Semestre Económico ISSN: Universidad de Medellín Colombia

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1 Semestre Económico ISSN: Universidad de Medellín Colombia Cárcamo C., Ulises LOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA TEORÍA DE LAS FINANZAS (II): INCLUYENDO INCERTIDUMBRE Y RIESGO Semestre Económico, vol. 7, núm. 3, enero-junio, 004, Universidad de Medellín Medellín, Colombia Disonible en: htt:// Cómo citar el artículo Número comleto Más información del artículo Página de la revista en redalyc.org Sistema de Información Científica Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, Esaña y Portugal Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto

2 3 LOS FUNDAMENT AMENTOS MATEMÁTICOS DE LA TEORÍA DE LAS FINANZAS (II): INCLUYENDO INCERTIDUMBRE Y RIESGO Ulises Cárcamo C. RESUMEN Para incluir modelos relativos a las decisiones financieras en condiciones de incertidumbre, necesitamos extender la teoría básica incororando los entes adecuados. Un rimer aso en este roceso es una aroximación a la Teoría de la Utilidad. En ella, los objetos básicos son las loterías que reresentan situaciones de elección en condiciones de riesgo. Se resenta un conjunto de axiomas ara una teoría de la elección en condiciones de riesgo. Los resultados de la teoría se ueden entender fácilmente a artir de su interretación geométrica. Las alicaciones a las finanzas requieren de una generalización de esa teoría y de unos suuestos adicionales. Aquellas se resentan de dos maneras: intuitiva y semi-formal. Se resenta un modelo sencillo ero oderoso que incluye las rinciales características de otros modelos más avanzados. ABSTRACT To include models of financial decisions under uncertainty we need to extend the basic theory incororating adequate objects. Utility Theory is a first aroximation. The basic objects are lotteries that reresent situations of choice under risk. A set of axioms for a theory of

3 4 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. choice under risk is resented. The results of such a theory can be easily understood by their geometrical meanings. The financial alications require a generalization of that theory and some additional assumtions. They are resented in both intuitive and semiformal way. A simle but owerful model is resented. It encomasses the main features of more advanced ones. INTRODUCCIÓN Ésta es una segunda arte de la introducción a las matemáticas de las finanzas. La rimera arte se encuentra en el número de esta revista, Semestre Económico, y a ella nos referiremos siemre como la rimera arte. En la rimera arte, que trata de los fundamentos en condiciones de incertidumbre, el unto de artida fue un conjunto de axiomas ara la elección racional. Acá daremos un segundo conjunto de axiomas ara la elección racional de un individuo en un ambiente de riesgo. Los axiomas que se resentarán corresonden a una versión de los axiomas de Von Neumann y Morgenstern. Utilizaremos esos axiomas ara construir, de manera semi-formal una teoría ara la toma de decisiones bajo riesgo. Esta teoría es fundamental no solo en finanzas sino también en otras ramas alicadas que tratan con decisiones en condiciones de riesgo, como la teoría de los seguros y la ingeniería económica, y or esto se tratará detalladamente, aunque no de manera exhaustiva. Desués, alicaremos los concetos básicos de la teoría a ciertos modelos financieros básicos. Dominar algunos camos de la interfase matemáticas-finanzas requiere de discilina y cierto tiemo de dedicación a ambas áreas del conocimiento. Sin embargo, una vez que el lector haya comrendido los concetos que se resentan en esta serie de artículos, uede, con entera confianza, abordar otros más comlejos. En esta segunda arte también seguimos los lineamientos de Fama y Miller (97).

4 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 5 PARTE I: REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LAS NOCIONES RELACIONADAS CON EL RIESGO El asecto más fundamental ahora es que no se conoce con certeza cuál de los osibles resultados de una situación dada ocurrirá en el futuro. El máximo conocimiento que odemos tener acerca de la ocurrencia de esos resultados es una distribución de robabilidades. Para comenzar, odemos asumir que la distribución de robabilidades es objetiva y todos los articiantes del mercado tienen acceso a ella o, or lo menos, ueden obtener estimaciones de ella. Con el fin de reresentar formalmente la noción de riesgo y caracterizar las actitudes del Tomador de Decisiones (T.D.) con resecto al riesgo, es necesario construir una teoría, con sus axiomas, definiciones y consecuencias, que nos sirva de reresentación ara las situaciones riesgosas y de la manera como se reacciona ante ellas. Debido al las limitaciones en cuanto a extensión de este artículo, no se harán ruebas rigurosas de todos los resultados, aunque se los tratará de justificar de la manera más clara osible. Los lectores interesados en ruebas rigurosas ueden encontrarlas en los textos y artículos de las referencias bibliográficas. Un constructo formal ara la reresenta- ción del riesgo El tomador de decisiones (T.D) se enfrenta a un conjunto de alternativas que involucran riesgo. Cada una de esas alternativas tiene un cierto número de osibles resultados, mutuamente excluyentes, y no se sabe con certeza cuál resultado ocurrirá, en el momento de tomar la decisión. Por ahora se establecerá una teoría ara un número finito de resultados. Con ciertas comlicaciones técnicas, la teoría se uede extender a conjuntos infinitos de osibles resultados. Loterías simles Consideramos, rimero, alternativas que dan N resultados a los que es osible asignar un valor numérico. Ejemlo Suongamos que usted hace la siguiente inversión: Comrar N- unidades de un bien erecedero 3 a $.000, la unidad y quiere vender el máximo osible de estos a $3.000 cada uno, dentro de un eríodo fijo de tiemo. Los que no se venden durante ese eríodo simlemente se desechan, asumiendo una érdida de $.000 or cada uno.

