Introducción a la lógica modal. Fernando R. Velázquez Quesada.

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1 Introducción a la lógica modal Fernando R. Velázquez Quesada htt://ersonal.us.es/frvelazquezquesada/ FernandoRVelazquezQ@gmail.com Las resentes notas son tan solo una guía sobre los asectos básicos de la lógica modal (dynamic eistemic logic). Aquellos interesados en rofundizar en estos temas ueden consultar libros de texto tales como Blackburn et al. (2001, 2006); van Benthem (2010). Contents 1 Modalidades y lenguaje modal 2 2 Modelo semántico e interretación semántica 4 3 Tóicos en lógica modal Corresondencia modal Sistema de derivación Relación entre el lenguaje roosicional, el lenguaje modal y el lenguaje de rimer orden Exresividad Comlejidad Extensiones al lenguaje Otros modelos semánticos Otras interretaciones de los oeradores modales CursoML-c-bis.tex, comiled Friday 27 th February, 2015, 14:24. 1

2 1 Modalidades y lenguaje modal Modalidades Algunas verdades arecen contingentes: hoy no está lloviendo en Amsterdam, ero odría estar lloviendo. Algunas otras verdades arecen ser necesarias: es siemre 2, indeendientemente de si está lloviendo o no. 1 Pero necesidad no es la única modalidad que utilizamos. Además de hablar acerca de lo que es cierto y lo que es falso, todos los días también hablamos de lo que sabemos, creemos, referimos, estamos obligados a hacer, etc. Las modalidades nos ermiten hablar, como ya mencionamos, de modos de verdad. En vez de decir está lloviendo, decimos odría estar lloviendo, llovió, creo que llueve, referiría que lloviera, no debe llover, si bailamos entonces llueve, no uede llover ara siemre, etc. Es, ues, interesante el analizar y razonar acerca de la forma en que las modalidades afectan los enunciados en los cuales las utilizamos; el sistema de la lógica modal nos ermite hacer esto. Lenguaje modal El lenguaje lógico mas básico es el lenguaje roosicional. Basándose en un conjunto dado de roosiciones atómicas, este lenguaje nos ermite construir fórmulas mas comlejas mediante el uso de conectivos tales como la negación ( no... ), la conjunción (... y... ), la disyunción (... o... ) y la imlicación ( si... entonces... ). El lenguaje modal roosicional extiende el lenguaje roosicional con un oerador modal que es interretado como necesidad (... es necesario ), ermitiéndonos entonces hablar acerca la necesidad o no necesidad de fórmulas roosicionales. Formalmente, Definición 1.1 (Lenguaje modal roosicional) Las fórmulas ϕ, ψ del lenguaje modal roosicional L basado en el conjunto de roosiciones atómicas P se construyen a artir de la siguiente regla: ϕ, ψ ::= ϕ ϕ ψ ϕ en la cual P. Las fórmulas que involucran a la negación ( ) y la disyunción ( ) se leen de la manera tradicional ( ϕ corresonde a no es cierto que ϕ ; ϕ ψ corresonde a ϕ o ψ ); los conectivos restantes (,, ) y las constantes lógicas (, ) se definen en términos de y de la manera habitual. El nuevo integrante, el oerador modal, nos ermite construir fórmulas de la forma ϕ, las cuales se leen como ϕ es necesaria. A simle vista, el lenguaje modal es un simle lenguaje roosicional con un nuevo oerador. Sin embargo, este oerador nos ermite construir nuevas fórmulas, muchas de ellas reresentando nociones imortantes. Por ejemlo, la fórmula indica que sí es necesaria, entonces también es verdadera; 1 Esto, or suuesto, asumiendo que estamos trabajando en un sistema decimal donde los símbolos 1, + y 2 son interretados de la manera estándar. Esto enfatiza, como veremos mas adelante, que el hecho de que alguna roosición sea osible o necesaria deende de cuales sean las alternativas que estemos disuestos a considerar. 2

