Lógica Matemática. Contenido. Definición. Finalidad de la unidad. Proposicional. Primer orden
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- Antonia Sevilla Jiménez
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1 Contenido Lógica Matemática M.C. Mireya Tovar Vidal Proposicional Definición Sintaxis Proposición Conectivos lógicos Semántica Primer orden cuantificadores Finalidad de la unidad Definición Traducir enunciados sencillos a expresiones lógicas. Construir tablas de verdad de proposiones compuestas Averiguar si dos proposiciones son lógicamente equivalentes. Verificar si un razonamiento es correcto. Lógica Es la disciplina que trata de los métodos de razonamiento. Proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. Razonamiento lógico Matemáticas: demostrar teoremas Ciencias de la computación: verificar si son o no correctos los programas y demostrar teoremas Ciencias físicas y naturales: sacar conclusiones de experimentos Ciencias sociales: para resolver una multitud de problemas.
2 Lógica Ciencia formal y rama de la Filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones de un planteamiento dado. Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusión. Lenguaje Sintaxis Alfabeto Formulas bien formadas Semántica Tablas de verdad La palabra deriva del griego antiguo λόγος (logos), "palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio". Sintaxis Proposiciones Una proposición o enunciado es una oración que declara que algo es verdadero o falso pero no ambas cosas. Ejemplos: La tierra es redonda Si 2+3 = 5 Si Habla inglés? No, es una pregunta 3-x=5 No, porque depende del valor de x Tome dos aspirinas No, es una orden El sol saldrá mañana Si Ejercicio Son proposiciones las siguientes sentencias: 1. A donde estas? 2. Y te acabas la sopa! 3. Esta oración es falsa 4. Victoria es alta. 5. El helado es delicioso. 6. X > 5.
3 No son Proposiciones!!! La primera sentencia es una pregunta. La segunda es una orden. La tercera hay que analizarla a profundidad, es una sentencia que hace referencia a si misma. Dificultad para determinar su valor de verdad (paradoja) Si asumimos que es verdadera y la sentencia dice que es falsa se contradice. Si asumimos que es falsa y la sentencia dice que es falsa entonces la sentencia es verdadera. La cuarta se refiere a una persona y que es alta pero no define la altura específica. La quinta es una opinión. La sexta es un predicado (sentencia que contiene una o más variables que no se le puede asignar un valor de verdad hasta que se les asigne valores a sus variables). Sintaxis Alfabeto Variables p, q, r, p: El sol esta brillando hoy q: Hace frío Conectivos (~),,, ( ), ( ) Proposiciones compuestas Son la combinación de conectivos y proposiciones Una fórmula sintácticamente correcta se define de acuerdo a las siguientes reglas. Las proposiciones p, q, r, s,... son fórmulas correctamente formadas. Si A y B son fórmulas correctas, también son fórmulas correctas: ~A, ~B (A B) (A v B) (A B) (A B) Sólo son fórmulas correctas las que cumplen las condiciones anteriores. Cómo formalizar el lenguaje natural I. Identificar los enunciados simples II. Asignar a cada enunciado simple una constante proposicional III. Identificar los conectivos lógicos: negación, disyunción, condicional, etc. IV. Reconstruir los enunciados complejos a partir de los simples y los conectivos lógicos Formalización de proposiciones compuestas Negación: ~p. No p. Es falso que p. No es cierto que p. Conjunción: p ^ q. p y q. p pero q. p no obstante q p sin embargo q p a pesar de q p, q p, pero q p, aunque q Aunque p, q Mientras p, q A pesar de que p, q Disyunción: p v q. p o q ó ambos. p ó q. Al menos p ó q. Como mínimo p ó q p a menos que q Condicional: Causa Efecto. p q. Si p entonces q. Si p, q p sólo si q q si p q necesario para p p suficiente para q. No p a menos que q. p implica q q se sigue de p q siempre que p Cuando p, entonces q q con tal que p Bicondicional o equivalencia: p q. p suficiente y necesario para q p si y sólo si q. Una condición suficiente y necesaria para p es q p es equivalente a q
