Lógica modal. Ramon Jansana. Universitat de Barcelona

Transcripción

1 Lógica modal Ramon Jansana Universitat de Barcelona

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3 Índice general Capítulo 1. Introducción 5 Capítulo 2. El lenguaje de la lógica modal 9 1. Vocabulario 9 2. Definición de fórmula 9 3. Instancias de sustitución El principio de inducción Definición por inducción (o recursión) Ejercicios 11 Capítulo 3. La Semántica relacional Modelos y marcos Fórmulas válidas Fórmulas equivalentes Relaciones de consecuencia Secuentes válidos Ejercicios 20 Capítulo 4. La lógica clásica proposicional Lenguaje formal Semántica Cálculo de secuentes 24 Capítulo 5. Cálculo de secuentes para la lógica modal El cálculo Relaciones de deducibilidad Propiedades básicas de Conjuntos consistentes de fórmulas El modelo canónico 39 Capítulo 6. Algunos resultados de correspondencia 43 Capítulo 7. Lógicas modales normales Extensiones axiomáticas del cálculo LK K Axiomatizaciones tipo Hilbert de las lógicas modales normales Relaciones de consecuencia Relaciones de deducibilidad 49 Capítulo 8. Algunos resultados de correspondencia 51 3

4 4 Índice general Capítulo 9. Teoremas de completud L-teorías, conjuntos L-consistentes, L-teorias primas, relativamente maximales y L-consistente maximales El modelo canónico Los teoremas de completud 59 Capítulo 10. Lógica modal cuantificacional Sintaxis Las interpretaciones del lenguaje Semántica de modelos con dominio constante: cuantificación sobre posibles Semántica de modelos con dominio variable: cuantificación sobre actuales y designación rígida 71

5 Capítulo 1 Introducción El inicio de la lógica modal se puede retrotraer al análisis de Aristóteles de los enunciados que contienen los términos necesario y posible. Los lógicos medievales continuaron el análisis de estos términos pero estudiaron también otras modalidades como por ejemplo las epistémicas. La lógica modal moderna se ocupó en sus comienzos (C.I. Lewis, Hugh McColl...) de las modalidades necesario y posible tratadas por Aristóteles, pero pronto se ocupó de otras modalidades. Hoy en día lo que se conoce, en sentido amplio, como lógica modal trata de una variedad de modalidades que incluye, además de las tradicionalmente consideradas, otras modalidades que han surgido en las ciencias de la computación y en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Brevemente podemos decir que una modalidad es una expresión que aplicada a una oración S proporciona una nueva oración sobre el modo en que S es verdadera o sobre el modo en que es aceptada. Por ejemplo, sobre cuando es verdadera, donde es verdadera, cómo es verdadera, en que circunstancias es verdadera; o sobre el modo en que un sujeto o colectividad la acepta, por ejemplo, como conocida, creída, demostrada, etc. Las modalidades usualmente se dan en pares de modalidades duales ( necesario / posible, siempre / alguna vez ): necesario equivale a no es posible que no, siempre equivale a no es el caso que alguna vez no. La lógica clásica es extensional. Esto significa que vale el principio de sustitución de equivalentes materiales, o sustitución salva veritate, conocido también como principio de extensionalidad: si dos enunciados β y γ tienen el mismo valor de verdad, entonces en todo enunciado α(p/β) en el que aparezca β, si β se sustituye por γ entonces se obtiene un nuevo enunciado, α(p/γ), con el mismo valor de verdad que el inicial (α(p/β)). Las modalidades infringen el principio de extensionalidad. Veamos algunos ejemplos. 1. La oración (3) no se sigue de (1) y (2): (1) = 5 si y sólo si Juan Carlos I es rey de España (2) Es necesario que = 5 5

6 6 1. INTRODUCCIóN (3) Es necesario que Juan Carlos I es rey de España. 2. La oración (6) no se sigue de (4) y (5): (4) Felipe de Borbón es rey de España si y sólo si París está en Australia (5) En el futuro Felipe de Borbón será rey de España (6) En el futuro París estará en Australia 3. Del mismo modo, la oración (9) no se sigue de (7) y (8): (7) El autor de El Quijote es el autor de El Quijote si y sólo si el autor de El Quijote es Cervantes (8) Juan cree que el autor de El Quijote es el autor de El Quijote (9) Juan cree que el autor de El Quijote es Cervantes. 4. La oración (12) no se sigue de (10) y (11) (10) = 5 si y sólo si no hay un número primo mayor que todos los demás números primos (11) Juan sabe que = 5 (12) Juan sabe que no hay un número primo mayor que todos los demás números primos. La razón de que el principio de extensionalidad falle en los ejemplos 1 y 2 se explica por el hecho de que el valor de verdad de las oraciones (2), (3), (5), (6) no depende, a diferencia de lo que ocurre con las oraciones (1) y (4), únicamente de lo que ocurre en la situación en que se evalúa la oración, sino que depende también de lo que ocurre en las situaciones alternativas pertinentes en cada caso. Por ejemplo, el valor de verdad de (3) no depende sólo de si Juan Carlos I es o no rey de España, depende de si lo es en todas las situaciones alternativas a la actual. Que (3) sea verdadero significa que en cualquier situación posible (no sólo en la actual) Juan Carlos I es rey de España. Puesto que esto no es así, (3) es falsa. Análogamente, el valor de verdad de (6) no depende de si ahora París está o no en Australia, depende de si en algún momento futuro será el caso que París está en Australia. Puesto que esto no es así, (6) es falsa. Un listado de modalidades. Modalidades aléticas: necesario, posible, imposible Modalidades temporales: siempre, nunca, siempre en el pasado, siempre en el futuro, en algún momento futuro, en algún momento pasado, a partir de ahora, etc. Modalidades deónticas: es obligatorio, está permitido, está prohibido, es legal, etc. Modalidades doxásticas: j cree que, se cree que. Modalidades epistémicas: j sabe que, se sabe que, todos saben que, etc. Modalidades de la lógica dinámica: después de que la computación se acabe, durante la computación, el programa permite que, etc. Modalidades de la metalógica: es válido, es satisfacible, es demostrable, es consistente, es demostrable en la teoría T.

7 1. INTRODUCCIóN 7 Modalidades espaciales: en todas partes, en alguna parte, etc. La semántica relacional. La semántica relacional para las lógicas de las diferentes modalidades considera seriamente el análisis que hemos expuesto brevemente de porqué no vale el principio de sustitución de equivalentes materiales para enunciados con modalidades. Toma en serio desde un punto de vista matemático la idea de situación alternativa y la idea de que el valor de verdad de un enunciado con modalidades en la situación actual depende del valor de verdad de alguno o todos sus componentes es situaciones alternativas. Dada una modalidad y un enunciado ϕ (interpretado en la situación actual), el valor de verdad del enunciado ϕ en la situación actual w, o en el estado actual w, depende de lo que ocurre en situaciones (o estados) alternativas(os) a w. Las situaciones alternativas, o posibles, se representan en semántica relacional por puntos; en contextos filosóficos estos puntos se llaman a menudo mundos posibles y en contextos de ciencias de la computación estados. La relación de ser una alternativa se representa por una relación entre puntos. Por esta razón se conoce a esta semántica como semántica relacional. En los círculos de filosofía analítica se la conoce también como semántica de mundos posibles. La semántica de mundos posibles para las modalidades aléticas la introdujo Carnap, y para las modalidades temporales Prior. La semántica relacional tal como la formulamos hoy en día la introdujeron, independientemente uno de otro, Kripke, Hintikka y Kanger, aunque el tratamiento de Kripke es el más general. Implícitamente se halla en un artículo mucho anterior de Jónsson y Tarski. La semántica relacional tal como la presentó Kripke es completamente general, en el sentido de que es aplicable a multitud de modalidades. En este caso los modelos constan de: 1. Un conjunto no vacío de puntos que representan las situaciones pertinentes. Cada una de ellas puede ser la actual. 2. Una relación R entre puntos que indica qué situaciones son alternativas a cuales. 3. Una interpretación que en cada situación establece qué enunciados son verdaderos y cuales falsos, de modo que ϕ es verdadero en una situación w sii ϕ es verdadero en toda situación w tal que wrw. A pesar de que hemos usado la palabra situación más a menudo que la expresión mundo posible, ambas expresiones se han usado metafóricamente, como por otra parte es muy común. También es frecuente utilizar con el mismo propósito la expresión estado de cosas (state of affairs). Con el uso de estas expresiones no se pretende sugerir ni mucho menos que se dispone de una concepción de lo que es una situación o lo que es un mundo posible, ni que disponer de una tal concepción sea necesario para elaborar la semántica relacional. De hecho, la semántica relacional es compatible con diferentes concepciones de lo que puede ser desde un punto de vista metafísico un

