Lógica I modelo de examen (curso ) Ejemplo de respuestas

Transcripción

1 Lógica I modelo de examen (curso ) Ejemlo de resuestas 1 Para definir un lenguaje formal damos su alfabeto y sus reglas de formación: Símbolos rimitivos: - Variables roosicionales:, q, r - Conectivas: monádica N, diádicas C, K, A, E Reglas de formación: R1: Si a es una variable roosicional, a es una fbf de LL R2: Si a es una fbf de LL, entonces Na es una fbf de LL (Para que salgan como fbfs fórmulas como N Es muy imortante la cláusula "si a es una fbf", que garantiza que se uede volver a oner una N delante de cualquier cosa que obtengamos como fbf) R3: si a y b son fbfs de LL y * es una conectiva diádica, entonces *ab es una fbf de LL (Para que salgan como fbfs fórmulas como Cq Es muy imortante la cláusula "si a y b son fbfs", que garantiza que se uede volver a oner una C delante de cualquier ar de cosas que obtengamos como fbfs) R4 Ninguna otra secuencia de símbolos es una fbf de LL 2 a) FALSO La conclusión de un argumento deductivamente válido sí uede ser falsa Lo que hace deductivamente válido al argumento es la existencia de una relación de consecuencia entre remisas y conclusión, no los valores de verdad que se dan de hecho Lo que no uede ocurrir es que un argumento deductivamente válido tenga remisas todas verdaderas y conclusión falsa (orque la relación de consecuencia transmite necesariamente la verdad), ero si alguna remisa es falsa uede ser también falsa la conclusión (lo imortante es que si fueran todas verdaderas, sería verdadera la conclusión) b) VERDADERO Si A es una tautología, entonces es verdadera en toda asignación Si B es una fórmula contingente, entonces hay alguna asignación que la hace verdadera (y alguna que la hace falsa) Tomemos una asignación que haga verdadera a la fórmula B: en esa asignación también será verdadera la fórmula A (uesto que es verdadera en todas) Por tanto, en esa asignación serán verdaderas todas las fórmulas del conjunto {A, B} Pero si existe una asignación en la que todas las fórmulas del conjunto son verdaderas, entonces el conjunto es satisfacible 3 Para saber si el enunciado es verdadero, de acuerdo con el significado de nuestra flecha, tenemos que mirar a la tabla de verdad: (hay una vocal) q (hay un número ar) ( q) (si hay vocal, entonces hay ar) V V V V F F F V V F F V Tendremos que localizar a qué línea de la tabla de verdad corresonde cada carta ("los hechos del mundo real" son los que nos dicen en qué asignación estamos, y cada carta es un "hecho del

2 2 mundo": or ejemlo, una carta con un 2 y una A sería la asignación VV), y ver si en esa línea el enunciado es verdadero Pero, como hemos visto en clase, a veces no necesitamos conocer los valores de verdad de las dos artes del condicional ara saber su valor de verdad Por eso no necesitamos dar la vuelta a todas las cartas, basta con la cara que vemos ara saber el valor de verdad del condicional, indeendientemente de lo que haya en la otra cara Carta rimera: en una cara hay un número ar, es decir, el consecuente del condicional es verdadero (líneas rimera y tercera) Por la otra cara uede haber una vocal o una consonante, ero en cualquiera de los dos casos el enunciado es verdadero, así que no tengo que darle la vuelta a la carta Carta segunda: en una cara hay un número imar, es decir, el consecuente del condicional es falso (líneas segunda y cuarta) Por la otra cara uede haber una vocal o una consonante Si hay vocal, el condicional tiene antecedente verdadero y consecuente falso (y or tanto es falso), ero si hay consonante el condicional tiene antecedente falso y consecuente falso (y or tanto es verdadero) Así que sí tengo que darle la vuelta a la carta Tercera carta: en una cara hay una vocal, es decir, el antecedente del condicional es verdadero (líneas rimera y segunda) Por la otra cara uede haber un número ar o imar Si hay número ar, el condicional tendrá antecedente verdadero y consecuente verdadero (y será or tanto verdadero), ero si hay número imar, el condicional tendrá antecedente verdadero y consecuente falso (y será or tanto falso) Así que sí tengo que darle la vuelta a la carta Cuarta carta: en una cara hay una consonante, es decir, el antecedente del condicional es falso (líneas tercera y cuarta) Por la otra cara uede haber un número ar o imar, ero en cualquiera de los dos casos el enunciado es verdadero, así que no tengo que darle la vuelta a la carta En resumen: uedo conocer el valor de verdad del condicional sin darles la vuelta a todas las cartas, orque a veces el valor de verdad de una de las artes ya basta ara determinar el valor del comuesto, indeendientemente del valor de la otra arte 4 Consejo: inventar la fórmula lo más sencilla que sea osible, cumliendo las condiciones Inventar la fórmula: ( (( ) ( )) ) (tiene grado 7, al menos cinco conectivas distintas, su conectiva rincial es la flecha y su antecedente es negación de disyunción, y una de sus subfórmulas inmediatas es ) Árbol de formación: Asignación: ( ) ( (( ) ( )) ) (( ) ( )) (( ) ( )) ( ) Para que la fórmula sea verdadera, basta con que su consecuente sea verdadero (no imorta qué valor de verdad tome el antecedente) Y ara que sea verdadera, tiene que ser falsa Por tanto, la asignación ν()=f hace verdadera a la fórmula

