LÓGICA DE PROPOSICIONAL Y PREDICADOS INGENIERÍA DE SISTEMAS

Transcripción

1 LÓGICA DE PROPOSICIONAL Y PREDICADOS INGENIERÍA DE SISTEMAS Patricia Zamora Villalobos John Alexander Coral Llanos Josué Maleaño Trejos Prof. Francisco Carrera Fecha de entrega: miércoles de setiembre de

2 Tabla de contenido INTRODUCCION...2 Definición de lógica. 3 Concept de proposición...3 Lógica de Proposicional... 4 Conectivas Gramaticales Lógica de Proposicional y Predicados Algebra Declarativa.8-9 Tablas de Verdad 10 Cuantificadores Cuantificador Universal Cuantificador Existencial.. 13 Cuantificador Existencial Único Relación cuantificador universal y el cuantificador existencial Cuantificador de Negación 15 Conclusión...16 Bibliografía...17

3 Introducción El siguiente trabajo tiene como objetivo explicar la Lógica de Proposicional y Predicados, su definición, argumentos, tautologías y cuantificadores. Investigaremos su uso dentro de la rama de la informática. El objetivo principal es brindar información y conocimiento sobre el tema y sus usos dentro de la carrera de Ingeniería de Sistemas. 3

4 Definición de Lógica. Es la disciplina que trata sobre los métodos de razonamiento, proporciona reglas y técnicas para determinar si es no valido un razonamiento. El problema central de lógica es establecer en qué condiciones un enunciado puede ser considerado como conclusión derivada de otros enunciados llamados premisas. Ejemplo: Ejemplo: Si todos los X son Y y todos los Z son X entonces todos los Z son Y, lo cual es verdadero para cualquier interpretación que demos a X,Y y Z. Concepto de Proposición Es una oración aseverativa de la que tiene sentido decir que es verdadera o falsa. Expresión verbal que afirma o niega algo. Secuencia finita de signos con significado y sentido de ser calificado como verdadero o falso. Expresión lingüística susceptible de ser calificada de verdadera o falsa. hace referencia explícita a las oraciones aseverativas o enunciativas. Ejemplos: La raíz cuadrada de 4 es 2. Todos los carros tiene 2 ruedas.

5 Lógica de Proposicional La lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representa operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad. 1 La lógica proposicional trata con sistemas lógicos que carecen de cuantificadores, o variables interpretables como entidades. Los enunciados se simbolizan con las letras p, q, r, s. La proposición puede ser simple o atómica (una sola sentencia) o pueden ser compuestas o moleculares, que son las que están formadas por más de una proposición, sentencia o enunciad, y se enlazan por medio de conectivas o por el adverbio de negación no, por ejemplo: 9 es mayor que 3 y 3 es mayor que 2. Las conectivas gramaticales se clasifican de la siguiente manera: Negación: Se aplican a una única sentencia solo se usa la negación. Expresión en el lenguaje natural: NO. Ejemplo: No es cierto que el perro ladre. Se simboliza como:,. Conjunción: Se aplican a dos sentencias. Expresión en el lenguaje natural: Y (AND). Ejemplo: esta lloviendo y esta nublado. Se simboliza como: 5

6 ,. Disyunción: Expresión en el lenguaje natural: O (OR). Ejemplo: Esta lloviendo o esta soleado. Se simboliza como:. Condición material: Expresada en el lenguaje material como: si, entonces. Ejemplo: Se esta soleado entonces es de dia. Se simboliza como:,. Bicondicional: Expresada en el lenguaje material como: si y solo si. Ejemplo: Esta nublado si y solo si hay nubes visibles. Se simboliza como:,. Negación conjunta: Expresado en el lenguaje natural Ni, ni. Ejemplo:: Ni esta soleado ni esta nublado. Se simboliza como:. Disyunción excluyente: Expresado en el lenguaje natural o bien, o bien.

