ÁREA: BÁSICA CLAVE DE LA ASIGNATURA: LA 102

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1 MATEMÁTICAS ÁREA: BÁSICA CLAVE DE LA ASIGNATURA: LA 102 OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DE LA ASIGNATURA: Al término del curso, el alumno analizará los principios de las matemáticas; aplicará los mismos como herramientas para operar en los comportamientos estadísticos, económicos y en particular los administrativos, dentro de las organizaciones. 1. Matemáticas Las matemáticas surgen de la necesidad del ser humano por entender y solucionar los diversos problemas que surgen en su entorno, desde la repartición de bienes, ventas, conteo de animales, etc. Los primeros números surgieron hacia el año 3,000 a.c. mediante la abstracción de los objetos que se contaban. Ya en el 1,650 a.c. existe un importante tratado en el que se hace todo tipo de afirmaciones y deducciones matemáticas, esto se hace constar en el Papiro de Rhind, el cual se cree fue escrito por Ahmes. 1.1 Definición de matemáticas De acuerdo al Diccionario de la lengua española (DRAE), la matemática es definida como: (Del lat. mathematĭca, y este del gr. τὰ μαθηματικά, der. de μάθημα, conocimiento). 1. f. Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones. U. m. en pl. con el mismo. Otros autores la definen como René Descartes: "La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles." María Moliner: Ciencia que trata de las relaciones entre las cantidades y magnitudes y de las operaciones que permiten hallar alguna que se busca, conociendo otras. Galileo Galilei: "Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo". "Las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza" 1

2 1.2 Sistemas numéricos Para el estudio de los diferentes clases de números partiremos del siguiente esquema: l rimer encuentro con los n meros surge de la necesidad de cuantificar mediante los n meros naturales, ue son un con unto infinito, formado or los s m olos,,,,, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...}. En esta cuantificaci n, ara disminuir se agregan los n meros enteros... -, -, -, -,,,,,,.... ste con unto de s m olos se o tiene a artir de los n meros naturales a adiendo los o uestos ara la o eraci n suma. n esta e oluci n, el siguiente aso es articionar, de este modo surgen los n meros racionales. os n meros racionales se o tienen a artir de los enteros a adiendo los inversos multiplicativos. os n meros ue no admiten una re resentaci n como racionales, es decir, ue no se ueden e resar como cociente de dos n meros enteros se denominan n meros irracionales, or e em lo el n mero or ltimo, la uni n de los n meros racionales con los irracionales define al con unto de los n meros reales. N s Naturales os n meros naturales se resentan en todas las acti idades del ser humano, y se definen como cual uiera de los n meros ue ermiten contar los elementos de un con unto. omo se indic, este con unto est formado or los s m olos,,,,,,, 8, 9, 10, 11, 12,...} y se denota por la letra. n n mero natural es primo si es mayor ue y s lo es di isi le or s mismo y or la unidad. n otras ala ras, un n mero rimo no uede ser construido del roducto de dos n meros distintos de l y de la unidad; 2

3 on res ecto a los n meros naturales, los n meros enteros son una am liaci n de este con unto, agregando los n meros ue son el resultado de restar a un n mero natural otro mayor. s, los n meros enteros que se denotan por, se definen como el con unto formado or los n meros...-,-,-,-,,,,,,.... lgunos n meros enteros son 123, -456, 7, -8 y 10. Operaciones fundamentales y sus propiedades En se tienen dos operaciones: + : ue se denomina suma (o adici n) que se denomina roducto (o multi licaci n). Estas operaciones son cerradas, es decir, el resultado de cualquiera de ellas vuelve a ser un n mero entero. dem s, y cumplen las siguientes propiedades: Conmutatividad: a + b = b + a y a b = b a, para cada. Asociatividad: a+(b+c) = (a+b)+c y a(b c) = (a b)c, para cada. Existencia de elemento neutro: Existen los elementos 0 y 1 tales que a + 0 = a y a 1 = a, para cada. Existencia de inversos aditivos: Para cada e iste un nico, tal que a+(-a)=0. Ley de cancelaci n Para cada, si a b=a c entonces b = c. n los n meros enteros se esta lece la relaci n de orden menor ue (<)" y "mayor que (>)", de tal forma que para a, b dos enteros cualquiera, a es menor que b o mayor ue si e iste un n mero natural, tal ue, a+c=b y se denota or a<b o a>b. Números Racionales El concepto de divisibilidad se establece a partir de los n meros enteros, y es sico en la definici n de los n meros racionales. Dados dos n meros enteros a, (con ) se dice que b divide a a, lo que se denota como a/b, si existe un entero c, tal que bc=a. on la definici n anterior, y como ya se ha descrito, los n meros racionales son a uellos ue resultan de un cociente entre dos n meros enteros de manera intuiti a, ro ienen de la necesidad de cuantificar una parte de un todo; la letra denota a este conjunto: { } 3

