INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA Para el ingreso a las carreras de Matemática Material preparado por: Etchegaray, Silvia Licera, Mabel Markiewicz, María Elena Peparelli, Susana Pardo, Angela 1

2 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA La Lógica es la ciencia que toma como objeto de estudio los razonamientos. Desde esta ciencia se aportan herramientas muy útiles para trabajar en diversos ámbitos científicos ya que proporciona métodos para determinar la validez de razonamientos, en particular en Matemática, forma parte del contexto de demostración de las afirmaciones matemáticas. Pero, qué se entiende por razonamiento en el ámbito de esta ciencia? Veamos un ejemplo: Los días viernes Ana va al Banco a hacer depósitos. Hoy es viernes. Por lo tanto hoy Ana va al Banco a hacer depósitos. Observamos que este razonamiento está compuesto por afirmaciones (o proposiciones) que se relacionan de una manera especial. La expresión Por lo tanto indica que la afirmación hoy Ana va al Banco a hacer depósitos se desprende de las otras. En general podemos decir que: Un razonamiento es un conjunto de proposiciones de las cuales se afirma que una de ellas se deriva de las otras. La lógica centra su estudio en cómo se relacionan las proposiciones y no en el contenido particular de cada una de ellas que puede ser de cualquier contexto, científico o no. Para realizar dicho estudio aparece como necesario el establecimiento y uso de un lenguaje específico que elimine la ambigüedad presente en el lenguaje natural. Nos acercaremos al trabajo al interior de esta ciencia familiarizándonos con algunos elementos de su lenguaje, algunas definiciones básicas acompañadas por ejemplos en diversos contextos y el abordaje de algunas tareas típicas. Esto con el objetivo disponer de herramientas iniciales que les permitan abordar el estudio, a lo largo de su carrera, de los diferentes tipos de razonamientos y recursos metodológicos que formarán parte el marco teórico de referencia de su próxima actividad profesional. 1.- PROPOSICIONES 1.1. Qué es una proposición? Hemos dicho que los razonamientos están compuestos por proposiciones, pero A qué se considera una proposición? Por ejemplo, la afirmación 3 divide a 7, la cual es verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez, es una proposición. Una PROPOSICIÓN es una afirmación de la cual tiene sentido preguntarse si es verdadera o falsa. En el lenguaje de la lógica, las letras minúsculas como p, q, r, etc. se utilizan para representar proposiciones. Ejemplo: 2

3 Sean p: Río Cuarto es la capital de la provincia de Córdoba q: La Tierra es el único planeta del universo que tiene vida. r: Para qué respiramos? - p y q representan proposiciones; p es falsa y q puede ser verdadera o falsa, aunque nadie lo sabe hasta el momento. - r no representa una proposición porque r no es ni verdadera ni falsa (r es un interrogante). Las oraciones interrogativas, exclamativas o imperativas, no son proposiciones dado que no tiene sentido preguntarse si son verdaderas o falsas Diferentes tipos de proposiciones Las proposiciones se clasifican en simples (o atómicas) y compuestas (o moleculares), veamos el origen de esta clasificación a partir de un ejemplo: La proposición "Esta lloviendo es una proposición simple, En cambio las proposiciones "Está lloviendo y llevaré mi paraguas, Si esta lloviendo entonces llevaré mi paraguas, No llevaré mi paraguas, son proposiciones compuestas. Las proposiciones que se obtienen a partir de otras SIMPLES o ATÓMICAS reciben el nombre de COMPUESTAS O MOLECULARES. A su vez las proposiciones moleculares se distinguen según cómo se ligan las proposiciones atómicas que en ellas intervienen. En el lenguaje de la lógica, también se utilizan símbolos especiales (,,,, ) para representar nexos entre proposiciones. Comenzaremos ilustrando el significado de los tres primeros: Sean p: Está lloviendo q: Llevaré mi paraguas No llevaré mi paraguas es una negación y se denota con q. Está lloviendo y llevaré mi paraguas es una conjunción, se denota con p q. Está lloviendo o llevaré mi paraguas es una disyunción, se denota con p q. En general: 3