7 Ejemplo: O bien esta soleado o bien esta nublado. Se simboliza como:,. Lógica de Proposicional y Predicados. La lógica de predicados es la forma lógica más general, capaz de representar todos los detalles expresados en las sentencias, está basada en la idea de las sentencias que realmente expresan relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos. Tales cualidades, relaciones o atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como argumentos o términos del predicado: P: n es un número par, sabemos que no es una proposición porque necesitamos saber el valor de n. En la lógica de predicados preguntamos: Que se afirma (predicado o relación). De quien se afirma (objeto) A diferencia de la lógica proposicional, la lógica de predicados utiliza cuantificadores, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen una propiedad. Se dividen en: Cuantificador universal : Indica que algo es cierto para todos los individuos. Cuantificador existencial cumplen una propiedad. : Indica que existe un elemento en el universo del discurso que Conjunto de letras de predicado (PRED): Se representa por letras mayúsculas, P, 7

8 Q, R, K, Є PRED. La lógica de predicados estará formada por los siguientes conjuntos simbolicos: Conjunto de Símbolos de Variables (VAR): Es un conjunto de las últimas letras del alfabeto en minúsculas. Se utilizan subíndices, por ejemplo: Conjunto de símbolos de Constantes (CONS): Este conjunto lo forman las primeras letras del alfabeto en minúsculas, también utilizaremos subíndices: Conjunto de letras de función (FUNC): Representaremos a este conjunto por las letras f, g, h,l. Incluimos subíndices para poder diferenciar las funciones: Signos de puntuación: Paréntesis ( ) y coma Ejemplo: Q: Ana es japonesa se simboliza así: J (a). R: Gabriel no es Japonés se simboliza así: J (g) Entonces Ana es japonesa mientras que Gabriel no lo es se simboliza así: J (a) J (g)

9 Algebra Declarativa Es el álgebra proposicional es decir, la estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lógicos, para decir que una expresión es sintácticamente correcta se le llama fórmula bien definida o fbf, lo cual requiere de las siguientes reglas: (B) si p es una proposición lógica, es una fbf. (R) si F es una fórmula bien formada (fbf) también lo es ( F). (R) si p,q son fbf entonces también lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v. En el álgebra declarativa existen algunas tautologías útiles que se pueden demostrar realizando su respectiva tabla de verdad, detalladas a continuación: Involución ( p) p (se lee no, no p, equivale a p ) Idempotencia (p ^ p) p (p v p) p Conmutatividad a) de la disyunción: p v q q v p b) de la conjunción: p ^ q q ^ p Asociatividad a) de la disyunción: (p v q) v r p v (q v r) b) de la conjunción: (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) Distributivita: De la conjunción respecto de la disyunción: (p Ú q) Ù r (p Ù r) Ú (q Ù r) De la disyunción respecto de la conjunción: (p Ù q) Ú r (p Ú r) Ú (q Ú r) 9

10 Leyes de Demorgan ~ ( p Ú q ) ~ p Ù ~ q La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones ~ ( p Ù q ) ~ p Ú ~ q La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones Negación de una Implicación Las proposiciones p Þ q y ~ (p Ù ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes: Las formulas se clasifican de la siguiente manera: Tautología o validez: es una fórmula que siempre es verdadera. Contradicción: es una fórmula que siempre es falsa. Contingencia: es una fórmula que puede ser verdadera o falsa. Tablas de verdad Una tabla de verdad es una tabla que muestra al valor de verdad de las variables de y conectivos de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar. La tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

11 Se construye una columna de referencia al lado izquierdo de la tabla, colocando los símbolos de las proposiciones que intervienen en el esquema compuesto (p, q, r, s). 1. El número de filas que tendrá es 2 n donde n representa el número de proposiciones diferentes. 2. Procedemos realizando primero las operaciones que se encuentren entre los paréntesis, y luego procedemos respetando las jerarquías, a) El conectivo de menor jerarquía es,. b) Luego siguen los conectivos y que tienen la misma jerarquía, Cuando dos operadores tengan la misma jerarquía, se le asigna el número menor al de la izquierda. c) Los conectivos de mayor jerarquía son:, y. Cuantificador En lógica matemática, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están: Cuantificador universal 11

