Lógica I (curso ) - 23 de enero de 2006 (modelo de respuestas)

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1 Lógica I (curso ) - 23 de enero de 2006 (modelo de respuestas) 1. Definir un sistema formal... Para definir un sistema formal hay que especificar su lenguaje y su mecanismo deductivo. Llamemos H a nuestro sistema formal: a) Lenguaje LH (lo más sencillo posible, pero que contenga como fbfs, al menos, a p y a pp) - vocabulario primitivo: variable p, conectivas y (tiene que contener todos los símbolos que vayan a formar parte de fbfs) - reglas de formación: R1: p es fbf de LH R2: si A es fbf de LH, entonces A es fbf de LH (al usar una metavariable A que representa a cualquier fbf, la aplicación de la regla se puede repetir y dar como fbf a la fórmula p) sea fbf, puesto que p lo es) R3: si A es fbf de LH, entonces AA es fbf de LH (permite que pp b) Mecanismo deductivo del sistema H (lo más sencillo posible, pero que tenga a pp como teorema) - axiomas: pp (con esto ya tenemos a pp como teorema, puesto que todos los axiomas son teoremas) - regla de deducción: A = A (permite obtener un solo teorema más: pp) 2. seleccionar una fbf de LP de grado 6, y construir su árbol de formación: (((p q) r) ((s t) u)) NO es de grado 6, sino 5 (A ( B A) NO es fbf de LP, porque A y B no son símbolos de LP ((p q) q) esta es la única fbf de LP de grado 6 ( ((p ((q r) r) p)) NO es fbf de LP, porque tiene distinto número de paréntesis izquierdos que derechos árbol de formación: ((p q) q) (p q) q p q q q q q

2 2 3. la forma lógica expresada por la fórmula ( p q): a) Ni lo sé ni me importa = no lo sé y no me importa La b no es la conjunción de nada, sino una negación simple (no quiero pensar en ello); la c no es una conjunción de negaciones sino la negación de una conjunción (no es verdad que tal y cual); la d, estrictamente, no es la conjunción de dos negaciones porque "fu" y "fa" no son enunciados (si a alguien se lo parecen, tendría que explicar cuáles son esos enunciados). 4. Responder a las siguientes preguntas, justificando la respuesta: a) Si sabemos que la fórmula A implica a la fórmula B, podemos garantizar que la fórmula B implica a la fórmula A? No podemos garantizarlo, veamos por qué: Supongamos que la fórmula A implica a la fórmula B. Por definición de implicación, eso quiere decir que no hay ninguna asignación en la que la fórmula A sea verdadera y la fórmula B sea falsa (pero, por lo que sabemos, sí podría haber asignaciones que hicieran verdaderas a las dos, falsas a las dos o falsa a A y verdadera a B). Pero si puede haber asignaciones que hagan falsa a A y verdadera a B (o, lo que es lo mismo, asignaciones que hagan verdadera a B y falsa a A), quiere decir que se incumple la condición para que B implique a A (si B implicara a A, no podría haber tales asignaciones, por definición de implicación). Por tanto, no está garantizado que, en caso de que A implique a B, necesariamente B tenga que implicar a A. b) Si sabemos que la fórmula A es una tautología, podemos garantizar que la fórmula A también lo será? Sí podemos garantizarlo. Si A es una tautología, por definición de tautología quiere decir que es verdadera en toda asignación. Pero, por la tabla de verdad del negador ( V=F y F=V), A será falsa en toda asignación, y A será entonces verdadera en toda asignación, y por tanto también tautológica.