4 Si p y q son proposiciones: Se denomina negación de p, y se denota p, a la proposición no p. Se denomina conjunción de p y q, y se denota p q, a la proposición p y q. Se denomina disyunción de p y q, y se denota p q, a la proposición p o q. Son tareas típicas en lógica representar simbólicamente proposiciones y traducir al lenguaje natural proposiciones representadas simbólicamente Valores de verdad de las proposiciones compuestas Una proposición compuesta va a resultar V (verdadera) o F (falsa) dependiendo de los valores de verdad de sus componentes atómicas. Esta dependencia puede describirse por medio de una tabla llamada tabla de verdad donde se consideran todas las posibles combinaciones de los valores de verdad de las componentes atómicas. Los valores de verdad de las proposiciones compuestas p, p q y p q se describen en las siguientes tablas: p V F p F V p q p q V V V V F F F V F F F F p q V V V F F V F F p q V V V F Cómo leer estas tablas? - La primera tabla dice sencillamente que cuando p es verdadera, su negación resulta falsa (primer renglón) y cuando p es falsa, su negación resulta verdadera (segundo renglón) - Observamos que en las dos últimas tablas hay cuatro renglones porque son cuatro las posibles combinaciones de valores de verdad de p y q. - El tercer renglón de la segunda tabla nos indica que para el caso de resultar p falsa y q verdadera, la conjunción p q resulta falsa. - Podemos sintetizar la segunda tabla diciendo que la conjunción p q sólo es verdadera cuando ambas proposiciones, p y q, lo son. - Podemos sintetizar la tercera tabla diciendo que la disyunción p q sólo es falsa cuando ambas proposiciones, p y q, lo son. Otras tareas típicas en lógica son: Determinar si una proposición compuesta es verdadera o falsa (si se dispone de los valores de verdad de sus componentes atómicas) y confeccionar tablas de verdad de proposiciones compuestas. 4

5 Por ejemplo, representemos simbólicamente y determinemos el valor de verdad de la siguiente proposición: "Blas Pascal inventó varias máquinas calculadoras y no es verdad que la primera computadora electrónica digital fue construida en el siglo XX" Si p: Blas Pascal inventó varias máquinas calculadoras q: La primera computadora electrónica digital fue construida en el siglo XX La proposición puede simbolizarse como p q, determinaremos su valor de verdad: p es verdadera y q también resulta verdadera. En palabras: p q V V Tenemos la conjunción entre: una proposición V y la negación de una proposición V. V F Tenemos la conjunción entre una proposición V y una proposición F F Finalmente observamos que resulta una proposición F. Observación importante: Es posible que una proposición compuesta sea verdadera sin importar qué asignaciones de verdad se hayan hecho a las componentes atómicas. Por ejemplo construyamos la tabla de verdad de p p: p p p p V F V F V V Observamos que la proposición p p resulta verdadera tanto si p es V o si p es F (sin importar qué asignación de verdad se haya hecho a p). La próxima definición expresa en términos precisos esta situación, así como el caso en el cual una proposición compuesta resulta siempre falsa. Si denotamos con A a una proposición cualquiera, La proposición A es una tautología si A es verdadera cualquiera sea el valor de verdad de sus componentes atómicas. La proposición A es una contradicción si A es falsa cualquiera sea el valor de verdad de sus componentes atómicas. Una cuestión para analizar: Si A es una tautología, qué podemos decir de la proposición A? Si A es una contradicción, qué podemos decir de la proposición A? 5

