Qué es la lógica? Lógica matemática. Introducción. La lógica de proposiciones (enunciados) El lenguaje de la lógica

Transcripción

1 Qué es la lógica? El la ciencia de los rinciios de la validez formal de los razonamientos. Dicho de otra forma, trata de establecer unas leyes que, si las seguimos, siemre razonaremos bien. Hay que diferenciar entre verdad (lo que dices se corresonde con lo que asa: ahora estoy desierto ) y la validez (cuando un razonamiento es correcto, cuando la conclusión se sigue de las remisas). La lógica se centra en la validez. Esto vale ara la lógica aristotélica (los modos del silogismo AAA, EAE, AII, etc.) y ara la lógica formal (o matemática). Nos vamos a centrar en la lógica matemática. Lógica matemática Introducción Realmente es fácil, imagínate que te quiero enseñar un juego del que desconoces casi todo (el ajedrez). Para hacerlo tendría que exlicarte (definirte) rimero los elementos con los que vamos a jugar (el tablero, las iezas) luego exlicarte las reglas (los movimientos legales de las iezas) y desués se trataría de onerse a jugar y coger destreza. Otro ejemlo (mejor que el anterior) son las matemáticas. Imagínate que quiero exlicar matemáticas desde el rinciio a un extraterrestre. Tendría que exlicarle los símbolos que se emlean ( 1, 2, 3, 9, 0, +, -, etc) y cómo se combinan entre sí, y cómo se calcula (las reglas de la suma, resta, etc). En realidad lo que te voy a exlicar es muy arecido. Un lenguaje nuevo, con símbolos nuevos y reglas nuevas. Vamos allá. La lógica de roosiciones (enunciados) Para qué sirve la lógica, qué sentido tiene: Como te decía al rinciio la lógica busca la forma correcta de razonar. Cuando nosotros razonamos lo hacemos en castellano (nuestra lengua materna, nuestro lenguaje natural). Aristóteles lo hacía también en su lenguaje natural. Resulta que el lenguaje natural da lugar a multitud de roblemas y equívocos (qué asa cuando x tiende a infinito) y muchas veces razonamos mal sólo or cula del lenguaje. Por esto se ha creado el lenguaje lógico que es mucho más reciso y si lo utilizamos bien es imosible que razonemos mal. Así imagínate que nos onen un razonamiento muy comlejo en castellano y nos reguntan si es válido. Lo asaríamos mal ara saber si es válido o no. Solución: Traducimos del lenguaje natural (castellano) al lenguaje lógico y utilizando este lenguaje nos resulta muy fácil saber si el razonamiento es correcto (válido) o no. El lenguaje de la lógica La lógica se desarrolla en forma de cálculo que está comuesto or tres elementos: 1. Un conjunto de símbolos elementales (de tres clases): a. Letras roosicionales. Son letras minúsculas a artir de la :, q, r, s, t, Reresentan roosiciones o enunciados (oraciones enunciativas, no exclamativas, ni desiderativas, ni interrogativas). Te recuerdo que una 1