3 3 5. Demostrar mediante las tablas analíticas que existe la siguiente relación de implicación: (((p q) r) ( p s)) = (q (r s)) Para demostrar por tablas analíticas una relación de implicación entre A y B hay que hacer la tabla del conjunto {A, B}: 1. (((p q) r) ( p s)) (esta es A) (analizada en 3 y en 4) 2. (q (r s)) (esta es B) (analizada en 5 y 6) 3. ((p q) r) (de 1, que era α: primera parte de la conjunción) (analizada en 10) 4. ( p s) (de 1, que era α: segunda parte de la conjunción) (analizada en 9) 5. q (de 2, que era α: antecedente) 6. (r s) (de 2, que era α: negación del consecuente) (analizada en 7 y 8) (estrategia: analizar primero 6, que es α y no ramifica) 7. r (de 6) 8. s (de 6) ahora hay que analizar las β: 3 y 4 (estrategia: analizar una que vaya a cerrar rama: las dos lo permiten, así que da igual) 9.1. p (de 4: negación de antecedente) 9.2 s (de 4: consecuente) (p q) (de 3) r (de 3) (analizada en 11) (la rama 1.2 contiene a r y r, está cerrada) p q (de ) (estrategia: la rama 2 contiene a s y s, ya esta cerrada, no hace falta seguir analizando fórmulas en ella) (aunque la fórmula 3 también pertenece a esta rama, y para tener la tabla completa habría que repetir el análisis aquí debajo también) (la rama contiene a p y a p, ya está cerrada, aunque quede 9.1. sin analizar) (la rama contiene a q y a q, está también cerrada) Es una tabla con todas las ramas cerradas: eso quiere decir que las fórmulas que hemos puesto como cabeza de la tabla forman un conjunto insatisfacible, y por tanto que sí se da la relación de implicación entre las fórmulas originales.

4 Ahora, si no se hubieran aplicado las estrategias simplificadoras, la tabla completa podría tener este aspecto: 4 1. (((p q) r) ( p s)) 2. (q (r s)) 3. ((p q) r) (de 1) 4. ( p s) (de 1) 5. q (de 2) 6. (r s) (de 2) 7.1. (p q) (de 3) 7.2 r (de 3) p (de 4) s (de 4) p (de 4) s (de 4) r (de 6) r (de 6) r (de 6) r (de 6) s (de 6) s (de 6) s (de 6) s (de 6) p q p q p (de 8.2.1) (de 7.1) (de 7.1) (de 7.1) (de 7.1) p p (de ) (de ) Esta tabla tiene seis ramas, y todas están cerradas: - la rama contiene a p y p, o a p y p (vale la negación de cualquier fórmula, no sólo de literales) - la rama contiene a q y q - la rama contiene a s y s - la rama contiene a s y s, o a q y q - la rama 2.1. contiene a r y r - la rama 2.2. contiene a s y s, o a r y r

5 5 6. Demostrar usando solamente reglas básicas del sistema DNP: a) (((p (q r)) ((r q) s)) (p s)) es una tautología Para demostrar que una fórmula es una tautología hay que construir una demostración de la fórmula en DNP (sin premisas). Estrategia: para obtener un condicional, se supone el antecedente ((p (q r)) ((r q) s)) y se busca el consecuente, que es otro condicional (p s), y para conseguirlo se supone su antecedente p y se busca su consecuente q. 1. ((p (q r)) ((r q) s)) supuesto: antecedente del condicional para hacer un TD, busco (p s) 2. p supuesto: antecedente del condicional para hacer un TD, busco s 3. (p (q r)) EC 1 4. ((r q) s) EC 1 5. (q r) MP 3, 2 6. q supuesto: primera parte de la disyunción 5 r supuesto: segunda parte de la disyunción 5 7. (r q) ID 6 (basta con tener q para introducir la disy.) (r q) ID 6 (basta con tener r para introducir la disy.) 8. (r q) ED 5, 6-7 (con esto se cierran los dos supuestos de 6) 9. s MP 8, (p s) TD 2-9 (con esto se cierra el supuesto 2) 11. (((p (q r)) ((r q) s)) (p s)) TD 1-10 (con esto se cierra el supuesto 1) b) {(p q), ( p q)} implica q Para demostrar relación de implicación hay que construir una deducción en DNP de la fórmula q a partir del conjunto de premisas {(p q), ( p q)}. Estrategia: se colocan las premisas como comienzo de la deducción, y luego se intenta una reducción al absurdo (se supone q y se trata de encontrar una contradicción). 1. (p q) premisa 2. ( p q) premisa 3. q supuesto: para hacer la reducción al absurdo, busco una contradicción 4. p supuesto: se eliminará por reducción al absurdo y obtendremos p 5. q MP 1, 4 (importante: aunque ya tenemos q, hay que cerrar los supuestos) 6. (q q) IC 5, 3 7. p RA 4-6 (con esto se cierra el supuesto 4) 8. q MP 2, 7 (otra vez tenemos q, pero queda un supuesto sin cerrar) 9. (q q) IC 8, q RA 3-9 (con esto se cierra el supuesto 3) 11. q DN 10