4 Ejemplos Negación p: Hay vida en la luna p: No hay vida en la luna p: Los elefantes temen a los ratones p Los elefantes no temen a los ratones Conjunción p: Aquiles corre velozmente. q: La tortuga corre velozmente. p q: Aquiles corre velozmente, pero la tortuga no. Disyunción Sea p: "El mayordomo cometió el crimen", q: "El pintor cometió el crimen" r: "La sirvienta cometió el crimen" p v q: "O el mayordomo o el pintor cometieron el crimen" (pvq) r: "O el mayordomo o el pintor cometieron el crimen, pero no la sirvienta". Ejemplo: Condicional o implicación Si los burros vuelan, entonces las tortugas saben álgebra p: los burros vuelan q: las tortugas saben álgebra p q Bicondicional La Tierra es cúbica si y sólo si el Sol es un planeta p: "La Tierra es cúbica": F q: "El Sol es un planeta": F Programa: i:=1 j:=1 while (i < 2 and j<5) or i+j = 5 do begin i:=i+2 j:=j+1 end p: i < 2 q: j<5 r: i+j = 5 (p q) v r
5 Semántica Tablas de verdad A ~A A B A ^ B A B A v B V F V V V V V V F V V F F V F V F V V F V F F F F F F F B A B A B A B A V V V V V V V F F V F F F V F F V V F F V F F V Tablas de verdad en proposiciones compuestas Una tabla de verdad es un algoritmo o procedimiento que a través de la aplicación mecánica de un conjunto finito de reglas, permite definir la validez o invalidez de las inferencias. Consiste en aplicar valores de verdad en cada expresión atómica que conforma la proposición compuesta; de esta forma, cualquier renglón de la tabla para una fórmula dada p se le denomina interpretación de p. Jerarquía de Conectivos Lógicos Negación Mayor Prioridad Conjunción Disyunción Condicional Algoritmo para construir una tabla de verdad 1. Generar una tabla donde las columnas correspondan a cada proposición simple, además de cada una de las proposiciones compuestas considerando las prioridades. 2. El número de filas es el resultado de aplicar la formula 2 n, donde n es el número de proposiciones simples. 3. Asignar valor de verdad a cada una de las columnas restantes de acuerdo al operador indicado. Equivalencia Menor Prioridad 4. La última columna, correspondiente a la fórmula original, es la que indica los valores de verdad posibles de la fórmula para cada caso.
6 Ejemplo Definiciones p q p q (p q) p q ( p q) (p q) ( p q) V V V F F F F V V F F V F V V V F V F V V F V V F F F V V V V V Tautología La proposición compuesta P es una tautología si P es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a las proposiciones p 1,, p n que forman a P. Contradicción La proposición compuesta P es una contradicción si P es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a las proposiciones p 1,, p n que forman a P. Incongruencia Una proposición incongruente (llamada también contingente) es una proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falsa en otros. Su valor de verdad depende no de la forma lógica sino del valor de verdad de sus proposiciones simples. Ejemplo de Tautología Si Isis y Osiris no son felices, entonces o Isis no es feliz o Osiris no es feliz. p= Isis es feliz q= Osiris es feliz (p q) ( p q) Demuestre que son tautologías: (p q) v [( p)v( q)] [( p) q] v [p ( q)] p q p q (p q) p q ( p q) (p q) ( p q) V V V F F F F V V F F V F V V V F V F V V F V V F F F V V V V V
7 Ejemplo de Contradicción Osiris ama a Isis y Set ama a Isis, Osiris no ama a Isis p= Osiris ama a Isis q= Set ama a Isis (p q) p Demuestre que son contradicciones: [( p) q] [p ( q)] [( p) p] [( p) q] [p ( q)] p q p q p (p q) p V V V F F V F F F F F V F V F F F F V F Definición La proposición compuesta P implica lógicamente la proposición compuesta Q. P => Q p 1, p 2, p 3, p n => q 1, q 2, q m Esto se cumple cuando p 1, p 2, p 3, p n q 1, q 2, q m es una tautología Ejemplo: ~(p v q) => ~ p ~(p v q) es T, p v q es F, p es F, q es F. Luego ~p es T Definición Las proposiciones compuestas P y Q son lógicamente equivalentes P Q p 1, p 2, p 3,, p n q 1, q 2,, q m Esto se cumple cuando p 1, p 2, p 3,, p n q 1, q 2,, q m es una tautología
8 Tautologías Leyes de De Morgan (p q) p v q (p v q) p q 0.- p q p v q Ley de la implicación Tautologías
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