3 5 Es imortante recordar que estamos en lógica roosicional: descomonemos los enunciados en enunciados simles y nexos entre enunciados simles No onemos nexos entre cosas que no sean enunciados, ni analizamos los enunciados simles "or dentro" a) ( q) =tú iensas mal q=tú aciertas (no es una conjunción, ues en una conjunción afirmamos las dos artes, y aquí no afirmamos que estés ensando mal ni que estés acertando) b) ( q) =Maui es un erro q=maui es un eluche (el nexo, que no aarece exlícito, debe ser una conjunción, ues estamos afirmando las dos cosas al mismo tiemo) c) ( q) =el sida es mucho menos contagioso que la grie q=el sida es mucho más eligroso que la grie (en lógica roosicional no odemos analizar los enunciados comarativos "or dentro") d) ( q) =las mariosas tienen las alas en buen estado q=las mariosas ueden volar (el antecedente del condicional, tanto directo como inverso, es siemre el enunciado que va con el nexo, sea "si" o "solo si", y es lo que debe colocarse siemre delante de la flecha, sea normal o inversa) e) (q ) =Julia canta con alba q=julia tiene un úblico entusiasta f) El enunciado es ambiguo, ero una osible lectura sería (r (( q) s)), que dice qué haré si me toca la lotería; o también ((r ( q)) s), que arece sugerida or la coma que sigue a lotería ; o incluso ((( (r q)) s) =te regalo el cuadro que te gusta q=viajamos juntos a Ithamaracá r=me toca la lotería s=dejo de llamarme Ernesto También se uede considerar el "cuando me toque la lotería" no como el antecedente de un condicional "si me toca la lotería, entonces " sino como un comlemento temoral, y en ese caso no lo analizamos, ues es una arte de un enunciado y no un enunciado: (( q) s) =te regalo el cuadro que te gusta q=viajamos juntos a Ithamaracá cuando me toca la lotería r=dejo de llamarme Ernesto 3 6 El silogismo disyuntivo tiene esta estructura: ( q), q Calculamos todas las asignaciones ara las variables roosicionales del argumento (son cuatro, orque hay dos variables), y alicamos las definiciones de las conectvas ara calcular el valor de verdad de cada fórmula en esas asignaciones q ( q), q V V V F V V F V F F F V V V V F F F V F Como en ninguna asignación ocurre que todas las remisas son verdaderas y la conclusión es falsa, quiere decir que hay relación de consecuencia y or tanto el argumento es válido 7 Suonemos que no existe relación de imlicación: entonces habrá una asignación en la que todas las fórmulas del conjunto serán verdaderas y la otra fórmula falsa Intentamos determinar cuál sería esa asignación Imortante: no sirve ara nada una lista de Vs y Fs, quien corrige debe oder saber de dónde han salido esos valores Para eso usamos las rayas horizontales, que indican cuándo no sabemos los valores (orque hay varias osibilidades y no odemos elegir sin más una de ellas) y tenemos que eserar a que salga algún valor or otro lado ara sustituirlo, y las indicaciones de qué estamos sustituyendo en cada

4 caso (Para mayor claridad, en este modelo de resuestas indico con las flechas azules el orden en el que he hecho las cosas) ( q) ( q r) (r s) (s ) V V V F (r s)=f 4 sust =V s=f =V (V q)=v q=v sust q=v (F r)=v r=v sust r=v (V s)=f s=f s=v Suuestamente, la asignación que satisface al conjunto ero hace falsa a la fórmula (s ) es la asignación =V, q= V, r=v, s=v/f Como no es osible que en una asignación una misma variable roosicional (s) tenga el valor V y F, la hiótesis que nos ha llevado a este absurdo es falsa, no existe ninguna asignación que hace satisface al conjunto ero hace falsa a la fórmula, y or tanto sí existe relación de imlicación 8 Consejo ara las tablas analíticas: construir la tabla ordenada y limia, que se vea bien or dónde va ramificándose Si es necesario, usar una ágina entera ara cada tabla, lo imortante es que quede todo claro Tabla a) 1 ((( q) r) (( r) (q r))) (( q) r) de 1 (( q) r) de 1 31 (( r) (q r)) de 1 32 (( r) (q r)) de 1 41 ( r) de (q r) de ( q) de r de de de r de q de q de ( r) 822 (q r)de 32 r de r 9221 q 9222 r 1011 ( q) 1012 r de 21 cerrada cerrada cerrada cerrada q cerrada cerrada cerrada

