUCCION NATURAL Gödel-Church TEOREMAS DE LIMITACION Post-Turing TEORIA DE LA COMPUTACION Tarski SEMANTICAS 10

11 LOGICA - HISTORIA 1950 MUCHAS AREAS LOGICAS NUEAS Lógicas no-clásica: Modales, multivaluadas, fuzzy (Lukasiewicz Zadeh) Teoría de modelos (Tarski) Teoría de algoritmos (Markov) unciones recursivas (Kleene-Rogers) Lingüística-Lógica (Chomsky) Lógica e IA (Newell-Simon) 11

12 Motivación alidez de las deducciones er que un programa es correcto = probar un teorema sobre cierto objeto matemático Paradigma de Programación lógica Representación del Conocimiento (Inteligencia Artificial) 12

13 Distintos Sistemas Lógicos:!LOGICA PROPOSICIONAL!LOGICA DE PREDICADOS LOGICAS NO-CLASICAS MULTIALUADAS (uzzy Logic) MODALES OBJETIO: ESTABLECER LA ALIDEZ DE DISTINTOS RAZONAMIENTOS - OBTENER CONCLUSIONES DE UN CONJUNTO DE ORMULAS 13

14 Lógica proposicional 14

15 Lógica Proposicional LENGUAJE Sintaxis: fbfs Semántica: asignación de valores a las variables RAZONAMIENTOS Justificación semántica Justificación sintáctica 15

16 Introducción Informal Proposición: Una oración afirmativa de la cual podemos decir que es verdadera o falsa (pero no ambas!!) Ejemplos de Proposiciones: Ayer llovió en Rosario. El sol gira alrededor de la tierra = es primo. El sucesor de 3 es primo. 16

17 más proposiciones... Si ayer llovió en Rosario, entonces el parque se mojó. El sol gira alrededor de la tierra o la tierra gira alrededor del sol = 6 y 6 es impar 3 no es primo. Hay un número natural que es par y es primo. Todo entero par mayor que cuatro es la suma de dos números primos. 17

18 ejemplos de oraciones que no son proposiciones... Ayer llovió en Rosario? Por qué es importante saber si el sol gira alrededor de la tierra? Parece que no hay primos que sean pares. Averigüen si la tierra gira alrededor del sol o si el sol gira alrededor de la tierra. 2. n = n + n x- y = y - x 18

19 1. Sintaxis de la Lógica Proposicional 19

20 1. Sintaxis Alfabeto PROPOSICIONAL Σ PROP que consiste de: i) variables proposicionales p 0, p 1, p 2,... ii) conectivos,,,, iii) símbolos auxiliares: (, ) Notación : llamaremos C al conjunto {,,, } 20

21 Sintaxis órmulas proposicionales PROP (f.b.f.) PROP es el conjunto definido inductivamente por : i) p i PROP para todo i Ν (fórmulas atómicas - AT) ii) Si α PROP y β PROP entonces (α β) PROP (α β) PROP (α β) PROP (α β) PROP iii) Si α PROP entonces ( α) PROP 21

22 PROP (cont.) Ejemplos de objetos de PROP: p 1 (p 1 p 3 ) ((p 1 p 2 ) (p 3 ( p 5 ))) Pertenece a PROP (p 1 p 2 ) p 3???? 22

23 Convenciones sintácticas Omitimos paréntesis alrededor de la negación separa menos que, separa menos que separa menos que y separan igual 23

24 Secuencia de formación y subfórmula a. Una secuencia ϕ 0, ϕ 1,... ϕ n es una secuencia de formación para ϕ sii ϕ n = ϕ y para todo k n : ϕ k es atómica o bien ϕ k = (ϕ i ϕ J ) para algún i, j < k o bien, ϕ k = ( ϕ J ) para algún j < k b. ϕ es subfórmula de ψ ssi: ϕ = ψ o bien ψ = (ϕ 1 ϕ 2 ) y ϕ es subfórmula de ϕ 1 o de ϕ 2 ψ = ( ϕ ) 1 y ϕ es subfórmula de ϕ 1 Observación ϕ 0, ϕ 2,... ϕ n es secuencia de formación para ϕ n luego para todo j<n, la secuencia ϕ ο, ϕ ς,... ϕ es de formación para ϕ j j 24

