2. INFERENCIA LÓGICA

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1 2. INFERENCIA LÓGICA 2.1. Introducción En el caítulo 1, hemos arendido a dividir las roosiciones en sus artes lógicas y de este modo se ha llegado a conocer algo sobre la forma lógica de las roosiciones. En este caítulo, estudiaremos las imlicaciones lógicas, conocidas, más comúnmente, como reglas de inferencia, y la forma como ueden utilizarse como base de un razonamiento válido. Hay, or suuesto, argumentos que no son válidos, llamados falacias que, también, los analizaremos más adelante. Las reglas de inferencia que rigen el uso de los términos de enlace son muy simles. Se ueden arender estas reglas y su uso, como se arenden las reglas de un juego. El juego se juega con roosiciones. Se emieza con conjuntos de roosiciones simbolizadas que se llaman remisas. El objetivo del juego es utilizar las reglas de inferencia de manera que conduzcan a otras roosiciones que se denominan conclusiones. El aso lógico de las remisas a la conclusión es una deducción. La conclusión que se obtiene se dice que es una consecuencia lógica de las remisas si cada aso que se da ara llegar a la conclusión está ermitido or una regla. La idea de inferencia se uede exresar como: de remisas verdaderas se deducen sólo conclusiones que son verdaderas Reglas de inferencia y demostraciones Veamos un ejemlo de inferencia antes de enunciar las leyes formalmente. Suongamos que se tienen dos remisas, la roosición q y la roosición. Se sabe que estas remisas están dadas; es decir, se emieza diciendo que se ha dado y que se ha dado q. Se uede sacar alguna conclusión de estas dos roosiciones? Es decir, se uede derivar otra roosición que haya de ser cierta si las remisas son ciertas? La conclusión es clara si se leen las remisas en la forma: Si entonces q, y. La rimera roosición dice que si se verifica, entonces se verifica q, y la segunda dice que se verifica. La conclusión es que se verifica q. La roosición q es consecuencia lógica de las remisas, y q. Las formas de deducción ueden resentarse de varias maneras. La conclusión se establece desués de las remisas, y se exresa mediante alabras tales como or lo tanto, como consecuencia, luego y en conclusión. En las reglas que siguen, se enumeran todas las remisas, y se escriben una debajo de la otra, y se coloca una línea horizontal debajo de la última remisa, y debajo de esta línea está la conclusión recedida del símbolo que tiene alguno de los significados dados en el árrafo anterior. 29

2 La regla de inferencia comentada en el ejemlo anterior, que tiene un nombre roveniente del latín, se escribe de la siguiente forma: 1. Modus onendo onens (M). q q Esta regla de inferencia ermite demostrar q a artir de y q ; es decir, se uede asar de las dos remisas a la conclusión, o decir que la conclusión es consecuencia lógica de las remisas o que siemre que las remisas sean ciertas, la conclusión también es cierta. Como el esquema de razonamiento es válido y si utilizamos el símbolo ara searar las remisas de la conclusión, entonces la regla anterior se uede escribir como la siguiente imlicación lógica: [ ( q)] q Que se uede verificar fácilmente, que es una tautología, mediante una tabla de verdad. La regla de inferencia dice que si se tienen dos roosiciones de la forma y q, se uede deducir la conclusión q. Recuérdese que la regla se alica a la forma de las roosiciones; es decir, que siemre que se dé un condicional y se dé recisamente el antecedente de éste, se sigue lógicamente el consecuente. La misma regla se alica tanto si el antecedente es una roosición simle como si es una roosición comuesta y tanto si el consecuente es una roosición simle como si es una roosición comuesta. El nombre en latín de modus onendo onens se uede exlicar de la siguiente manera: Esta regla de inferencia es el método (modus), que afirma (onens) el consecuente, afirmando (onendo) el antecedente. Ejemlo 1. La regla de inferencia denotada or M se uede escribir, también, como: q ( q) r r o bien como: ( q) ( r s) ( q) r s Ejemlo 2. Veamos ahora una inferencia de la misma forma, ero cuyo contenido se ha sacado del lenguaje corriente. La rimera remisa es el condicional: Si nieva hoy, entonces iremos a esquiar. La segunda remisa es: está nevando hoy. Qué conclusión se uede sacar de estas dos remisas? Solución. La conclusión es iremos a esquiar. Esta conclusión se uede inferir lógicamente de las remisas dadas. 30