5 6 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. Los N osibles resultados en términos de utilidad monetaria serán: (N -)(no se vende ninguno), (-N + 4).000, (se vende ),..., 000 (N-) (se venden todos). Si se conoce la distribución de robabilidades del conjunto de osibles resultados, entonces se tiene lo que se llama en la literatura de riesgos una lotería. Éste es recisamente rimer elemento teórico ara estudiar estas alternativas. Definición (Lotería simle) Una lotería simle es una lista doble L = (r, r,..., r N ;,,... N ) donde los r i, i =,...,N son los resultados numéricos y,,..., N, las resectivas robabilidades asociadas. Además, se suone que N k k, es decir, el conjunto de osibles resultados describe comletamente el fenómeno, y k 0 ara todo k. Cuando j =, ara algún j, se dice que la lotería es degenerada. Loterías equivalentes Dos loterías, no degeneradas, L y L son equivalentes, si tienen los mismos resultados osibles y las mismas robabilidades asignadas a cada uno de esos resultados. Dos loterías degeneradas L 3 y L 4 son equivalentes, si los resultados seguros son iguales. En virtud de esta equivalencia, si r es el resultado seguro, la lotería se denotará simlemente mediante L= (r ; ), sin hacer alusión a ningún otro osible resultado y se leerá r se obtiene con certeza. Cuando se mencionan osibles resultados, con certeza, o recomensas, siemre se suondrán equivalentes a una lotería degenerada. Una reresentación simlificada y reresentación geométrica Si se tienen claramente definidos los resultados osibles, entonces la lotería se uede reresentar utilizando únicamente la distribución de robabilidades y en este caso se escribiría como una lista simle: L= (,,... N ). Una de las ventajas de esta reresentación simlificada es la facilidad ara interretación geométrica. Por ejemlo, el conjunto todas las osibles loterías con dos resultados se uede reresentar como el segmento de la recta x + y =, corresondiente al rimer cuadrante del lano XY. Cada unto (x, y) corresonde a una lotería esecífica, en articular; los extremos

6 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 7 del segmento corresonden a las dos loterías degeneradas. Figura. Conjunto de todas las osibles loterías con dos resultados De igual manera, el conjunto de todas las osibles loterías con tres resultados se uede reresentar como la orción del lano x + y +z = que está en el rimer octante. Cada unto en este triángulo corresonde a una lotería esecífica, en articular, los vértices corresonden a las tres loterías degeneradas. En general, el conjunto de todas las loterías osibles con N resultados, L*, se uede reresentar como un unto en el N-simlex 4 < de dimensión (N-) > : R N x ( x,, xn ) : x x x N Loterías comuestas Muchas veces se tiene que, or lo menos, uno de los resultados osibles de una alternativa lleva a una lotería. Por ejemlo, suongamos que usted tiene $ y le ofrecen la oortunidad de inversión que se resenta en el ejemlo con bienes erecederos y un eríodo tiemo en seis meses y Ud. Dice: Ok. Eseremos al final de este mes. Si la tasa de interés ara los deósitos a 6 meses (DTF) sube un 0.5 %, entonces coloco este dinero en un deósito a término (que agaría, or ejemlo, el.5%) or ejemlo, si no, entonces invierto en el negocio de los bienes erecederos. Suongamos que la robabilidad de que la tasa de interés suba 0.5 % es 0.4, se iensan comrar 50 de esos artículos y existe igual robabilidad de vender cualquier número de ellos, entre 0 y 50, inclusive. En este caso usted se enfrenta a una lotería donde uno de los resultados es articiar en otra lotería: La inversión en los bienes erecederos.

7 8 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. Estos casos se generalizan con la noción de lotería comuesta. Figura. Conjunto de todas las osibles loterías con tres resultados Ejemlo En el ejemlo mencionado anteriormente se tiene: L = (56.50, L ; 0.4, 0.6); donde L = ( , ,..., ; /5,..., /5). Definición Si L, L,..., L k son loterías simles (algunas, osiblemente, degeneradas) y si,,..., son robabilidades, entonces k la lotería L= (L, L,...,L k ;,,..., ) k se llama una lotería comuesta 5. Equivalencia de una lotería comuesta a una lotería simle Si L= (L, L,...,L k ;,,..., ) es una k lotería comuesta y L i = (r i, r i,...., r Nii ; i, i,..., Nii ), ara i =,,...k. La lotería simle L s = (r,..., r N, r,..., r N,...,r k,..., r Nkk ;,..., N,..., k,.., Nkk ), donde ij =. = P(Li). P(r /L ), es una i ji ji j lotería equivalente a L. En general suonemos que cuando se trata de una lotería comuesta, el T.D toma sus decisiones basado en la lotería simle equivalente. Éste será uno de los axiomas que se enuncian adelante.

8 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 9 Ejemlo 3 L= (56.50, , ,..., ; 0.4, 6/50, 6/50/,...,6/50) es la lotería simle que es equivalente a la comuesta dada. Relación de referencia ara loterías Una vez que se ha establecido un modelo matemático ara las alternativas que involucran riesgo, el segundo aso es establecer la noción de referencia entre ellas. Sea C un conjunto de todos los resultados osibles y sea L* es conjunto de todas las loterías simles sobre C. Asumimos que el T.D tiene una relación de referencia 6, definida en L* que es comleta y transitiva, es decir, que satisface los siguientes axiomas 7 : Axioma (Comletitud) Dadas dos loterías cualesquiera de L*, L y L, siemre es cierto uno y solo uno de los siguientes enunciados: A. L L ( el T.D. refiere L a L ) B. L L (el T.D. refiere L a L ) C. L L (Al T.D. le es indiferente escoger entre L y L ). Axioma (Transitividad) Si L L y L L 3, entonces L L 3. Axioma 3 (Continuidad) Si el T.D. refiere las recomensa r a la recomensa r y si refiere r a r 3, entonces existe una robabilidad c, 0 < c <, tal que le es indiferente escoger entre las dos loterías L = (r ; ) y L = (r, r 3 ; c, - c). Axioma 4 (Indeendencia) Suóngase que el T.D es indiferente entre las recomensas r y r. Sea r 3 cualquier otra recomensa, entonces, ara cualquier robabilidad c, 0 < c <, le es indiferente escoger entre las dos loterías L = (r, r 3 : c, - c) y L = (r, r 3 ; c, - c). Axioma 5 (Axioma de la robabilidad desigual) Suóngase que el T.D. refiere la recomensa r a la recomensa r. Entonces, entre dos loterías cuyos únicos resultados osibles son r y r, él referirá aquella que tenga una mayor robabilidad de obtener r. Axioma 6 (Axioma de la lotería comuesta) Si L es una lotería comuesta y L, es la lotería simle equivalente, entonces al T.D. le es indiferente escoger entre las dos. Axioma 7 (Axioma de no saciedad) Dadas dos recomensas r y r, tales que r > r, el T.D. siemre referirá r a r.