3 or otro lado, la fórmula indica que si es verdadera entonces también es necesaria. Una fórmula interesante es, que se lee como no es cierto que sea necesaria o, arafraseando un oco, no es cierto que sea necesariamente falsa, lo cual es equivalente a decir es osible que sea verdadera. El conceto de osibilidad es, or suuesto, otra modalidad alética. Por esta razón las fórmulas que exresan esta noción, ϕ, se abrevian escribiendo ϕ. Con estas dos modalidades odemos construir fórmulas como las siguientes: Si es necesaria, entonces es necesario que sea necesaria. Si es verdadera entonces es osible. Si es verdadera, entonces es necesario que sea osible. Si es osible, entonces es necesario que sea osible. ( ( q) ) q Si tanto q como son necesarias, entonces q es necesaria. Si es osible que sea osible, entonces es osible. Si es necesaria, entonces es osible. Si es osible, entonces es necesaria. Si es osible que sea necesaria entonces es necesario que sea osible. Ejercicio 1.1 Indique que exresan las siguientes fórmulas. Qué tan razonable es cada una de ellas? (a) (b) ( q) ( q) (c) ( q) ( q) (d) ( q) ( q) (e) (f) ( q) ( q) (g) ( q) ( q) (h) ( ) (i) ( q) ( ( q) ( q) ( q)) (j) (k) (l) Por suuesto, el lenguaje modal tan solo nos ermite exresar estas ideas. Aún tenemos la tarea de decidir cuales de estas son verdaderas o falsas en alguna situación en articular. Por ejemlo, es razonable que sea falsa en alguna situación, o debe ser verdadera bajo cualquier circunstancia? Y que sucede con? Es decir, si es necesaria, es necesario que sea necesaria? Además de discutir la validez o no de fórmulas como las ya mencionadas, también tiene sentido reguntarse la relación que hay entre ciertos ares de fórmulas. Por ejemlo, son ϕ ψ y (ϕ ψ) equivalentes? Es decir, es lo mismo decir si ϕ es verdadera entonces ψ es necesaria que decir es necesario que si ϕ es verdadera entonces ψ sea verdadera? Es lo mismo decir ϕ es necesaria y ψ es necesaria ( ϕ ψ) que decir ϕ ψ es necesaria ( (ϕ ψ))? Es lo mismo decir ϕ es osible y ψ es osible ( ϕ ψ) que decir ϕ ψ es osible ( (ϕ ψ))? Para resonder a estas reguntas es necesario definir un modelo semántico ara fórmulas del lenguaje modal roosicional, es decir, 3

4 una estructura en la cual odemos decid, sin ambiguedad alguna, si cualquier fórmula dada es verdadera o falsa. 2 Modelo semántico e interretación semántica Considere la fórmula ; a diferencia del valor de verdad de fórmulas uramente roosicionales, su valor de verdad no deende tan solo de el valor de verdad actual de. Es intuitivamente osible el encontrar una situación en la cual es falsa ero es verdadera (e.g., suonga que indica hoy está lloviendo en Amsterdam ), y también una situación en la cual tanto como son falsas (suonga que indica es 2 ). El segundo ejemlo es, sin embargo, un oco mas delicado. Como mencionamos anteriormente, el hecho de que no sea osible (lo que la falsedad de nos indica) deende de cuales sean las situaciones que estemos disuestos a considerar. En términos de nuestro ejemlo, si asumimos que los símbolos 1 y 2 son interretados como cantidades en notación decimal y que + reresenta la adicción, entonces ciertamente es 2 es necesariamente verdadero, ero si estamos disuestos a considerar alternativas en las cuales se utiliza otra notación, entonces el enunciado no es necesariamente verdadero: en notación binaria, es 10. En otras alabras, cuando queremos decidir si algo es necesario o no, debemos considerar no solo la situación actual sino también cierto conjunto de situaciones describiendo las osibilidades alternativas que estamos disuestos a considerar. Cómo hacemos formal esta idea? Recordemos que estamos trabajando con una extensión modal del lenguaje roosicional, y que ara decidir si una fórmula roosicional es verdadera o falsa necesitamos una evaluación, es decir, una función que nos indique cual es el valor de verdad de cada una de las roosiciones atómicas involucradas. Entonces, ara decidir si una fórmula del lenguaje modal roosicional es verdadera o falsa necesitamos una colección de evaluaciones, y diremos que cierta fórmula ϕ es necesaria (i.e., ϕ es verdadera) cuando ϕ sea verdadera en todas las evaluaciones que consideremos. La forma mas simle de llevar esto a cabo es decir que nuestro modelo semántico ara el lenguaje modal roosicional será un conjunto de evaluaciones. Sin embargo, hay dos detalles a tomar en cuenta. Primero, ya que nuestro lenguaje modal contiene también fórmulas uramente roosicionales, también tenemos que ser caaces de asignar valores de verdad a estas fórmulas, y ara ello, como ya hemos mencionado, necesitamos una evaluación. Segundo, el asumir tan solo una colección de evaluaciones uede hacer menos interesante la evaluación de fórmulas con modalidades anidadas, ya que si formulas como son verdaderas, entonces también lo serán fórmulas como y muchas otras. Observe como con esto no intentamos decir que no debe imlicar ; tan solo queremos decir que esto no tiene orque cumlirse en todas las situaciones. La definición de nuestro modelo semántico, llamado modelo relacional, sigue la intuición mencionada anteriormente, haciéndose también cargo de los 4