5 5 Nota sobre las ramas Una rama es todo el conjunto de fórmulas que va desde la número 1 hasta una de las fórmulas que no tienen otra debajo Por ejemlo: Rama 111: { ((( q) r) (( r) (q r))), (( q) r), (( r) (q r)), ( r), (q r),, r, q, r, ( q), } Esta rama está cerrada, orque contiene una fórmula y su negación:, Rama 212: { ((( q) r) (( r) (q r))), (( q) r), (( r) (q r)), ( q), r,, q, ( r), r} Esta rama está cerrada, orque contiene una fórmula y su negación: r, r Tabla b) 1 (( q) ( q)) 2 ( r) 3 ( r) de 2 41 ( q) de 1 42 ( q) de r de r de q de q de q de q de 42 Cerrada abierta abierta abierta cerrada abierta abierta abierta Ejemlos de ramas: Rama 122: {(( q) ( q)), ( r), ( r), ( q), r, q} Esta rama está abierta, orque no contiene una fórmula y su negación Rama 211: {(( q) ( q)), ( r), ( r), ( q),, } Esta rama está cerrada, orque contiene una fórmula y su negación:, 9 Formalización de los enunciados del anciano: ( q) ((r ) q) Que el régimen ueda resetarse es que uedan ser verdaderos a la vez los enunciados del anciano, es decir, que comongan un conjunto satisfacible Para comrobar que lo es, hacemos su tabla analítica y si queda alguna rama abierta, el conjunto será satisfacible 1 ( q) 2 ((r ) q) 31 (r ) 32 q de 2 41 r de q de 1 51 de de 421 rama cerrada 61 de 51 rama abierta q de de 711 rama abierta rama abierta Quedan tres ramas abiertas (solo se cierra la 22, que contiene q y q): el conjunto es satisfacible, y or tanto sí se uede resetar el régimen El conjunto de literales de cada rama define maneras osibles de hacer verdaderas a las fórmulas (asignaciones en las que las dos fórmulas son verdaderas) Por ejemlo, en la rama 12 tenemos r, y q: es decir, se ueden cumlir las normas del régimen con un menú que no contenga helado, sí contenga cerveza y también escado En la

6 6 rama 21 tenemos q y : es decir, se ueden cumlir las normas del régimen con un menú que contenga cerveza ero que no contenga escado (y el helado, a elegir) 10 Nota: es imortante razonar las resuestas, no contestar con una sola alabra a) Una ley lógica es una fórmula que cuenta siemre con el valor 1, al margen de cuáles uedan ser los valores de, q, r, etc, es decir, una tautología b) Por ejemlo, cuando habla de relaciones lógicas entre roosiciones, o cuando dice que, q, r reresentan roosiciones También se ve en la tabla de verdad que el análisis es en roosiciones simles y nexos entre roosiciones c) (( q) ( q )) Si hay duda sobre los aréntesis, la tabla de verdad debería bastar ara disolver la duda, ues en ella se reroduce el roceso de formación de la fórmula y queda claro qué es subfórmula de qué d)todas las combinaciones de valores veritativos (ara las variables roosicionales) son 2 n (donde n es el número de variables roosicionales), orque cada variable uede tomar dos valores (0 y 1), y estas osibilidades deben combinarse entre sí: cuando son dos variables 2 osibilidades ara la x 2 osibilidades ara la q=4; cuando hay tres variables 2 ara la x 2 ara la q x 2 ara la r = 8; cuando hay cuatro variables 2 ara la x 2 ara la q x 2 ara la r x 2 ara la s = 16 e) B Russell y A N Whitehead a rinciios del siglo XX f) No: el significado es lo que exresa la tabla de verdad corresondiente (es decir, la relación que esta función guarda con la verdad o falsedad de sus constituyentes y q ) P imlica q es una traducción aroximada de eso en el lenguaje natural g) Sí: hacer semántica es dar un contenido cualquiera a los signos del lenguaje, or ejemlo, los valores 0 y 1 ara las variables roosicionales Desués, esos valores ueden interretarse como verdadero y falso, o no h) Intuitivamente asociamos la noción de ley lógica con la de verdad universal, ero las leyes lógicas de un sistema son simlemente las fórmulas que tienen siemre el valor 1, y el valor de una fórmula deende de los significados de las funciones que intervengan, y el significado de cada función se establece dando su tabla de verdad: si elegimos significados distintos ara las funciones, tendremos como resultado leyes lógicas distintas