9 30 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. Definición 3 (Elección racional) Si la referencia T.D. satisface los anteriores axiomas, se dice de él que su elección es racional. La Imortancia del axioma de continuidad De entre estos axiomas, el axioma de continuidad es clave en la descrición de la elección en situaciones de riesgo 8 : Para el T.D. es equivalente la situación de riesgo reresentada en la lotería L = (r, r 3 ; c, - c ) y la situación de certeza reresentada en la lotería L (r ; ). Esto imlica que el T.D. está disuesto a acetar el riesgo ara una cierta robabilidad de obtener la mayor recomensa de las tres osibles (ésta a su vez incluye la robabilidad de obtener la menor recomensa). Naturalmente, esta robabilidad deende de los gustos ersonales del T.D., y de su caacidad de absorber érdidas, entre otras cosas. Ejemlo 4 A cierto individuo quien tiene disonibles $ en este momento le roonen una inversión que le uede reortar en total $ (dobla su caital disonible) con una robabilidad de 0.6, o $ (reduce su caital disonible a la mitad) con una robabilidad de 0.4. Si él aceta, 0.6 es el valor de c, esecificado or el axioma. Suongamos que él no acete; el axioma imlica que si modificamos las condiciones de la inversión, de tal manera que la robabilidad con que él uede doblar su caital disonible (bajo las mismas circunstancias) aumenta, en algún momento se alcanzará un valor con el que él acetará invertir. Utilidad en el sentido de Von Newmann y Morgenstern La robabilidad ostulada or el axioma de continuidad es clave en la noción de utilidad en el sentido de Von Newmann y Morgenstern que se define a continuación: Definición 4 (Utilidad de una recomensa) Sean r, r,..., r M-, r M las recomensas ordenadas ascendentemente, asociadas a m resultados osibles de una lotería no degenerada L. La utilidad de la recomensa r i, ( < i M-), u(r i ), el el valor q i, 0 < q i <, tal que el T.D es indiferente entre las dos loterías L ( r i ; ) y L (r, r M ; - q i, q i ). Por definición, u(r )= 0, u(r M ) =. Ejemlo 5 Refiriéndonos al ejemlo 4, ara el individuo que aceta inmediatamente la rouesta de inversión, la utilidad de $ es 0.6, mientras que las utili-

10 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 3 dades de $ y $ son, resectivamente y 0. Si es necesario modificar las condiciones de inversión de tal manera que ara que otro individuo acete invertir, la robabilidad de obtener $ sea 0.85, entonces esta robabilidad es la utilidad de $ ara él. Es un individuo más cauteloso con resecto al riesgo. Definición 5 (Función de utilidad) La función que a cada recomensa r i, le asigna su utilidad, u(r i ) se llama la función de utilidad del tomador de decisiones. La definición anterior se uede extender al conjunto de todas las loterías, L* de la siguiente manera: Definición 6 (Forma de utilidad eserada ara lotería) La función de utilidad U: L* R tiene forma de utilidad eserada si existe una asignación de números (u,..., u N ) a los N osibles resultados, de tal manera que toda lotería simle de L = (,..., N ) de L* se tiene que U(L) = u u N N. () Una función de utilidad U: L* R con la forma de utilidad eserada se llama función de utilidad eserada de Von Neumann y Morgenstern. Lema (Linealidad de la función de utilidad eserada) Una función de utilidad U: L* R tiene forma de utilidad eserada si y solo si es lineal, es decir, si y solo si, ara todo conjunto de k loterías, L,..., L k de L* y toda distribución de robabilidades (,..., ), 0 y k i satisface U k j j L j k j j U k j j, ( L j ). () Definición 7 (Extensión de la función de utilidad del T.D T.D.. ara loterías de L*) Si u es la función de utilidad del T.D. y si L= (r,..., r N ;,..., N ), la utilidad de L con forma de utilidad eserada, U(L) se define mediante: U(L) = E( u( L)) k. u( r k ). (3) N k El teorema de la utilidad eserada Teorema Si la relación de referencia del T.D. satisface los axiomas -6, entonces existe una función de utilidad, U, definida en L*. Esta función de utilidad caracteriza la referencia entre loterías dos loterías L y L de L* de la manera siguiente:

11 3 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. L L si y solo si U(L ) < U(L ) L L si y solo si U(L ) < U(L ) L L si y solo si U(L ) = U(L ) Invariancia de la referencia bajo ciertas transformaciones afines 9 de la utilidad De acuerdo con la definición 4, el mejor y el eor resultados de una lotería tienen utilidades y 0, resectivamente. No es necesario que tengan estos valores, dado que transformaciones afines de la utilidad reservan la referencia, como lo enuncia el siguiente lema. Lema Dada una función de utilidad cualquiera u =u(x), defínase v = v(x) mediante v(x) = a. u(x) + c, donde a > 0. Entonces, dadas dos loterías cualesquiera L y L, el T.D.:. Preferirá L a L, usando v si y solo si refiere L a L, usando u.. Será indiferente entre L y L, usando v, si y solo si, es indiferente ante las dos usando u. Justificación Si L = (r, r,..., r N ;,,..., N ) y L = (s, s,..., s N ; q, q,..,q N ), es fácil comrobar que E(v(L )) = a.e(u(l ))+ c, y E(v(L )) = a.e(u(l ))+ c (a >0). Por lo tanto, E(v(L )) > E(v(L ) si y solo si E(u(L )) > E(u(L ) y también E(v(L )) = E(v(L ) si y solo si E(u(L )) = E(u(L )). Utilidad ara el resultado de una lotería degenerada En la definición 4, se estableció la noción de utilidad ara los osibles resultados de una lotería no degenerada. En es caso de una lotería degenerada (o simlemente recomensas con certeza), ara ser consistentes con el Teorema de la Utilidad Eserada y con el axioma de no saciedad, conviene definir la utilidad del único resultado lausible como igual a la unidad. Obtención de la función de utilidad de un individuo dado Como la referencia entre loterías está basada en la función utilidad del T.D. relativa a las recomensas, un asecto muy imortante es el establecer una metodología ara obtener la función de utilidad de un individuo. En teoría es osible obtener esta función or medio de una entrevista en la que se le hace al T.D. una serie de reguntas ara descubrir las utilidades de cada uno de los resultados osibles de una lotería dada y luego extraolar los valores de la función ara valores no contenidos en ese conjunto de resultados.