25 Principio de Inducción Primitiva para PROP Sea P una propiedad que cumple pb) - P(p i ) para todo i Ν pi) - Si P(α) y P(β) entonces: P((α β)), donde C Si P(α) entonces P(( α)) Entonces, para toda α PROP, se cumple P(α ) Ejemplo: Demostrar que para todo α PROP cant ( (α) = cant ) (α) 25

26 Esquema de Recursión Primitiva para PROP Para definir f : PROP Β debo considerar f (p i ) =... (para todo i Ν) f((α β)) =... f (α)... f (β)... f((α β)) =... f (α)... f (β)... f((α β)) =... f (α)... f (β)... f(( α)) =... f (α)... 26

27 Esquema de Recursión Primitiva para PROP Teorema [esquema de recursión primitiva para PROP] Dadas las siguientes funciones H at : AT Α H : PROP x A x PROP x A A para C H : PROP x A A Existe una única función f : PROP Β que satisface: f (α) = H at (α) para α ΑΤ f((α β)) = H (α, f (α), β, f (β)) f(( α)) = H (α, f (α)) 27

28 Ejemplos de funciones recursivas Dada α PROP, queremos obtener el conjunto de sus fórmulas atómicas (átomos): at: PROP Pot (AT) at (p i ) = {p i } ( {,,, }) at( (α β) ) = at( ( α) ) = at(α) at(β) at(α) 28

29 Ejemplos de funciones recursivas 1. long : PROP Ν (cantidad de símbolos de la palabra) 2. Tree : PROP Arbol 3. Rango : PROP N (profundidad máxima del árbol o profundidad del átomo más interior) Sustitución de una fórmula por una variable _ [_/_] : PROP x PROP x {p 0, p 1,...} PROP p i [ϕ / p i ] = ϕ p j [ϕ / p i ] = p j si i j (α β) [ϕ / p i ] = (α [ϕ / p i ] β [ϕ / p i ]) ( α) [ϕ / p i ] = ( α [ϕ / p i ]) 29

30 Traducción al lenguaje lógico Queremos usar ese lenguaje simbólico para representar hechos ( del mundo real o ficticio) TRADUCCION 30

31 Traducción al lenguaje lógico Las oraciones simples se traducen como letras de proposición (elementos de P) Ejemplos: Ayer llovió en Rosario " p 0. El intendente se mojó " p 1. El sol gira alrededor de la tierra " p = 6 " p 3 6 es impar " p 4. El sucesor de 3 es primo " p 5. 31

32 Traducción al lenguaje Lógico Las oraciones compuestas se traducen usando los conectivos Ejemplos: Si ayer llovió en Rosario, entonces el intendente se mojó " (p 0 p 1 ) = 6 y 6 es impar " (p 3 p 4 ). 6 no es impar " ( p 4 ). 32

33 Traducción al lenguaje Lógico Algunas oraciones no tienen una buena traducción a PROP: Hay aves que no vuelan. p 0 Todo entero par mayor que cuatro es la suma de dos números primos. p 1 33

34 2. Semántica de la Lógica Proposicional 34

35 35 2. Semántica de la lógica Proposicional AT EXPRESIONES AIRMATIAS. ALOR DE EN LENGUAJE NATURAL ERDAD p i La casa de Juan se está incendiando

36 2. Semántica de la lógica Proposicional El significado de una proposición está dado por su valor de verdad ( o ) que se obtiene de la siguiente forma: #A las variables proposicionales se les asigna un valor de verdad ( o ) #Estos valores de extienden a las proposiciones no atómicas de acuerdo al significado de los conectivos que contienen. 36

37 Significado de los conectivos # Negación [ α o ~ α ] El significado de la negación de la fórmula α PROP: α, queda definido por: v( α α) = sii v(α) = f : E E={,}, donde f () = y f () =, la tabla de verdad es su expresión tabular. α α 37

38 Significado de los conectivos # Conjunción: [α β ] Dadas α, β PROP, El significado de la conjunción α β ( α y β ) queda definido por: v((α β)) = sii v(α) = y v( β) = α β f : ExE E 38

