LOGICA MATEMATICA. El dar un juicio nos permite comparar las características primarias o secundarias del objeto o termino y valorarlas

Transcripción

1 DEINICIÓN ETIMOLÓGICA DE LÓGICA EL término LOGICA viene de dos voces griegas: Logos, que significa palabra, tratado, pensamiento o razón e icos que significa relacionado con, por lo tanto lógica significa etimológicamente lo que tiene relación con el pensamiento o la razón. El ser humano tiene la capacidad de pensar en todo momento y ejerce esta capacidad de forma continua y dentro del pensar conceptualiza, toma juicios y razona, y son estos, los principios que la lógica utiliza para la comprensión del mundo que nos rodea, lo cual realiza a través del lenguaje, comunicando sus pensamientos en forma de códigos, traducidos en palabras, escritos, movimientos corporales, señales etc. El conceptualizar es enumerar las características esenciales del objeto, o termino lo cual nos permite definirlo (entendiendo por objeto todo aquello que existe de forma real o irreal) El dar un juicio nos permite comparar las características primarias o secundarias del objeto o termino y valorarlas El razonar es encontrar las relaciones intrínsecas o extrínsecas entre dos o más objetos y/o términos (aunque en algunos casos estas relaciones parecieran no existir) y es el razonar el objeto de estudio de la lógica. Semiescolarizado Prepa 2 Página 1

2 TIPOS DE RAZONAMIENTO Existen tres tipos de razonamiento: 1.- El deductivo o silogismo en donde se analizan las cuestiones generales del todo y se aplican los razonamientos a un objeto en lo particular (la conclusión se obtiene de las premisas), este tipo de razonamiento es muy aplicado en todas las ciencias y muy en particular en las ciencias formales como las matemáticas. 2.- El inductivo, en este razonamiento se aplica a la inversa del anterior (deductivo) ya que se relacionan los objetos en lo particular, para generalizar las relaciones o características, este razonamiento es utilizado principalmente en la investigación científica y en las ciencias experimentales para generar leyes. 3.- Razonamiento análogo se aplica en concluir características entre los objetos en relación de uno a uno, por lo cual sus conclusiones son probables sin embargo es la base para ciencias de probabilidad como la estadística. Semiescolarizado Prepa 2 Página 2

3 ALGEBRA DE PROPOSICIONES Lógica matemática Esta lógica es llamada indistintamente logística, lógica simbólica o lógica matemática. El primer nombre enfatiza que es diferente a la tradicional (ciencia que enseña a relacionar con exactitud). Simbólica hace notar que se utiliza en lenguaje artificial; y matemática señala sus relaciones con dicha ciencia. Proposiciones Una expresión verbal o escrita de un juicio es una proposición. Se puede decir que la proposición es: a) Un enunciado verbal o escrito b) Que contiene un sujeto, un verbo y un complemento c) Susceptible de determinar su verdad o falsedad. Ejemplos: Porfirio está estudiando lógica? Sujeto verbo complemento Sin embargo no es proposición, porque no se sabe si es verdad o no Hoy, 28 de noviembre No es proposición no hay verbo Hoy es 28 de noviembre Si es proposición Qué buen día! No es proposición Semiescolarizado Prepa 2 Página 3

4 CLASES DE PROPOSICIONES Las proposiciones pueden ser: a) Afirmativas por ejemplo: ella viajara a Europa b) Negativas por ejemplo: Juana no comerá carne c) alsas: no se apegan a la realidad: México tiene 5 millones de habitantes d) erdaderas: corresponden a la realidad: Toluca es capital de estado. e) Abiertas: el sujeto no está definido: El irá pronto a Suiza. f) Cerradas: con sujeto bien determinado: Juan regatea poco g) Simples: tienen un solo sujeto, un solo verbo y un solo complemento: Delia es estudiosa. El lunes es día festivo h) Compuestas: más de un sujeto, verbo o complemento. Emplean conectivos: Andrés y Antonio trabajan en una mueblería. Conectivos En la formación de las proposiciones compuestas a partir de las proposiciones simples, se emplean términos que conectan dichas proposiciones simples. Esos términos reciben el nombre de conectivos. El siguiente cuadro contiene los principales conectivos: Obsérvese que para indicar una proposición simple se han empleado letras minúsculas: p, de proposición y las proposiciones siguientes se utilizan las siguientes letras del abecedario, q, r etc. Una proposición simple como: Eugenio da clases, puede indicarse con la letra p. CONECTIOS SÍMBOLO SE LEE EJEMPLO SE LEE CONJUNCIÓN Y p q Pe y cu DISYUNCIÓN O p q Pe o cu IMPLICACIÓN Si entonces P q Si no pe entonces cu DOBLE IMPLICACI Si y solo si p q Pe si y solo si cu Semiescolarizado Prepa 2 Página 4

5 Negación Existe además un modificativo que es adverbio No: niega la proposición a la que acompaña. Negación: su símbolo es ~ que se lee no, por ejemplo: ~ P, que se lee no pe TABLAS DE ERDAD El valor de verdad o de falsedad de una proposición compuesta, depende de la verdad o falsedad de las proposiciones simples que la forman. Estos valores de verdad o de falsedad se pueden determinar mediante las tablas de verdad que indican todos los casos posibles de verdad o de falsedad de las proposiciones simples. El número de combinaciones posibles de una tabla de verdad es n 2 donde n es el número de proposiciones simples. Para cada conectivo se define una tabla de verdad. TABLAS DE ERDAD DE LAS PROPOSICIONES Tabla de verdad para la conjunción Se han de tener dos proposiciones conectadas con y: ( ) es decir: p q la tabla es la siguiente: p q p q La proposición compuesta p q es verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas Ejemplo: si Marco va a pagar un piano y una guitarra, solo pagara cuando le entreguen el piano y la guitarra. Semiescolarizado Prepa 2 Página 5

6 Tabal de verdad para la disyunción ( ) Las proposiciones p y q están conectadas con la disyunción ( ), símbolo que se obtuvo de la inicial de la conjunción latina vel que significa o disyuntiva. En el lenguaje común corresponde a o La tabla es la siguiente: p q p q La proposición compuesta p q es falsa únicamente cuando ambas proposiciones simples son falsas cada una. Ejemplo: si Marco paga, le traigan un piano o le traigan una guitarra, solamente no pagara cuando le traigan nada. Otro ejemplo: Si una empresa desea contratar a un ingeniero o a un químico, contrata al Ing. ernández, o al Químico lores o al Ingeniero químico de la Peña. Tabla de verdad para la implicación, ( ) llamada también condicional p q p q La implicación p q es falsa solamente cuando el consecuente q es falso y el antecedente p es varadero. Ejemplo: p está lloviendo (antecedente) q hace frio (consecuente) p q si está lloviendo, entonces, hace frio. Semiescolarizado Prepa 2 Página 6

7 Ejemplo. Sea el siguiente enunciado "El coche enciende solo si tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería" Donde: p: El coche enciende. q: Tiene gasolina el tanque. r: Tiene corriente la batería. De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: p q r Tautología y contradicción. Algunos autores consideran la negación con un apostrofe en lugar del símbolo (~) Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación. p q p q p q q p (p q) (q p ) Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre v. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones. Semiescolarizado Prepa 2 Página 7