2 oración enunciativa es aquella de la que se uede decir si es verdadera o falsa. Así ues cada letra roosicional reresenta una roosición (Hoy ha llovido) y, o bien es verdadera (V) o falsa (F), no uede ser una cosa intermedia, tamoco ueden ser verdadera y falsa a la vez. Algunas veces se emlean letras mayúsculas a artir de la A. Prácticamente es lo mismo, la diferencia es que una letra minúscula reresenta una roosición (es atómica) y una letra mayúscula reresenta una formula comuesta or varias roosiciones y conectivos (es molecular). b. Símbolos conectivos: Se llaman así orque se utilizan ara conectar (unir) letras roosicionales. Hay cinco símbolos: i. (negación). Su función es cambiar el valor de verdad de las letras roosicionales. Recuerda que cada letra (, q, ) uede ser verdadera o falsa. Si se one la negación antes de la letra el conjunto ( ) cambia de valor. En una tabla de verdad: V F F V Fíjate en las filas cuando es V, es F cuando es F es V ii. ^ (conjunción). Une dos letras. El resultado de la unión sólo es Verdadero cuando las dos letras son Verdaderas. En una tabla de verdad: q ^ q V V V V F F F V F F F F Te exlico lo de la tabla: uede ser V o F y q lo mismo (V o F). La tabla sirve ara analizar todas las osibilidades (cuando y q son verdaderas, rimera fila. Cuando es verdadera y q falsa, segunda fila. Cuando es F y q V, tercera fila. Cuando y q son ambas falsa, cuarta fila). Vemos como te había dicho antes que la conjunción ( ^ q, tercera columna) solo es verdadera cuando y q son verdaderas (rimera fila), en el resto de los casos es falsa. iii. v (disyunción). Une dos letras. El resultado de la unión sólo es falsa cuando las dos ( y q) son falsas. En un tabla de verdad: q v q V V V V F V F V V F F F iv. (imlicación). Une dos letras. El resultado de la unión sólo es falso si el antecedente (la letra que está a la izquierda de la imlicación) es verdadero y el consecuente (la letra que está a la derecha de la imlicación) es falso. En una tabla: 2

3 q q V V V V F F F V V F F V v. (doble imlicación). Une dos letras. El resultado de la unión es verdadero cuando los valores del antecedente y el consecuente coinciden (son los dos verdaderos o son los dos falsos a la vez). En una tabla de verdad: q q V V V V F F F V F F F V c. Símbolos ortográficos como los aréntesis o corchetes. Tienen la misma función que tienen en matemáticas. 2. Unas reglas de formación. Establecen como se unen los símbolos anteriores ara construir formulas bien formuladas. No creo que te las tengas que arender aunque son fáciles. 3. Unas reglas de transformación. Son las reglas del razonamiento, del cálculo. Permiten razonar, asar de una fórmula bien formulada a otra de forma correcta (válida). Aunque tienes que arender sus nombres, ya te las sabes si has arendido bien lo único que hay que arender de memoria en lógica: cinco frases que ya te he dicho y te reito or su imortancia: a. Si se one la negación antes de la letra el conjunto cambia de valor b. Una conjunción sólo es Verdadera cuando antecedente y consecuente son Verdaderos. En el resto de los casos es falsa c. Una disyunción sólo es falsa cuando antecedente y consecuente son falsos. En el resto de los casos es verdadera. d. Una imlicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En el resto de los casos es verdadera. e. Una doble imlicación es verdadero cuando los valores del antecedente y el consecuente coinciden (son los dos verdaderos o son los dos falsos a la vez). Cuando son distintos la doble imlicación es falsa. Las reglas se ueden resentar de muchas maneras y tienen muchos nombres, ero son siemre las mismas. Vamos a dividirlas en dos gruos: 1. Reglas de introducción. Añaden (introducen) un conectivo a la formula resultante. (En la conclusión hay un conectivo que no estaba en las remisas) 2. Reglas de eliminación. Quitan (eliminan) un conectivo a la fórmula resultante. (en la conclusión desaarece un conectivo que estaba en las remisas) 3

4 Reglas de introducción Regla de introducción de la doble negación (recuerda la rimera frase). Si una letra roosicional es verdadera su negación será falsa y la negación de la negación, será verdadera Regla de Introducción de la conjunción (RI^) q ^ q (recuerda la segunda frase) siendo V y q también V, odemos concluir que ^ q es V. Mira en la rimera fila de la tabla de verdad de la conjunción. Regla de Introducción de la disyunción (RIv) v q (recuerda la tercera frase). Para que una disyunción sea verdadera basta que uno de los dos (antecedente o consecuente) sea verdadero. En este caso si sabemos que es verdad odemos concluir que será verdad v(lo que sea) ya que es verdad. Mira las filas rimera y segunda de la tabla de verdad. Regla de introducción de la doble imlicación ( q) ^ (q ) q Reglas de eliminación Regla de eliminación de la negación, llamada también doble negación (recuerda la rimera frase). Una negación cambia el valor de verdad de la letra, una negación de la negación (dos negaciones) cambia el valor de la negación dejando el valor de verdad como estaba. Imaginemos que es verdad, será falso y será otra vez verdad. Regla de la eliminación de la conjunción (dos variantes) ^ q ^ q q (recuerda la segunda frase). Si la conjunción es verdadera antecedente y consecuente lo son, luego uedo concluir que serán verdad y también q. Primera fila de la tabla de verdad de la conjunción. Regla de eliminación de la disyunción (dos variantes) v q v q q q 4

