Lógica de enunciados Reglas derivadas demostradas
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- Luz Fuentes Ríos
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1 Reglas derivadas de la implicación ( ) Reglas derivadas demostradas - Felipe Garrido Bernabeu Lógica de enunciados Reglas derivadas demostradas Silogismo Hipotético (SH) B B C C 1) B - C 2) B C 4.- B MP 1, C MP 2, C TD 3-5 Mutación (Mut) (B C) B ( C) 1) (B C) - B ( C) 2.- B 4.- B C MP 1, C MP 2, C TD B ( C) TD 2-6 Identidad (Id.) 1) Prod 1, bs DN 4 Carga de Premisas (Cpr) B 1) - B 2.- B Prod 1,3 5.- bs DN B TD 2-6 1
2 Reglas derivadas de la negación ( ) Reglas derivadas demostradas - Felipe Garrido Bernabeu Contraposición 1 (Cp 1 ) B B 1) B - B 2.- B 4.- B MP 1,3 5.- B B Prod 2, bs B TD 2-6 Contraposición 2 (Cp 2 ) B B 1) B - B 2.- B 4.- B MP 1,3 5.- B B Prod 2,4 6.- bs B TD 2-6 Contraposición 3 (Cp 3 ) B B 1) B - B 2.- B B MP 1,3 5.- B B Prod 2,4 6.- bs DN B TD 2-7 Contraposición 4 (Cp 4 ) B B 1) B - B 2.- B B MP 1,3 5.- B B Prod 2,4 6.- bs DN B TD 2-7 2
3 Modus Tollens (MT) B B 1) B 2) B 4- B MP 1,3 5.- B B Prod 2,4 6.- bs 3-5 Inroducción de la doble negación (IDN) 1) Prod 1,2 4.- bs 2-3 Principio de No Contradicción (PNC) ( ) - ( ) 1.- ( ) 2.- DN ( ) bs ( ) DN 1-4 Principio de Tercio Excluso (PTE) ( ) 2.- d ( ) ( ) Prod 1,3 5.- bs d ( ) ( ) Prod 1, ( ) bs DN Ex Contradictione Quodlibet (ECQ) B 1) - B 2.- B Simp Simp Prod 3,4 6.- B bs B DN 6 3
4 Reglas derivadas de la conjunción ( ) Reglas derivadas demostradas - Felipe Garrido Bernabeu Propiedad Conmutativa de la Conjunción (CC) B B 1) B - B 2.- Simp B Simp B Prod 2,3 1) B - B 2.- B Simp 1 Simp B Prod 2,3 Propiedad sociativa de la Conjunción (C) ( B) C (B C) 1) ( B) C - (B C) 2.- B Simp C Simp Simp B Simp B C Prod 3,5 7.- (B C) Prod 4,6 1) (B C) - ( B) C (La prueba es semejante a la primera parte) 4
5 Propiedad Distributiva de la Conjunción (DC) (B C) ( B) ( C) 1) (B C) - ( B) ( C) 2.- Simp B C Simp B 5.- B Prod 2,4 6.- ( B) ( C) d C 8.- C Prod 2,7 9.- ( B) ( C) d ( B) ( C) Cas 3, 4-6, 7.9 1) ( B) ( C) - (B C) 2.- B Simp B Simp B C d (B C) Prod 3,5 7.- C 8.- Simp C Simp B C d (B C) Prod 8, (B C) Cas 1, 2-6, 7-11 Idempotencia de la Conjunción (IdC) 1) Simp 1 1) Prod 1,2 4.- bs DN Prod 1,5 bsorción de la Conjunción (bsc) ( B) 1) ( B) Simp 1 1) - ( B) 2.- B d 1 ( B) Prod 1, 2 5
6 Importación (Imp) (B C) ( B) C 1) (B C) - ( B) C 2.- B 3- Simp B Simp B C MP 1,3 6.- C MP 4,5 7.- ( B) C TD 2-6 Exportación (Exp) ( B) C (B C) 1) ( B) C - (B C) B 4.- B Prod 2,3 5.- C MP 1, B C TD (B C) TD 2-6 6
7 Reglas derivadas de la disyunción ( ) Propiedad Conmutativa ( ) B B 1) B - B B d B 5.- B d B Cas. 1, 2-3, 4-5 (En sentido inverso la prueba es semejante) Propiedad asociativa ( ) ( B) C (B C) 1) ( B) C - (B C) 2.- B 4.- (B C) d B 6.- B C d (B C) d (B C) Cas. 2, 3-4, C 10.- B C d (B C) d (B C) Cas. 1, 2-8, 9-11 ( la inversa la prueba es semejante) 7
8 Propiedad Distributiva ( ) (B C) ( B) ( C) 1) (B C) - ( B) ( C) 2.- B d C d ( B) ( C) Prod. 3, B C 7.- B Simp C Simp B d C d ( B) ( C) Prod. 9, ( B) ( C) Cas. 1, 2-5, ) ( B) ( C) - (B C) 2.- B Simp. 1 C Simp (B C) d B (B C) d C 10.- B C Prod. 6, ( B C) d ( B C) Cas. 3, 7-8, (B C) Cas. 2, 4-5, 6-12 Idempotencia de la disyunción (IdD) De arriba hacia abajo: una prueba por casos, donde cada caso es exactamente igual a la prueba de la identidad. De abajo hacia arriba: una simple adición bsorción ( B) 1) ( B) Prod. 2,3 5.- bs DN, B 8.- Simp Cas. 1, 2-6, De abajo hacia arriba se resuelve mediante una simple adición. 8