39 Significado de los conectivos # Disjunción (α β) # Dadas α, β PROP, el significado de la disjunción α β ( α o β o ambos ) queda definido por: v((α β)) = sii v(α) = y v(β) = α β 39

40 Significado de los conectivos Implicación (α β ) Dadas α, β PROP, El significado de la implicación α β ( si α entonces β ) queda definido por: v((α β)) = sii v(α) = y v(β) = α β 40

41 Significado de los conectivos Bicondicional (α β ) Dadas α, β PROP, El significado de α β ( α si y solo si β ) queda definido por: v((α β)) = sii v(α) = v(β) α β 41

42 aluaciones Def: Una función v: PROP {,} es una valuación si satisface: 1. v((α β)) = sii v(α)= y v(β)= 2. v((α β)) = sii v(α)= y v(β)= 3. v((α β)) = sii v(α)= y v(β) = 4. v((α β)) = sii v(α) = v(β) 5. v(( α)) = sii v(α) = 42

43 aluaciones #El valor de verdad de los átomos determina el valor de verdad de una fórmula compleja Teorema Sea ω: AT {,}, existe una única valuación ν: PROP {,} tal que ν(α) = ω(α) para toda fórmula atómica α. 43

44 aluaciones #El valor de verdad de una fórmula depende únicamente del valor de los átomos subfórmulas (se formaliza en el siguiente Lema) Lema Sean ν y ν dos valuaciones / ν(pi) = ν (pi) para toda pi fórmula atómica de α, entonces ν(α) = ν (α) 44

45 Tablas de erdad Las Tablas de verdad sirven para ver todos los posibles valores de verdad que una proposición puede tener considerando todas las valuaciones posibles. Se definen por recursión en PROP Casos base p i p i 45

46 46 β (α β) Casos recursivos α β (α β) α β (α γβ) α α ( α ) β (α γβ) α

47 Tablas de erdad: Ejemplo Tabla de verdad de (p 1 p 2 ) ( (p 1 p 2 )): p 1 p 2 (p 1 p 2 )(p 1 p 2 ) (p 1 p 2 )(p 1 p 2 ) ( (p 1 p 2 )) 47

48 p 1 Tablas de erdad (cont.) Tabla de verdad de (p 1 p 2 ) (( p 1 ) γp 2 ) : p 2 (p 1 p 2 ) p 1 ( p (p 1 p 2 ) (( p 1 )γp 2 ) 1 )γ p 2 Esta proposición es siempre verdadera sin importar el valor de verdad de p 1 y p 2 tautología 48

49 Tablas de verdad Ejemplo (p 1 p 2 ) ( p 1 p 2 ) 49

50 Tautología y contradicción * α es una tautología sii para cualquier valuación v: PROP {,} se cumple que v(α) =. ( Notación: = ϕ ) α es una contradicción sii para cualquier valuación v: PROP {,} se cumple que v(α) =. 50

51 Tautología! Para comprobar si una fórmula es una tautología o una contradicción debemos realizar su tabla de verdad.! Todas las Tautologías (Contradicciones) de n átomos, dan lugar a una misma función de verdad f: E n (f: E n ). 51

52 Tautologías ejemplos Propiedades de la Lógica Proposicional = (α α) = (α α) = (α β) (β α) = (α β) (β α) = (α (β γ)) ((α β ) γ) = (α (β γ)) ((α β ) (α γ)) = (α β) (β α) = (α β) (( α) β) = (α β) ( (α ( β))) = (α ( ( α))) 52

53 Tautologías más ejemplos = (α α) α = (α α) α (α α) es una contradicción (α α) es una contradicción (α β) β no es ni una tautología ni una contradicción 53

54 Def Consecuencia lógica - Implicación lógica Sea Γ PROP y ϕ PROP. Decimos que ϕ es consecuencia lógica de Γ sii para cualquier valuación v Si v(ψ) = para todo ψ Γ, entonces v(ϕ) = En este caso decimos que Γ implica lógicamente a ϕ lo notamos: ψ 1... ψ n ϕ y significa: = ψ 1... ψ n ϕ En particular si Γ = {ψ }: 1 ψ 1 ϕ sii = ψ 1 ϕ 54