5 No es fácil de ver al rinciio ero tu uedes (recuerda la tercera frase). Si sabes que una disyunción es verdadera y que el antecedente () es falso (si es verdadero,, que es el antecedente de la disyunción, es falso) q tiene que ser verdadero (si q fuese falso, la disyunción sería falsa orque, recuerda, también es falso y una disyunción con antecedente y consecuente falsos es falsa). Dicho de otra manera: como la disyunción es verdadera, or lo menos uno (antecedente o consecuente) tienen que ser verdaderos. Así si el antecedente es falso, el consecuente tiene que ser verdadero; y viceversa, si el consecuente es falso el antecedente tiene que ser verdadero. Al menos uno tiene que ser verdad, si te dicen que uno es falso, el otro tiene que ser verdadero. Mira las filas segunda o tercera de la tabla de verdad. Regla de eliminación de la imlicación (dos variantes). Reciben dos nombres eseciales Modus Ponens (MP) y Modus Tollens (MT) Modus onens q q (recuerda la cuarta frase). Si una imlicación es verdadera y el antecedente (en este caso ) es verdadero, el consecuente tiene que ser verdadero (si el consecuente fuese falso y el antecedente verdadero, la imlicación sería falsa. Mira la tabla de verdad, la segunda fila). Modus Tollens q q (recuerda la cuarta frase). Si una imlicación es verdadera y el consecuente (q) falso ( q verdadero), el antecedente () tiene que ser falso, o lo que es lo mismo ( tiene que ser verdadero). Mira en la tabla de verdad de la imlicación, la última fila. OJO! No confundir con otras formas no válidas de razonar: q q Te exlico or qué no es válida. Si la imlicación es verdadera y el antecedente falso ( verdadero), el consecuente uede se verdadero o falso (mira en las filas tercera y cuarta de la tabla de verdad). No se uede saber si q es verdadero o falso or lo que no uedes concluir que q es verdadero (como dice la conclusión) Tamoco es válido el siguiente razonamiento: q q Te exlico or qué. Si la imlicación es verdadera y el consecuente (q) es verdadero, no uedes saber cómo será el antecedente () ya que uede ser verdadero o falso. Por lo tanto no uedes concluir que es verdadero. 5

6 Regla de eliminación de la doble imlicación q ( q) ^ (q ) Otras reglas Hay muchas más. Yo te voy a oner algunas que son útiles ara resolver los roblemas que te onga. Al final lo que vas a tener que hacer es saber si una conclusión se sigue de una remisas. Te ondrán unas remisas y una conclusión y te edirán que demuestres si esa conclusión se sigue de esas remisas, utilizando las reglas. Veamos algunas: Estas rimeras sirven ara sustituir un conectivo or otro. Pueden ser útiles si no te acuerdas de alguna regla, cambiando el conectivo uedes alicar otra regla Interdefiniciones entre la disyunción y la imlicación A B A B A B A B Se uede cambiar una imlicación or una disyunción negando el antecedente. Se uede cambiar una disyunción or una imlicación negando el antecedente. Si haces las tablas de verdad veras que ambas formulas son iguales v q es igual que q. Demostración or tablas: (fíjate en las dos últimas columnas, son iguales. q q v q V F V V V V F F V V F V V V V F V F F F Leyes De Morgan. Son también interdefiniciones. Transforman conjunciones y disyunciones dentro de aréntesis recedidas de una negación en disyunciones y conjunciones: (A B) ( A) ( B) (A B) ( A) ( B) Si haces las tablas verás que son iguales las remisas (lo que están encima de la línea horizontal) que la conclusión (lo que está debajo de la línea horizontal). Otras regla es la conmutativa que se cumle en la conjunción, en la disyunción y en la doble imlicación (no en la imlicación ya que no es lo mismo q que q ). Otra regla es la de la transitividad de la imlicación: q q r r 6