3 Cuando se usa una regla de inferencia ara asar de un conjunto de roosiciones a otra roosición se demuestra que la última roosición es consecuencia lógica de las otras. Utilizando el modus onendo onens se demuestra s a artir de las remisas r y r s. Se uede esquematizar la demostración de manera más clara escribiendo: r r s s M Cada línea de la demostración está numerada. Desués de las roosiciones simbolizadas se indican cómo se obtiene cada roosición. Las líneas que son remisas se reresentan or. Se arte de ellas y se deduce la línea or el modus onendo onens, lo que se indica en la línea or la abreviatura M. Algunas veces no se uede ir directamente de las remisas a la conclusión en un solo aso. ero esto no imide que se ueda llegar a la conclusión. Cada vez que se deduce una roosición or medio de una regla, entonces esta roosición se uede utilizar junto con las remisas ara deducir otra roosición. Considérese un ejemlo en el que se tienen tres remisas: q q r Se quiere robar la roosición r. ara llegar a r, se necesitan dos asos, cada uno ermitido or el modus onendo onens, M. Estos dos asos son las líneas y 5) escritas a continuación: q q r q M 1, 3 5) r M 2, 4 Obsérvese que cada línea está numerada, tanto si es una remisa como una línea deducida. Además, desués de las abreviaturas corresondientes a las reglas emleadas ara obtener las líneas deducidas, se ha indicado el número de las líneas a artir de las cuales se ha deducido esta línea. Ejemlo 3. Demostrar r s de las siguientes remisas: r s t u t u 31

4 Solución. 5) r s t u t u r s M 2, 3 M1, 4 Las reglas que siguen se resentan como la anterior y se da un ejemlo de alicación, se ueden hacer comentarios similares a los dados en ésta rimera regla. 2. Regla de Doble Negación (DN). ( ) y ( ), como imlicaciones lógicas: ( ) y ( ). Recuérdese que ( ) [ ( ) ] [ ( )]. Ejemlo 4. Demostrar q a artir de las siguientes remisas: r s r s ( q) Solución. 5) 6) r s r s ( q) r s ( q) q M1, 3 M 2, 4 DN 5 3. Modus Tollendo Tollens (MTT). q q, como imlicación lógica: [( q) q]. Esta regla que tiene nombre en latín modus tollendo tollens se alica a los condicionales; negando (tollendo) el consecuente, se uede negar (tollens) el antecedente del condicional. Ejemlo 5. Demostrar r a artir de las siguientes remisas: q 32 q r

5 Solución. 5) q q r r MTT1, 2 M 3, 4 4. a) Ley de Adjunción (A). q, como imlicación lógica: [( ) ( q)] ( q). q b) Ley de Simlificación (S). q, como imlicación lógica: ( q) ó ( q) q. q El orden de las remisas (o la conclusión) es indiferente. La conjunción es conmutativa. Ejemlo 6. Demostrar r r r q q de: Solución. r r r q M 1, 2 5) q M 2, 3 6) q A 4, 5 Ejemlo 7. Demostrar r t s r s de: Solución. r t s r r S 1 s MTT 2, 3 33

6 5. Modus Tollendo onens (MT). q q, como imlicación lógica: [( q) q]. Una vez más, el nombre en latín dice algo acerca de la regla. Dice que negando (tollendo) un miembro de la disyunción se afirma (onens) el otro miembro. Ejemlo 8. Demostrar q de: q r r Solución. q r r ( ) MTT 2, 3 5) DN 4 6) q MT 1, 5 6. Ley de Adición (LA). q, como imlicación lógica: q. Ejemlo 9. Demostrar q r de: s q s Solución. 5) s q s q q q r M1, 2 S 3 LA 4 7. Ley del Silogismo Hiotético (SH). q q r r, como imlicación lógica: [( q) ( q r)] ( r). 34

7 La conclusión es en este caso un condicional. Ambas remisas son condicionales. Esta ley también es bastante conocida como la ley transitiva. Ejemlo 10. Demostrar q de: r s s q r t t Solución. 5) 6) 7) 8) r s s q r t t r q r q q SH1, 2 MTT 3, 4 M 5, 6 S 7 8. Ley del Silogismo Disyuntivo (SD). q r q s r s, como imlicación lógica: [( q) ( r) ( q s)] ( r s). De nuevo la conclusión se uede considerar que es un condicional ya que r s r s. Ejemlo 11. Demostrar t de: s r r t s Solución. s r r t s 5) t 6) t 7) t SD1, 2, 3 MT 4,5 A 4,6 35

8 Se debe tener cuidado al alicar la ley anterior. rimero hay que verificar que se tienen los dos condicionales y que los antecedentes de los condicionales son recisamente los dos miembros de la disyunción dada. 9. Ley del Simlificación Disyuntiva (D)., como imlicación lógica: ( ). Ejemlo 12. Demostrar r de: q r q r Solución. 5) q r q r r r r SD1, 2, 3 D 4 El ejemlo anterior es una alicación imortante de la ley de simlificación disyuntiva ara una forma esecial del silogismo disyuntivo. 10. Leyes Conmutativas (LC). q q y q, q Estas reglas, osiblemente arecerán muy triviales; sin embargo se han de enunciar, ues no se uede dar ningún aso como conocido, si no se tiene una regla exlícita que lo ermita. Estas leyes corresonden a las equivalencias lógicas dadas en el caítulo anterior que son: q q y q q. 11. Leyes de DE Morgan (LD). ( q) q ( q) q y y q, ( q) q. ( q) Estas leyes también corresonden a las dos equivalencias lógicas dadas en el caítulo anterior, conocidas con el mismo nombre. 36