6 TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 1) Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es una proposición: a) = 10 b) La suma de dos enteros es un entero c) Río Cuarto está en la provincia de Neuquén d) Los extraterrestres no existen e) Sumar dos números naturales. f) x = 5 g) Existe algún número real x que verifica la ecuación: x 4 + x = 0 2) Sean p, q y r las siguientes proposiciones: p : 2 es par ; q : 1 es impar ; r : 3 es par i) Formular en palabras las siguientes expresiones: a) p q b) q p c) p q d) ( r p) e) (q r) ii)analizar si las proposiciones obtenidas son verdaderas o falsas. 3) Considerando las proposiciones: p : 4 es múltiplo de 2, q : 6 es divisible por 3 y r : 5 es divisible por 2. Representar en forma simbólica los enunciados dados a continuación: a) 4 no es múltiplo de 2 ó 6 es divisible por 3 b) 6 no es divisible por 3 y 5 no es divisible por 2 c) No es cierto que, 6 es divisible por 3 y 5 es divisible por 2 d) No es verdad que, 5 no es divisible por 2 y 4 es múltiplo de 2 4) Expresar los siguientes enunciados en forma simbólica: a) María no estudia ni trabaja b) El número 4 es mayor que el número 0 pero el número 4 no lo es c) Juan no estudia Matemática sino Computación. d) No es cierto que, 5 es un número primo y 10 también lo es. e) No es verdad que, el triángulo ABC es rectángulo o isósceles. 5) Suponiendo que p es una proposición verdadera, q es falsa y r es falsa, determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (p q ) r b) (p q ) r c) ( r p ) q 6) i) Confeccionar las tablas de verdad de las siguientes proposiciones: a) p p b) p q c) p q d) (p q) (p q) e) (p (p q)) f) (p q) ii) Para las proposiciones dadas, determinar cuáles son tautologías y cuáles son contradicciones. 7) Sin usar la tabla de verdad contestar: a) Qué valores de verdad deberían tener las letras enunciativas p, q y r, para que la proposición : ( r (p q)) sea verdadera? b) En qué casos la proposición p ( q r ) resultará falsa? 6

7 2.- PROPOSICIONES CONDICIONALES Y BICONDICIONALES 2.1. A qué se llama proposición condicional? Sean p: Está lloviendo q: Llevaré mi paraguas La proposición Si esta lloviendo entonces llevaré mi paraguas es un ejemplo de proposición condicional, se denota con p q. En general: Si p y q son proposiciones, la proposición si p, entonces q se llama proposición condicional y se denota por p q -la proposición p se denomina antecedente y -la proposición q, se denomina consecuente. Así como en una expresión del lenguaje natural una coma (,) o un pero pueden representar una conjunción, existen diferentes expresiones en el lenguaje natural que representan proposiciones condicionales, en las que no necesariamente el antecedente debe aparecer en primer lugar, sino que lo reconocemos por la estructura general de la proposición y los nexos que intervienen. Veamos algunos casos: a) Cecilia será una buena alumna si estudia mucho. (o, si Cecilia estudia mucho, será una buena alumna.) El antecedente es la proposición que sigue a la expresión si, por lo tanto una formulación equivalente es: Si Cecilia estudia mucho, entonces será una buena alumna. b) Gastón puede cursar cálculo sólo si ha aprobado el tercer ciclo de la EGB (o Sólo si ha aprobado el tercer ciclo de la EGB Gastón puede cursar cálculo). La proposición que sigue a sólo si es el consecuente. Una formulación equivalente es: Si Gastón cursa Cálculo, entonces ha aprobado el tercer ciclo de la EGB. c) Cuando tú lees, Juan trabaja en la computadora. (o, Juan trabaja en la computadora cuando tú lees.) Cuando precede al antecedente de la proposición condicional; por consiguiente, una formulación equivalente es: Si tú lees, entonces Juan trabaja en la computadora 7

8 d) Una condición necesaria para que f sea una función biyectiva es que f sea inyectiva. (o, Que f sea una función inyectiva es condición necesaria para que f sea biyectiva) A veces se hace referencia al consecuente como la condición necesaria para otra proposición; por lo que una formulación equivalente es: Si f es una función biyectiva, entonces f es inyectiva. e) Una condición suficiente para que dos triángulos sean semejantes es que tengan dos ángulos iguales. (o, Que dos triángulos tengan dos ángulos iguales es condición suficiente para que sean semejantes) A veces se hace referencia al antecedente como la condición suficiente para otra proposición; por lo que una formulación equivalente es: Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, entonces son semejantes. Analicemos ahora esta proposición: Qué tengas más de 16 años no es condición suficiente para que obtengas el carnet de conductor. Qué significará la expresión no es condición suficiente? Cómo expresamos en símbolos esta proposición? Podemos ayudarnos en esta tarea considerando algunas expresiones equivalentes a la proposición inicial, tales como: No es cierto que, tener más de 16 años es condición suficiente para obtener el carnet de conductor, o: No se cumple que, si tienes más de 16 años entonces obtienes el carnet de conductor. Ahora la tarea se reduce a formalizar esta última proposición que resulta claramente la negación de una proposición condicional. Sean p: Tienes más de 16 años. q: Obtienes el carnet de conductor. La proposición queda simbolizada como (p q). En síntesis, las expresiones no es condición suficiente para y no es condición necesaria para indican la negación de una proposición condicional. Veremos más ejemplos en la guía de actividades. 8