6 6 7. Reconstruir y formalizar, y demostrar validez por reduccion al absurdo: a) Reconstrucción del argumento (se elimina lo que sobra, se añade lo que falta, y se ordenan premisas y conclusión): Premisa: Si como rábanos tengo acidez de estómago, y si tengo acidez de estómago me dejo llevar por la ira. Premisa: Si me dejo llevar por la ira me arrepiento. Conclusión: Por tanto, si como rábanos me arrepiento. (Atención: la conclusión era el enunciado que aparecía al comienzo del argumento.) b) Formalización del argumento reconstruido: ((p q) (q r)), (r s) (p s) (clave: p=como rábanos; q=tengo acidez; r=me dejo llevar por la ira; s=me arrepiento) c) Demostración de validez por reducción al absurdo (suponer lo contrario de lo que se quiere demostrar y llegar a una contradicción, que demuestra que esa suposición esa falsa, por absurda): Suponemos lo contrario de lo que queremos demostrar: que el argumento es inválido. Sacamos consecuencias: eso quiere decir que existe alguna asignación en la que todas las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa (por definición de validez). Llamemos ν a esa asignación: ν[((p q) (q r))]=v ν[(r s)]=v ν[(p s)]=f Para que un condicional sea falso, sabemos que su antecedente tiene que ser verdadero y su consecuente falso. Y para que una conjunción sea verdadera, sabemos que las dos partes tienen que ser verdaderas. Sabemos, por tanto, que en esa asignación ν debe ocurrir: ν[(p q)]=v ν[(q r)]=v ν[p]=v ν[s]=f Ahora, para que un condicional sea verdadero pueden ocurrir tres cosas (o que sea falso el antecedente y verdadero el consecuente, o que sean verdaderos los dos, o que sean falsos los dos). Por eso, en lugar de asignar valores "a ciegas" a las partes del condicional, se sustituye alguna variable por el valor que acabamos de obtener (sabemos ya que ν[p]=v). Al sustituir en (p q), tenemos ν[(v q)]=v Para que sea verdadero un condicional cuyo antecedente es verdadero, el consecuente debe ser también verdadero: ν[q]=v. Usamos este nuevo valor para otra sustitución: Al sustituir en (q r), tenemos ν[(v r)]=v Para que sea verdadero un condicional cuyo antecedente es verdadero, el consecuente debe ser otra vez verdadero: ν[r]=v. Usamos este nuevo valor para la última sustitución: Al sustituir en (r s), tenemos ν[(v s)]=v Otra vez, para que sea verdadero un condicional cuyo antecedente es verdadero, el consecuente debe ser verdadero: ν[s]=v. Pero más arriba teníamos que ν[s]=f. En nuestra semántica no puede ocurrir que una misma asignación dé a una fórmula el valor verdadero y el valor falso. Esta es la contradicción que buscábamos. Por tanto, negamos la hipótesis que nos ha llevado a esta contradicción, y concluimos: el argumento es válido.