8 8 1. INTRODUCCIóN mundo posible, incluso es compatible con concepciones que niegan, desde este punto de vista metafísico, los mundos posibles. Conviene observar una característica importante de la semántica relacional. En cada punto, bajo cada interpretación, cada fórmula tiene un valor de verdad (es verdadera o falsa). Debido a esta característica a veces puede parecer más apropiada la metáfora de los mundos posibles que la de las situaciones puesto que, según una actitud realista, en el mundo está determinado de cada enunciado si es verdadero o falso, pero en una situación no tiene porque ser así.

9 Capítulo 2 El lenguaje de la lógica modal El lenguaje de la lógica modal proposicional es una extensión del lenguaje de la lógica proposicional clásica. Se obtiene añadiendo a éste dos operadores modales. Las conectivas,, de la lógica clásica y las constantes proposicionales, se siguen interpretando intuitivamente del modo en que se hace en lógica proposicional, es decir como funciones de valores de verdad. Los operadores modales pueden interpretarse intuitivamente de muchas maneras, según la modalidad que se pretenda tratar. Uno de los operadores se interpreta como una de las modalidades y el otro como la modalidad dual. Convencionalmente se utiliza el cuadrado para la modalidad universal y el diamante para la existencial. Así, si nos importan las modalidades aléticas, se interpretará como es necesario y se interpretará como es posible ; si nos importan las modalidades temporales se interpretará por ejemplo como siempre en el futuro y entonces se interpretará como en algún momento futuro. 1. Vocabulario El lenguaje formal de la lógica modal proposicional consta pues del siguiente vocabulario: 1. Variables proposicionales: p, q, r, p 1, q 1, r 1, Constantes proposicionales:, 3. Conectivas:,, 4. Operadores modales:, 5. Paréntesis Asumimos una enumeración fijada p 0, p 1, p 2,... de la s variables proposicionales. 2. Definición de fórmula Las expresiones son las sucesiones finitas de elementos del vocabulario. Las fórmulas atómicas son las variables proposicionales y las constantes proposicionales. Las fórmulas se definen de acuerdo con las siguientes reglas: 1. Toda fórmula atómica es una fórmula, 2. Si α es una fórmula, lo son α, y α 3. Si α y β son fórmulas, también lo son (α β), (α β) y (α β). 9

10 10 2. EL LENGUAJE DE LA LóGICA MODAL El símbolo se define del modo usual en lógica clásica como ϕ ψ := (ϕ ψ) (ψ ϕ) La negación de una fórmula α es la fórmula α que abreviamos con α. El árbol genealógico de una fórmula se define de modo análogo a como se hace en lógica proposicional (no modal), así como el concepto de subfórmula. Una fórmula de la forma ϕ se lee cuadrado ϕ y a veces es necesario que ϕ aunque no consideremos ninguna interpretación intuitiva del mismo. Nosotros optaremos por la primera lectura. Análogamente una fórmula de la forma ϕ se lee rombo ϕ, diamante ϕ y también, a veces, es posible que ϕ. Como en el caso del cuadrado optaremos por la primera lectura. 3. Instancias de sustitución Dada una fórmula α, una instancia de sustitución de α es cualquier fórmula que se obtiene reemplazando simultáneamente alguna o todas las letras proposicionales que aparecen en α por fórmulas. Así (r p) r es una instancia de sustitución de p q. También es una instancia de sustitución de las fórmulas (r q) p y de (p q) r, entre otras. Si β es una fórmula, con β(p 0 /α 0,..., p n /α n ) nos referiremos a la instancia de sustitución de β que se obtiene reemplazando en β las letras proposicionales p 0,..., p n por α 0,..., α n respectivamente. 4. El principio de inducción Proposición 1 (Principio de inducción). Si P es una propiedad tal que 1. toda variable proposicional tiene P, 2. y tienen P, 3. si ϕ y ψ tienen P, entonces (ϕ ψ), (ϕ ψ) y (ϕ ψ) tienen P, 4. si ϕ tiene P, entonces ϕ y ϕ tienen P, entonces toda fórmula tiene P. 5. Definición por inducción (o recursión) Proposición 2. Sea D un conjunto no vacío, F y F funciones de D en D, G, G, G funciones de D D en D y a, b D. Para cada función h del conjunto de las variables proposicionales en D, existe una única función h : F m D tal que 1. h(p) = h(p), para cada letra proposicional p, 2. h( ) = a 3. h( ) = b 4. h((ϕ ψ)) = G ( h(ϕ), h(ψ) ) 5. h((ϕ ψ)) = G ( h(ϕ), h(ψ) ) 6. h((ϕ ψ)) = G ( h(ϕ), h(ψ) ) 7. h( ϕ) = F (h(ϕ)), 8. h( ϕ) = F (h(ϕ)).

11 6. EJERCICIOS Ejercicios 1. Interpretando como es necesario y su dual como es posible, formalice: 1. Es posible que el Barça gane La Liga, pero no es necesario. 2. Es posible que si el Barça gana La Liga, pierda la Champions. 3. Si es posible que el Barça gane La Liga, es necesario que la pierda el Valencia. 4. Si el Barça pierde La Liga, es necesario que la gane el Valencia. 5. No es posible que el Barça gane La Liga, pero es posible que gane la copa de la UEFA. 6. Es posible que el Valencia gane La Liga y posiblemente es necesario que sea así. 7. Es imposible que que el Barça y el Valencia ganen La Liga. 2. Interpretando como siempre en el futuro y su dual como alguna vez en el futuro, formalice: 1. El Barça ganará siempre La Liga. 2. Si el Barça gana alguna vez La Liga, siempre perderá la Champions. 3. Siempre ocurrirá que si el Barça gana La Liga, la perderá el Valencia. 4. Si el Barça pierde alguna vez La Liga, siempre la ganará el Valencia. 5. No siempre ocurrirá que el Barça gane La Liga, pero alguna vez ganará la copa de la UEFA. 6. No siempre ocurrirá que el Barça o el Valencia ganen La Liga.