5 dos detalles mencionados. Definición 2.1 (Modelo relacional) Un modelo relacional M basado en el conjunto de roosiciones atómicas P es una tula W, R, V en la cual W es un conjunto no vacío cuyos elementos se conocen como mundos osibles, R (W W) es la relación de accesibilidad que nos indica que mundos son osibles a artir de un mundo dado, y V : P (W) es la evaluación atómica que nos indica en que mundos osibles es verdadera cada roosición atómica P. A un ar (M, w) con w W se le conoce como un estado relacional, y en este caso a w se le llama el unto de evaluación. Escribiremos R[w] ara reresentar al conjunto de mundos osibles que son accesibles desde el mundo osible w, es decir, R[w] := {u W Rwu}. Observe como el ar W, R no es mas que una gráfica en la cual los elementos de W son los nodos y R define la relación entre ellos; a este ar se le conoce como marco relacional, y simlemente describe la relación que hay entre los mundos osibles. El agregar la evaluación atómica nos ermite saber que sucede en cada uno de estos mundos osibles, ya que esta función simlemente asigna a cada mundo osible una evaluación. Observe también como no todos los mundos tiene que ser accesibles a artir de un mundo dado: la relación R sobre el conjunto de mundos osibles W = {w 1, w 2 } uede estar dada como {(w 1, w 1 ), (w 1, w 2 )} y entonces, aunque ambos mundos osibles son accesibles desde w 1, ningún mundo osible es accesible desde w 2. Finalmente, observe como un estado relacional (M, w) no es mas que un modelo relacional en el cual distinguimos una evaluación w; es recisamente en estas estructuras en las cuales evaluaremos las fórmulas del lenguaje modal roosicional. Definición 2.2 (Interretación semántica) Sea (M, w) un estado relacional donde M = W, R, V. La relación de satisfactibilidad entre dicho estado y una fórmula ϕ en el lenguaje modal roosicional ((M, w) ϕ se lee como ϕ es verdadera en el mundo w del modelo M ) se define recursivamente de la siguiente manera: (M, w) ssi w V() (M, w) ϕ ssi no es cierto que (M, w) ϕ (M, w) ϕ ψ ssi (M, w) ϕ ó (M, w) φ (M, w) ϕ ssi ara todo u W, si u R[w] entonces (M, u) ϕ Observe como el oerador modal no es mas que un cuantificador universal que actúa sobre los mundos accesibles desde el unto de evaluación. 5

6 Ejercicio 2.1 Como ya se menciono, el oerador modal se define en términos del oerador modal de la siguiente manera: ϕ := ϕ Cuál es, entonces la interretación semántica de ϕ? Es decir, qué tiene que suceder en un estado relacional (M, w) ara que tengamos (M, w) ϕ? Definición 2.3 (Validez) Se dice que una fórmula ϕ es válida en modelos relacionales cuando, ara todo modelo relacional M = W, R, V y ara todo mundo osible w W tenemos que (M, w) ϕ. Cuando ϕ sea válida, escribiremos ϕ. Con el modelo semántico y la interretación semántica definidos, y el conceto de validez dado, ahora odemos resonder a las reguntas que nos hicimos en la sección anterior. Ejercicio 2.2 Indique si las siguientes fórmulas son válidas o no. En caso de no ser válidas, roorcione un contraejemlo, es decir, un estado relacional en el cual la fórmula sea falsa. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) ( ( q) ) q (h) (i) (j) (k) (l) (m) ( q) ( q) (n) ( q) ( q) (o) ( q) ( q) () (q) ( q) ( q) (r) ( q) ( q) (s) ( ) (t) ( q) ( ( q) ( q) ( q)) (u) (v) (w) 3 Tóicos en lógica modal 3.1 Corresondencia modal Consideremos algunas de las fórmulas que discutimos antes. Como vimos, no todas son válidas. Sin embargo, si exigimos que la relación de accesibilidad cumla ciertas roiedades, las fórmulas se vuelven válidas en aquellos modelos que cumlan dichas roiedades. 6