9 Ejemlo 13. Demostrar s t de: ( r ) q r s ( q s) ( t s) Solución. ( r ) q r s ( q s) ( t s) 5) ( r) LD 1 6) r DN 5 7) r S 6 8) s M 3, 7 9) S 6 10) q MT 2, 9 1 q s A 8, 10 1 t s M 4, 11 1 s t LC Ley de roosiciones Bicondicionales (B). q, q como imlicación lógica: ( q) ( q) ( q ). q q q, como imlicación lógica: ( q) ( q ) ( q). q Ejemlo 14. Demostrar r de: ( q r) Solución. ( q r) ( q r) B 1 q r M 2, 3 5) r S 4 37

10 La regla 12 es de nuevo una equivalencia ya dada, escrita como dos reglas de inferencia. En general, las equivalencias dadas en el caítulo anterior se ueden reescribir como reglas de inferencia, de la misma manera como se hizo con las últimas cuatro leyes. ara finalizar esta sección vamos a desarrollar dos ejemlos más sacados del lenguaje natural y donde alicaremos algunas de las reglas de inferencia dadas. Ejemlo 15. Demostrar que las hiótesis Esta tarde no hace sol y hace más frío que ayer, Iremos a nadar sólo si hace sol, Si no vamos a nadar, daremos un aseo en canoa y Si damos un aseo en canoa, estaremos en casa ara la uesta del sol conducen a la conclusión estaremos en casa ara la uesta del sol. Solución. Sea la roosición Esta tarde hace sol, q la roosición Hace más frío que ayer, r la roosición Iremos a nadar, s la roosición daremos un aseo en canoa y t la roosición estaremos en casa ara la uesta del sol. Entonces, las hiótesis se ueden exresar como q, r, r s y s t. La conclusión es simlemente t. (En el caso de la segunda hiótesis, se recuerda que una de las formas de exresar r es r sólo si, de lo visto en el caítulo. A continuación haremos la deducción de la conclusión deseada a artir de las hiótesis como remisas: q r r s s t 5) 6) r 7) s 8) t S1 MTT 2, 5 M 3, 6 M 4, 7 Ejemlo 16. Mostrar que las hiótesis Si me mandas un mensaje or correo electrónico, entonces acabaré de escribir el rograma, Si no me mandas un mensaje or correo electrónico, me iré a la cama temrano y Si me voy a la cama temrano, me levantaré descansado llevan a la conclusión Si no acabo de escribir el rograma, me levantaré descansado. Solución. Sea la roosición me mandas un mensaje or correo electrónico, q la roosición Terminaré de escribir el rograma, r la roosición Me iré a la cama temrano, y s la roosición Me levantaré mañana descansado. Entonces, las hiótesis se ueden exresar como q, r, y r s. La conclusión es q s. A continuación se hace la deducción de la conclusión a artir de las hiótesis como remisas: q r r s 38

11 5) 6) q q r q s Contrarrecíroca de1 SH 4, 2 SH 5, Resumen Se ha visto que uno de los objetivos imortantes de la lógica es la inferencia o deducción de conclusiones de un conjunto de remisas dado. Hasta aquí, en nuestro estudio de las imlicaciones lógicas se han analizado alrededor de quince reglas de inferencia, las suficientes ara oder hacer demostraciones largas y bastante comlicadas. Las reglas de la lógica no son, evidentemente, reglas elegidas al azar. Son de tal forma que sólo ermiten hacer inferencias válidas. Una inferencia válida es la que es consecuencia lógica de las remisas. Esto significa que si las remisas son ciertas, la conclusión que se sigue también ha de ser cierta. ara seguir en el estudio de la lógica es esencial estar muy familiarizado no sólo con la idea misma de inferencia válida, sino también con cada regla articular de inferencia que ermite realizar un aso lógico. Si no se conocen bien estas reglas no se es caaz de lanear una estrategia que ayudará a alcanzar la conclusión deseada. Ejercicios 1. Demuestre de las siguientes remisas: r s r s q q 2. Demuestre q de las siguientes remisas: r 5) r s s t t u u q 3. Demuestre r s de: q q t 39

12 t u v u v r s 4. Demuestre s de: q q r s r 5. Demuestre de: q q r r s s 6. Demuestre u de: t s t s q q u 7. Demuestre q s de: q r q s r 8. Demuestre s q de: s q ( t r) s ( t r) 9. Demuestre r de: q r q 10. Demuestre s de: q q r r ( t s) 40

13 11. Demuestre r de: q s s ( r s) q 12. Demuestre de: t q ( t) q 13. Demuestre de: r q q r 14. Demuestre t de: r s s r t 15. Demuestre q de: q s s t t 16. Demuestre q de: ( q ) r r 17. Demuestre t de: q r q s r t 18. Qué reglas de inferencia se utilizan en las siguientes deducciones? a) Alicia estudia matemáticas. or tanto, Alicia estudia o bien matemáticas o bien ingeniería. 41

