CENTRO FORMATIVO DE ANTIOQUIA CEFA MUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS GRADO 11 LA DEMOSTRACIÓN

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1 ALGUNAS REGLAS DE INFERENCIA LÓGICA PERÍODO I FECHA 18 de enero de 2018 NIVEL MEDIA TÉCNICA CENTRO FORMATIVO DE ANTIOQUIA CEFA MUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS GRADO 11 LA DEMOSTRACIÓN Podemos considerar la demostración de una proposición p como una cadena finita de transformaciones que se realizan mediante leyes o reglas lógicas y que se forman a partir de proposiciones verdaderas o supuestamente verdaderas y las cuales conducen a la proposición p. Una proposición o relación resultante de otras mediante el proceso de la demostración se llama deducida o demostrada. Cuando se han establecido los términos primitivos, los términos definidos y un sistema de postulados, podemos continuar definiendo nuevos términos y formulando proposiciones nuevas que no entran o conducen a contradicciones y cuya verdad o falsedad debe probarse. Tales proposiciones se llaman teoremas. TEOREMAS Es una proposición cuya validez se puede demostrar utilizando otros elementos conocidos, mediante operaciones lógicas perfectamente coordinadas. La demostración consta de tres partes: 1. El conocimiento o proposición que se trata de demostrar. En esta parte es importante diferenciar la información que nos dan (la hipótesis) de lo que nos solicitan que demostremos (la tesis). 2. Los fundamentos empleados como base de la demostración. Estos fundamentos están constituidos por los términos primitivos, las definiciones, los postulados y las proposiciones o teoremas ya demostrados. 3. El procedimiento usado para lograr que el conocimiento quede demostrado (elegir el método adecuado). Este método puede ser el deductivo o el inductivo. EL METODO DEDUCTIVO: consiste en partir de un número reducido de información (hipótesis-fundamentos) y mediante un proceso lógico deducir otros conocimientos o proposiciones nuevas. EL MÉTODO INDUCTIVO: Es generalmente usado en las ciencias físicas, naturales y sociales porque a partir de una serie finita de casos se llega a la afirmación de la verdad de una proposición. Por ejemplo, la geometría antigua se basaba en mediciones y observaciones (Babilónicos, 2000 a. C y los Egipcios, 1300 a. C) 1

2 Generalmente la estructura de una demostración se expresa por medio de una implicación de la forma H T, donde: 1. Se acepta que H (la hipótesis) es verdadera y está constituida por los términos primitivos, las definiciones, los postulados y las proposiciones (Teoremas) cuya validez ha sido probada. 2. Se establece una sucesión finita de afirmaciones que sea combinaciones y conexiones de los elementos de la hipótesis H y los fundamentos que ven a determinar que H implica a T. 3. Se afirma que T (Tesis o conclusión) es verdadera. LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Como las tautologías son esquemas válidos de inferencia, constituyen entonces el punto de partida para las leyes lógicas que son universalmente verdaderas: 1. Ley de identidad p p 2. Ley de contradicción (p p) 3. Ley de tercero excluido (p p) 4. Ley de la doble negación p ( p) 5. Ley de simplificación (p q) p (p q) q 6. Ley de adición p (p q) q (p q) Si se tiene una proposición como premisa, entonces se puede inferir como conclusión la disyunción de aquella proposición con cualquier otra. 7. Leyes conmutativas (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) (q p) 8. Leyes asociativas [(p q) r] [p (q r)] [(p q) r] [p (q r)] [(p q) r] [p (q r)] 9. Leyes distributivas [p (q r)] [(p q) (p r)] 2

3 [p (q r)] [(p q) (p r)] [p (q r)] [(p q) (p r)] [p (q r)] [(p q) (p r)] 10. Ley transitiva o silogismo hipotético [(p q) (q r)] p r 11. Ley de transposición (p q) ( q p) 12. Ley del bicondicional (p q) [(p q) (q p)] 13. Ley del condicional-disyunción (p q) ( p q) 14. Leyes de Morgan (p q) ( p q) (p q) ( p q) 15. Ley modus ponendo-ponens (MPP) [(p q) p] q En latín significa: «la forma en que se afirma afirmando». Si se tiene un condicional como premisa y su antecedente es otra premisa, entonces podemos inferir el consecuente como conclusión. 16. Ley modus tollendo-tollens (MTT) [(p q) q] p En latín significa: «modo que negando niega». Si se tiene un condicional como premisa y la negación del consecuente es otra premisa, entonces podemos inferir la negación del antecedente como conclusión. 17. Ley de modus tollendo-ponens (MTP) [(p q) p] q [(p q) q] p En latín significa: «modo que negando afirma». Si se toma como premisa una disyunción y la negación de uno de sus miembros, podemos inferir el otro miembro como conclusión, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado. 18. Ley de simplificación disyuntiva (p p) p Si se tiene como premisa una disyunción de una proposición consigo misma, se puede inferir como conclusión la proposición dada. 19. Ley del silogismo disyuntivo o dilema constructivo [(p q) (p r) (q s)] (r s) Si se tienen como premisas dos condicionales y la disyunción de sus antecedentes, se puede inferir como conclusión la disyunción de sus consecuentes. 3