12 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 33 El lector interesado uede consultar los textos de Raiffa y Winston, citados en la bibliografía, entre otros. En el resto de este artículo, en aras de la simlicidad, suondremos que la función de utilidad del T.D. es conocida o que es fácil de obtener. Actitudes de los individuos con resecto al riesgo Cuando se observa la conducta de los individuos con resecto al riesgo se ueden encontrar tres tendencias: Aquellos que buscan el riesgo (literalmente, aostadores), aquellos que huyen del riesgo (clientes otenciales ara las comañías de seguros, que necesitan de un incentivo ara tomar riesgos) y aquellos que resentan una conducta intermedia. Justificación L L si y solo si, U(L ) = E(u(L )) = U(L ) = E(u(L )), donde u es la función de utilidad del T.D. Ahora, ara todo, U(L ) + ( - ) U(L ) = U(L ) + ( - ) U(L ) = U(L ), donde or la linealidad de U se tiene que U(. L + ( - ) L ) = U(L ), es decir,. L + ( - ) L L. Interretación geométrica Geométricamente, la roosición se uede interretar de la siguiente manera: Si el T.D. es indiferente entre dos loterías, L y L de L*, entonces es indiferente entre L y cualquier combinación convexa de L y L. En la figura 3, suonemos, sin erder generalidad, que la recomensa asociada al unto R es mayor que las otras dos. La función de utilidad de un individuo se uede usar ara caracterizar este tio de conducta, como se muestra a continuación. Figura 3. Líneas de indiferencia en el simlex L.*. La recomensa asociada a R es la mayor Como rimer aso, se establecerá una roosición imortante en cuanto a la indiferencia entre loterías. Proosición Si L L, entonces ara todo [0, ] se tiene que. L + ( - ) L L

13 34 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. En virtud del axioma de la robabilidad desigual, y del axioma de no saciedad, el T.D refiere la lotería degenerada corresondiente a R a las loterías degeneradas corresondientes a P y a Q. Además, él refiere cualquier lotería no degenerada en el segmento PR a la lotería corresondiente a P. Adicionalmente, el T.D referirá P a P. En el segmento QR se resenta una situación arecida y el T.D. refiere Q a Q. Esto establece una dirección de crecimiento de la referencia, a saber, la dirección hacia el unto R. Un ejercicio A manera de ejercicio ara el lector atento: Sea S un unto intermedio en el segmento PQ, comruebe que el T.D. refiere la lotería de R a la de S. Además, comruebe que, dadas dos loterías en el segmento SR, el T.D referirá la que esté más cerca del unto R. Ésta es una forma de robar lo afirmado acerca de la dirección de crecimiento de la referencia y de comrobar que el lector realmente comrende este tema. En virtud de la roosición, el T.D es indiferente ante las loterías en el segmento P Q, así también como lo será ante las loterías en cualquiera de los otros segmentos como P Q. Además, refiere cualquier lotería en P Q a cualquiera otra en P Q. Los dos tios de funciones de utilidad Es imortante resaltar la diferencia entre la función de utilidad del T.D. con resecto a recomensas y la extensión de ésta a las loterías en general. La rimera es una función definida en el conjunto de las recomensas y extensible a los números reales. Generalmente, se le designa bajo el nombre de función utilidad de la riqueza. Ésta no es, en general, lineal, ero, en virtud del axioma de no saciedad, es una función creciente. La segunda es una función definida en el simlex de las loterías y es lineal. A veces se le llama simlemente utilidad eserada. Equivalente en condiciones de certeza de una lotería En la figura 3, las loterías en P Q son equivalentes orque tienen igual utilidad (eserada) U(L)= u(r ) N u(r N ), donde u es la utilidad sobre las recomensas. Ahora, en virtud del teorema de la utilidad eserada, si K es un número real tal que u(k) = u(r ) N u(r N ) y L es la

14 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 35 lotería degenerada, definida mediante L = (K;), entonces el T.D. es indiferente entre cualquiera de las loterías de P Q y L. A este K se le llama el equivalente en condiciones de certeza de cada una de esas loterías. Definición 8 (Equivalente en condiciones de certeza) El equivalente en condiciones de certeza de una lotería L, EC(L) es el número K tal que el T.D. es indiferente entre las dos loterías L y L = (K; ). Definición 9 (Prima de riesgo) Si E(L) es el valor eserado de los resultados de la lotería L, la rima de riesgo de L, PR(L) se define como PR(L) = E(L) EC(L). (4) La rima de riesgo se uede usar ara caracterizar la actitud hacia el riesgo, de la siguiente manera. Definición 0 (Actitudes del T.D.D.. hacia el riesgo) El T.D.. Siente aversión hacia el riesgo si ara toda lotería no degenerada L, PR(L) >0.. Es amante del riesgo si ara toda lotería no degenerada L, PR(L) < Es neutral ante el riesgo si ara toda lotería no degenerada L, PR(L) = 0 Significado de las actitudes Para quien siente aversión hacia el riesgo, el equivalente de certeza de una decisión riesgosa (Lotería L) es menor que la recomensa eserada. Así, si esa decisión es la única viable, él estaría disuesto a agar la rima de riesgo, PR. Actitud hacia el riesgo y concavidad de la función de utilidad de la riqueza En este unto, es imortante recordar las nociones de concavidad y convexidad de funciones: Una función real, f, es convexa (cóncava hacia arriba) en un intervalo I si ara todo ar de untos x y x de I, y todo, con 0 < <, se tiene que f(.x + ( - ) x ). f(x ) + (- ) f(x ).. (5) Para quien siente aversión hacia el riesgo, el equivalente de certeza de una decisión riesgosa (Lotería L) es menor que la recomensa eserada.