14 42 b) Henry estudia matemáticas e ingeniería. or tanto, Henry estudia matemáticas. c) Si llueve, se cierra la iscina. Llueve; or tanto, está cerrada. d) Si nieva hoy, se cerrará la universidad. La universidad no está cerrada hoy. or tanto, no nieva hoy. e) Si voy a nadar, entonces estaré al sol demasiado tiemo. Si estoy al sol demasiado tiemo, me quemaré. or tanto, si voy a nadar me quemaré. 19. ara cada uno de los siguientes conjuntos de remisas, qué conclusión o conclusiones de ueden deducir? Indique las reglas de inferencia utilizadas ara obtener la conclusión. a) Si me tomo el día libre, bien llueve o bien nieva. Me tomé el martes o el jueves libre. Hizo sol el martes. No nevó el jueves. b) Si ceno comidas icantes, entonces tengo sueños extraños. Tengo sueños extraños si truena or la noche. No he tenido sueños extraños. c) Soy bien inteligente o bien afortunado. No soy afortunado. Si soy afortunado, me ganaré la lotería. d) Lo que es bueno ara las emresas, lo es ara tu aís. Lo que es bueno ara tu aís es bueno ara ti. Lo que es bueno ara las emresas es que consumas comulsivamente. e) Estoy soñando o estoy alucinando. No estoy soñando. Si estoy alucinando, veo elefantes corriendo or la carretera. 20. Utilice las reglas de inferencia ara mostrar que las hiótesis Tomás trabaja duro, Si Tomás trabaja duro, será un joven juicioso, Si Tomás es un joven juicioso, no conseguirá el trabajo imlican la conclusión Tomás no conseguirá el trabajo. En cada uno de los ejercicios del 21 al 25, demuestre que la conclusión es consecuencia lógica de las remisas dadas. 21. Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de la diez y vio artir el coche de Andrés. Si Andrés dice la verdad, entonces Juan no vio artir el coche de Andrés. O Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. El reloj está adelantado. or lo tanto, Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen. 22. Si se suben los recios o los salarios, habrá inflación. Si hay inflación, entonces el congreso debe regularla, o el ueblo sufrirá. Si el ueblo sufre, los congresistas se harán imoulares. El congreso no regulará la inflación y los congresistas no se volverán imoulares. En consecuencia, no subirán los salarios. 23. O la lógica es difícil o no les gusta a muchos estudiantes. Si las matemáticas son fáciles, entonces la lógica no es difícil. En consecuencia, si a muchos estudiantes les gusta la lógica, las matemáticas no son fáciles. 24. O Juan y Enrique son de la misma edad, o Juan es de más edad que Enrique. Si Juan y Enrique son de la misma edad, entonces Elizabeth y Juan no son de la misma edad. Si Juan es de más edad que Enrique, entonces Juan es de más edad que María. or lo tanto, o Elizabeth y Juan no son de la misma edad o Juan es de más edad que maría.

15 25. Si A ganó la carrera, entonces o B fue el segundo o C fue el segundo. Si B fue el segundo, entonces A no gano la carrera. Si D fue el segundo, entonces C no fue el segundo. A gano la carrera. En consecuencia, D no fue el segundo Teorema de la deducción Una regla de deducción muy útil es la rueba condicional, conocida también como el teorema de la deducción, La idea general de esta regla es que odemos introducir una remisa r, or decirlo así, condicionalmente, y usarla en conjunción con las remisas originales, ara deducir una conclusión s y a continuación afirmar que el condicional r s se sigue de las remisas originales únicamente. Introducir un nuevo suuesto o remisa cada vez que lo deseemos uede arecer absurdo, ues se suondría que si se disusiera de suficientes remisas, se odría robar absolutamente cualquier cosa. La médula de la cuestión está en que si odemos inferir válidamente s de las remisas 1, 2,, n y r, entonces odemos inferir r s de 1, 2,, n. ues suongamos que la rimera inferencia fuera válida y la segunda no válida en algún caso articular. Entonces r s tendría que ser falsa; ero odría suceder sólo si r fuera verdadera y s falsa. Sin embargo, si este fuera el caso, s sería falsa, las remisas 1, 2,, n, r verdaderas y la rimera inferencia también sería no válida. odemos, en consecuencia, acetar: Teorema de la deducción (TD). Si odemos deducir s de r y de un conjunto de remisas, entonces odemos deducir r s del conjunto de remisas únicamente. Veamos ahora con un ar de ejemlos cómo funciona el teorema de la deducción. Ejemlo 17. Demostrar r s de las remisas: ( q s) r q Solución. 5) 6) 7) 8) ( q s) r q r q s s r s suuesto MT 2, 4 M1, 5 M 3, 6 TD 4, 7 43

16 Ejemlo 18. Demostrar el Silogismo Hiotético, es decir, demostrar q q r r de: Solución. 5) 6) q q r q r r suuesto M1, 3 M 2, 4 TD 3, 5 Ejercicios Utilizando, únicamente, el teorema de la deducción, realice cada uno de los ejercicios del 1 al Demuestre t q a artir de las siguientes remisas: r ( s q) t r s 2. Demuestre r de: q ( q s) q ( s r) 3. Demuestre s t de: ( q r) ( s t) r 4. Demuestre s de: ( q r) 44 q s r 5. Muestra que las hiótesis Si vamos a Euroa entonces recorremos Escandinavia, Si vamos a Euroa entonces, si recorremos Escandinavia entonces visitamos Noruega y Si recorremos Escandinavia entonces, si visitamos Noruega, haremos un viaje a los fiordos llevan a la conclusión Si vamos a Euroa, haremos un viaje a los fiordos.

