Ejemplo. Si en una reunión hay 3 hombres y 4 mujeres, de cuántas maneras es posible seleccionar una pareja hombre-mujer?

Transcripción

1 MATEMÁTICAS BÁSICAS ANÁLISIS CMBINATRI ANÁLISIS CMBINATRI CNTE Para calcular la cantidad de elementos ue tienen los conjuntos formados con ciertas reglas sin ue sea necesario saber enumerarlos uno a uno se utiliza el rinciio fundamental del conteo. Este rinciio establece ue si un evento uede tener lugar de m maneras diferentes y luego de sucedido éste un segundo evento uede suceder de maneras distintas el número de formas diferentes en ue ueden realizarse los dos eventos es: m Si en una reunión hay hombres y mujeres de cuántas maneras es osible seleccionar una areja hombre-mujer? Si h h h son los hombres y m m m m son las mujeres. Se arecia ue uede haber cuatro arejas en las ue h es el hombre otras cuatro en las ue h es el hombre y otras cuatro en las ue el hombre es h. De esta manera se concluye ue el número de arejas es + +. Si se establece ue e es el evento "elegir un hombre" y e al evento "elegir una mujer". Como e uede suceder de tres maneras diferentes y e de cuatro maneras diferentes la cantidad de maneras de formar una areja (esto es ue sucedan los eventos e y e ) es ( ). Consideremos el conjunto A { 5 } formar con los elementos del conjunto A? cuántos números de cinco cifras diferentes se ueden La rimera cifra uede elegirse de cinco maneras diferentes la segunda uede elegirse de cuatro maneras diferentes (no se uede usar el número colocado en el rimer lugar) la tercera de tres maneras diferentes la cuarta de dos maneras y la uinta de manera. Alicando el rinciio fundamental de conteo se obtiene: ( )( )( )( ) 0 5. El juego de lacas de un automóvil consta de tres dígitos de los cuales el rimero no es cero seguidas de tres letras diferentes. Cuántos juegos de lacas ueden formarse? (se consideran letras y 0 dígitos). La rimera letra uede elegirse de maneras diferentes lo mismo sucede ara las otras dos. En el rimer lugar de las cifras ueden colocarse 9 dígitos orue el cero no uede estar en el rimer lugar. En el siguiente lugar ueden colocarse 0 dígitos y lo mismo sucede en el tercer lugar. Alicando el rinciio de conteo la cantidad edida será: ( 0)( 0)( )( )( ) 5'

2 FACTRIAL DE UN NÚMER Se define como factorial de un número natural n al roducto de n or todos los números ue le receden. Se denota mediante n!: ( )( )( ) ( n )( n) n! Por definición el factorial de cero es uno: 0! El factorial de un número crece de forma muy considerable. Ejemlos: ( )( ) ( )( )( )( 5) 0 ( )( )( )( 5)( )( 7)( 8) 0 0 ( )( )( ) ( )( ) 8778'9 00! 5! 8!! RDENACINES Sea un conjunto de elementos distintos. Si de ellos se toman gruos ordenados de elementos diferentes a cada una de estas disosiciones se les llama ordenaciones de elementos tomados de en. Esto significa ue son las distintas agruaciones ue se ueden formar de manera ue dos diferentes agruaciones difieran de un elemento o en su orden. Dado el conjunto M{abcd} se uiere formar los tríos ordenados de elementos sin reetir. De cuántas maneras se uede hacer? Se forma una tabla con tres columnas. En la rimera se onen todos los elementos del conjunto. En la segunda los ares derivados de cada elemento y en la tercera las tercias derivadas de cada ar: a b c d ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb

3 De lo anterior se uede resaltar ue: Se han considerado distintas auellas disosiciones ue teniendo los mismos elementos estos se encuentran en distinto orden. Para cada elemento se obtuvieron tres disosiciones en forma de areja. Para cada areja se obtuvieron dos nuevas disosiciones en forma de tercia. A las disosiciones obtenidas al final se les llama ordenaciones de elementos tomados de entre dados. La cantidad obtenida es y se denota como: Suóngase ue se tiene un conjunto con elementos y ue se desea formar ordenaciones de elementos tomados de en. Siguiendo un criterio igual al usado en el ejemlo anterior se construye una tabla en la ue en la rimera columna se ubica a los elementos del conjunto tomándolos de uno en uno. En la siguiente columna se colocan todas las arejas osibles formadas or y los elementos ue uedan sin disoner en el conjunto. En la tercera columna se colocan las tercias formadas or las arejas y los elementos no usados. Así se uede continuar hasta formar los arreglos de orden. Para cada elemento el número de arejas ( ) número de tercias ( ) está dado or menos está dado or menos. Para cada areja el. Se arecia ue el roceso es sucesivo. Se uede concluir ue a artir de cada ordenación de orden se forman ( ) de orden. La cantidad obtenida será: [ ( )] recurrente ueda: [ ( ) ] 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 Siguiendo el mismo razonamiento y teniendo en cuenta ue ( ) + ue ermite calcular la cantidad de arreglos de elementos de orden : ordenaciones. Alicando esta fórmula de forma se llega a la fórmula ( )( ) ( + ) Multilicando y dividiendo or ( )! se obtiene:! ( )! Cuántas señales diferentes de cuatro colores ueden formarse con 7 reflectores de distinto color uestos en una línea?