7 8. Preguntas sobre el texto: a) En este fragmento, Pedro Hispano se ocupa de sintaxis o de semántica? Se ocupa de ambas: - de sintaxis, cuando explica la estructura de los distintos tipos de proposición hipotética (condicional es aquella en la cual se unen dos categóricas mediante la conjunción si, etc.) - de semántica, cuando explica lo que se requiere para la verdad de cada uno de los tipos de proposición hipotética. 7 b) Aunque Pedro Hispano no usa fórmulas en su análisis del lenguaje, qué par de nociones se corresponde (aproximadamente) con nuestra distinción entre fórmula atómica y molecular? Nuestras proposiciones atómicas se corresponden con las proposiciones categóricas (ejemplo: un hombre corre). Nuestras proposiciones moleculares se corresponderían con las hipotéticas (ejemplo: condicionales, conjunciones, disyunciones), aunque las hipotéticas de Pedro Hispano no incluyen todas nuestras moleculares (no incluyen, por ejemplo, negaciones, y tampoco aquellas cuyas subfórmulas sean a su vez compuestas). c) Qué noción se corresponde con nuestra noción de subfórmula inmediata? La noción de parte principal de una proposición ('parte' se correspondería con 'subfórmula' y 'principal' con 'inmediata'). d) Es la semántica de Pedro Hispano funcional-veritativa? Explicar. No del todo: - La semántica de la proposición condicional es claramente no funcional-veritativa. Las condiciones de verdad de los condicionales no se expresan en términos de la verdad o falsedad de sus partes, sino en términos de su poder tener ciertos valores a la vez. No basta, por tanto, con saber qué valor de verdad tienen de hecho las partes del condicional para saber si es verdadero o falso, sino que hay que conocer también en qué relación están. Usando los ejemplos: "Si un hombre existe, un animal existe": para saber que es verdadero, no nos fijamos en que "un hombre existe" es verdadero y "un animal existe" también es verdadero, sino en que la relación entre ambos enunciados es tal que el primero no podría ser verdadero sin que lo fuera el segundo. Por eso un condicional verdadero es necesario (es decir, nunca puede ser falso, aunque cambien los valores de verdad de sus partes, porque lo que importa no son los valores sino la relación). "Si Sócrates existe, algo blanco existe": para saber que es falso, no nos fijamos en si "Sócrates existe" es verdadero y "algo blanco existe" es verdadero, sino en que la relación entre ambos enunciados es tal que podría ocurrir que el primero fuera verdadero pero no lo fuera el segundo. Por eso un condicional falso es imposible (es decir, nunca puede ser verdadero, aunque cambien los valores de verdad de hecho de sus partes, porque lo que importa no son los valores sino la relación: aunque Sócrates exista y algo blanco exista, o aunque Sócrates no exista y algo blanco exista, eso no hace verdadero al enunciado, porque sigue siendo posible que Sócrates exista pero no exista nada blanco). - La semántica de la copulativa sí parece funcional-veritativa, análoga a la de nuestro conjuntor: para la verdad se exige la verdad de las dos partes (primera línea de nuestra tabla de verdad del conjuntor), y para la falsedad basta con la falsedad de una (segunda a cuarta líneas de nuestra tabla de verdad del conjuntor).

8 - La semántica de la disyuntiva parece funcional-veritativa, porque también establece su verdad o falsedad en términos de la verdad o falsedad de las partes, y nada más. 8 e) La disyunción de Pedro Hispano es inclusiva o exclusiva? Explicar. Parece inclusiva, puesto que la única manera de ser falsa es cuando sus dos partes son falsas (cuarta línea de nuestra tabla de verdad de ). Sin embargo, al comentar que "no es lo más adecuado" que las dos partes sean verdaderas, parece que está admitiendo que en el lenguaje natural lo más corriente es un uso exclusivo de la disyunción (que sería verdadera cuando una de las dos partes, pero no ambas, es verdadera). f) Por lo que dice el texto, parece haber algún presupuesto de nuestra semántica que sea compartido por Pedro Hispano? Aunque no lo dice explícitamente, parece que en principio su semántica también es bivalente, puesto que habla solamente de dos valores de verdad, verdadero y falso, y en todos los análisis asigna uno y sólo uno de ellos a cada enunciado. g) Si Pedro Hispano no usa fórmulas, tampoco usa tablas de verdad para definir el significado de los nexos, pero podrías reconocer el elemento que, en su análisis, se correspondería con nuestra última línea de la tabla de verdad de la disyunción? Como no usa fórmulas, sino ejemplos de enunciados concretos con una determinada estructura, tampoco usa asignaciones, sino ejemplos de enunciados con un valor de verdad concreto. La última línea de la tabla de verdad de la disyunción, la (F F)=F, se correspondería con el ejemplo "Un hombre es un asno o un caballo es piedra", donde Un hombre es un asno=f y Un caballo es piedra=f. h) Por qué crees que Pedro Hispano no hace aquí un análisis del nexo "no"? Porque está analizando las proposiciones hipotéticas (es decir, las compuestas de dos categóricas mediante ciertos nexos), y para él la negación no es un nexo entre enunciados (el negador de LP sí se considera "nexo", porque construye proposiciones "compuestas").