55 Consecuencia lógica - Implicación lógica Notación: Γ = ϕ se lee ϕ es consecuencia lógica de Γ ϕ ς... ϕ n = ϕ se lee como {ϕ ς... ϕ n } = ϕ Ejemplos de consecuencias lógicas α, β = α β Lo que es igual a probar: α β α β Sii = α β α β (hacer tabla) 55

56 Ejemplos de consecuencias lógicas $ α, β = α β $ α = α β β = α β $ α β, α = β α β, β = α $ α β, α = β $ α β, β = α $ α β, α = β $ α β, α = β 56

57 Equivalencia de Proposiciones Observación: α PROP función de verdad ( fα) # PROP n = ℵ 0 # {fα n } = 2exp 2 n PROP n n αi αj fα n! Luego a más de una proposición le correspone una misma función de verdad (tabla) 57

58 Equivalencia de Proposiciones Def [eq ó ] Dos proposiciones α y β son equivalentes sii (α β) es una tautología. O sea, si y sólo si, para cualquier valuación v: PROP {,}, se cumple que: v(α) = v(β) Notación: α eq β abrevia = (α β) Lema eq es una relación de equivalencia 58

59 Reglas de manipulación y sustitución de fórmulas Cómo operar con las fórmulas? Para clasificar las fórmulas de la lógica proposicional, podemos trabajar con tablas de verdad... pero a veces las tablas son muy grandes: para una fórmula con n letras de proposición, la tabla tiene 2 n filas. Lo que nos importa muchas veces es sólo la estructura de las fórmulas. Buscamos reglas para transformar fórmulas complejas en fórmulas más simples y fáciles de clasificar. 59

60 Sustitución por fórmulas equivalentes Si ϕ 1 y ϕ 2 son equivalentes, entonces puedo sustituir una letra proposicional de una fórmula ψ cualquiera por ϕ 1 y por ϕ 2, y obtener fórmulas equivalentes. Esto se utiliza mucho en matemática: no dudamos cuando vemos el siguiente razonamiento: 3 + (2 x 5) = Por qué es válido eso? Porque sabemos que 2 x 5 = 10, y reemplazamos iguales por iguales esto es, en la expresión (3 + ξ) sustituimos a ξ por 2 x 5 y por 10, y obtenemos dos números iguales. 60

61 Sustitución por fórmulas equivalentes Teorema1 Si = α y = (α β) entonces = β Def: Sustitución de una variable por una fórmula _ [_/_] : PROP x PROP x {p 0, p 1,...} PROP p i [ϕ / p i ] = ϕ p j [ϕ / p i ] = p j si i j (α β) [ϕ / p i ] = (α [ϕ / p i ] β [ϕ / p i ]) ( α) [ϕ / p i ] = ( α [ϕ / p i ]) 61

62 Sustitución por fórmulas equivalentes Teorema 2 Si = α y ϕ PROP entonces si α = α [ϕ /p] se tiene que = α Teorema [sustitución] Si ϕ 1 eq ϕ 2 entonces para todo p AT y para toda ψ PROP se cumple que ψ[ϕ 1 /p] eq ψ[ϕ 2 /p] 62

63 Leyes algebraicas Las siguientes son tautologías: $ (ϕ ψ) σ ϕ (ψ σ) } $ (ϕ ψ) σ ϕ (ψ σ) asociatividad de y $ (ϕ ψ) (ψ ϕ) } conmutatividad de y $ (ϕ ψ) (ψ ϕ) $ ϕ (ψ σ) (ϕ ψ) (ϕ σ) } distributividad de $ ϕ (ψ σ) (ϕ ψ) (ϕ σ) y $ (ϕ ψ) ( ψ ϕ) } Leyes de De Morgan $ (ϕ ψ) ( ψ ϕ) (ϕ ϕ) ϕ } (ϕ ϕ) ϕ idempotencia de y ϕ ϕ doble negación } 63