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13 Capítulo 3 La Semántica relacional Presentamos la semántica relacional para el lenguaje de la lógica modal proposicional. Primero definiremos los conceptos de marco y de modelo; después, para cada modelo, definiremos la relación de verdad de una fórmula en un punto del modelo. 1. Modelos y marcos Definición 3. Un marco (de Kripke) es una estructura F = W, R donde 1. W es un conjunto no vacío y 2. R es una relación binaria en W. Los elementos de W se llaman puntos, índices, mundos o estados del marco. Utilizaremos indistintamente todos estos términos. Definición 4. Un modelo (de Kripke) es una estructura M = W, R, V, donde 1. W, R es un marco y 2. V es una función que asigna a cada letra proposicional un subconjunto de W. Se dice que la función V es una asignación o una valoración en el marco W, R, y que el modelo W, R, V es un modelo sobre W, R. Dado un modelo M = W, R, V, la definición inductiva de fórmula verdadera en un punto w W es la siguiente: M, w = p sii w V (p), para cada letra proposicional p, M, w =, M, w =, M, w = (ϕ 1 ϕ 2 ) sii M, w = ϕ 1 y M, w = ϕ 2, M, w = (ϕ 1 ϕ 2 ) sii M, w = ϕ 1 o M, w = ϕ 2, M, w = (ϕ 1 ϕ 2 ) sii M, w = ϕ 1 o M, w = ϕ 2, M, w = ϕ sii para cada v W tal que wrv, M, v = ϕ, M, w = ϕ sii existe v W tal que wrv y M, v = ϕ. De la definición se sigue que M, w = ϕ sii M, w = ϕ 13

14 14 3. LA SEMáNTICA RELACIONAL Si ϕ es verdadera en un punto se dice que el punto satisface la fórmula o que la fórmula es satisfecha en el punto. Con V (ϕ) se denota el conjunto de puntos en que ϕ es verdadera, es decir Ejemplos. V (ϕ) := {w W : M, w = ϕ}. 1. Consideremos el modelo de diagrama p, q 1 p, q 2 3 La fórmula p es verdadera en los puntos 1 y 3. La fórmula p es verdadera en los puntos 1, 2 y 3. La fórmula q es verdadera en los puntos 1, 2 y 3. La fórmula q es verdadera en los puntos 1, 2 y 3. La fórmula p es verdadera en los puntos 1, 2 y 3. La fórmula p es verdadera en los puntos 1, 2 y 3. La fórmula (p q) es verdadera en los puntos 1, 2 y 3. La fórmula (p q) es verdadera en los puntos 1, 2 y Consideremos el modelo de diagrama p 1 p, q 2 3 q La fórmula p es verdadera en los puntos 1 y 3. La fórmula p es verdadera en los puntos 1 y 2. La fórmula q es verdadera en el punto 3. La fórmula q es verdadera en el punto 2. La fórmula p es verdadera en los puntos 1 y 3. La fórmula p es verdadera en los puntos 1 y 2. La fórmula (p q) es verdadera en el punto 3. La fórmula (p q) es verdadera en el punto En el modelo de diagrama p, q 2 p 1 3 q la fórmula p q es verdadera en todos los puntos. 4. En el modelo de diagrama p 1 2 q

15 2. FóRMULAS VáLIDAS 15 la fórmula p p es falsa en todos los puntos. 2. Fórmulas válidas Si ϕ es verdadera en todo punto de un modelo M, es decir si V (ϕ) = W, se dice que es válida en M. Con Val(M) denotaremos el conjunto de fórmulas válidas en M. Dado un marco F, se dice que una fórmula ϕ es válida en F si ϕ es válida en todo modelo F, V sobre F. Con Val(F) denotaremos el conjunto de fórmulas válidas en F. Una fórmula es válida en una clase de modelos M si es válida en cada uno de sus elementos. Análogamente se dice que una fórmula es válida en una clase F de marcos. Denotaremos con Val(M) el conjunto de las fórmulas válidas en todos los modelos pertenecientes a M y con Val(F) la clase de todas las fórmulas validas en todos los marcos elemento de F. La semántica relacional obliga a que ciertas fórmulas sean válidas en todo modelo y que los conjuntos de fórmulas válidas en un modelo y de fórmulas válidas en un marco tengan ciertas propiedades de clausura. Lema 5. Sea W, R, V un modelo, sean β 0,..., β n fórmulas cualesquiera y consideremos la asignación V en W, R definida por V (p i ) = V (β i ) para cada i n y si i n, V (p i ) = V (p i ). Entonces, para toda fórmula α, V (α(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = V (α). Demostración. Por inducción. a) Si α es una variable proposicional q y q es diferente de p 0,..., p n, entonces α(p 0 /β 0,..., p n /β n ) = q y V (q) = V (q). Por tanto tenemos lo deseado. Si q = p i para algún i n, entonces α(p 0 /β 0,..., p n /β n ) = β i y V (q) = V (p i ) = V (β i ), con lo cual obtenemos también lo deseado. b) Si α es o, entonces α(p 0 /β 0,..., p n /β n ) = α y obtenemos lo deseado. c) Supongamos como hipótesis inductiva que V (α(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = V (α) y V (β(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = V (β). Veamos que Puesto que V ((α β)(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = V (α β). (α β)(p 0 /β 0,..., p n /β n ) = α(p 0 /β 0,..., p n /β n ) β(p 0 /β 0,..., p n /β n ) y además V (α(p 0 /β 0,..., p n /β n ) β(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = V (α(p 0 /β 0,..., p n /β n )) V (β(p 0 /β 0,..., p n /β n )), utilizando la hipótesis inductiva obtenemos V (α(p 0 /β 0,..., p n /β n ) β(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = V (α) V (β) = V (α β). Por tanto, V ((α β)(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = V (α β).

16 16 3. LA SEMáNTICA RELACIONAL De modo análogo se tratan los casos de (α β) y de (α β). d) Supongamos como hipótesis inductiva que V (α(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = V (α). Veamos que V (( α)(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = V ( α). Por un lado Por otro, ( α)(p 0 /β 0,..., p n /β n ) = α(p 0 /β 0,..., p n /β n ). V ( α(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = {w W : ( v W )(wrv v V (α(p 0 /β 0,..., p n /β n ))}. Aplicando la hipótesis inductiva, Así, V ( α(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = {w W : ( v W )(wrv v V (α)}. V ( α(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = V ( α). Por tanto, V (( α)(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = V ( α). De modo análogo se trata el caso de α, es decir se demuestra que V (( α)(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = V ( α). Lema 6. Si α es una fórmula en la que no ocurren los símbolos y, entonces α es una tautología si y sólo si es válida en todo modelo. Demostración. Supongamos que α es una tautología. Sea M = W, R, V un modelo y sea w W. Consideremos la asignación de valores de verdad v definida mediante v(p) = 1 sii w V (p) para cada letra proposicional p. Es inmediato ver que una fórmula cualquiera β en la que no ocurren ni ni es verdadera con la asignación de valores de verdad v si y sólo si w V (β). Puesto que α es verdadera con cualquier asignación, lo es con v, Por tanto w V (α). Puesto que w es un elemento arbitrario de W, concluimos que V (α) = W, Así, α es válida en M. Supongamos ahora que α es válida en todo modelo. Sea v una asignación de valores de verdad. Consideremos el modelo M = {a},, V donde V se define mediante V (p) = {a} si y sólo si v(p) = 1, para cada letra proposicional p. Es fácil ver que en toda fórmula β en la que ni ni ocurren, V (β) = {a} si y sólo si β es verdadera con la asignación de valores de verdad v. Por tanto, puesto que α es válida en todo modelo, α es válida en M. Así, V (α) = {a}. Por tanto α es verdadera con la asignación v. Concluimos que α es una tautología. Proposición Las fórmulas de la forma (ϕ ψ) ( ϕ ψ) son verdaderas en todo punto de todo modelo, por tanto son válidas en todo modelo. 2. Las fórmulas de la forma de una tautología (las instancias de sustitución de tautologías) son válidas en todo modelo. 3. Si ϕ es válida en un modelo, lo es ϕ. Así, para cada modelo M, si ϕ Val(M), entonces ϕ Val(M).