7 Otras reglas un oco más comlicadas (orque tienen tres remisas y una conclusión) son los dilemas. Todos tienen la misma estructura: las remisas son una disyunción y dos imlicaciones. Te ongo varios ejemlos de dilemas y luego te exlico cómo funcionan: vq vq vq vq r r r q q r q s s q q s r rvs rv s s Hay más dilemas, ero si te fijas todos tienen la misma estructura. Sabes que las tres remisas son verdaderas. Como la rimera remisa es una disyunción sabes que al menos una de las letras roosicionales ( ó q) es verdadera, uede que las dos, ero si es sólo una, no sabes cuál de las dos. Primero suones que el antecedente () es verdadero y con esa suosición miras las otras remisas. Si es V y alicamos el Modus Ponens (fíjate en los dos rimeros dilemas), r tendría que ser verdadera. Ahora suonemos que el consecuente de la disyunción (q) es verdadero. Con esta suosición miramos a las otras remisas y vemos que si q es verdad serán verdad r (en el rimer dilema), s (en el segundo y en el cuarto dilema), y s (en el tercer dilema alicando el Modus Tollens en la tercera remisa). No sabemos cuál de las dos es verdadera ero si tienes en cuenta lo anterior verás que necesariamente la conclusión de todos los dilemas es verdadera. Hay más ero creo que con estas vale ara resolver la mayoría de los. 7

8 Cómo resolver los roblemas de lógica Es lo mismo que decir cómo saber si una conclusión se sigue de las remisas (o dicho de otra manera cómo saber si un razonamiento es válido). Definición de consecuencia (conclusión) válida: Hay consecuencia válida cuando siemre que las remisas sean verdaderas la conclusión también lo es. Te ondrán una remisas y una conclusión y te dirán que demuestres que la conclusión se sigue o no de las remisas. Para distinguirlo lo uede hacer de dos formas: Premisa 1, remisa 2, remisa 3, Conclusión (ese símbolo seara la conclusión de las remisas) Premisa 1 Premisa 2 Premisa 3 Conclusión Se utilizan varios métodos ara saber si hay consecuencia válida. Te voy a enseñar dos de ellos: Mediante las tablas de verdad (es más engorroso y lento ero creo que debes saber hacerlo) Alicando las reglas de inferencia que hemos visto. Tablas de verdad Las tablas de verdad son un rocedimiento que utilizamos ara calcular todos los osibles valores de verdad de un enunciado molecular. Cada letra roosicional uede tomar dos valores V ó F (a veces escriben 1 ara verdadero y 0 ara falso). Si hay sólo una letra hay dos osibilidades Si hay dos letras 4 osibilidades al combinar la V y la F Si hay tres letras 8 osibilidades de combinación En general 2 n, siendo n el número de letras que hay que combinar El roblema está en encontrar todas las combinaciones osibles sin que se nos escae ninguna y sin reetir las combinaciones. Hay un truco ara no equivocarse. Imagínate que tenemos que construir una tabla de cuatro letras (, q, r y s). 2 4 son 16 combinaciones (tiene que tener 16 filas). Primero onemos las cuatro columnas y al comienzo de cada una de ellas la letra corresondiente: q r s V V V V V V V F V V F V V V F F V F V V V F V F V F F V V F F F F V V V 8