17 Resuelva el siguiente ejercicio utilizando el teorema de la deducción. 6. O la lógica es difícil o no les gusta a muchos estudiantes. Si las matemáticas son fáciles, entonces la lógica no es difícil. En consecuencia, si a muchos estudiantes les gusta la lógica, las matemáticas no son fáciles Consistencia de remisas Algunas veces no estamos interesados en deducir una conclusión articular de un conjunto de remisas, sino en decidir si las remisas son consistentes o son inconsistentes. La noción intuitiva de inconsistencia es que un conjunto de remisas es inconsistente si no ueden ser ciertas todas al mismo tiemo. En muchos casos no es fácil decidir si un conjunto de remisas es inconsistente, simlemente observándolas y, en consecuencia, es necesario tener una técnica ara analizar la inconsistencia. ara comenzar, se dice que dos roosiciones son contradictorias si una es negación de la otra; una contradicción es una conjunción de dos roosiciones contradictorias, esto es, es una conjunción de la forma. Ahora bien, es fácil ver que un conjunto de remisas es inconsistente si uede deducirse lógicamente de él una contradicción. Nuestra técnica ara analizar si un conjunto de remisas es inconsistente consiste, ues, en deducir una contradicción. El rocedimiento de deducir una contradicción se efectúa de la misma forma que el de deducir una conclusión dada, con la diferencia de que al deducir una conclusión, ésta (la conclusión), es fijada de antemano, mientras que al deducir una contradicción, es cualquier contradicción sin imortar de que contradicción se trate. En los siguientes ejemlos se utilizan las reglas de inferencia ara demostrar que un conjunto de remisas dado es inconsistente. Ejemlo 19. Demostrar que el siguiente conjunto de remisas es inconsistente: ( q ) r q r Solución. ( q r q r q 5) q 6) 7) r ) LD1 S 4 S 4 M 3, 5 45

18 8) 9) r r r MT 2, 6 A 7, 8 uesto que se ha deducido una contradicción, indicada en el renglón 9 como odemos concluir que el conjunto de remisas dado es inconsistente. r r, Ejemlo 20. Demostrar que el siguiente conjunto de remisas es inconsistente: q q r s r s Solución. q q r s r s 5) r 6) 7) s 8) r 9) s 10) s s SH1, 2 S 4 S 4 M 5, 6 MTT 3, 8 A 7, 9 uesto que, nuevamente, se ha deducido una contradicción, indicada en el renglón 10 como s s (recuérdese que no imorta de qué tio de contradicción se trate), concluimos que el conjunto de remisas dado inicialmente es inconsistente. Ahora, suongamos que tenemos un conjunto de remisas del cual no se sabe si es consistente o inconsistente, si se intenta deducir una contradicción y no se logra, no es una razón suficiente ni mucho menos una demostración de que el conjunto de remisas es consistente. La regunta natural que surge es cómo robar que un conjunto de remisas es consistente? ara resonder a esta regunta recordemos que inconsistencia de remisas quiere indicar que estas no ueden ser simultáneamente ciertas. or lo tanto, ara robar la consistencia de un conjunto de remisas es suficiente con mostrar la existencia de una asignación de valores de verdad en la que todas las remisas sean ciertas. Ejemlo 21. Demostrar que el siguiente conjunto de remisas es consistente: q 46 r q r

19 Solución. Si realizamos la deducción de la manera usual observamos que no llegamos a una contradicción. ero como lo habíamos afirmado, esto no es una demostración de que las remisas sean consistentes; ara demostrar la consistencia hay que hacer una asignación de valores de verdad en la que todas las remisas resulten verdaderas. Si asignamos a el valor de verdad V, a q el valor de verdad F y a r el valor de verdad F, se tiene que todas las remisas resultan verdaderas, esto es suficiente ara afirmar que el conjunto de remisas es consistente. Ejemlo 22. Juan aodado el inteligente es un estudiante de rimer semestre de ingeniería de sistemas de la Universidad Javeriana. Estando con sus comañeros de semestre en la cafetería hizo el siguiente comentario: rogramar es fácil y Cobol no es un buen lenguaje de rogramación. Si rogramar es fácil, entonces Assembler es un lenguaje de bajo nivel. Si Cobol es un buen lenguaje de rogramación, entonces Assembler no es un lenguaje de bajo nivel. A lo que resondió Francisco (uno de sus comañeros), tus afirmaciones son contradictorias. Tiene razón en su comentario Francisco? Solución. Simbolizando las roosiciones. Sean, : rogramar es fácil. q: Cobol no es un buen lenguaje de rogramación y r: Assembler es un lenguaje de bajo nivel. Las remisas quedan, entonces de la forma: q r q r Obsérvese, que son las mismas remisas del ejemlo 21. Como allí, se demostró que las remisas son consistentes, odemos concluir entonces que: Francisco no tiene la razón. Ejercicios En los ejercicios del 1 al 3, demuestre que cada conjunto de remisas es consistente ( r s) ( t r) s t ( s r) t ( q) r r t t u q r 5) t u 47