4 CASO PARTICULAR: p q p r q r r También se dice que: ~p ~q r p s q ~r ~s [ p (p q)] q [p ( p q)] q [(p q) q] p En lógica, el silogismo disyuntivo, también conocido como Modus Tollendo Ponens o MTP, es una forma válida de argumento. 20. Leyes de neutro p F o p p T o p 21. Leyes de dominación p T o T o p F o F o 22. Leyes inversas p p T o p p F Leyes de absorción p (p q) p p (p q) p 24. Ley de adjunción [p (p q) (p r)] (q r) También, dos proposiciones dadas como premisas, donde ambas son verdaderas, se pueden juntar por medio del conector «y», dando origen como conclusión a una conjunción. p q p q 4

5 Existen tres reglas básicas de validez que se aplican continuamente en una demostración: 1. Las definiciones, los postulados y los teoremas demostrados pueden aparecer en cualquier paso de la demostración. 2. Proposiciones equivalentes se pueden sustituir entre sí en cualquier paso o parte de la demostración. 3. Una proposición se puede introducir en cualquier punto de la demostración. MÉTODO DE DEMOSTRACION DIRECTA Si se toma una frase lógica condicional del tipo: p q. A este proceso formal se le denomina demostración mediante el método directo, es innecesario decir que si no se cumple p, entonces su consecuencia tampoco se verificará: ~p ~q. (P 1 P 2 P 3 P n ) Q) es un teorema donde los P 1 P 2 P 3 P n son los postulados o premisas y Q la conclusión del teorema. Se sigue el siguiente esquema deductivo: 1) P hipótesis 2) P t 1. fundamento 3) t 1 t 2. fundamento 4) t 2 t 3. fundamento n) t n 1 T. fundamento (n + 1). Luego t 1 T silogismo hipotético entre 2 y el paso n T es verdadera M. P. P entre (n + 1)y 2, luego se demuestra que H T Se entiende por prueba en la lógica proposicional, el proceso por el cual se establece que la conclusión se sigue de las premisas. Los pasos básicos para aplicar el método deductivo son: 1. Se simbolizan las proposiciones dadas (premisas o hipótesis) 2. Se sigue a partir de las premisas previamente numeradas, con las tautologías o reglas de inferencias necesarias para la demostración. 3. Se procede a obtener la conclusión Ejemplo: Esta figura cerrada tiene cuatro lados, entonces no es un triángulo. Si esta figura cerrada tiene cuatro ángulos, entonces no es un triángulo. Si esta figura cerrada tiene tres lados, entonces es un triángulo. Esta figura cerrada tiene cuatro lados o tiene cuatro ángulos. Paso 1: 5

6 p: esta figura cerrada tiene cuatro lados. q: esta figura cerrada es un triángulo. r: esta figura cerrada tiene cuatro ángulos. s: esta figura cerrada tiene tres lados. Paso 2: Demostración 1) p ~q Hipótesis 2) r ~q Hipótesis 3) s q Hipótesis 4) p r Hipótesis Paso 3: 5) q q Dilema constructivo entre 1, 2 y 4 6) q Simplificación disyuntiva en 5 7) s Modus tollendo tollens entre 3 y 6 Ejemplo: Fue Andrés o Juan quien cometió el crimen. Andrés estaba fuera del pueblo cuando el crimen fue cometido. Si Andrés estaba fuera del pueblo, no pudo haber estado en la escena del crimen. Si Andrés no estaba en la escena del crimen, no pudo haber cometido el crimen. Obtenga la tesis usando las reglas de inferencia. p: Andrés cometió el crimen. q: Juan cometió el crimen. r: Andrés estaba fuera del pueblo cuando el crimen fue cometido. s: Andrés no estaba en la escena del crimen DEMOSTRACIÓN: 1) p q H. 2) r H. 3) r s H. 4) s p H. 5) [(r s) r] s M.P.P entre 3 y 2 6) [(s p) s] p M.P.P entre 4 y 5 7) [ p (p q)] q S. Disyuntivo entre 6 y 1 8) Por lo tanto, se concluye que Juan cometió el crimen. Ejemplo: Si la orquesta no pudiera tocar salsa o las bebidas no llegaran a tiempo, entonces la fiesta en el ITM tendría que cancelarse y Aleja se enojaría. Si la fiesta se cancelara, habría que devolver el dinero. No se devolvió el dinero. Por lo tanto, la orquesta pudo tocar salsa. Obtenga la consecuencia lógica usando las reglas de inferencia. 6

7 DEMOSTRACIÓN: Hipótesis: Tesis: p p: la orquesta pudo tocar salsa. q: las bebidas se entregaron a tiempo. r: la fiesta en el ITM se canceló. s: Aleja estaba enojada. t: hubo que devolver el dinero. 1) ( p q) (r s) H. 2) r t H. 3) t H. 4) [(r t) t] r M.T.T entre 2 y 3 5) r s Ley de adición en 4 6) ( r s) (r s) De Morga en 5 7) {[( p q) (r s)] (r s)} ( p q) M.T.T entre 1 y 6 8) ( p q) (p q) De Morga en 7 9) (p q) p Simplificarnos en 8 Elaboró: MsC. Jorge Cardeño Espinosa Para: Compañeros Departamento de Matemáticas CEFA BIBLIOGRAFÍA Guarín, H. et al. (1980). Matemática Moderna Estructurada. Norma: Cali. Guarín, H. (1980). Introducción al simbolismo lógico. Universidad de Antioquia: Medellín. Métodos de Demostración. (2016). Recuperado el 31 de enero de 2018 de: content/1/diapositivas.pdf Algunos métodos de demostración (2006). Recuperado el 31 de enero de 2018 de: Lógica Matemática. Recuperado el 5 de febrero de 2018 de: 7