9 F V V F F V F V F V F F F F V V F F V F F F F V F F F F Segundo si son 16 filas en la rimera columna onemos la rimera mitad de 16 (8) con 8 V y la segunda mitad con 8 F. En la segunda columna la mitad de la mitad (es decir 4) V y cuatro F, y otra vez cuatro V y cuatro F. En la tercera columna, la mitad de la mitad de la mitad (es decir 2) dos V y dos F (lo reetimos hasta comletar). En la cuarta columna nos quedaría alternativamente una V y una F (y reetir hasta comletar). Tercero. Vamos añadiendo a la derecha columnas con las fórmulas de las remisas. Si son muy comlejas, ara no equivocarse conviene hacerlo or artes y en orden. El orden es muy imortante, si te lo saltas el resultado es erróneo. Primero se hace (como en las oeraciones matemáticas) lo que está dentro de los aréntesis, desués las negaciones, desués las conjunciones y las disyunciones (no uede haber dos al mismo nivel: o bien alguna está entre aréntesis o bien están searadas or imlicaciones o dobles imlicaciones), desués la imlicaciones y desués las dobles imlicaciones. Vamos a verlo con un ejemlo. Imagínate que una remisa es la siguiente (ongo sólo dos letras ara que no haya muchas filas: (q ) v ( q) (q ^ ) Lo rimero como sólo hay dos letras ongo las cuatro combinaciones: q V V V F F V F F Luego añado las columnas a la derecha or orden. Primero las fórmulas que están entre aréntesis, y dentro de los aréntesis, si hay más de un conectivo, sigo el orden señalado (en el rimer aréntesis, rimero la negación y luego la imlicación). Cuando he terminado las artes que están entre aréntesis, las uno siguiendo el orden señalado (rimero niego el último aréntesis, desués uno mediante la disyunción los dos rimeros aréntesis y or último uno mediante la imlicación los dos rimeros aréntesis, al último negado. Vamos a verlo or artes (cada columna a la derecha es un aso): Para oner el valor correcto hay que saberse las cinco frases q q q q ^ (q ^ ) (q ) v ( q) (q ) v ( q) (q ^ ) V V F F V V F V F V F F V F F V V V F V V V F F V V V F F V V V F V V V Si sigues otro orden el resultado es distinto y or lo tanto erróneo. La fórmula resultante sólo es falsa cuando y q son verdaderos a la vez, en el resto de los casos es verdadera. 9

10 Cómo saber si la conclusión se sigue de las remisas (si hay consecuencia válida) mediante tablas de verdad? Tienes que hacer las tablas de las fórmulas de las remisas y de la conclusión y onerlas en columnas aralelas. Luego te fijas en las filas, y si siemre que las remisas sean verdaderas a la vez en todas las filas, la conclusión también es verdadera, entonces la conclusión se sigue de las remisas (en caso contrario, es decir, si hay alguna fila en la que las remisas son verdaderas a la vez y la conclusión es falsa, entonces la conclusión no se sigue de las remisas). Ojo si en ninguna fila las remisas son verdaderas a la vez SÍ hay consecuencia válida. Otra forma de hacerlo: unes las remisas mediante conjunciones y el resultado lo unes a la conclusión mediante una imlicación. Si la fórmula resultante es siemre verdadera hay consecuencia válida, si hay alguna F, no hay consecuencia válida: (remisa 1ª) ^ (remisa 2ª) ^ (remisa 3ª) Conclusión Como ves es bastante engorroso. Hay otra forma de hacerlo mucho más ráida ero creo que tienes que saber este rocedimiento. Otra cosa imortante sobre las tablas de verdad: Cuando haces la tabla de verdad de una fórmula te ueden salir tres tios de resultados: Que todos los valores sean verdaderos. Esto quiere decir que esa fórmula es siemre verdadera y no imorta si las roosiciones que la forman son verdaderas o falsas. A estas fórmulas se las llama tautologías, o se dice que son fórmulas tautológicas. Que todos los valores sean falsos. Eso quiere decir que esa fórmula siemre es falsa y no imorta si las roosiciones (enunciados) que la forman son verdaderas o falsas. A estas fórmulas se las llama contradicciones, o se dice que son fórmulas contradictorias. Que los valores en unas filas sean verdaderos y en otras falsos (como en la fórmula que hemos visto más arriba: el valor de la rimera fila es falso y los demás verdaderos). Se dice que estas fórmulas son indeterminadas. Su verdad final deende de la verdad de las roosiciones que la comonen. Un ejemlo de tautología: ( q) ( q ) q q ( q) ( q ) ( q) ( q ) V V F F V V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V Un ejemlo de contradicción ^ ^ V F F F V F 10