20 3. q q r s t t u En los ejercicios del 4 al 7, demuestre que cada conjunto de remisas es inconsistente. 4. q q q ( q r) r r q q s ( r q) ( q s) ( q r) ( s r) ( r q) ( s r) En los ejercicios del 8 al 10, demuestre o refute la consistencia de las deducciones que se hacen: 8. Si el día tiene 24 horas o la hora tiene 60 segundos, entonces el año tiene 365días y algunos meses tienen 30 días. Si la hora no tiene 60 segundos, entonces el año tiene 365 días o el día tiene 24 horas. Si el año tiene 365 días, entonces algunos meses tienen 30 días. El año no tiene 365 días. 9. El Banco de la Reública fue estafado y el Chase Manhatan no está imlicado. Si el número de estafados fue cuatro, entonces el Chase Manhatan está imlicado. O el número de estafados fue cuatro o un emleado del Banco de la Reública es cómlice. 10. Si Juan trabaja en el comutador, entonces edro va al cine, y si Martha escucha música, entonces Jairo juega futbol. Juan no trabaja en el comutador o edro va al cine, si y sólo si, Martha no escucha música y Jairo no juega futbol ruebas indirectas odemos utilizar el teorema de la deducción y la noción de conjunto inconsistente de remisas, ara introducir el imortante método de rueba indirecta (llamado también 48

21 rueba or contradicción y rueba or reducción al absurdo). La técnica de esta rueba se desarrolla como sigue: ( Introdúzcase como una nueva remisa la negación de la conclusión deseada. ( artiendo de esta remisa, juntamente con las remisas dadas, dedúzcase una contradicción. ( Afírmese la conclusión deseada como inferencia lógica de las remisas. odemos demostrar esquemáticamente cómo estos tres asos caen dentro del atrón de una deducción formal. Sea la conjunción de las remisas y C la conclusión deseada. C... n) s s n + C ( s s) n + C suuesto... or reglas de inferencia TD 2, n Ley del absurdo n + 1 ara ilustrar este esquema, y ara dar dos ejemlos articulares de rueba indirecta, consideremos los siguientes casos. Ejemlo 23. Demostrar q r q ( r) de las siguientes remisas: Solución. 5) 6) 7) 8) 9) 10) 1 q r q ( r) q r r r r r ( r r) suuesto M1, 4 MT 2, 5 LD 3 MT 4, 7 A 6, 8 TD 4, 9 ley del absurdo10 Ejemlo 24. Demostrar s de las siguientes remisas: q r 49

22 q s r Solución. q r q s r s 5) 6) s 7) q r 8) r 9) q 10) ( s) ( ) s suuesto S 4 S 4 M1, 5 M 3, 6 MT 7, 8 M 2, 9 A 5,10 TD 4,11 ley del absurdo12 Ejercicios Cada uno de los ejercicios del 1 al 11, realícelo or el método de reducción al absurdo. 1. Demuestre de: r q s t t q r s 2. Demuestre r q de: q s q r s q s 3. Demuestre r s de: q s u t q u t 50

23 4. Demuestre r de: q ( q) r q 5. Demuestre s de: ( q) r ( q) r s 6. Demuestre s de: ( t s) t ( q r) ( q r) 7. Demuestre q de: ( q) r s ( t r) s 8. Demuestre s de: ( q) t s t 9. Demuestre u de: ( q) r ( r s) q ( s t) u 10. Demuestre s de: ( q) ( r) t ( ( r q)) t s 11. Demuestre que las hiótesis Si Colombia sigue endeudándose y los dineros no son bien invertidos, entonces vamos a la quiebra económica, no vamos a la quiebra económica o habrá más imuestos y es falso, que si los dineros no son bien invertidos, entonces habrá más imuestos llevan a la conclusión Colombia no sigue endeudándose. 51

24 Mediante reducción al absurdo, en cada uno de los ejercicios del 12 al 15, demuestre la validez de la deducción: q ( ( r)) 12. q ( ( r s)) s 13. ( q r) ( t) ( q r) t ( ( r q)) r q ( q) ( r t) 14. ( r t) ( q) ( q r) ( ( r q)) t 15. ( r) ( t ( r)) r Mediante el método reducción al absurdo (demostraciones or contradicción), en cada uno de los ejercicios 16 al 20, demuestre que la conclusión es consecuencia lógica de las remisas dadas. 16. Si Colombia decide no agar la deuda externa o romer relaciones con la Banca Internacional, entonces el Fondo Monetario Internacional decide no autorizarle réstamos. Si Colombia decide agar la deuda externa, entonces será visto como un aís con caacidad de ago y el Fondo Monetario Internacional decide autorizar restamos a Colombia. En consecuencia, Colombia será visto como un aís con caacidad de ago. 17. Los triángulos son olígonos y un cuadrado es un aralelogramo. Si un cuadrado es un aralelogramo, entonces la intersección de un lano con una esfera nos determina un círculo o los triángulos no son olígonos. or lo tanto, la intersección de un lano con una esfera nos determina un círculo. 18. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, o una relación es un subconjunto del roducto cartesiano y una función es una relación. Una relación es un subconjunto del roducto cartesiano o el conjunto vacío tiene elementos. Si una relación no es un subconjunto del roducto cartesiano o una función no es una relación, entonces el conjunto vacío no tiene elementos. Así tenemos que todo conjunto es subconjunto de sí mismo o una relación es un subconjunto del roducto cartesiano. 52