9 Silogismo Disyuntivo 1 (SD 1 ) B B 1) B - 2) B Prod. 3,4 6.- bs DN, B B B Prod. 2, bs DN, 11 1 Cas. 1, 3-7, 8-12 Silogismo Disyuntivo 2 (SD 2 ) B B La prueba es semejante a la anterior. Dilema Constructivo 1 (DilC 1 ) B C B C C 1) B - C 2) C 3) B C C MP 2, B 7.- C MP C Cas. 1,
10 Dilema Constructivo 2 (DilC 2 ) B C B D C D 1) B - C D 2) C 3) B D C MP 2, C D d B 8.- D MP 3, C D d C D Cas. 1, 4-6, 7-9 Dilema Destructivo 1 (DilD 1 ) B C C B C 1) B - C 2) C 3) C B C 6.- MP 2, Prod. 4, C bs B 10.- C 11.- B MP 3, B Y B Prod. 9, C bs C Cas. 1, 4-8,
11 Dilema Destructivo 2 (DilD 2 ) B C D B C D 1) B - C D 2) C 3) D B C 6- MP 2, Prod C bs C D d B 11.- D 12.- B MP 3, B B Prod. 10, D bs C D d C D Cas. 1, 4-9,
12 Reglas de interdefinición Reglas derivadas demostradas - Felipe Garrido Bernabeu Definición del Implicador 1 (Df 1 ) B ( B) 1) B - ( B) 2.- B Simp B Simp B MP 1, B B Prod. 4,5 7.- ( B) bs ) ( B) B 4.- B Prod. 2,3 5.- ( B) ( B) Prod. 1, B bs B DN B TD B 12
13 Definición del Implicador 2 (Df 2 ) B B 1) B - B 2.- ( B) 4.- B 5.- B MP 1, B B Prod. 4,5 7.- B bs B DN, B d ( B) ( B) Prod. 2, bs B d ( B) ( B) Prod. 2, ( B) bs B DN, 14 1) B - B B 5.- Prod. 2,3 6.- B bs B DN, B TD B B 12.- B B Prod. 9, B bs B DN B TD B Cas. 1, 2-8,
14 Definición de la conjunción 1 (Df 1 ) B ( B) 1) B 2.- B Simp B 5.- B MP 2, B B Prod. 4,5 7.- B bs B Simp B B Prod. 7, ( B) bs ( B) 1) ( B) - B 2.- ( B) 4.- B 5.- B Prod. 3,4 6.- ( B) ( B) Prod. 2, B bs B TD ( B) ( B) Prod. 1, 9 10 ( B) bs B DN 10 Definición de la conjunción 2 (Df 2 ) B ( B) 1) B 2.- B B 5.- Simp Prod. 3, ( B) bs B 9.- B 10.- B Simp B B Prod ( B) bs ( B) Cas. 2, 3-7, ( B) ( B) Prod. 2, ( B) bs ( B) 1) ( B) - B B d ( B) ( B) Prod. 1, bs DN 7.- B 8.- B d ( B) ( B) Prod. 1, B bs B DN B Prod. 6,11 14
15 Definición de la disyunción 1 (Df 1) B B 1) B - B B 5.- Prod. 2,3 6.- B bs B DN, B 9.- B 10.- B B Prod. 8, B bs B DN, B Cas. 1, 3-7, B TD ) B - B 2.- ( B) B MP 1, B d ( B) ( B) Prod. 2, bs DN, B d ( B) ( B) Prod. 2, ( B) bs B DN, 12 Definición de la disyunción 2 (Df 2) B ( B) 1) B - ( B) 2.- B 4.- B 5.- Simp Prod. 3, B bs B DN, B 10.- B 11.- B B Prod. 9, B bs B DN, B Cas. 1, 3-8, B Simp B B Prod. 14, ( B) bs
16 1) ( B) 2.- ( B) B 5.- B Prod. 2,3 6.- ( B) ( B) Prod. 1, B bs B DN, B d ( B) ( B) Prod. 2, bs DN, 11 1 B d ( B) ( B) Prod. 2, ( B) bs B DN, 15 - B Ley de Morgan 1 (DM 1) ( B) B 1) ( B) - B 2.- ( B) 4.- B 5.- B Prod. 2,3 6.- ( B) ( B) Prod. 1, B bs B d ( B) ( B) Prod. 2, bs B d ( B) ( B) Prod. 2, ( B) bs B DN, 13 1) B - ( B) 2.- B 4.- Simp Prod. 2,4 6.- ( B) bs B 8.- B 9.- B Simp, B B Prod. 7, ( B) bs ( B) Cas. 1, 2-6,
17 Ley de Morgan 2 (DM 2) ( B) B 1) ( B) - B 2.- B d ( B) ( B) Prod. 1, bs B 7.- B d ( B) ( B) Prod. 1, B bs B Prod. 5, 9 1) B - ( B) 2.- B 4.- B 5.- Simp Prod. 3, ( B) bs B 9.- B 10.- B Simp B B Prod. 8, ( B) bs ( B) Cas. 2, 3-7, ( B) ( B) Prod. 2, ( B) bs
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