11 Resolución de roblemas mediante reglas de inferencia Es un rocedimiento más sencillo. Se hace or asos que hay que numerar. En rimer lugar se one el número del aso de forma consecutiva: 1, 2, 3, A continuación a la derecha del número, la fórmula. A continuación a la derecha de la fórmula la exlicación sobre de dónde ha salido la fórmula (si es una remisa o cuál ha sido la regla que hemos alicado ara llegar a ella). Veámoslo mediante un ejemlo (rimero te ongo el roblema resuelto y luego te exlico cada aso): El roblema (las remisas y la conclusión): v q,, q r, s r q ^ s 1) v q Premisa 1 2) Premisa 2 3) q r Premisa 3 4) s r Premisa 4 5) q REv 1,2 6) r MP 3,5 7) s MT 4,6 8) q ^ s RI^ 5,7 Como se quería demostrar (he llegado a artir de las remisas a la conclusión). Exlicación: Como ves cada aso que se da, se numera. Hemos dado ocho asos. En los cuatro rimeros asos hemos coiado directamente las remisas y lo hemos indicado a la derecha de cada remisa (remisa 1, remisa 2, ) Paso 5: hemos utilizado la regla de la eliminación de la disyunción. Te exlico cómo: Sabemos que la disyunción v q es verdadera (lo sabemos orque es una remisa y todas lo son). También sabemos que es verdad (también es una remisa). Recuerda (or las cinco frases que tienes que saber a la erfección) que una disyunción es verdadera cuando al menos una de las dos roosiciones es verdadera (la disyunción sólo es falsa cuando antecedente y consecuente son falsos a la vez). También sabemos que es falsa (orque es verdad). Entonces si una de las roosiciones de la disyunción tiene que ser verdadera y una es falsa (), la otra q tiene que ser verdadera. Como he demostrado que q es verdad en el aso 5 ongo la q y a la derecha ongo el nombre de la regla que he alicado (REv, Regla de Eliminación de la disyunción) y los números de los asos de los elementos en los que he utilizado la regla: 1 (aso 1: v q), 2 (aso 2: ). Paso 6: Hemos utilizado la regla del Modus Ponens y la hemos alicado a los asos 3 (q r) y 5 (q). Recuerda la frase cuarta: una imlicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente falso; or lo tanto si un imlicación es verdadera (q r) y el antecedente es verdadero (q), el consecuente (r) tiene que ser verdadero. Recuerda si el consecuente fuese falso y el antecedente verdadero, la imlicación sería falsa (y hemos dicho que es verdadera ya que es una remisa). Así hemos demostrado que r es verdad. Ponemos, en el aso 6, r y a la derecha la regla que hemos alicado (MP) y el número de los asos de las fórmulas en las que hemos alicado la regla (3 y 5). Paso 7. Ponemos el resultado de la alicación de la regla s, la regla que hemos alicado ara obtenerlo (MT) y los números de los asos sobre los que hemos alicado 11