17 3. FóRMULAS EQUIVALENTES Si ϕ es válida en un marco F, entonces toda instancia de sustitución σϕ de ϕ es válida también en F. Así, si ϕ Val(F) y σϕ es una instancia de sustitución de ϕ cualquiera, entonces σϕ Val(F) 5. Las fórmulas de la forma α α, y las de la forma α α son verdaderas en todo punto de todo modelo, por tanto son válidas. Demostración. 1. Fijemos un modelo M = W, R, V. Consideremos un punto w W. Para demostrar que (ϕ ψ) ( ϕ ψ) es verdadera en w, basta demostrar que en caso de que el antecedente (ϕ ψ) sea verdadero en w, lo es también el consecuente ( ϕ ψ). Supongamos pues que M, w = (ϕ ψ). Para ver que M, w = ϕ ψ, supongamos que M, w = ϕ. Bajo esta suposición debemos ver que M, w = ψ, es decir que para todo v W tal que wrv ocurre que M, v = ψ. Para demostrarlo sea v W tal que wrv. Puesto que M, w = (ϕ ψ), (i) M, v = (ϕ ψ) y puesto que M, w = ϕ, (ii) M, v = ϕ. Por tanto, por (i) y (ii) obtenemos que M, v = ψ, que es lo que deseábamos. Así, M, w = ψ. 2. Supongamos que α es una instancia de sustitución de una tautología. Supongamos que α es β(p 0 /β 0,..., p n /β n ) donde β es un tautología. Consideremos un modelo M = W, R, V arbitrario. Consideremos la asignación V en W, R definida por V (p i ) = V (β i ) para cada i n y tal que i n, V (p i ) = V (p i ). Por el lema 5, V (β(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = V (β). Puesto que β es una tautología, V (β) = W. Por tanto, V (β(p 0 /β 0,..., p n /β n )) = W. Así, α es válida en M. 3. Supongamos que ϕ es valida en un modelo M = W, R, V. Esto significa que para todo w W, M, w = ϕ. Por tanto, trivialmente, dado w W, para todo v W tal que wrv ocurre que M, v = ϕ. Así, M, w = ϕ. 4. Debe utilizarse el lema 5. Se deja como ejercicio. 5. Se deja como ejercicio. 3. Fórmulas equivalentes Diremos que dos fórmulas son equivalentes si en todo modelo ambas son verdaderas en exactamente los mismos puntos. Proposición 8. Para toda fórmula ϕ, 1. ϕ es equivalente a ϕ, 2. ϕ es equivalente a ϕ. Demostración. Se deja como ejercicio.

18 18 3. LA SEMáNTICA RELACIONAL Proposición 9. Si α y β son fórmulas en las que no ocurren ni ni y son lógicamente equivalentes en el sentido de la lógica proposicional clásica, entonces para cualesquiera letras proposicionales p 0,..., p n y cualesquiera fórmulas modales β 0,..., β n, las instancias de sustitución α(p 0 /β 0,..., p n /β n ) y β(p 0 /β 0,..., p n /β n ) son fórmulas equivalentes. Demostración. Supongamos que α y β son fórmulas en las que no ocurren ni ni y son lógicamente equivalentes en el sentido de la lógica proposicional clásica. Así, α β es una tautología. Por tanto toda instancia de sustitución de α β es válida en todo modelo M. Así, α(p 0 /β 0,..., p n /β n ) β(p 0 /β 0,..., p n /β n ) es válida en todo modelo M. Se sigue que en todo modelo M las fórmulas α(p 0 /β 0,..., p n /β n ) y β(p 0 /β 0,..., p n /β n ) son verdaderas en los mismos puntos, por lo que son equivalentes. Proposición 10 (Sustitución de equivalentes). Para cualesquiera fórmulas α, β y γ, si β es equivalente a γ, entonces para toda variable p, α(p/β) es equivalente a α(p/γ) Demostración. Se demuestra por inducción. Se deja como ejercicio. 4. Relaciones de consecuencia La relación de consecuencia local se define como sigue. Sean ϕ una fórmula modal y Σ un conjunto de fórmulas modales. Se dice que ϕ es consecuencia local de Σ, y escribimos Σ = l ϕ, si para todo modelo W, R, V ) y para todo w W tal que para cada ψ Σ, w sat. ψ ocurre que w sat. ϕ. La relación de consecuencia global se define como sigue. Sean ϕ una fórmula modal y Σ un conjunto de fórmulas modales. Se dice que ϕ es una consecuencia global de Σ, y escribimos Σ = g ϕ, si para todo modelo W, R, V tal que para cada ψ Σ, W, R, V = ψ ocurre que W, R, V = ϕ. Las dos relaciones de consecuencia tienen las mismas consecuencias a partir del conjunto vacío. Proposición 11. Para toda fórmula ϕ, = l ϕ sii = g ϕ. Demostración. Observemos que por una parte, = l ϕ si y sólo si para todo modelo M y todo w W, M.w = ϕ, y que por otra parte, = g ϕ si y sólo si para todo modelo M ϕ es válida en M. Por tanto, es evidente que = l ϕ si y sólo si = g ϕ. Sin embargo ambas relaciones de consecuencia son diferentes. Por ejemplo p = g p pero p = l p.

19 5. SECUENTES VáLIDOS Secuentes válidos Como en lógica proposicional clásica, un secuente está formado por un par de conjuntos finitos Γ,, que escribimos Γ. Un secuente Σ es válido en un modelo M si para cada punto w W en el que todas las fórmulas en Σ son verdaderas, ocurre que alguna fórmula en es verdadera. Un secuente es válido, si es válido en todo modelo. Una regla entre secuentes es válida si para todo modelo en el que son válidos los secuentes a los que se aplica la regla, es válido el secuente que se obtiene por la aplicación de la regla. Dada un conjunto Σ de fórmulas consideraremos los conjuntos de fórmulas Σ := { ϕ : ϕ Σ} y Σ := { ϕ : ϕ Σ}. Proposición 12. Los secuentes 1. (ϕ ψ) ϕ ψ 2. (ϕ ψ) ϕ ψ 3. ϕ ψ (ϕ ψ) son válidos Demostración. Se deja como ejercicio. Proposición 13. La regla Σ, ϕ Σ, ϕ es válida. En particular lo es ϕ ψ ϕ ψ. Demostración. Supongamos que M = W, R, V es un modelo en el que es válido el secuente Σ, ϕ, esto significa que para cada w W en el que las fórmulas de Σ y ϕ sean verdaderas, alguna de las fórmulas en es verdadera. Veamos que Σ, ϕ es válido en M. Supongamos para ello que w W es tal que para cada α Σ, α es verdadera en w y ϕ es verdadera en w. Esto último implica que hay v W tal que wrv y ϕ es verdadera en v. Puesto que wrv, las fórmulas de Σ son verdaderas en v. Por tanto, puesto que Σ, ϕ es valido en M, alguna fórmula β debe ser verdadera en v. Así, β es verdadera en w. Concluimos pues que Σ, ϕ es válido en M. Proposición 14. La regla Σ, ϕ Σ, ψ es válida. En particular lo es ϕ ψ ϕ ψ.