9 2.2. Valores de verdad de la proposición condicional El valor de verdad de la proposición condicional p q está dado por la siguiente tabla de verdad: p q p q V V V V F F F V V F F V Esta tabla pone en evidencia que un condicional sólo es falso si tiene antecedente verdadero y consecuente falso. Ejemplos: - Sean p: 1 > 2 q: 4 < 8 Entonces p es falsa y q es verdadera. Luego, p q es verdadera. q p es falsa. - Supóngamos que p es verdadera, q es falsa y r verdadera. Determinemos el valor de verdad de (p q) r : ( p q ) r ( V F ) V V F F Observación: En general, en el lenguaje ordinario cuando se utiliza una proposición condicional, el antecedente y el consecuente tienen relación en cuanto a la temática a la que se refieren, situación que en el ámbito de la lógica no se tiene en cuenta (las proposiciones podrían referirse a distintos temas). La razón, tal como ya se adelantara, es que interesa la forma de las proposiciones y no su contenido. Por ejemplo, la proposición Si 2+3 = 4, entonces Leonardo Di Caprio protagonizó la película Romeo y Julieta es verdadera ya que el antecedente es falso. Recordamos: La lógica se ocupa de la forma que tienen las proposiciones y de cómo se relacionan entre sí y no del tema que tratan. 9

10 2.3. Recíproca y contrarrecíproca de una proposición condicional Ya vimos que una proposición de la forma p q puede ser verdadera, mientras que la proposición q p es falsa. A la proposición q p se la llama recíproca de la proposición p q. Por lo tanto, una proposición condicional puede ser verdadera mientras que su recíproca puede ser falsa. En cambio, la proposición q p siempre tiene el mismo valor de verdad que p q. A la proposición q p se la llama contrarecíproca de la proposición p q. Queda pendiente comprobar el hecho que p q y q p tienen el mismo valor de verdad sin importar los valores de verdad de p y q. Veamos los siguientes ejemplos: Expresar en forma simbólica las proposiciones condicionales dadas. Escríbir las correspondientes proposiciones recíproca y contrarrecíproca, tanto en símbolos como verbalmente. Hallar también el valor de verdad de cada una de las proposiciones y de sus recíprocas y contrarrecíprocas. a) Si 1 < 2, entonces 3 < 6. b) Si 1 > 2, entonces 3 < 6. a) Sean p : 1 < 2 q: 3 < 6. El enunciado dado puede ser escrito simbólicamente como p q La recíproca se expresa simbólicamente como: q p en palabras: Si 3 < 6, entonces 1 < 2. La contrarrecíproca se expresa simbólicamente como: q p en palabras: Si 3 6, entonces 1 2. Ya que p y q son ambas verdaderas, el condicional p q es verdadero su recíproca q p también es verdadera. su contrarrecíproca q p también es verdadera. b) Sean p: 1 > 2, q: 3 < 6. El enunciado dado puede ser escrito simbólicamente como p q. La recíproca se expresa simbólicamente como q p en palabras Si 3 < 6, entonces 1 > 2. La contrarrecíproca se expresa simbólicamente como: q p 10