4 7 7! 7 ( 7! ) Dados los dígitos 57 y 9. ( )( 5)( ) 80 a) Cuántos números de tres dígitos se ueden formar?! 70 El número de ordenaciones distintas es: 0 (! ) b) Cuántos números mayores de 00 se ueden formar? Para ue sean mayores de 00 se deben descartar los dígitos y de la cifra más significativa así ue ara la rimera cifra hay osibilidades ara la segunda hay 5 y ara la tercera hay. Así ue se ueden formar ( 5)( ) 80 números. c) Cuántos números menores de 00 se ueden formar? Para ue sean menores de 00 el rimer dígito debe ser ó. es decir sólo hay dos osibilidades. 5 5! 0 Para el segundo dígito uede ser cualuiera de los cinco restantes: 5 ( 5! )! Para el tercer dígito uede ser cualuiera de los cuatro restantes:! 5 Por lo tanto se ueden formar: ( 5)( ) 0 números. ( ) PERMUTACINES Dados n objetos diferentes a a a a n de cuántas maneras es osible ordenarlos? Por ejemlo ara los elementos α β γ hay ordenaciones: αβγ αγβ βαγ βγα γαβ γβα. En el caso general se tendrán n maneras de escoger un elemento ue ocuará el rimer lugar n maneras de elegir el ue ocuará el segundo lugar n formas de escoger el ue ocua el tercer lugar y así sucesivamente hasta tener una forma de elegir el ue ocua el último lugar. Por lo tanto la cantidad de maneras de ordenar n elementos diferentes es: n ( n )( n ) n!. Cada ordenación de los n objetos se llama una ermutación simle de los n elementos y la cantidad de estas ermutaciones se reresenta P. De esta manera P n n!. Es decir las ermutaciones son las agruaciones de los elementos n tomados a la vez de manera ue dos agruaciones difieran entre sí en el orden de los elementos. Se uede concluir a artir de lo anterior ue las ermutaciones son un caso articular de ordenaciones cuando se consideran todos los elementos del conjunto. Cuántos son los anagramas (transosiciones de letras) de la alabra PRÁCTIC? Cada anagrama de PRÁCTIC es nada más ue una ordenación de las letras P R A C T I C. De esta manera la cantidad de anagramas de la alabra PRÁCTIC será P 8! Cuántos son los anagramas de la alabra PRÁCTIC ue comienzan y terminan en consonante?

5 Como la alabra tiene ocho letras y hay tres vocales la consonante inicial uede ser elegida de 5 maneras. Al emezar con una consonante la consonante final sólo uede elegirse de formas. Las restantes ueden ser arregladas entre esas dos consonantes de P! 70 formas. La resuesta es: ( )(! ) En un arue de cuántas maneras ueden sentarse cinco chicos y cinco chicas en cinco bancas ara dos de modo ue en cada banca ueden un chico y una chica? El rimer chico uede escoger un lugar de 0 formas el segundo de 8 maneras el tercero de modos el cuarto de formas y el uinto de maneras. Colocados los chicos debemos colocar las 5 chicas en los 5 lugares ue sobran lo ue uede ser hecho de P 5! 0 formas. La resuesta es: ( 8)( )( )( )( 5! ) CMBINACINES Sea el conjunto: B {mno} Todos los subconjuntos ue tienen tres elementos son: {mno} {mn} {mn} {mo} {mo} {m} {no} {no} {n}{o}. La elección de los elementos de los subconjuntos uede ser efectuada considerando las ordenaciones de cinco elementos tomados de en. Sin embargo algunos subconjuntos serían considerados diferentes siendo idénticos or ejemlo los subconjuntos {mno} {mon} {nmo} {nom} {omn} {onm}. Esto sucede orue en las ordenaciones son diferentes auellas disosiciones ue tienen los mismos 5 5! elementos en diferente orden. Esto significa ue la cantidad 0 está contando cada ( 5! ) subconjunto una vez ara cada ordenación diferente de sus elementos. Como en cada subconjunto los elementos ueden ser ordenados de! 5 0 P formas el total de subconjuntos será 0 P Definición: Dado un conjunto A con elementos se denomina combinaciones de elementos tomados de en (con ) a todos los subconjuntos de elementos cada uno tomados de entre los dados. Esto significa ue son todas las diferentes agruaciones ue ueden formarse de tal manera ue desde dichas agruaciones difieran entre sí en al menos un elemento. Se denota mediante o como C. Generalizando considerados los arreglos de elementos tomados de en se debe descartar auellos ue teniendo los mismos elementos están disuestos en distinto orden. Entonces resulta:. P! ( )!! 5