64 Más propiedades... Lema Si = ϕ ψ entonces (ϕ ψ) eq ϕ (ϕ ψ) eq ψ Lema a. Si = ϕ entonces (ϕ ψ) eq ψ b. Si = ϕ entonces ( ϕ ψ) eq ψ 64

65 Equivalencias entre conectivos Teorema a. (ϕ ψ) eq (ϕ ψ) (ψ ϕ) b. (ϕ ψ) eq ( ϕ ψ) c. (ϕ ψ) eq ( ϕ ψ) d. (ϕ ψ) eq ( ψ ϕ) e. (ϕ ψ) eq ( ψ ϕ) 65

66 ormas Normales Hemos visto que a toda ψ PROP le corresponde una función de verdad fψ, ahora vamos a demostrar que toda función de verdad f corresponde a una forma restringida (,, ) ψ -fα n orma normal 66

67 ormas Normales Dada una función f especificada por la tabla de verdad, construir ψ en forma restringida (,, ): Considerar las valuaciones en las cuales f es ormar las conjunciones básicas correspondientes ψ es la disjunción de las conjunciones básicas. Teorema Toda función de verdad f es la función de verdad de una forma proposicional restringida 67

68 Conjunciones y disyunciones finitas Definición ϕ i = ϕ 0 ϕ i = ϕ 0 i 0 i 0 ϕ i = ( ϕ i ) ϕ n+1 ϕ i = ( ϕ i ) ϕ n+1 i n+1 i n i n+1 i n #Las conjunciones y las disjunciones finitas son los elementos básicos de las formas normales 68

69 ormas Normales Definición [formas normales] Una fórmula ϕ está en forma normal disjuntiva si es de la forma ( ϕ ij ) donde cada ϕ ij es i n j m i atómica o la negación de una fórmula atómica Una fórmula ϕ está en forma normal conjuntiva si es de la forma ( ϕ ij ) donde cada ϕ ij es i n j m i atómica o la negación de una fórmula atómica. 69

70 ormas Normales Teorema Para toda ψ PROP existen fórmulas en forma normal disjuntiva ψ d y en forma normal conjuntiva ψ c tales que: ψ eq ψ d y ψ eq ψ c Demostraciones: Demostración constructiva Utilizando equivalencias de conectivos y leyes algebraicas. 70

71 #Idea: Conjuntos completos de conectivos Hemos definido la sintaxis de la lógica proposicional utilizando cinco conectivos, vimos que hay equivalencia semántica entre ellos, por ejemplo (ϕ ψ) eq ( ψ ϕ) Con cuáles nos podemos quedar para obtener una lógica equivalente, utilizando un conjunto mínimo de símbolos??? 71

72 Conjuntos completos de conectivos #Un conjunto de conectivos C es completo (adecuado) si cualquier función de verdad es definible en términos de los conectivos de C. Def [conjunto completo de conectivos]. C es un conjunto completo de conectivos si para cualquier conectivo n-ario $ y cualesquiera ϕ 1,ϕ 2, ϕ n existe una proposición ψ que contiene sólo a ϕ 1,ϕ 2, ϕ n y los conectivos de C tal que ψ eq $(ϕ ς,ϕ 2, ϕ n ) 72

73 Conjuntos completos de conectivos Ejemplos: {, }, {, }, y {, } son completos. Teorema {, } {, } {, } son conjuntos completos de conectivos. {, } lo es???? 73

74 Conjuntos completos de conectivos #Existen otros conectivos. Dos de ellos son interesantes: NOR y NAND NOR : su tabla de verdad es: α β α β eq (α β) 74

75 Conjuntos completos de conectivos NAND : su tabla de verdad es: α β eq ( α β) Teorema: α β Los conjuntos { } y { } son conjuntos completos de conectivos 75

76 Conjuntos completos de conectivos Dem: basta que expresemos los conectivos de un conjunto completo, el y el por ejemplo, en función del ( ): $ α eq α α $ α β eq (α α) ( β β) Ejemplo: escribir α β como una proposición que utilice solo α β eq [ (α α) (( β β) ( β β)) ] [ (α α) (( β β) ( β β)) ]! Larguísima!!!! Buscar equilibrio!!! 76