4 Operaciones fundamentales y sus propiedades as o eraciones de suma, resta, multi licaci n y di isi n en los n meros racionales son cerradas, es decir, el resultado de una o eraci n con cual uier ar de n meros racionales dar como resultado un racional. l siguiente teorema determina la manera en la ue se de en o erar los n meros racionales. ean a/b y c/d n meros racionales con Entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rracionales u l es la relaci n entre la longitud de una circunferencia cual uiera con su di metro, cu nto mide la diagonal de un cuadrado de lado unitario ara resol er este ti o de ro lemas ue no admiten una re resentaci n del n mero racional con n meros de decimales finitos o eri dicos, es necesario am liar el conce to de n mero a otro con unto denominado n meros irracionales. ntonces, ara la relaci n entre la longitud de una circunferencia y su di metro se tiene al n mero irracional denominado i, ue se denota or y tiene un valor aproximado de: n el segundo lanteamiento, y a licando el teorema de it goras, un alor de la diagonal de un cuadrado unitario est dado or para el cual se tiene la siguiente a ro imaci n l con unto de los n meros reales resulta de la uni n del con unto de los n meros racionales con el con unto de los n meros irracionales. ero, cu l es el con unto de los n meros irracionales ara res onder esta interrogante, se anali ar n las siguientes situaciones, as como la necesidad de los n meros irracionales. Operaciones fundamentales y sus propiedades on el enfo ue a iom tico, se esta lece ue el sistema de los n meros reales es un conjunto que se denota por, ue contiene m s de un elemento y tiene dos o eraciones sicas adici n (denotada or ) y multi licaci n (denotada or ), que cumplen los siguientes axiomas: 4

5 Conmutativo: a + b = b + a y ab = ba, para todo. Asociativo: a+(b+c) = (a+b) + c y a(bc) = (ab)c, para todo. Distributivo:a(b+c)=(ab)+(ac)y(b+c)a=(ba)+(ca), para todo Existencia de elemento neutro: Existen los elementos 0 y 1, tales que a + 0 = a y a 1 = a, para cada Existencia de inversos: o Aditivos, para cada e iste un nico tal que a + (-a) = 0. o Multiplicativos, para cada distinto de cero, e iste un nico elemento denominado el inverso multiplicativo denotado por tal que ( )( ) Finalmente, se enuncian algunas de las ro iedades de los n meros reales ey de cancelaci n del roducto ara todo con, si ab = ac, entonces b = c. ey de cancelaci n de la suma ara todo, si a + b = a + c, entonces b = c. elaci n de orden n el con unto de los n meros reales hay una relaci n de orden ue e tiende la relaci n de orden de los n meros naturales, enteros, racionales e irracionales. alor a soluto l alor a soluto de un n mero real a, es el n mero real no negativo, y como se ha descrito su notaci n es a. Distancia entre dos reales a distancia entre a y n meros reales, es el n mero real no negati o dado or el alor a soluto de su diferencia a. Desigualdad triangular i a y son dos n meros reales cualquiera, se cumple la desigualdad denominada desigualdad triangular. ustracci n i a y son n meros reales, entonces a menos a b = a +(-b). Di isi n i a y son n meros reales con, entonces a entre ( )( ). ey de los signos a multi licaci n y la di isi n de dos n meros reales distintos de cero es un n mero ositi o si am os tienen el mismo signo, y es un n mero negativo si tienen diferente signo. 1.3 Referencias Astorga, Alcides (1984) La Función Exponencial y la Función Logarítmica. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Costa Rica. Becerra, Manuel. (2011). Ley de exponentes y logaritmos. acultad de ontadur a y dministraci n.. México, Distrito Federal. Rico, Carlos. (2012). Álgebra. RED TERCER MILENIO S.C. Estado de México, México. 5