12 la regla (4 y 6). Si te acuerdas de la cuarta frase, sabrás que una imlicación verdadera (s r) cuyo consecuente, r, es falso (r es verdadero según el aso 6), el antecedente (s) tiene que ser falso (si fuese verdadero la imlicación sería falsa y hemos dicho que es verdadera). Si no lo ves, mira la tabla de verdad (cuarta fila). Paso 8. En el aso 5 habíamos demostrado que q es verdadera y en el aso 7 hemos demostrado que s es verdadero. Según la segunda frase si dos roosiciones son verdaderas, la conjunción de ambas es verdadera. Así ues q ^ s (que es la conclusión a la que queríamos llegar) tiene que ser verdadera. Ponemos la fórmula resultante, la regla que hemos utilizado (RI^) y los asos sobre los que hemos alicado la regla. Así se demuestra una fórmula a artir de unas remisas. El secreto está en hacer unos cuantos ejercicios, coger ráctica y desués salen solos. Cuantos más hagas mejor. Una estrategia que facilita la realización de los ejercicios es mirar, en rimer lugar, a la conclusión. Ahí queremos llegar, nos reguntamos, qué necesitamos (en el ejemlo anterior queremos llegar a q ^ s y ara ello, necesitamos demostrar que q es verdad y que s). Ahora nos reguntamos qué necesitamos ara demostrar q y que necesitamos ara demostrar s. Y así sucesivamente. Se trata de ir de atrás hacia delante. Es como los asatiemos esos en los que hay que buscar la salida y que es mejor ir del final al rinciio. Desués resolvemos el del rinciio al final conociendo ya todos los asos. Otro oco de teoría. Si miras los ejercicios, lo que hacemos es demostrar una conclusión a artir de unas remisas que consideramos verdaderas. La regunta es cómo sabemos que las remisas son verdaderas? La resuesta, orque las hemos obtenido a artir de otras remisas verdaderas. Y estas ultimas remisas, cómo sabemos que son verdaderas? La resuesta es la misma: orque las hemos obtenido de otras verdades anteriores. Así odríamos estar reguntándonos indefinidamente. Conclusión: ara que haya fórmulas verdaderas tiene que haber unas rimeras verdades (digo rimeras orque no han odido ser obtenidas de otras anteriores ya que en este caso serían segundas). Si no hay rimeras verdades, no hay segundas ni terceras ni ninguna verdad. A estas rimeras verdades no demostradas ni demostrables se las llama axiomas. Cómo sabemos que son verdaderas? Por intuición, son evidentes. Algunas de estas verdades evidentes odrían ser: Lo que es, es: Nada uede ser y no ser al mismo tiemo: ( ^ ) Si haces las tablas de verdad de esas fórmulas verás que son tautologías. Los axiomas más emleados en lógica: 1. (q ) 2. ( (q r)) (( q) (q r)) 3. ( q) (q ) Recaitulando: Un axioma es una fórmula que se aceta sin demostración, como unto de artida ara demostrar otras fórmulas. Las fórmulas demostradas a artir de los 12

13 axiomas se llaman teoremas. Así un teorema es una verdad demostrada a artir de axiomas o de otros teoremas. Para saber que son axiomas los tres anteriores, basta con que hagas las tablas de verdad de cada una de las fórmulas y verás que el resultado es siemre V (son tautologías). Otra forma de mostrar (que no demostrar) sería: (q ) (fíjate que no hay remisas, solo conclusión) Entre las reglas que no te he enseñado hay una muy útil que se llama Metaterorema de Herbrand (también conocido como teorema de la deducción) que dice que: que si el conectivo más imortante (el que está fuera de aréntesis) de una conclusión es una imlicación ( ), el antecedente uede asar como remisa quedando el consecuente como conclusión. Así las fórmulas siguientes serían equivalentes y se odría asar de una a otra: (q ) q Y a su vez esta se odría convertir en :, q (la conclusión sería verdadera uesto que es una remisa, no hace falta demostrar nada. Reitamos el roceso con el tercer axioma: ( q) (q ) Si alicamos el metateorema de Herband (o teorema de la dedución), la fórmula anterior sería equivalente a: q q A su vez esta sería equivalente a: q, q (ahora tendríamos que demostrar que la conclusión () es verdadera siemre que las remisas lo sean. Vamos allá: 1. q remisa nº 1 2. q remisa nº 2 3. Modus Tollens 1, 2 Demostrado. Si la remisa rimera es verdadera y el consecuente ( q ) es falso (ya que según la remisa nº 2 q es verdadero), entonces el antecedente de la imlicación ( ) tiene que ser falso (si fuese verdadero la imlicación tendría que ser falsa, recuerda la frase cuarta, y es verdadera orque es una remisa). Por lo tanto (que es la conclusión) tiene que ser verdadera. El metateorema de Herbarnd (o teorema de la deducción) uedes utilizarlo como una regla más de las que te había señalado. Es muy útil siemre que la conclusión sea una imlicación. 13