20 20 3. LA SEMáNTICA RELACIONAL Demostración. Se deja como ejercicio. Proposición 15. Sea Σ ϕ un secuente. Σ ϕ es válido sii Σ = l ϕ. Demostración. Se sigue inmediatamente de las definiciones. 6. Ejercicios 1. Consideremos el modelo de diagrama p q 1 2 Decida para cada una de las fórmulas siguientes si es verdadera en 1 y si es verdadera en 2. (a) p p (b) p (c) p p (d) q p (d) q q 2. Consideremos el modelo W, R, V donde W = {1, 2, 3, 4}, R = { 1, 2, 2, 3, 3, 1, 4, 2 } V (p) = {1, 3}, V (q) = {1, 2} (a) Dibuje el modelo. (b) De cada una de las siguientes fórmulas diga en que puntos es verdadera: a) q, b) (p q), c) (p q) (p q), d) (p q), e) p q. (c) Decida para cada una de las fórmulas siguientes si es válida en el modelo: a) p p, b) p p, c) (p p) (q q), d) (p p) (p q). (d) Decida si las fórmulas p p y p p son válidas en el marco del modelo. 3. Es válido el secuente p p? Y el secuente p p? 4. Demuestre que α es equivalente a α. 5. Demuestre el apartado 4 de la proposición Demuestre el apartado 4 de la proposición Demuestre la proposición 8, el principio de sustitución de equivalentes. 8. Demuestre la proposición Demuestre la proposición 12.

21 6. EJERCICIOS Demuestre que las fórmulas ( p q) y ( p q) son equivalentes.

22

23 Capítulo 4 La lógica clásica proposicional Dedicamos este capítulo a presentar la lógica proposicional clásica. Primero introduciremos el lenguaje. Hemos optado por tener en el lenguaje dos constantes proposicionales, una se interpreta siempre como verdadera y la otra siempre como falsa. Este recurso permite introducir la negación como una conectiva definida y comparar mejor la lógica proposicional clásica con la lógica intuicionista a través de los cálculos de secuentes para cada una de ellas introducidos por Gentzen. La semántica que presentamos es la habitual: la de asignaciones de valores de verdad. El cálculo es el cálculo de secuentes de Gentzen. El capítulo finaliza con la demostración del teorema de completud. 1. Lenguaje formal El lenguaje formal que hemos escogido para presentar la lógica proposicional consta del siguiente vocabulario: 1. Variables proposicionales: p, q, r, p 1, q 1, r 1, Conectivas:,, 3. Constantes proposicionales:, 4. Paréntesis Las expresiones son las sucesiones finitas de elementos del vocabulario. Las fórmulas atómicas son las variables proposicionales y las constantes proposicionales. Las fórmulas se definen de acuerdo con las siguientes reglas: 1. Toda fórmula atómica es una fórmula, 2. Si ϕ y ψ son fórmulas, también lo son (ϕ ψ), (ϕ ψ) y (ϕ ψ). La negación se introduce del siguiente modo. Si ϕ es una fórmula ϕ := (ϕ ) donde := significa que la expresión de la izquierda se define como una abreviación de la expresión de la derecha. 2. Semántica Una asignación de valores de verdad es una función v que asigna a cada letra proposicional un elemento de {V, F }. V representa el valor de verdad verdadero y F el valor de verdad falso. Para abreviar hablaremos simplemente de asignaciones. 23

24 24 4. LA LóGICA CLáSICA PROPOSICIONAL Definimos inductivamente la relación de satisfacción entre asignaciones y fórmulas, sat., como sigue. Dada una asignación v, v sat. p sii v(p) = V v sat. v sat. v sat. (ϕ ψ) sii v sat. ϕ y v sat. ψ v sat. (ϕ ψ) sii v sat. ϕ o v sat. ψ v sat. (ϕ ψ) sii v no sat. ϕ o v sat. ψ De la definición se sigue inmediatamente que v sat. ϕ sii v no sat. ϕ. Cuando parezca conveniente escribitremos v = ϕ para indicar que v sat. ϕ. Diremos que v satisface ϕ, si v sat. ϕ. Análogamente, si Σ es un conjunto de fórmulas, decimos que v satisface Σ si para cada ϕ Σ, v sat. ϕ. Si existe una asignación v tal que v satisface Σ, decimos que Σ es satisfacible Una fórmula ϕ es una tautología si toda asignación satisface ϕ. Es una contradicción si ninguna asignación la satisface. Si Σ es un conjunto de fórmulas y ϕ es una fórmula, decimos que ϕ es consecuencia de Σ, y escribimos Σ = ϕ, si toda asignación que satisface Σ satisface ϕ. 3. Cálculo de secuentes Vamos a considerar el cálculo para la lógica clásica proposicional que introdujo Gentzen en Untersuchungen über das logische Schliessen (Mathematische Zeitschrift 39 (1935) pp , ) 1, con la diferencia de que nuestros secuentes son pares de conjuntos finitos de fórmulas en lugar de pares de sucesiones finitas de fórmulas. El cálculo que damos es una adaptación del de Gentzen al lenguaje L = {,,,, }. Un secuente es un par Γ, donde Γ y son conjuntos finitos, posiblemente vacíos, de fórmulas. Las letras griegas mayúsculas Γ,, Π varian en lo sucesivo sobre este tipo de conjuntos. La unión de conjuntos finitos en este contexto se indicará con la coma. Así, Γ, es el conjunto finito Γ. En este contexo, Γ, ϕ, es el conjunto Γ {ϕ}. Debe tenerse en cuenta que es un secuente. Un secuente típico es de la forma que escribiremos simplemente así pero tenemos secuentes de las formas {ϕ 1,..., ϕ n } {ψ 1,..., ψ n } ϕ 1,..., ϕ n ϕ 1,..., ϕ n ψ 1,..., ψ n, ψ 1,..., ψ n 1 Hay traduccióm inglesa en M.E. Szabo (ed.) Collected papers of Gerhard Gentzen, North-Holland, Amsterdam 1969.

25 3. CáLCULO DE SECUENTES 25 A menudo abreviaremos las expresiones y Γ con y Γ, respectivamente El cálculo LK para la lógica clásica. Reglas estructurales Identidad ϕ ϕ Debilitación Γ Γ, ϕ (DI) Γ Γ ϕ, (DD) Corte Reglas operacionales Γ ϕ, Π, ϕ Σ Γ, Π, Σ (Corte) Γ, (Bot) Γ, (Top) Γ, ϕ Γ, ϕ ψ Γ, ψ Γ, ϕ ψ ( I) Γ ϕ, Γ ψ, Γ ϕ ψ, ( D) Γ, ϕ Γ, ψ Γ, ϕ ψ ( I) Γ ϕ, Γ ϕ ψ, Γ ψ, Γ ϕ ψ, Γ ϕ, Σ Π, ψ Γ, Π, ϕ ψ Σ, ( I) Γ, ϕ ψ, ( D) Γ ϕ ψ, ( D) Una derivación en LK es una sucesión finita y no vacía de secuentes tal que cada uno de sus elementos es un axioma o se obtiene de elementos anteriores en la sucesión mediante la aplicación de una de las reglas estructurales o una de las reglas operacionales. Una derivación lo es de su último secuente. Un secuente es derivable en LK si tiene una derivación en LK. A continuación prersentamos algunas reglas estructurales derivadas. Una regla derivada importante es la del Corte Generalizado Σ ϕ 1,... Σ ϕ n, Π, ϕ 1..., ϕ n Σ, Π, (Corte G.) Aunque la negación no sea un símbolo primitivo de nuestro lenguaje conviene tener las reglas derivadas fundamentales que la gobiernan, la regla de introducción a la derecha y la regla de introducción a la izquierda.