11 en palabras Si 3 6, entonces 1 2. Puesto que p es falsa y q es verdadera, el condicional p q la recíproca q p su contrarrecíproca q p es verdadero es falsa. es verdadera A qué se llama proposición bicondicional? La proposición: La función f es biyectiva si y sólo si f es inyectiva y suryectiva. es ejemplo de otra proposición compuesta de gran utilidad. Esta proposición tiene el mismo significado que: Si la función f es biyectiva, entonces f es inyectiva y suryectiva inyectiva y suryectiva, entonces f es biyectiva. y, si la función f es En general: Si p y q son proposiciones, la proposición compuesta p si y sólo si q se llama proposición bicondicional y se denota por p q 2.5. Valores de verdad de la proposición bicondicional El valor de verdad de la proposición condicional p q está dado por la siguiente tabla de verdad: p q p q V V V V F F F V F F F V Observemos que p q es verdadera sólo en los casos en que p y q tengan el mismo valor de verdad (cuando son las dos verdaderas o cuando son las dos falsas). Una forma alternativa de enunciar p si y sólo si q es: p es condición necesaria y suficiente para q Ejemplo: Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo T siendo c la longitud mayor. El enunciado T es un triángulo rectángulo si y sólo si a 2 + b 2 = c 2. (6) Esta resumiendo dos proposiciones condicionales: 11

12 y Si T es un triángulo rectángulo entonces a 2 + b 2 = c 2. Si a 2 + b 2 = c 2, entonces T es un triángulo rectángulo. Una forma alternativa de enunciar este hecho es: Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo T sea rectángulo es que sus lados satisfagan la relación a 2 + b 2 = c EQUIVALENCIA LÓGICA E IMPLICACIÓN LÓGICA Hasta acá vimos cómo se representan las proposiciones en el marco de la Lógica y cómo se describen mediante sus tablas de verdad. Pero también hemos visto que las proposiciones están relacionadas de un modo especial. Por ejemplo, en el apartado 2.3. dijimos que las proposiciones p q y q p tienen siempre el mismo valor de verdad. En este apartado vamos a estudiar con mayor profundidad este tipo de relaciones La noción de equivalencia lógica En el contexto de la Lógica, proposiciones tales como p q y q p que tienen el mismo valor de verdad para cada combinación posible de valores de verdad para p y q, resultan equivalentes. En general: Las proposiciones A y B son lógicamente equivalentes y se escribe A B, siempre que A y B tengan ambas el mismo valor de verdad, cualquiera sean los valores de verdad de sus componentes atómicas. Una cuestión para analizar: Si A B, Qué podemos decir de la proposición bicondicional A B? Veamos algunos ejemplos de proposiciones lógicamente equivalentes: 12

13 Ejemplo: Probemos que la proposición condicional p q es lógicamente equivalente a su contrarrecíproca q p: Demostración: Si se elaboran las tablas de verdad para p q y q p se verifica que para cualesquiera valores de verdad dados a p y a q, se cumple que p q y q p son ambas verdaderas, o ambas falsas: p q p q q p V V V V V F F F F V V V F F V V p q y q p son lógicamente equivalentes ya que las dos últimas columnas coinciden. Ejemplo: Las siguientes equivalencias lógicas se conocen con el nombre de leyes de DeMorgan 1.- (p q) p q, 2.- (p q) p q Probaremos la primera y se dejará la segunda como ejercicio. p q (p q) p q V V F F V F F F F V F F F F V V Consecuentemente, (p q) y p q son lógicamente equivalentes. Ejemplo: La negación de p q es lógicamente equivalente a p q. Debe probarse que (p q) p q. Elaborando las tablas de verdad para (p q) y p q, se puede verificar que para cualesquiera valores de verdad dados a p y q, se cumple que son ambas verdaderas o ambas falsas: p q (p q) p q V V F F V F V V F V F F F F F F 13