12 Para todo x, y... Cuantificador existencial Existe al menos un x, y... Cuantificador existencial único Existe exactamente un x, y... Negación del cuantificador existencial No existe ningún x, y... El símbolo se llama cuantificador universal El símbolo es el cuantificador existencial Declaraciones cuantificadas Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

13 Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R. Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido entre a y a+1. Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1. Cuantificación universal En lógica, se usa el símbolo, denominado cuantificador universal, un antepuesto a una variable para decir que "para todo" elemento de un cierto conjunto se cumple la prosicion dada a continuación. En texto se puede representar con el carácter. Normalmente, en lógica, el conjunto al que se refiere es el universo o dominio de referencia en el cual aparecen todas las constantes. El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad Por ejemplo: 13

14 Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x). Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la prosicion siguiente: Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U, que cumplen P(x). Cuantificación existencial El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Se escribe: Existe x en A que cumple P(x). Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente: El conjunto de los elementos x de A, que cumplen P(x) es distinto del conjunto vacío. Cuantificación existencial única En el lenguaje de predicados en lógica matemática, se usa el símbolo:, llamado cuantificador existencial, antepuesto a una variable para decir que "existe" al menos un elemento del conjunto al que hace referencia la variable, que cumple la proposición escrita a continuación.

15 Normalmente, en lógica, el conjunto al que se hace referencia es el universo o dominio de referencia que está formado por todas las constantes. El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe: Se lee: Existe una única x elementos de A, que cumple P(x). Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B: Existe al menos un elemento x de B que pertenece a A: Al afirmar que existe al menos un x que pertenece a B y pertenece a A, quiere decir que no todos los elementos de B pertenecen a A, al ser A y B conjuntos distintos, existe al menos un elemento y de B que no pertenece a A: Que podemos leer: existe al menos un elemento y en B, y este elemento y no pertenece a A. Relación cuantificador universal y el cuantificador existencial Dada una expresión P(x), según el cuantificador universal se puede transformar en otra equivalente con el cuantificador existencial: 15

16 Que podríamos leer: si para todo x se cumple P(x) no existe un x que no cumpla P(x). Según el ejemplo anterior: Para todo x que pertenece a A, se cumple que x pertenece a B. Que podemos expresar: No existe un x de A, que cumpla que x no esté en B. Negación de los cuantificadores La negación del cuantificador universal es equivalente a la afirmación de cuantificador existencial, respecto de la proposición negada; y viceversa.tanto las proposiciones universales como las existenciales poseen su negativa, y se simboliza negando la segunda proposición. Sea P(x): x es alumno Donde x: personas de la UAM. xp(x).si lo miramos desde otro ángulo podemos decir no todas las personas de la UAM son alumnos es equivalente expresar que existe al menos una persona de la UAM que no es alumno la cual seria asi: ƎxP( x).es decir, x(px) ƎxP( x). CONCLUSION

17 Finalizada la investigación podemos determinar que la utilización de la lógica dentro de la informática es una pieza clave para el desarrollo profesional de los futuros ingenieros en sistemas. Entendemos el significado de la Lógica Proposicional y de Predicados, sus definiciones, argumentos, las leyes de algebra y sus tautologías, así como los cuantificadores. Esperamos que el trabajo sea lo más claro y preciso posible y que la información sirva para todo aquel que necesite obtener conocimiento sobre el tema. Bibliografía: 17

18 Johnsonbaugh, (2005). Matemática discretas, México: PERSON EDUCATION, Sexta Edición Logica para Computación, Leobardo López Román, Felipe Ramírez, Lógica Simbólica Básica, Luis A. Camacho, Segunda Edición, 2003.