26 26 4. LA LóGICA CLáSICA PROPOSICIONAL Reglas para la negación Γ, ϕ Γ ϕ, Γ ϕ, Γ, ϕ Estas reglas se justifican mediante las derivaciones: y Proposición 16. Las reglas Γ, ϕ (DD) Γ, ϕ, ( D) Γ ϕ, Γ ϕ, Γ ϕ, ( I) Γ, ϕ Γ, ϕ son derivadas. Γ ϕ, ψ, Γ ϕ ψ, Γ, ϕ, ψ Γ, ϕ ψ Γ ϕ ψ, Γ ϕ, ψ, Γ, ϕ ψ Γ, ϕ, ψ Demostración. Justificamos las de la disyunción. Las de la conjunción se dejan como ejercicio. Γ ϕ, ψ, Γ ϕ ψ, ψ, Γ ϕ ψ, ϕ ψ, Γ ϕ ψ, ψ ψ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ ϕ, ψ ϕ ϕ, ψ Γ ϕ ψ, ϕ ψ ϕ, ψ Γ, ϕ, ψ Γ ϕ, ψ, Proposición 17. Los secuentes 1. ϕ ψ ϕ, ϕ ψ ψ 2. ϕ ψ ψ ϕ 3. ϕ (ψ δ) ϕ (ψ δ) 4. ϕ ϕ ϕ 5. ϕ ϕ ψ, ψ ϕ ψ 6. ϕ ψ ψ ϕ 7. ϕ (ψ δ) ϕ (ψ δ)

27 3. CáLCULO DE SECUENTES ϕ ϕ ϕ son derivables sin utilizar las reglas estructurales. Demostración. Demostraremos 1, 2, 3, y 4. El resto de demostraciones se dejan como ejercicio ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ ψ ψ ψ ψ ϕ ϕ ϕ ψ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ δ ψ ϕ (ψ δ) ϕ ϕ (ψ δ) ψ ϕ (ψ δ) ϕ ψ ϕ (ψ δ) (ϕ ψ) δ δ δ ψ δ δ ϕ (ψ δ) δ 4. Es un caso particular de 1. Utilizando las dos últimas proposiciones es fácil demostrar que las reglas ϕ 1,..., ϕ n ψ 1,..., ψ k ϕ 1... ϕ n ψ 1... ψ k ϕ 1... ϕ n ψ 1... ψ k ϕ 1,..., ϕ n ψ 1,..., ψ k son derivadas. Estas reglas junto con los secuentes derivables de la proposición anterior muestran que la conjunción simula el comportamiento de la coma a la izquierda de los secuentes y la disyunción lo simula a la derecha. Proposición 18. Los secuentes 1. ϕ, ϕ ψ ψ 2. ϕ ϕ 3. ϕ ϕ 4. ϕ ϕ son derivables Demostración. 1. ϕ ϕ ψ ψ ϕ, ϕ ψ ψ

28 28 4. LA LóGICA CLáSICA PROPOSICIONAL ϕ ϕ ϕ, ϕ ϕ (ϕ ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ, ϕ ϕ, ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ, ϕ ϕ ϕ Proposición 19. Las siguientes reglas Σ, ϕ ψ Σ ϕ ψ son reglas derivadas para el condicional. Demostración. Se deja como ejercicio. Σ ϕ ψ Σ, ϕ ψ 3.2. Corrección de LK. A continuación demostraremos que el cálculo LK es correcto. Diremos que un secuente Γ es correcto si toda asignación v que satisface todas las fórmulas de Γ satisface al menos una fórmula de. En particular, si no es vacio, es correcto si toda asignación satisface alguna fórmula de, y si Γ no es vacío, Γ es correcto si ninguna asignación satisface todas las fórmulas de Γ. El secuente no es correcto. Teorema 20 (Corrección de LK). Todo secuente derivable de LK es correcto. Demostración. Los secuentes que permiten derivar los axiomas de LK son correctos. Las reglas de inferencia aplicadas a secuentes correctos nos permiten derivar secuentes correctos La relación de deducibilidad. Dado un conjunto de fórmulas Σ y una fórmula ϕ, diremos que ϕ es deducible de Σ, y escribiremos Σ ϕ, si el secuente ϕ es derivable o hay ϕ 1,..., ϕ n Σ tales que el secuente ϕ 1,..., ϕ n ϕ es derivable. Un conjunto Σ de fórmulas es consistente si Σ. En caso contrario se dice que es inconsistente. De la definición se sigue inmediatamente que Σ es inconsistente si y sólo si alguno de sus subconjuntos finitos lo es.

29 3. CáLCULO DE SECUENTES 29 Proposición 21. La relación de deducibilidad tiene las siguientes propiedades: 1. Si ϕ, entonces ϕ, 2. Si para toda ϕ, Σ ϕ, y ψ, entonces Σ ψ. 3. Si Σ ϕ, entonces Σ ϕ. Demostración. 1. Se sigue de que el secuente ϕ ϕ es derivable. 2. Se sigue del Corte Generalizado. Supongamos que ψ y que para toda ϕ, Σ ϕ. Si el secuente ψ es derivable, es claro que Σ ψ. En caso contrario hay elementos ψ 0,..., ψ n de tales que el secuente ψ 0,..., ψ n ψ es derivable. Consideremos para cada i n un subconjunto finito Σ i de Σ tal que el secuente Σ i ψ i es derivable. Estos conjuntos existen puesto que, por suposición, Σ ψ i. Utilizando la regla de Debilitación tenemos que para cada i n el secuente Σ 0,..., Σ n ψ i es derivable. Utilizando el Corte Generalizado obtenemos que Σ 0,..., Σ n ψ es derivable. Puesto que Σ 0,..., Σ n es un subconjunto finito de Σ obtenemos que Σ ψ. 3. Se sigue inmediatamente de la definición de la relación de deducibilidad. Obsérvese que las propiedades de de la proposición dependen exclusivamente de las reglas estructurales del cálculo. Proposición 22. La relación de deducibilidad tiene además las propiedades: 1. Si Σ ϕ ψ y Σ ϕ, entonces Σ ψ. 2. Σ ϕ ψ sii Σ ϕ y Σ ψ. 3. Si Σ ϕ o Σ ψ, entonces Σ ϕ ψ. 4. Σ {ϕ} δ y Σ {ψ} δ sii Σ {ϕ ψ} δ. 5. Σ, ϕ ψ sii Σ ϕ ψ. 6. Para toda fórmula ϕ, ϕ. Demostración. 1. Supongamos que Σ ϕ ψ y Σ ϕ. Sean Σ y Σ subconjuntos finitos de Σ tales que los secuentes Σ ϕ ψ y Σ ϕ son derivables. Por la regla de debilitación los secuentes Σ, Σ ϕ ψ y Σ, Σ ϕ resultan derivables. Sabemos que el secuente ϕ ψ, ϕ ψ es derivable. Utilizando la regla de Corte Generalizado obtenemos que Σ, Σ ψ es derivable. Esto implica que Σ ψ. 2. Parecida a la demostración de 1, utilizando que los secuentes ϕ ψ ϕ, ϕ ψ ψ y ϕ, ψ ϕ ψ son derivables. 3. Parecida a la demostración de 1, utilizando que los secuentes ϕ ϕ ψ y ψ ϕ ψ son derivables.