25 19. O la lógica es difícil o no les gusta a muchos estudiantes. Si las matemáticas son fáciles, entonces la lógica no es difícil. En consecuencia, si a muchos estudiantes les gusta la lógica, las matemáticas no son fáciles. 20. Si Colombia sigue endeudándose y los dineros no son bien invertidos, entonces vamos a la quiebra económica. No vamos a la quiebra económica o habrá más imuestos. Es falso, que si los dineros no son bien invertidos, entonces habrá más imuestos. or lo tanto, Colombia no sigue endeudándose La resolución La resolución es una regla de inferencia que se utiliza, usualmente, ara realizar demostraciones or contradicción. Es decir, ara robar una roosición (demostrar su validez) se demuestra que su negación lleva a una contradicción. uesto que existe un algoritmo ara convertir cualquier roosición a la forma normal conjuntiva (véase sección 1.17), no erdemos la generalidad si emleamos un rocedimiento de demostración (como la resolución) que oere solamente con roosiciones exresadas de esta forma. De hecho ara que la resolución funcione, es necesario ir un oco más allá. Es necesario convertir el conjunto de remisas y la negación de la conclusión en un conjunto de cláusulas, donde una cláusula se define como una roosición en forma normal conjuntiva que no contiene ninguna conectiva ; o dicho de otra forma, una cláusula es una disyunción de variables o sus negaciones. ara ello, se convierte cada remisa y la negación de la conclusión a la forma normal conjuntiva y, a continuación se dividen esas exresiones en cláusulas, una or cada conjunción. Las conjunciones se consideran agruadas. Desués de alicar este rocedimiento tendremos un conjunto de cláusulas. Estas cláusulas serán las que utilice la resolución ara hacer demostraciones. La resolución es un roceso iterativo simle en el cual, en cada aso se comaran (resuelven) dos cláusulas llamadas cláusulas adres, generando una nueva cláusula (resolvente) llamada cláusula hija, que se ha inferido de ellas. Suongamos que se tienen dos cláusulas como remisas: q r A artir de estas dos cláusulas se uede deducir la cláusula: q r. Esta es la única regla que se utiliza en la resolución. Escrita como regla de inferencia se uede exresar como: 53

26 q r q r, como imlicación lógica: [( q) ( r) ] ( q r). En articular; si q r, se tiene [( q) ( q) ] q y si r F, se tiene [( q) ] q (uesto que q F q ), la cual es el modus tollendo onens. Si la cláusula que se ha deducido es la cláusula vacía, es que se ha encontrado una contradicción ( F ). El rocedimiento ara hacer una demostración or resolución es el siguiente: Sea la conjunción de las remisas y C la conclusión deseada. ( Convertir todas las roosiciones de en cláusulas. ( Negar C y convertir el resultado en cláusula(s). Añadir la cláusula(s) resultante al conjunto de cláusulas obtenidas en el aso 1. ( Seleccionar dos cláusulas y obtener la resolvente. Alicar este rocedimiento hasta encontrar una cláusula vacía (que significa que se ha encontrado una contradicción). ( Afírmese la conclusión deseada como inferencia lógica de las remisas. ara ilustrar este rocedimiento, consideremos los siguientes ejemlos. Ejemlo 25. Demostrar r, or resolución, de las siguientes remisas: ( q) r ( s t) q t Solución. Convirtiendo las remisas a cláusulas, utilizando equivalencias lógicas, y añadiendo la negación de la conclusión exresándola como cláusula (que ya lo está), se obtiene el siguiente conjunto de cláusulas: 5) 6) q r s q t q t r Alicando la regla de resolución se obtienen los siguientes asos: 7) q 8) q 9) t de 2 y 6 de1 y 7 de 4 y 8 54

27 10) 1 F r de 5 y 9 ley de contradicción Ejemlo 26. Demostrar u, or resolución, de: q q ( r s) r ( t u) t Solución. Convirtiendo las remisas a cláusulas, utilizando equivalencias lógicas, y añadiendo la negación de la conclusión exresándola como cláusula (que también lo está), se obtiene el siguiente conjunto de cláusulas (indicadas con ) y alicando la regla de resolución se tiene: q q r q s r t u 5) 6) t 7) u 8) r t 9) r 10) q 1 r 1 F 1 u de 4 y 7 de 6 y 8 de1 y 5 de 2 y 10 de 9 y 11 ley de contradicción 2.8. Falacias Hay argumentos que no son válidos llamados falacias. Hay varias falacias muy frecuentes que surgen de razonamientos incorrectos. Estas falacias se asemejan a algunas reglas de inferencia, ero se basan en contingencias, no en tautologías (recuérdese que una contingencia es cualquier roosición que uede ser verdadera o falsa). Mostraremos la diferencia entre razonamientos incorrectos y razonamientos correctos. La roosición [( q) q] no es una tautología, ya que es falsa cuando es falsa y q es verdadera. Sin embargo, hay muchos argumentos incorrectos que tratan a esta roosición como si fuese una tautología. Este tio de razonamiento incorrecto se llama falacia de afirmar la conclusión. 55