15 36 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. Geométricamente, esto significa que el segmento de recta con extremos (x, f(x )) y (x, f(x )) está or encima de la gráfica de f en I. Una función real, f, es cóncava (cóncava hacia abajo) en un intervalo I si ara todo ar de untos x y x de I, y todo, con 0 < <, se tiene que f(.x + ( - ) x ). f(x ) + (- ) f(x ).. (6) Geométricamente, esto significa que el segmento de recta con extremos (x, f(x )) y (x, f(x )) está or debajo de la gráfica de f en I. Si las desigualdades en la definición se cambian, resectivamente or < y >, entonces se tienen las definiciones de función estrictamente convexa y estrictamente cóncava. Las funciones cóncavas y convexas en un intervalo I son siemre continuas en I (aunque no necesariamente derivables). Cuando estas funciones tienen derivadas de segundo orden, continuas, entonces se ueden caracterizar utilizando algunos resultados del cálculo elemental. La relación entre la concavidad de la función de utilidad de la riqueza del T.D. y su actitud hacia el riesgo es una consecuencia directa de la siguiente desigualdad: La desigualdad de Jensen Si f es una función convexa en I, x, x,..., x n son valores arbitrarios de I y,,...,, son valores no negativos tales que n n k k, entonces f n k n k. xk k. f ( xk ). (7) k Como consecuencia de éste, se uede establecer el equivalente ara una función cóncava: Si g es una función cóncava en I, x, x,..., x n son valores arbitrarios de I y,,...,, son valores no negativos tales que n n k k, entonces g n k n k. xk k. g( xk ). (8) k Ahora h es una función afín, del tio h(x) = a.x +b, entonces es de ambos tios, cóncava y convexa al mismo tiemo. En este caso se tiene que h n k k n. xk k. h( xk ). (9) k Las relaciones entre desigualdad de Jensen, con la definiciones de rima de riesgo y actitudes hacia el riesgo se resumen en el siguiente teorema.

16 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 37 Teorema (Caracterización de la actitud hacia el riesgo mediante u) Sea u la función de utilidad de la riqueza del T.D., entonces, el T.D:. Siente aversión hacia el riesgo si u = u(x) es estrictamente cóncava.. El amante del riesgo si u = u(x) es estrictamente convexa. 3. Es neutral hacia el riesgo si la gráfica de u = u(x) es una línea recta. Ayudas ara la rueba del teorema Sea L= (r,r,..., r N ;,,..., N ) una lotería cualquiera de L*, N r E L ) k ( r k k, EC(L)= K si y solo si, u( K) k. u( r k ). N k u es estrictamente creciente en virtud del axioma de no saciedad. Si u es estrictamente cóncava entonces, or la desigualdad de Jansen, se tiene que N u( r ) u( E( L)) k. u( r k ), luego, el valor K tal que k N u( K) k. u( r k ) satisface k K < r E(L), ero K = EC(L) y or lo tanto PR(L) >0. Si u es estrictamente convexa entonces, or la desigualdad de Jansen, N u( r) u( E( L)) k. u( r k ), luego, el valor K tal que k N u( K) k. u( r k ) satisface k K > r E(L), ero K = EC(L) y or lo tanto PR(L) < 0. Si u = a.x + b, a >0, entonces N u( r ) u( E( L)) k. u( r k ) y K = r, k y or lo tanto PR(L) =0. Obsérvense las figuras 4 y 5. Neutralidad ante el riesgo y el valor eserado de las recomensas Uno de los resultados más imortantes de esta teoría es que los individuos neutrales ante el riesgo toman sus decisiones basados en el valor eserado de las recomensas, es decir ignorando la utilidad. Las funciones cóncavas y convexas en un intervalo I son siemre continuas en I (aunque no necesariamente derivables).

17 38 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. Figura 4. Función de Utilidad de Riqueza ara T.D. con Aversión al Riesgo Para ver esto claramente, suongamos que el T.D. es neutral ante el riesgo y que su función de utilidad está dada or u(x) = a.x + b, donde a > 0 (la función es creciente). En virtud del lema, cualquier transformación afín de u, v(x) = A.u(x) + B, con A >0, utilidad reserva la referencia. En articular, si A = a y B = b, a v(x) = x. Así que, si L= (r,..., r N ;,..., N ), E(u(L)) = r + r r N N,. Esto significa que la referencia del T.D. entre loterías se basa en sus valores eserados. Figura 5. Función de Utilidad de Riqueza de un T.D. Amante del Riesgo

18 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 39 Asectos imortantes de las funciones de utilidad (de la riqueza) Como todas estas funciones son crecientes, entonces si son derivables, la utilidad marginal es siemre ositiva. Los que son neutrales con resecto al riesgo tienen la misma utilidad marginal ara todos los niveles de riqueza. Así, si su riqueza w, aumenta en w, el cambio absoluto en la utilidad es igual al que exerimentaría si su riqueza disminuye en w. Lo único que varía es el signo en el cambio de la utilidad (ver figura 7). Para los que sienten aversión al riesgo esta situación es diferente, a saber, el cambio absoluto en la utilidad roducido or un incremento en la riqueza w, es menor que el cambio absoluto roducido or una disminución en la riqueza de la misma magnitud w, el efecto es más grande en una érdida que en un aumento. Aunque la utilidad marginal es ositiva, decrece con la riqueza. Es decir, aunque la utilidad crece con la riqueza, a medida que esta última aumenta, el crecimiento es cada vez más y más lento (ver figura 6). Suongamos que actualmente la riqueza del T.D. es w y que existe una lotería L (sin ningún costo) tal que con igual robabilidad el T.D. uede obtener w + w ó w - w. De acuerdo con la concavidad estric- ta, u( w w) u( w w) < u(w), en- tonces el equivalente de certeza de L, EC(L) = K es menor que w. Así, si L fuera la única lotería disonible, el T.D. estaría disuesto a agar hasta w K or una rima de un seguro que le evitara enfrentar la lotería y le asegurara la riqueza K (ver Figura 6.). Figura 6. Efecto del Aumento o la Disminución de la Riqueza en la Utilidad. Aversión al Riesgo

19 40 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. Figura 6.. Equivalente de Certeza de la Lotería L. Aversión al Riesgo Aversión al riesgo y rimas de riesgo (Una visión más general) Para generalizar un oco más sobre el asecto anterior, consideramos la variable aleatoria R, relacionada con los osibles resultados de una lotería. Una lotería (o juego) es actuarialmente justa si el valor eserado es cero, E(R) = 0 0. Si U es estrictamente cóncava, y L es justa, entonces E(L) = E(u(w + R)) < u(e(w + R)) = U(W) y or lo tanto el T.D. tratará de evitar articiar en la lotería. Esto tiene dos imlicaciones imortantes, bastante relacionadas, ero diferentes: Primera: Para convencer a un T,D. que siente aversión hacia el riesgo de articiar en la lotería justa, es necesario ofrecerle una rima de riesgo, c que comense los efectos negativos de articiar. Es decir, c, debe satisfacer E(u(w + (Ver figura 6.) Segunda: c + R)) = u(w). Para evitar tener que articiar en la lotería, el T.D. con aversión hacia el riesgo estaría disuesto a agar una rima de seguro de riesgo,, que lo roteja de los s eores osibles resultados de la lotería. Es decir,, debe satisfacer E(u( w + R)) s = u( w - ). s La segunda imlicación está más relacionada con los seguros. De hecho,, es el s valor justo de la rima de seguro que le evita articiar en la lotería y corresonde exactamente al conceto de rima de riesgo de la definición 9.