30 30 4. LA LóGICA CLáSICA PROPOSICIONAL 4. Supongamos que Σ {ϕ} δ y Σ {ψ} δ. Existen pues secuentes derivables, ϕ δ y, ψ δ tales que Σ y σ. Entonces, gracias a la regla ( D), el secuente,, ϕ ψ δ es derivable. Por tanto, Σ {ϕ ψ} δ. Por otra parte, si Σ {ϕ ψ} δ. Puesto que ϕ ϕ ψ y ψ ϕ ψ, utilizando 2 y 3 de la proposición 21 obtenemos que Σ {ϕ} δ y Σ {ψ} δ. 5. Deben utilizarse las reglas derivadas para el condicional que se han dado anteriormente. 6. El secuente ϕ es claramente derivable. Corolario 23. Si Σ ϕ, entonces Σ = ϕ. Demostración. Supongamos que Σ ϕ. Sea Σ un subconjunto finito d de Σ tal que Σ ϕ es derivable. Por el teorema de corrección de LK, este secuente es correcto. Así toda asignación que satisface a toda fórmula de Σ satisface ϕ. Por tanto, toda asignación que satisface Σ satisface ϕ, es decir Σ = ϕ El teorema de completud. Demostremos que LK es completo, es decir que todo secuente correcto es derivable en LK. Además demostraremos el teorema de completud, a saber: si Σ = ϕ entonces Σ ϕ. Para ello necesitamos introducir algunos conceptos y demostrar varios resultados. Lema 24. Σ ϕ si y sólo si Σ { ϕ} es inconsistente. Demostración. Si Σ ϕ, puesto que Σ { ϕ} ϕ, obtenemos que Σ { ϕ}, es decir que Σ { ϕ} es inconsistente. Por otra parte, si Σ { ϕ} es inconsistente, Σ { ϕ}. Por tanto Σ ϕ. Ahora bien, ϕ ϕ. Por tanto Σ ϕ. Lema 25. Σ es inconsistente sii para toda fórmula ϕ, Σ ϕ. Demostración. Si para toda fórmula ϕ, Σ ϕ, en particular Σ, por lo que es inconsistente. Si Σ es inconsistente, Σ. Por tanto puesto que para toda fórmula ϕ, ϕ, tenemos que para toda fórmula ϕ, Σ ϕ. Un conjunto de fórmulas Σ es una teoría si para cada fórmula ϕ tal que Σ ϕ ocurre que ϕ Σ. Una teoría Σ es ϕ-relativamente maximal si Σ ϕ y para toda fórmula ψ Σ, Σ {ψ} ϕ. Una teoría Σ es prima si es consistente y para cualesquiera fórmulas ϕ, ψ, si Σ ϕ ψ, entonces ϕ Σ o ψ Σ. Una teoría Σ es consistente maximal si es consistente y para cada fórmula ϕ Σ, Σ {ϕ} es inconsistente. Lema 26. Si Γ es un conjunto de fórmulas y ϕ es una fórmula tal que Γ ϕ, entonces existe una teoría ϕ-relativamente maximal Σ tal que Γ Σ. Demostración. Consideremos una enumeración ψ 0, ψ 1, ψ 2,..., ψ n,... de las fórmulas del lenguaje. Vamos a definir en pasos sucesivos una sucesión de conjuntos de fórmulas Σ 0, Σ 1,..., Σ n,... tal que

31 1. Σ 0 = Γ 2. Para cada n, Σ n ϕ 3. Para cada n, Σ n Σ n+1 La definición de la sucesión es: 3. CáLCULO DE SECUENTES 31 Σ 0 = { Γ Σn si Σ Σ n+1 = n {ψ n } ϕ Σ n {ψ n } si Σ n {ψ n } ϕ Claramente se cumplen las condiciones 1, 2 y 3 deseadas. Sea Σ = n Σ n Es decir, para cada fórmula ψ, ψ Σ si y sólo si hay n tal que ψ Σ n. Veamos que Σ es ϕ-relativamente maximal. 1. Σ ϕ. En efecto, si Σ ϕ, hay Σ finito tal que ϕ es derivable. De la condición 3 anterior y de que es finito se sigue que hay n tal que Σ n. Por tanto, Σ n ϕ. Pero esto contracide la condición 2 anterior. 2. Si ψ Σ, entonces Σ {ψ} ϕ. En efecto, supongamos que ψ Σ y que Σ {ψ} ϕ Sea n tal que ψ es ψ n. Entonces Σ n {ψ n } ϕ. Por tanto ψ n Σ n+1 Σ. Pero esto es absurdo. Por tanto Σ {ψ} ϕ. Proposición 27. Sea Σ una teoría. Son equivalentes 1. Σ es ϕ-relativamente maximal para alguna fórmula ϕ. 2. Σ es prima 3. Σ es consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ Σ o ϕ Σ. 4. Σ es consistente maximal. Demostración. 1 implica 2. Supongamos que Σ es ϕ-relativamente maximal. Supongamos que ψ δ Σ. Puesto que Σ es ϕ-relativamente maximal, si ψ, δ Σ, Σ {ψ} ϕ y Σ {δ} ϕ. Por tanto Σ {ψ δ} ϕ. Es decir, Σ ϕ, pero esto no es posible al ser Σ es ϕ-relativamente maximal. Así ψ Σ o δ Σ. Por tanto Σ es una teoría prima. 2 implica 3. Supongamos que Σ es prima. Por tanto es consistente. Además, para cada ϕ, ϕ ϕ Σ. Por tanto, al ser prima, ϕ Σ o ϕ Σ. 3 implica 4. Σ es consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ Σ o ϕ Σ. Supongamos que ϕ Σ. Por tanto, ϕ Σ. Asi, Σ {ϕ} es inconsistente. Por tanto Σ es consistente maximal. 4 implica 1. Si Σ es consistente maximal, para cada ϕ Σ, Σ es ϕ- relativamente maximal Teorías consistentes maximales y asignaciones. Vamos a demostrar que hay una correspondencia biunívoca entre las asignaciones de valores de verdad y las teorías consistentes maximales. 1. Consideremos una asignación v. Sea Σ(v) = {ϕ : v sat. ϕ}

32 32 4. LA LóGICA CLáSICA PROPOSICIONAL Este conjunto de fórmulas es una teoría, gracias al teorema de corrección. En efecto, supongamos que Σ(v) ϕ. Entonces Σ(v) = ϕ. Puesto que claramente v satisface Σ(v), tenemos que v sartisface ϕ. Por tanto ϕ Σ(v). Por otra parte, es claro que Σ(v). Por tanto Σ(v) es consistente. Finalmente Σ(v) es prima pues si ϕ ψ Σ(v), entonces v satisface ϕ ψ, con lo que v satisface ϕ o v satisface ψ; es decir, ϕ Σ(v) o ψ Σ(v). Conluimos pues que Σ(v) es una teoría consistente maximal. Si dos asignaciones v y v son diferentes, hay una letra proposicional al menos, digamos p, tal que v(p) v (p). Por tanto Σ(v) Σ(v ). 2. Observemos que si Γ es una teoría consistentes maximal 1. Γ 2. Γ 3. ϕ ψ Γ sii ϕ Γ y ψ Γ; 4. ϕ ψ Γ sii ϕ Γ o ψ Γ 5. ϕ ψ Γ sii ϕ Γ o ψ Γ 6. ϕ Γ sii ϕ Γ Sea Γ una teoría consistente maximal. Definamos la asignación v Γ como sigue: para cada letra proposicional p, v Γ (p) = V sii p Γ Gracias a la observación anterior tenemos que para toda fórmula ϕ v Γ sat. ϕ sii ϕ Γ. Además, para cada teoría maximal consistente Γ y cada asignación v, Σ(v Γ ) = Γ y v Σ(v) = v. Teorema 28 (Completud de LK). Todo secuente correcto es derivable. Demostración. Supongamos que Γ es un secuente correcto. Supongamos que no es derivable. Entonces no es derivable el secuente Γ. Por tanto el conjunto de fórmulas Γ es consistente. Si la disyunción de las fórmulas de fuese deducible de Γ, el secuente Γ sería derivable. Por tanto la disyunción, digamos α, de las fórmulas de no es deducible de Γ. Sea Σ una teoría prima tal que Γ Σ y α Σ. Puesto que Σ es maximal consistente, consideremos la asignación v Σ. Esta asignación satisface todas las fórmulas de Γ, por tanto, puesto que el secuente Γ es correcto, satisface alguna fórmula de, por tanto la disyunción de todas ellas, es decir α. Así, α Σ, pero esto es absurdo. Corolario 29. Si Σ = ϕ, entonces Σ ϕ. Demostración. Supongamos que Σ = ϕ y que Σ ϕ. Sea Γ una teoría maximal consistente tal que Σ Γ y ϕ Γ. Entonces v Γ satisface Σ. Por tanto v Γ satisface ϕ, con lo que ϕ Γ y ello es absurdo. Teorema 30 (Corrección y completud de LK).

