Lógica Proposicional (LP)

Transcripción

1 Lógica Proposicional (LP) Proposición Enunciado del que puede afirmarse si es verdadero o falso Oración declarativa Cuáles de las siguientes son proposiciones? ) Pedro es alto. 2) Juan es estudiante. 3) Ayer llovió. 4) Quién es? 5) Esta mesa es azul. 6) 3 es impar. Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 29 Lógica Proposicional Proposición Simple Mi perro es negro. Juan es estudiante Compuesta María es arquitecta o Juan es músico. Si ayer llovió entonces hoy sale el sol. 2 * 3 = 6 y 7 no es par. Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 29

2 Lógica Proposicional Definición del Lenguaje de la Lógica Proposicional Sintaxis: cómo definir fórmulas bien formadas (fórmulas como cadenas de símbolos) - Alfabeto - Lenguaje Semántica: cómo interpretar esas fórmulas, es decir cómo asignarles un valor de verdad (fórmulas como enunciados que pueden ser verdaderos o falsos) - Valuaciones Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 29 Lógica Proposicional: Sintaxis Alfabeto (A PROP ): A PROP = Var {,,, fi } { (, ) } Variables o símbolos proposicionales (a, b, c,..., p, q,...) Símbolos auxiliares Conectivos proposicionales: negación y o si... entonces Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA

3 Lógica Proposicional: Sintaxis Lenguaje de la LP Conjunto de Fórmulas de la LP (F m ): F m es el conjunto de cadenas de símbolos de A PROP, F m A * PROP, que se obtiene aplicando las siguientes reglas: Para toda variable p Var, entonces p F m, es decir Var F m Fórmulas atómicas Si A F m, entonces A F m Si A, B F m, entonces (A B), (A B), (A fi B) F m Fórmulas no atómicas ((p q) r) ((p fi q) q) SON FORMULAS DE F m p q r ((p fi ) q) NO SON FORMULAS DE F m Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 29 Lógica Proposicional: Sintaxis Longitud de una Fórmula A (long A): Si A = p, p Var, entonces long(p) = Si A = B, B F m, entonces long(a) = long(b) + Si A = B * C, con B, C F m, y * es uno de los conectivos,, fi, entonces long(a) = long(b) + long(c) + Subfórmulas de una Fórmula A (S f (A)): S f (p) = { p } si p Var S f ( A) = S f (A) { A} si A F m S f ((A * B)) = S f (A) S f (B) {(A * B)} si A, B F m, y * es uno de los conectivos,, fi Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA

4 Otra definición de F m : Lógica Proposicional: Sintaxis <form_log> ::= <form_log> fi <form_or> <form_or> <form_or> ::= <form_or> <form_and> <form_and> <form_and> ::= <form_and> <factor_log> <factor_log> <factor_log> ::= ( <form_log> ) <factor_log> <var_prop> <var_prop> ::= a b c... z Esta definición tiene en cuenta precedencia de conectivos:,,, fi (de mayor a menor) Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 29 Interpretación de fórmulas como enunciados a los que se puede asignar sólo uno de dos valores: Verdadero (, V, T) ó Falso (, F, ^) La interpretación o valuación de una fórmula se obtiene como sigue: - se asigna un valor de verdad ( ó ) a las variables proposicionales - se interpretan las fómulas no atómicas teniendo en cuenta el significado de los conectivos que contienen Interpretación de conectivos «fi Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA

5 Valuación: Es una función v: F m fi {, } que cumple con las siguientes propiedades para todo A, B F m v( A) = v(a) v(a B) = v(a) v(b) v(a B) = v(a) v(b) v(afi B) = v(a) fi v(b) Ejemplo: Dada la fórmula A = p q fi q y la valuación v(p) = y v(q) = v(a) = v(p q fi q) = v(p q) fi v( q) = v(p) v(q) fi v(q) = fi = fi = Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 29 Tablas de Verdad: Permiten calcular todos los posibles valores de verdad de una fórmula considerando todas las valuaciones posibles. Fórmula fi secuencia finita de variables y conectivos: conociendo valor de verdad de las k variables de la fórmula se puede construir la tabla de verdad Tamaño de la tabla de verdad = 2 k filas Ejemplo: Para la fórmula A = p q fi q p q p q q p q fi q Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA

6 Definiciones: Una tautología es una fórmula A que es verdadera bajo toda valuación. Es decir, A es tautología sí y sólo sí para toda valuación v, v(a) = En la tabla de verdad, todos los elementos de la columna correspondiente a la fórmula son. En símbolos = A Una contradicción es una fórmula A que es falsa bajo toda valuación. Es decir, A es contradicción sí y sólo sí para toda valuación v, v(a) = Una contingencia es una fórmula A que es no es ni tautología ni contradicción. Una fórmula A es una tautología sí y sólo sí su negación A es una contradicción. Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 29 Definiciones: Una valuación v satisface una fórmula A si v(a) = Una fórmula Ase dice satisfacible si existe alguna valuación v que la satisfaga, es decir para alguna valuación v, v(a) =. En caso contrario, A es insatisfacible (contradicción). Una valuación v satisface un conjunto de fórmulas G F m si v satisface cada fórmula de G, es decir v(a) = para toda fórmula A G Un conjunto de fórmulas G son mutuamente satisfacibles, o consistentes entre sí, si existe al menos una valuación v que satisface cada fórmula de G, es decir v(a) = para toda fórmula A G Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA

7 Equivalencia Lógica: Dos fórmulas A y B se dicen equivalentes, A B, sí y sólo sí para toda valuación v, v(a) = v(b) es una relación de equivalencia en el conjunto de las fórmulas F m, es decir cumple las propiedades: Reflexiva: A A Simétrica: Si A B entonces B A Transitiva: Si A B y B C entonces A C Ejemplos: A fi B A B A A A fi A A A Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 29 Equivalencia Lógica: Lema Sean A, B F m. Entonces A B sí y sólo sí v(a «B) = para toda valuación v. Demostración: fi) Si A B entonces para cualquier valuación v, v(a) = v(b). Por lo tanto v(a fi B) = v(a) fiv(a) = y v(b fi A) = v(b) fiv(b) = Entonces v(a «B) = v(a fi B) v(b fi A) = ) Sea v(a «B) =. Es decir, v(a fi B) = y v(b fi A) = Supongamos que A B, es decir existe v tal que v(a) v(b). Se pueden dar dos casos: v(a) = y v(b) = entonces v(a fi B) = fi = v(a) = y v(b) = entonces v(b fi A) = fi = En cualquier caso, se obtiene una contradicción. Por lo tanto v(a) = v(b) y entonces A B Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA

8 Sustitución: Es una función e: F m fi F m que cumple con las siguientes propiedades para todo A, B F m e( A) = e(a) e(a B) = e(a) e(b) e(a B) = e(a) e(b) e(a fi B) = e(a) fi e(b) Teorema: Dadas A, B F m tal que A B, y dada la sustitución e, entonces e(a) e(b) Ejemplo: Sea p fi q p q y sea e(p) = a b y e(q) = a c Aplicando e a b fi a c (a b) a c (se reemplaza cada ocurrencia de la variable) Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 29 Definición: Sea A B y X una fórmula donde A puede aparecer varias veces como subfórmula. Si se reemplaza en X la subfórmula A por B (en todas o alguna de sus ocurrencias) la fórmula Y obtenida es equivalente a X. Ejemplo: Sea X = (p fi q) fi ((p fi q) p) y la equivalencia p fi q p q Reemplazando en X se obtiene la fórmula Y = ( p q) fi ((p fi q) p) Se puede verificar que X Y Sustitución vs. Reemplazo La sustitución preserva la equivalencia entre las dos fórmulas porque se hace en toda ocurrencia de la fórmula sustituida (no requiere que la fórmula sustituida sea equivalente a la sustituyente) El reemplazo preserva la equivalencia porque la fórmula sustituyente es equivalente a la sustituida (no requiere realizarse en toda ocurrencia de la fórmula sustituida) Ciencias de la Computación II - Filminas de Clase Mg. Virginia Mauco Facultad Cs. Exactas UNCPBA