20 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 4 Figura 6.. Prima Comensatoria del Riesgo La rimera imlicación es más imortante en finanzas. c corresonde al retorno adicional o retorno extra que se esera de los activos que imlican riesgo. Una medida de la aversión al riesgo En muchos casos cuando se sabe que dos individuos sienten aversión al riesgo es interesante oder comarar su grado de aversión, es decir, tener alguna medida que indique quién siente más aversión al riesgo. Intuitivamente es obvio (y el lector uede comrobarlo con un gráfico adecuado y los concetos vistos hasta ahora) que esta medida está relacionada con la concavidad de la función de utilidad de la riqueza u y, or ende, con u (w) ara una función dos veces derivable. Sin embargo, u (w) en sí misma no es una buena medida, dado que no es invariante ante transformaciones afines del tio y = a.x+b, con a >0. Una medida adecuada es el coeficiente definido a continuación. Definición (Coeficiente de aversión absoluta al riesgo) Si u = u(w) es una función de utilidad de la riqueza, dos veces diferenciable, el coeficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo en w, se define mediante r A u''( w) ( w, u) u'( w) Para comarar la aversión al riesgo de dos individuos se uede utilizar la siguiente definición: Definición (Comaración de aversiones al riesgo) Dados dos individuos A y B con aversión al riesgo y con resectivas funciones de

21 4 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. utilidad de la riqueza u A y u B, se dice que A siente más aversión al riesgo que B si r B (w, u ) > r A (w, u ). Se uede demostrar que la definición anterior es equivalente a decir que, ara toda lotería L, los resectivos equivalentes en condiciones de certeza de L satisfacen EC(L, u ) < EC(L, u ). Se deja como ejercicio ara el lector suficientemente interesado el justificar esta equivalencia. Funciones de utilidad de la riqueza en el mundo real Es imortante resaltar que la clasificación de los T.D. de acuerdo con su actitud hacia el riesgo es solo aroximada. En la ráctica es osible encontrar funciones de utilidad que son una mezcla de convexidad y concavidad. Cuando las osibles érdidas de una lotería son bajas en relación con el nivel usual de riqueza de un individuo, éste se comorta como amante del riesgo. Sin embargo, cuando las otenciales érdidas exceden tal nivel, éste muestra aversión al riesgo. De hecho, la casi totalidad de los que se comortan como aostadores ráidamente se arruinan. Geométricamente, esto significa que existe un unto que define un cambio en la concavidad de la función de utilidad. Teniendo esto en cuenta, muchos autores alican el adjetivo global (o el adverbio globalmente) cuando se refieren a los individuos que tienen una sola forma de concavidad en la función de utilidad de la riqueza. Por ejemlo, el T.D. es globalmente contrario al riesgo si su función de utilidad es estrictamente cóncava. También es osible que, a medida que la situación económica de un individuo cambia con el tiemo, su función de utilidad cambie. Es decir, a medida que su riqueza aumenta, él uede considerar insignificantes érdidas que antes no odía absorber. Por ejemlo, si or alguna circunstancia, el T.D. asa de ganar un salario mínimo a cinco salarios mínimos, una érdida del 0% de un salario mínimo cambia de efecto. En el rimer caso es desastrosa, en el segundo caso uede significar solo abstenerse un oco de bienes suntuarios. A esar de esto, cuando se trata de finanzas del mundo real, el suuesto usual es que el inversionista siente aversión hacia el riesgo y que su función de utilidad, durante cierto horizonte determinado es fija y estos suuestos funcionan bastante bien.

22 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 43 Figura 6.3. Prima de Seguro Contra el Riesgo. r es el eor resultado osible de la lotería De hecho, la casi totalidad de los que se comortan como aostadores, ráidamente se arruinan. Aunque a veces vemos en algún best seller que fulano o zutano se hizo millonario gracias a su asión hacia el riesgo o a su habilidad ara aostarle a valores eserados de inversiones de alto riesgo, ésta es la exceción y no la regla. Si fuera tan normal hacerse millonario de esa manera, or lo menos la mitad del mundo lo sería y ninguno de esos manuales ara hacerse millonario sería un best seller. Son best sellers orque muestran hechos extraordinarios, es decir, fuera de lo común. Figura 7. Efecto del Aumento o Disminución de la Riqueza en la Utilidad. Neutralidad Ante el Riesgo

23 44 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. PARTE II APLICACIÓN A LA TEORÍA DE LAS FINANZAS El Problema P Consumo-Inversión en condiciones de incertidumbre El roblema general de consumo e inversión en condiciones de incertidumbre se uede lantear de la manera siguiente: Un individuo necesita hacer decisiones del tio consumo- inversión en cada uno de untos del tiemo durante su vida. En el rimer unto, él tiene disonible una riqueza w, que debe reartir entre consumo durante el rimer eríodo, c y e inversión h = w -c, durante ese mismo eríodo. Al comienzo del segundo eríodo el nivel de riqueza es W = h (+ R ) = (w - c ) ( + R ) (0), donde las letras minúsculas reresentan cantidades fijas o valores conocidos, mientras las letras mayúsculas reresentan variables aleatorias. R es el retorno or un eríodo, al comienzo del eríodo or cada unidad monetaria invertida a comienzos del eríodo. Como, en general, R es una variable aleatoria, W también lo es. A comienzos del eríodo, W se divide entre consumo e inversión y el roceso se reite hasta el eríodo en el que la totalidad de la riqueza disonible w se consume y cualquier herencia a legar se considera consumo en este último eríodo. Se tiene así una sucesión de consumos, C t = (c, c,..., c ). Se suone que el individuo deriva satisfacción únicamente mediante consumo, es decir, la mera acumulación de riqueza no roduce satisfacción. El rincial objetivo consiste en delinear una estrategia de consumo-inversión que maximice el nivel de satisfacción que se esera en el tiemo de vida del individuo. Para atacar este roblema se hace uso de la llamada Hiótesis de la Utilidad Eserada. En términos generales, ésta establece que cuando el T.D. se enfrenta a situaciones de incertidumbre en las que existen varias alternativas de acción, cada una con su roia distribución de robabilidades ara los osibles resultados, él se comorta como si a cada resultado osible le asociara una utilidad (de acuerdo con una cierta función de utilidad de la riqueza, interna) y entonces escogiera la acción que roduce la máxima utilidad eserada. El desarrollo formal de las bases de este modelo ya se hizo en la arte I. A este