7 Proiedad Fórmula Reflexividad ( ) Serialidad ( ) Transitividad ( ) Euclideanidad ( ) Simetría ( ) Determinista Densidad ( ) Sin ramificación a la derecha ( q) ( ( q) (q ) ( q) ) Ejercicio 3.1 Demuestre, en cada uno de los incisos siguientes, que cuando trabajamos con modelos en los cuales la relación de accesibilidad cumle la roiedad indicada, la fórmula corresondiente es válida. (a) Sin ramificación a la derecha, x y z((rxy Rxz) (Ryz Rzy y = z)), hace que la fórmula ( q) ( ( q) (q ) ( q) ) sea válida. (b) Densidad, x y(rxy z(rxz Rzy)), hace que la fórmula ( ) sea válida. (c) Euclideanidad, x y z((rxy Rxz) Ryz), hace que la fórmula ( ) sea válida. En el curso: 3. Ejercicio 3.2 Identifique que roiedad debe cumlir la relación de accesibilidad a fin de que las siguientes fórmulas sean válidas. (a). (b) ( ). (c) ( ). En el curso: 1, 2, Sistema de derivación Como hemos visto, existen roiedades intuitivas de las nociones de necesidad y osibilidad que no se reflejan en manera comletamente adecuada en modelos relacionales. En otras alabras, aunque intuitivamente estas roiedades deberían cumlirse siemre, existen modelos relacionales en los cuales dichas roiedades no se cumlen. Entonces, qué roiedades cumlen los concetos de necesidad y osibilidad que hemos definido? O, tal vez mas imortante, cuáles son las roiedades fundamentales de los concetos de necesidad y osibilidad que hemos definido? Ejemlo 3.1 Considere los siguientes esquemas. 7

8 (a) ( ϕ ψ) (ϕ ψ) (b) ( ϕ ψ) (ϕ ψ) (c) (ϕ ψ) ( ϕ ψ) Decida si estos esquemas son válidos (es decir, si toda instancia de estos esquemas es válida) o no. Si su resuesta es si, demuestre la validez del esquema; si su resuesta es no, roorcione un estado relacional en el cual una instancia de la fórmula sea falsa. Teorema 1 Los esquemas de axiomas y las reglas que aarecen en la tabla 1 forman un sistema de derivación correcto y comleto ara las fórmulas del lenguaje L válidas en modelos relacionales. Pro: ϕ ara toda tautología roosicional ϕ K: (ϕ ψ) ( ϕ ψ) MP: ϕ ψ y ϕ imlican ψ Nec: ϕ imlica ϕ Table 1: Esquemas de axiomas y reglas ara la lógica modal. 3.3 Relación entre el lenguaje roosicional, el lenguaje modal y el lenguaje de rimer orden A fin de oder establecer una relación entre la exresividad de dos lenguajes, hay que establecer rimero una relación entre las estructura semánticas. En nuestro caso, ara establecer la relación del lenguaje roosicional con el lenguaje de redicados, lo que hacemos es entender una interretación roosicional como un objeto en una estructura ara evaluar fórmulas del lenguaje de redicados, y entonces el hecho de que cierta sea verdadera o no en una interretación I corresonde a decidir si el objeto al que corresonde I tiene la roiedad P o no. Es en base a esto a lo que odemos decir que el lenguaje roosicional es tan solo un fragmento del lenguaje de redicados. Siguiendo la misma analogía, entonces un modelo relacional uede entenderse (a) El lenguaje roosicional como un fragmento del lenguaje de rimer orden. (b) La traducción estándar: el lenguaje modal como un fragmento del lenguaje de rimer orden. 8