14 Ejemplo: Dijimos en el apartado 2.4. que p q significa lo mismo que (p q) (q p). Ahora esta afirmación puede demostrarse. Veamos que p q es lógicamente equivalente a (p q) (q p): p q p q p q q p (p q) (q p) V V V V V V V F F F V F F V F V F F F F V V V V La tabla de verdad prueba efectivamente que p q (p q) (q p) La noción de implicación lógica Puede ocurrir que dos proposiciones A y B no sean lógicamente equivalentes pero que cada vez que A sea verdadera B también resulta verdadera, vamos a analizar esta situación. En general: La proposición A implica lógicamente a la proposición B, en símbolos A B, siempre que si A es verdadera, B también lo es, cualquiera sean los valores de verdad de sus componentes atómicas. Una cuestión para analizar: Si A B, Qué podemos decir de la proposición condicional A B? Veamos algunos ejemplos de proposiciones que se implican lógicamente: Ejemplo: Demostrar que (p q) p. - La proposición (p q) es verdadera justamente cuando p q es falsa. - Para que p q sea falsa, p y q deben ser falsas. - Luego, p es verdadera. 14

15 Podemos ver esto a partir de construir las tablas de verdad correspondientes: p q p p q (p q) V V F V F V F F V F F V V V F F F V F V Si miramos las columnas resaltadas, vemos que cuando (p q) es verdadera, también lo es p. Entonces (p q) implica lógicamente a p. Podemos preguntarnos La proposición p implica lógicamente a (p q)? Observemos que p NO implica lógicamente a (p q), ya que no es cierto que cuando p es verdadera, también lo es (p q), (ver el tercer renglón). TRABAJO PRACTICO Nº2 1) Utilizando las proposiciones p: Hoy llueve, q: voy al cine y r: voy al teatro., formular verbalmente las expresiones simbólicas que se dan a continuación: a) p q b) p ( r q) c) q r r 3) Suponiendo que a, b, y c son números reales fijos y que p: a < b, q: b < c y r: a < c, expresar en forma simbólica los siguientes enunciados: a) Si a<b entonces b c. b) Si a b y b < c, entonces a c. c) Si no es verdad que (a < b y b < c ), entonces a c. 3) Escribir cada una de las siguientes proposiciones en la forma si... entonces... de una proposición condicional y representarlas simbólicamente. a) El certificado tiene validez si está firmado por el director. b) El programa es legible solamente si está bien estructurado. c) Cuando estudies tendrás oportunidad de actualizar tus conocimientos y de aprender otros nuevos. d) Una condición suficiente para representar una recta en una sistema de coordenadas cartesianas es conocer las coordenadas de dos de sus puntos. e) Especificar las condiciones iniciales es una condición necesaria para que el programa no falle. f) Para que un número sea múltiplo de 4 es condición suficiente que sea múltiplo de 2. 15

16 4) Enunciar la recíproca y contrarrecíproca de cada una de las proposiciones dadas en 3). 5) Formalizar las siguientes proposiciones: a) Ser mayor de 16 años no es condición suficiente para obtener el carnet de conductor. b) Una condición necesaria y suficiente para que una función f posea función inversa es que f sea biyectiva. c) Que este número sea múltiplo de seis es condición suficiente, pero no necesaria, para que sea múltiplo de tres. d) Que este número sea múltiplo de cinco no es condición necesaria ni suficiente para que sea múltiplo de dos. 6) Hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones, suponiendo que p y r son falsas y que q y s son verdaderas. a) p r b) (p q) c) (p s) (q s) d) q p r 7) Elaborar las tablas de verdad para cada una de las siguientes proposiciones: a) q (p q) b) p q p q c) (p q r) ( r p) 8) a) Determinar cuáles de las proposiciones dadas en 7) son tautologías. b) Sin utilizar la tabla de verdad, cómo se justificaría que dichas proposiciones son tautologías? 9) Representar simbólicamente cada una de las proposiciones dadas en los incisos siguientes. Escribir su recíproca y su contrarrecíproca tanto en símbolos como con palabras. Determinar también el valor de verdad para la proposición condicional, para su recíproca y para su contrarrecíproca. a) Si 4 < 6 entonces 8 > 10. b) Si 2 es par entonces 2 3 c) 1 < 3 si -3 < 1 < 3. d) 5 > 3 si 5 > 3 ó 5 < -3 10) En cada uno de los siguientes casos, decidir y justificar si A B ó A B ó B A o no vale ninguna de las alternativas anteriores: a) A = p, B = p q b) A = p q, B = p q c) A = p q, B = p q d) A = p q, B = p q 16