24 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 45 modelo nos referiremos en adelante como el modelo, indeendiente del tiemo, de la utilidad eserada de la riqueza. Re-interretación de los axiomas Para alicar los resultados obtenidos anteriormente, y en analogía con la rimera arte, el rimer aso es re-interretar los axiomas de la elección bajo incertidumbre en términos de las sucesiones C t. Los osibles resultados o recomensas son ahora, esas sucesiones de consumos y las loterías están definidas en términos de las sucesiones y de las robabilidades asociadas. El axioma de no saciedad se reinterreta de la siguiente manera: Considerando el consumo en otros eríodos como constante, en un eríodo cualquiera dado, el T.D. refiere más consumo a menos consumo. Esta re-interretación de todo el sistema, en términos de las sucesiones C imlica que las referencias del T.D. se ueden reresentar mediante una función de utilidad u(c ) = u(c, c,..., c ). El axioma de no saciedad imlica que la utilidad marginal del consumo en cualquier eríodo es ositiva. Además, en analogía con en el modelo, indeendiente del tiemo, de la utilidad eserada de la riqueza, la estricta concavidad, la estricta convexidad y la concavidad-convexidad de la función de utilidad u(c ), imlican, resectivamente, aversión hacia el riesgo, tendencia hacia el riesgo y neutralidad hacia el riesgo. Para ver esto, consideremos el caso de dos sucesiones de consumos (,,, c C c c ) y C ( c, c,, c ) y la lotería no degenerada L = ( C,C ;, - ).. Si u es estrictamente cóncava, se tiene que u( c ( ) c c ( ) c ) u( c,, c ) ( ) u( c,, ), c es decir, u( C ( ) C ) u( C ) ( ) u( C ). Por tanto, la utilidad del valor eserado de las recomensas es mayor que el valor eserado de las utilidades de las recomensas. Dado que u es creciente, el equivalente de certeza de L es menor que el valor eserado de las recomensas. Es decir, el T.D. siente aversión al riesgo.

25 46 Semestre Económico Ulises Cárcamo C.. Si u es estrictamente convexa se tiene que u( c ( ) c c ( ) c ) u( c,, c ) ( ) u( c,, ), c es decir, u( C ( ) C ) u( C ) ( ) u( C ). Por tanto, la utilidad del valor eserado de las recomensas es menor que el valor eserado de las utilidades de las recomensas. Dado que u es creciente, el equivalente de certeza de L es mayor que el valor eserado de las recomensas. Es decir, el T.D. es amante del riesgo. 3. Si u(x) = a.x +b, u( C ( ) C ) u( C ) ( ) u( C ) y or lo tanto el equivalente de certeza de la lotería L es igual al valor eserado de las recomensas. Esto significa que el T.D. es neutral ante el riesgo. La justificación ara una lotería con más de dos resultados tiene la misma forma. Conservación de la concavidad en cada uno de los eríodos Es muy imortante hacer énfasis en el siguiente hecho: La aversión al riesgo (o la comlacencia con el riesgo) en la función u = u(c ) imlica la aversión al riesgo (o la comlacencia con el riesgo) con resecto a cualquiera de las comonentes c k, k =,,...,. Es decir, manteniendo las demás comonentes constantes, u es una función cóncava (o convexa) de c k, ara cada uno de los eríodos. Suosiciones ara un mercado erfecto Consideremos las siguientes suosiciones ara un mercado erfecto:. El T.D. (consumidor) uede comrar tanto como quiera de un activo ara inversión sin afectar el recio de éste.. Todos los activos ara inversión son infinitamente divisibles, es decir, es osible adquirir cualquier fracción de éstos. 3. Los consumidores tienen libre acceso a toda la información que les ermite estimar las distribuciones de robabilidad. 4. No hay costos de transacción ni imuestos. Insuficiencia del rinciio de la utilidad eserada en el caso general En rinciio, el modelo de la utilidad eserada es una teoría comleta de elección en condiciones de incertidumbre: El individuo examina cada osible alternativa de consumo-inversión y selecciona aquella que maximiza la utilidad eserada.

26 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 47 En la ráctica de las finanzas esto no funciona or dos razones rinciales:. Las alternativas de consumo-inversión son de hecho infinitas así que es imosible examinar todas las distribuciones de robabilidad.. El modelo de la utilidad eserada, de or sí no tiene suosiciones verificables acerca de la conducta del consumidor. Para hacer que este modelo sea ráctico se necesita darle más estructura al roblema. Una forma de lograr esto es simlificar el roblema de tal manera que ara el T.D. es osible reresentar sus oortunidades de inversión en términos de romedios y una medida de disersión, or ejemlo, la varianza o la desviación estándar, de los retornos de los ortafolios de inversión. En estos casos nos interesa la situación en la que, dado un resuuesto a invertir, el individuo uede clasificar un ortafolio con resecto a otros ortafolios utilizando únicamente dos arámetros de la distribución del retorno del ortafolio e ignorando otros asectos de la distribución. En estos casos se dice que el modelo es un modelo de ortafolio con dos arámetros. En articular, este modelo es de una gran exactitud cuando los retornos de los ortafolios tienen una distribución normal. Los resultados del modelo, con modificaciones, se ueden alicar aun en situaciones en las que esta suosición de normalidad no es acetable. El modelo de un eríodo y dos arámetros Una simlificación del modelo de dos arámetros se da en el caso de un solo eríodo. Son suuestos de este modelo los siguientes:. El T.D. (consumidor) se comorta como si quisiera maximizar la utilidad eserada a artir de la función u(c, c ), que es creciente y estrictamente cóncava.. Las derivadas arciales de u existen ara todos los ares (c, c ). 3. Los retornos de un eriodo de los ortafolios de inversión disonibles tienen distribuciones normales. Se suone que el individuo deriva satisfacción únicamente mediante consumo, es decir, la mera acumulación de riqueza no roduce satisfacción.