9 3.4 Exresividad El lenguaje modal uede ser entendido como un lenguaje que nos ermite describir modelos relacionales, es decir, gráficas. Una regunta natural es, entonces, cuáles roiedades de un modelo relacional ueden ser exresadas en nuestro lenguaje, y cuáles no? En otras alabras, qué tan oderoso es el lenguaje modal? Una observación obvia es que el lenguaje modal es ciertamente mas oderoso que el lenguaje roosicional, ya mientras el segundo solo nos ermite exresar lo que sucede en el unto de evaluación, el rimero uede describir que sucede en otros mundos osibles. Ejemlo 3.2 Considere los siguientes estados relacionales en los cuales cada mundo osible contiene las roosiciones atómicas que son verdaderas en él y el unto de evaluación está indicado con un círculo doble. N 1 w w u Debido a que la evaluación es exactamente la misma tanto en w como en w, ninguna fórmula del lenguaje roosicional uede distinguir entre (N 1, w) y (N 1, w ), es decir, cualquier fórmula del lenguaje roosicional es ya sea verdadera en ambos (N 1, w) y (N 1, w ) o falsa en (N 1, w) y (N 1, w ). Sin embargo, es claro que hay fórmulas del lenguaje modal que ueden distinguir entre (N 1, w) y (N 1, w ); el ejemlo mas obvio es. Ejercicio 3.3 Por cada uno de los siguientes ares de estados relacionales, dé una fórmula del lenguaje modal que distinga entre dichos estados, es decir, una fórmula que sea verdadera en un estado ero falsa en el otro. Si considera que esto no es osible, exlique or qué. (a) (b) N 1 w w u N 2 N 2 w w u N 3 N 3 (c) 9

10 (d) w N 4 u w u v Definición 3.1 (Equivalencia modal) Sean (M, w) y (M, w ) dos estados relacionales definidos sobre el mismo conjunto de roosiciones atómicas. Decimos que (M, w) y (M, w ) son modalmente equivalentes si coinciden en el valor de verdad de toda fórmula modal, es decir, si ara toda fórmula modal ϕ tenemos que (M, w) ϕ ssi (M, w ) ϕ Escribiremos (M, w) (M, w ) ara indicar que (M, w) y (M, w ) son modalmente equivalentes. Definición 3.2 (Bisimulación) Una bisimulación entre dos modelos relacionales M y M definidos sobre el mismo conjunto de roosiciones atómicas P (con M = W, R, V y M = W, R, V ) es una relación no vacía Z (W W ) en la cual, ara todo (u, u ) en Z se cumlen los siguientes requisitos: átomos: u y u satisfacen exactamente las mimas roosiciones atómicas, es decir, ara toda roosición atómica P, N 4 w V() ssi w V () ida: si existe un v R[u] entonces existe un v R [u ] tal que Zvv ; regreso: si existe un v R [u ] entonces existe un v R[u] tal que Zvv. Escribiremos M M ara indicar que existe una bisimulación entre M y M (i.e. M M indica que los modelos M y M son bisimilares), y escribiremos (M, w) (M, w ) ara indicar que existe una bisimulación entre M y M que contiene al ar (w, w ) (i.e., (M, w) (M, w ) indica que estados (M, w) y (M, w ) son bisimilares). Ejercicio 3.4 Considere los modelos relaciones N 3 y N del ejercicio (a) Dé todas las bisimulaciones que existen entre los modelos N 3 y N 3. (b) Indique cuales de las bisimulaciones dadas en el inciso anterior nos demuestran los estados (N 3, w) y (N 3, w ) son bisimilares. Teorema 2 Sean (M, w) y (M, w ) dos estados relacionales definidos sobre el mismo conjunto de roosiciones atómicas. Si (M, w) y (M, w ) son bisimilares, entonces también son modalmente equivalentes, es decir, (M, w) (M, w ) imlica (M, w) (M, w ) 10

11 Demostración. La demostración es or inducción sobre las fórmulas modales. Teorema 3 Sean (M, w) y (M, w ) dos estados relacionales con imágenes finitas definidos sobre el mismo conjunto de roosiciones atómicas P. Si (M, w) y (M, w ) son modalmente equivalentes, entonces también son bisimilares, es decir, (M, w) (M, w ) imlica (M, w) (M, w ) Demostración. Demostraremos que la relación de equivalencia modal es una bisimulación, es decir, que satisface las tres roiedades de la definición Comlejidad (a) Dada una fórmula y un modelo, que tan difícil es saber si la fórmula es verdadera en el modelo? (b) Dada una fórmula, que tan difícil es saber si dicha fórmula es válida o no? 3.6 Extensiones al lenguaje (a) mas modalidades (b) modalidad universal (c) combinaciones entre modalidades: lógica dinámica (d) lógica híbrida (e) modalidades binarias, ternarias, cuaternarias,... (f) lógica modal de rimer orden 3.7 Otros modelos semánticos (a) modelos de vecindad (b) modelos algebraicos (c) modelos toológicos 11