28 Ejemlo 27. Es correcto el argumento siguiente? Si haces todos los roblemas de este libro, arenderás lógica. Tú has arendido lógica. or lo tanto hiciste todos los roblemas de este libro. Solución. Sea la roosición Hiciste todos los roblemas del libro. Sea q la roosición Tú arendiste lógica. Entonces, este argumento es de la forma si q y q, entonces. Esto es un ejemlo de argumento incorrecto que usa la falacia de afirmar la conclusión. De hecho, es osible que tú arendas lógica de alguna otra forma que no sea hacer todos los roblemas del libro. (uedes arender lógica leyendo, asistiendo a clases y haciendo muchos, ero no todos, los roblemas de este libro). La roosición [( q) ] q no es una tautología, uesto que es falsa cuando falsa y q verdadera. Muchos argumentos incorrectos utilizan erróneamente la anterior roosición como regla de inferencia. Este tio de razonamiento incorrecto se llama falacia de negar la hiótesis. Ejemlo 28. Sean y q las roosiciones del ejemlo 27. Si el condicional q es verdadero y es verdadera, es correcto concluir que q es verdadera? En otras alabras, es correcto asumir que no arendiste lógica si no hiciste todos los roblemas del libro, suoniendo que si haces todos los roblemas del libro, arendes lógica? Solución. Es osible que arendas lógica incluso si no haces todos los roblemas del libro. Este argumento incorrecto es de la forma q y imlica q, que es un ejemlo de falacia de negación de la hiótesis. En rinciio no hay una regla general que nos diga cuando debemos utilizar una demostración directa o indirecta. En algunas ocasiones el uso de una demostración indirecta viene sugerida or la dificultad de encontrar un unto de artida que relacione las distintas informaciones dadas en el roblema, y haga viable la demostración requerida. En otras alabras el que se use uno u otro método de demostración deende de la habilidad del ejecutante, es decir, de la exeriencia de la ersona enfrentada al roblema. Ojalá que sirva de consejo o al menos de consuelo al rinciiante el hecho de que, toda habilidad se logra en el continuo ejercicio. Adelante! Ejercicios 1. Demuestre, or resolución, de las siguientes remisas: q r q r 2. Demuestre r, or resolución, de las siguientes remisas: 56

29 ( q) r ( s t) q t 3. Demuestre q r, or resolución, de las siguientes remisas: s t t s r q 4. Utilice la regla de resolución ara mostrar que las hiótesis No llueve o Ibeth tiene un araguas, Ibeth no tiene un araguas o ella no se moja y Llueve o Ibeth no se moja imlican la conclusión Ibeth no se moja. 5. Utilice la regla de resolución ara demostrar que la exresión ( q) ( q) ( q) ( q) no se cumle. 6. Determine si es correcta cada una de las siguientes deducciones. Si la deducción es correcta, cuál es la regla de inferencia utilizada? Si no lo es, qué error lógico se comete? a) Si n es un número real tal que n > 1, entonces n 2 > 1. Suongamos que n 2 > 1. Entonces n > 1. b) El número log 2 3 es irracional si no es la razón de dos enteros. or lo tanto, como log 2 3 no se uede escribir en la forma a donde a y b son enteros, es irracional. b c) Si n es número real y n > 3, entonces n 2 > 9. Suongamos que n 2 9. Entonces n 3. d) Si n es número real y n > 2, entonces n 2 > 4. Suongamos que n 2. Entonces n Determine si es correcta cada una de las siguientes deducciones. 2 a) Si x es irracional, entonces x es irracional. or lo tanto, si x es irracional, se 2 sigue que x es irracional. 2 2 b) Si x es irracional, entonces x es irracional. El número x = π es irracional. or lo tanto, el número x = π es irracional. 8. El roblema de Lógica, tomado de WFF`N ROOF: The Game of Modern Logic, usa las siguientes dos suosiciones: La lógica es difícil o a ocos estudiantes les gusta la lógica. Si las matemáticas son fáciles, entonces la lógica no es difícil. Determine cuáles de las siguientes conclusiones se ueden deducir de éstas dos suosiciones como remisas. a) Que las matemáticas no son fáciles si a muchos estudiantes les gusta la lógica. 57

30 b) Que a ocos estudiantes les gusta la lógica si las matemáticas no son fáciles. c) Que las matemáticas no son fáciles o la lógica es difícil. d) Que la lógica no es difícil o las matemáticas no son fáciles. e) Que si a ocos estudiantes les gusta la lógica, entonces bien las matemáticas no son fáciles o bien la lógica no es difícil. 9. Determine si la siguiente deducción, tomada de Backhouse, es correcta. Si Suermán fuese caaz y quisiese revenir el crimen, lo haría. Si Suermán no fuese caaz de revenir el crimen, sería débil; si no quisiese revenir el crimen, sería malevolente. Suermán no reviene el crimen. Si Suermán existiese, ni sería débil ni malevolente. or lo tanto, Suermán no existe. 58