27 48 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. Algunas consecuencias de los suuestos u( c, c) u( c, c) En virtud del crecimiento, se tiene que 0 c y 0 c es decir, los consumos marginales son siemre ositivos. (), En virtud de la concavidad estricta, se tiene que ara dos ares de untos distintos ( c, ) (, c ) y se tiene que u(. c ( ) c, c ( ) ) u ( c, c c c c ) ( ) u ( c, ), ara todo tal que 0 < <. c Sea R es el retorno de un eríodo del ortafolio, donde R P ~ N(, ) entonces, si se invierten (w - c ) en a comienzos del eríodo, el consumo al final del mismo será C = (w - c ) ( + R ) donde C ~N( (.) ( c w c ),.( w )) (). Relaciones entre la utilidad, el retorno eserado y la desviación estándar del retorno Veamos rimero mediante argumentos intuitivos, como, dado el consumo inicial c la inversión total (w -c ), y la normalidad de los retornos de un eríodo, la utilidad del consumidor que siente aversión ante el riesgo es una función creciente de y una función decreciente de : Primero Si (w - c ) y son constantes y se incrementa, digamos, hasta, la normalidad de R, imlica que la distribución de C deslazó su centro desde ( + ) (w - c ) hasta ( + ) (w - c ), a la derecha. Esto significa que la osibilidad de obtener retornos más altos aumenta. La marginalidad ositiva de la utilidad asegura que, otras cosas iguales (en articular c y ), el consumidor (T.D.) referirá mayor valor eserado a menos valor eserado, es decir, la utilidad aumenta con el valor eserado del retorno (ver Fig. 8). Segundo Otras cosas iguales, articularmente c y, un incremento en la desviación estándar, digamos de hasta, reresenta un alanamiento en la función de densidad. La robabilidad de retornos altos al final de eríodo aumentan, ero de igual ma-

28 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 49 Figura 8. Deslazamiento de la Densidad del Consumo al Final del Periodo nera, or la simetría de la distribución, la robabilidad de muy bajos retornos también aumenta y en la misma roorciona. Por el análisis asociado con la figura 6., sabemos que el consumidor tratará de evitar esta situación, es decir, la utilidad disminuye con la desviación estándar. Portafolios (R), (R) eficientes Consideremos la variable aleatoria R, que reresenta el retorno, en un eríodo, del ortafolio. Sean (R ) y (R ), resectivamente, el valor eserado y desviación estándar del retorno de. Se dice que es (R), (R) eficiente, si ningún ortafolio que tenga el mismo retorno eserado (R ) o un retorno eserado mayor, tiene una desviación estándar menor que (R ). La figura 0 resenta una región sombreada de osibles ortafolios en el lano ( R)(R). Únicamente aquellos en la línea reteñida FE son eficientes. FE se llama la frontera eficiente y es una curva cóncava. Como, dado cualquier consumo inicial c, (y cualquier inversión inicial w - c ), la utilidad es una función creciente de (R) y una función decreciente de (R), entonces el ortafolio que maximiza la utilidad debe estar en la frontera eficiente. Este resultado se conoce como el teorema de conjunto eficiente y se formaliza a continuación: Teorema del conjunto eficiente El ortafolio ótimo de un consumidor con aversión al riesgo es (R), (R) eficiente.

29 50 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. Figura 9. Alanamiento de la Densidad del Consumo al Final del Periodo Las curvas de indiferencia del consumidor El comortamiento de la utilidad eserada con es (R) y (R) se uede observar también desde el unto de vista de las curvas de indiferencia. Dado cualquier nivel de consumo inicial c (y de inversión w c ), las curvas de indiferencia, dibujadas en el lano (R)(R) deben ser crecientes dado que al aumentar la desviación estándar (riesgo), la utilidad se mantendrá constante solo si al consumidor se le recomensa con un aumento el retorno eserado. Debido a la variación de u con el retorno eserado y la desviación estándar del re- Figura 0. Región de Posibles Portafolios y Frontera Eficiente

30 Los fundamentos matemáticos: teoría de las finanzas 5 torno, el gradiente de la función aunta diagonalmente hacia la izquierda y hacia arriba. (Ver Fig. ). Teniendo en cuenta estos asectos, es intuitivamente obvio, bajo los suuestos acetados que el ortafolio ótimo, es decir, aquel que hace máxima la utilidad eserada del consumo, estará en el unto de tangencia de la frontera eficiente con una de las curvas de indiferencia (Ver figura ). Deducción formal de estos resultados, extensión de la teoría Con el fin de obtener estos resultados de manera formal es necesario extender la teoría de la utilidad al caso continuo, es decir, se trata la riqueza como una variable continua. He aquí algunos untos imortantes: En este caso, las loterías solo se ueden describir mediante su función de distribución, en el caso más general, o or su función de densidad, cuando la tienen. Las funciones de distribución reservan la linealidad de las loterías, or ejemlo, dada la lotería comuesta (L,..., L m ;,..., ), donde la función de distribución de L k m = F k, ara k =,,..., m. La función de distribución de la lotería simle equivalente está dada or m F( x) k. Fk ( x). k En este caso L*, el conjunto de todas las loterías, es el conjunto de todas las funciones de distribución sobre un intervalo [a, + ). Figura. Curvas de nivel de Consumidor y Dirección de Crecimiento de la Utilidad Eserada

31 5 Semestre Económico Ulises Cárcamo C. Figura. Portafolio Ótimo Además, la utilidad ara loterías (utilidad eserada) se calcula con una exresión de la forma U(F) = u ( x) df( x) donde u es la utilidad definida sobre riqueza en condiciones ciertas. El T.D. siente aversión al riesgo si y solo si u ( x) df u x. df ( x) ara toda F. El equivalente en condiciones de certeza de una lotería F se define como la cantidad EC(F,u) tal que u(ec(f,u)) = u ( x) df( x). Esta definición es comletamente análoga a la definición 8. Dentro de esta teoría extendida las siguientes definiciones son equivalentes:. El T.D. siente aversión al riesgo. u = u(x) es cóncava. 3. EC ( F, u) xdf( x), ara toda F Formalización de los resultados ara el modelo de un eríodo Aunque en el caso más general u ( x) df( x) es una integral de Lebesgue- Stieltjes, en la mayoría de los casos rácticos, se reduce a una sencilla integral de Riemann. A manera de ejemlo, los anteriores resultados del modelo de un eríodo se ueden obtener de manera formal, utilizando solo herramientas matemáticas de nivel intermedio. Uno de los suuestos del modelo dice que R ~N (, inversión. Si hacemos ) ara cualquier ortafolio de R r (3), entonces la distribución de r es normal