33 3. CáLCULO DE SECUENTES Un secuente ϕ 0,..., ϕ n ψ 0,..., ψ m es derivable en LK si y sólo si la fórmula (ϕ 0... ϕ n ) (ψ 0... ψ m ) es una tautología. 2. Un secuente ϕ 0,..., ϕ n es derivable en LK si y sólo si la fórmula ϕ 0... ϕ n es una contradicción en lógica clásica. 3. Un secuente ψ 0,..., ψ m es derivable en LK si y sólo si la fórmula ψ 0... ψ m es una tautología. Demostración. 1. Tenemos que ϕ 0,..., ϕ n ψ 0,..., ψ m es derivable en LK si y sólo si ϕ 0... ϕ n ψ 0... ψ m es derivable en LK si y sólo si ϕ 0... ϕ n = ψ 0... ψ m si y sólo si ϕ 0... ϕ n ψ 0... ψ m es una tautología. 2. ϕ 0,..., ϕ n es derivable en LK si y sólo si ϕ 0,..., ϕ n es derivable en LK si y sólo si ϕ 0... ϕ n es una tautología si y sólo si ϕ 0... ϕ n es una contradicción. 3. ψ 0,..., ψ m es derivable en LK si y sólo ψ 0,..., ψ m es derivable en LK si y sólo si ψ 0... ψ m es tautología si y solo si ψ 0... ψ m.

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35 Capítulo 5 Cálculo de secuentes para la lógica modal 1. El cálculo El cálculo de secuentes que introducimos se obtiene a partir del cálculo de la lógica clásica introducido en el capítulo anterior añadiendo las reglas operacionales Σ, ϕ Σ, ϕ (M1) Σ, ϕ Σ, ϕ (M2) Lo llamaremos LK K. Las siguientes reglas son casos particulares: ϕ ϕ ϕ, ψ ϕ, ψ Σ ϕ Σ ϕ Σ ϕ, ψ Σ ϕ, ψ y también lo son: ϕ ϕ ϕ ϕ Una derivación en LK K es una sucesión finita y no vacía de secuentes tal que cada uno de sus elementos es un axioma o se obtiene de elementos anteriores en la sucesión mediante la aplicación de una de las reglas estructurales o una de las reglas operacionales. Una derivación lo es de su último secuente. Un secuente es derivable en LK K si tiene una derivación en LK K. Una derivación en LK K a partir de un conjunto de secuentes S es una sucesión finita y no vacía de secuentes tal que cada uno de sus elementos es un axioma o un elemento de S o se obtiene de elementos anteriores en la sucesión mediante la aplicación de una de las reglas estructurales o una de las reglas operacionales. Un secuente s es derivable a partir de un conjunto de secuentes S si hay una derivación en LK K a partir del conjunto de secuentes S cuyo último elemento es el secuente s. 35

36 36 5. CáLCULO DE SECUENTES PARA LA LóGICA MODAL Obsérvese que un secuente s es derivable si y sólo si es derivable a partir del conjunto vacío de secuentes. Proposición 31. Si S es un conjunto de secuentes válidos en un modelo M y s es un secuente derivable a partir de S, entonces s es válido en M. Demostración. Sea M un modelo. Basta con ver primero que cada regla si la aplicamos a secuentes válidos en M nos proporciona un secuente válido en M. Después por inducción en la lóngitud de las derivaciones obtenemos lo deseado. Corolario 32. Todo secuente derivable en LK K es un secuente válido. Demostración. Un secuente derivable los es del conjunto vacío de secuentes. Así, puesto que los secuentes del conjunto vacío son válidos en todo modelo, todo secuente derivable es válido en todo modelo, por tanto válido. Algunos secuentes derivables: Proposición 33. El secuente ϕ es derivable a partir del secuente ϕ. Demostración. La siguiente derivación ϕ ϕ (M2) justifica que ϕ es derivable a partir del secuente ϕ. La derivación se obtiene aplicando la regla la regla (M2); observese que el primer secuente es de la forma, ϕ y la regla (M2) nos permite obtener el secuente, ϕ, que es el secuente ϕ, puesto que = =. Proposición 34. El secuente p p no es derivable Demostración. No puede ser derivable puesto que no es válido. Lema 35. Si Σ α es un secuente derivable, entonces el secuente α es derivable a partir del conjunto de secuentes { β : β Σ}. Demostración. Dada una derivación D del secuente Σ α, extendamos la sucesión con los secuentes β con β Σ. Entonces la regla del Corte generalizada nos permite obtener el secuente α. Lema 36. Los secuentes 1. α α 2. α α son derivables. Demostración. 1. El secuente α, α es derivable. Aplicando la regla (M1) obtenemos que el secuente α, α es derivable (al aplicar la regla consideramos Σ = { α} y = ). Por tanto, aplicando las reglas derivadas para la negación (con = ), obtenemso que α α es derivable.

37 3. PROPIEDADES BáSICAS DE El secuente α, α es derivable. Aplicanco la regla (M2) (con Σ = y = {α}) obtenemos que el secuente α, α es derivable. Por las reglas derivadas de la negación obtenemos que α α es derivable. 2. Relaciones de deducibilidad Dado un conjunto de fórmulas Σ y una fórmula ϕ, diremos que ϕ es deducible de Σ, y escribiremos Σ ϕ, si el secuente ϕ es derivable o hay ϕ 1,..., ϕ n Σ tales que el secuente ϕ 1,..., ϕ n ϕ es derivable. Sea Σ un conjunto de fórmulas y sea α una fórmula. Decimos que α es fuertemente deducible de Σ si el secuente α es derivable a partir del conjunto de secuentes { β : β Σ}. Para indicar que α es fuertemente deducible de Σ escribiremos Σ f α. Lema 37. Si Σ α, entonces Σ f α. Demostración. Supongamos que Σ α. Sea Σ Σ finito tal que el secuente Σ α es derivable. Por el lema anterior, α es derivable a partir de { β : β Σ}. Por tanto Σ f α. Teorema 38 (de Corrección). Si Σ ϕ, entonces Σ = l ϕ. Demostración. Supongamos que Σ ϕ. Sea Σ un subconjunto finito de Σ tal que Σ ϕ es derivable. Puesto que los secuentes derivables en LK K son correctos, el secuente es válido. Por tanto Σ = l ϕ. Teorema 39 (de Corrección). Si Σ f ϕ, entonces Σ = g ϕ. Demostración. Supongamos que Σ f ϕ, Así, el secuente ϕ es derivable a partir de los secuentes en { ψ : ψ Σ}. Supongamos que M es un modelo en el que las fórmulas de Σ son válidas. En tal caso, el M son válidos los secuentes ψ con ψ Σ. Por tanto por la proposición 31 el secuente ϕ es válido en M, por lo que ϕ es válida en M. 3. Propiedades básicas de Como en lógica clásica proposicional tenemos: Proposición 40. La relación de deducibilidad tiene las siguientes propiedades: 1. Si ϕ, entonces ϕ, 2. Si para toda ϕ, Σ ϕ, y ψ, entonces Σ ψ. 3. Si Σ ϕ, entonces Σ ϕ. Proposición 41. La relación de deducibilidad tiene además las propiedades: 1. Si Σ ϕ ψ y Σ ϕ, entonces Σ ψ. 2. Σ ϕ ψ sii Σ ϕ y Σ ψ. 3. Si Σ ϕ o Σ ψ, entonces Σ ϕ ψ. 4. Σ {ϕ} δ y Σ {ψ} δ sii Σ {ϕ ψ} δ.