6 Cuántas ensaladas conteniendo exactamente cuatro frutas se ueden hacer si se disone de diez frutas diferentes? Para hacer una ensalada basta escoger cuatro de las diez frutas lo ue uede ser efectuado de 0 0! 0!! ( 0 ) ( 9)( 8)( 7) 0 formas. De cuántas formas uede escogerse un comité comuesto de cuatro hombres y tres mujeres de un gruo de ocho hombres y seis mujeres? De los ocho hombres se ueden escoger cuatro: De las seis mujeres se ueden escoger tres: ( 7)( )( 5) 8 8! 8 ( 8!! )! ( 5)( ) 0 (!! ) maneras. Por lo tanto la forma en ue el comité uede escogerse es: ( ) 00 maneras. Se marcan cinco untos sobre una recta r y ocho untos sobre otra recta s aralela a r. Cuántos triángulos existen con vértices en tres de esos trece untos? Para determinar un triángulo se debe tomar un unto sobre r y dos sobre s o uno sobre s y dos sobre r. 8 El número de triángulos en el rimer caso es: 5 5 El número de triángulos en el segundo caso es: La resuesta será: RDENACINES CN REPETICIÓN Cuando se exuso el subtema de ordenaciones se suuso ue los elementos se disonían sin reetir (las ordenaciones simles o sin reetición). Ahora se abordará el caso en ue un mismo elemento ueda aarecer reetido en una misma ordenación. Sea el conjunto A {abcd}. Siguiendo un razonamiento análogo al de la formación de las ordenaciones simles se disonen las ordenaciones con reetición:

7 a b c aa ab ac ba bb bc ca cb cc aaa aab aac aba abb abc aca acb acc baa bab bac bba bbb bbc bca bcb bcc caa cab cac cba cbb cbc cca ccb ccc Se arecia ue en la rimera columna se colocaron los elementos en la segunda las ordenaciones de dos en dos y en la tercera las ordenaciones de tres en tres. En este caso or cada elemento se obtienen tantas ordenaciones con reetición como elementos hay en el conjunto. Las ordenaciones con reetición de elementos tomados de entre dados es 9 y las ordenaciones con reetición de elementos tomados de entre dados es 7. Las ordenaciones con reetición se denotan como: R De esta manera si se tienen elementos las ordenaciones con reetición con orden el resectivo serán: R R ( ) ( )( ) R y así sucesivamente or lo ue: R Con una cerradura de combinación de seis discos de diez letras cada uno (las mismas letras en cada disco) cuántas disosiciones ueden obtenerse? Serán las ordenaciones con reetición de diez letras tomadas de seis en seis. Por lo tanto: R 0 0 '

8 CMBINACINES CN REPETICIÓN De forma análoga a las ordenaciones se uede suoner ue en una combinación un determinado elemento ueda figurar varias veces es decir se tratan de combinaciones con reetición. La cantidad de combinaciones con reetición de elementos tomados de en se denota como CR. Este número uede ser evidentemente mayor ue el de las combinaciones simles de elementos tomados de en. Para observar cómo se forman estas combinaciones considérense los elementos a b y c. Para obtener las combinaciones de orden dos con reetición será necesario agregar a las combinaciones simles de orden dos ab ac bc los nuevos gruos donde una misma letra uede figurar hasta dos veces o sea aa bb cc teniendo en total las combinaciones con reetición de orden dos: aa ab ac bb bc cc. Se deduce ue las combinaciones de orden dos con reetición de elementos se obtienen agregando sucesivamente a la derecha de cada combinación de orden uno dicho elemento y cada uno de los subsecuentes. A artir de lo anterior se uede concluir ue ara formar las combinaciones con reetición de elementos tomados de en se forman las de orden anterior y a la derecha de cada una de estas se coloca sucesivamente el último de los elementos ue figura en ella y cada uno de los siguientes hasta el último de los elementos dados suuestos alineados los elementos de cada gruo en orden numérico o alfabético. La exresión ue ermite calcular la cantidad de combinaciones con reetición es: Dados los elementos: { } obtener: P a) b) R R c) d) e) CR CR CR f) Mostrar cada caso. a)! P! (! )! (! )! c) ( )!! ( )! (!! ) ( )!! CR b) ( )! (!! ) ( ) ( + ) (! )!!!! ( )! (!! ) ( ) 8

9 d) e) R R ( ) +! ( +! ) 0 CR CR 0 CR!!!! ( ) ( ) ( ) ( ) f) a) { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } P b ) { } { } { } { } ( +! ) 70 (!! ) ( ) b ) { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } b ) { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } b ) { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } P c ) { } { } { } { } C c ) { }{ } { } { } { } { } C c ) { } { } { } { } C c ) { } C d ) { } { } { } { } R d ) { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } R e ) { } { } { } { } CR e ) { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } CR 0 e ) { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } CR 0 0 9