12 3.8 Otras interretaciones de los oeradores modales Hemos trabajado interretando el oerador modal como necesidad, y el oerador modal como osibilidad. Pero existen otras interretaciones! (a) Interretación eistémica, con ϕ como el agente sabe ϕ ( ϕ es verdadera en todos las situaciones que el agente considera osibles ), y ϕ como osibilidad eistémica. Ejemlo: ϕ ϕ indica ahora introsección ositiva, es decir, si el agente sabe ϕ, entonces sabe que lo sabe. Ejemlo: ϕ ϕ indica ahora introsección negativa, es decir, si el agente no sabe ϕ, entonces sabe que no lo sabe. Ejemlo: ϕ ϕ indica ahora verdad, es decir, si el agente sabe ϕ, entonces ϕ es verdadero. Sistemas multiagentes: "todos saben" y "conocimiento común". Acciones eistémicas: anuncios úblicos, otros tios de anuncios, revisión de creencias, inferencia deductiva, otros tios de inferencia. (b) Interetación doxástica, con el clásico KD45 o modelos de lausibilidad. Creencias consistentes e inconsistentes. Revisión de creencias. (c) Interretación como lógica dinámica, con relaciones or cada acción básica, y oeraciones (verificación, comosición secuencial, elección no-determinista, iteración) ara construir acciones mas comlejas. Las acciones básicas de un sistema lenguaje de rogramación se ueden describir: IF ϕ THEN α 1 ELSE α 2 : (ϕ? ; α 1 ) (( ϕ)? ; α 2 ) WHILE ϕ do α: (ϕ? ; α) ; ( ϕ)? (d) Interretando la relación como referencias. Entonces odemos asar de referencias entre mundos a referencias entre fórmulas: ψ es AE-referida a ϕ, ara toda situación ϕ existe una situación ψ que es referida: U(ϕ ψ) ψ es EE-referida a ϕ, existe una situación ψ que es referida a una situación ϕ: E(ϕ ψ) 12

13 ψ es EA-referida a ϕ, existe una situación ψ que es mejor que todas las situaciones ϕ, es decir, existe una situación ψ que esta sobre todas las situaciones ϕ. Si asumimos totalidad (es decir, toda situación es comarable a cualquier otra), entonces lo anterior equivale a decir que existe una situación ψ cuyas situaciones mejores son todas ϕ: E(ψ ϕ) ψ es AA-referida a ϕ, toda situación ψ es mejor que toda situación ϕ. SI asumimos totalidad, entonces lo anterior equivale a decir toda situación que es mejor a cualquier situación ψ es una situación ϕ: Preferencias de gruos de agentes. U(ψ ϕ) (e) Interretación deóntica, con ϕ como ϕ debe ser cierta y ϕ como se ermite que ϕ. Se usa ara analizar normas. (f) Interretación temoral, con dos relaciones, una ara el asado P y otra ara el futuro ϕ, sobre un modelo lineal. Entonces, [P]ϕ se lee como ϕ fue verdadera en todo tiemo asado, y [F]ϕ como ϕ será verdadera en todo tiemo futuro. F ϕ: ϕ será verdadera en algún momento en el futuro. [F] F ϕ: siemre habrá un momento en el futuro en el que ϕ será verdadera. [P]ϕ: ϕ ha sido siemre verdadera. P [P]ϕ: hubo un momento en el que ϕ había sido siemre verdadera. Reresentación de diferentes tiemos verbales (g) Como base ara la lógica intuicionista sobre modelos reflexivos y transitivos que son ersistentes (si es verdadera en un unto, sigue siendo verdadera en cualquier unto adelante de él). Conjunción y disyunción se interretan como siemre, ero la imlicación ϕ ψ se define no como ϕ ψ sino como ( ϕ ψ) (es decir, en todos los mundos osibles que ueden ser alcanzados desde el mundo actual, ϕ imlica ψ) y la negación ϕ se define como ϕ (que, dada la definición de la imlicación, corresonde a ( ϕ ), es decir, a ϕ). De esta forma, la fórmula ϕ ϕ corresonde a ϕ ϕ, la cual claramente no es una tautología. References J. van Benthem. Modal Logic for Oen Minds. CSLI Lecture Notes. CSLI Publications, Stanford, CA, USA, Ar ISBN url: htt:// 13

14 P. Blackburn, M. de Rijke, and Y. Venema. Modal logic. Number 53 in Cambridge Tracts in Theoretical Comuter Science. Cambridge University Press, New York, USA, ISBN P. Blackburn, J. van Benthem, and F. Wolter, editors. Handbook of Modal Logic, volume 3 of Studies in Logic and Practical Reasoning. Elsevier Science Inc., Amsterdam,