PUNTOS EN LA RECTA REAL

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1 (ágina ) Manuel Lóez Mateos Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-. CAPÍTULO PUNTOS EN LA RECTA REAL. NÚMEROS NATURALES Tradicionalmente se consideran números naturales a los que usamos ara contar: uno, dos, tres, cuatro,... Algunos autores incluyen al cero, cosa que no haremos. Denotamos con N al conjunto de los números naturales, N = {,,,,,...,n,n,n +,...}. Los negativos no son números naturales, ni las fracciones, ni los decimales son números naturales. EJEMPLO. 8 N, / N, π / N, N, 0 / N, / N, / N. Pensemos los números naturales como fila de ersonas: hay quien comienza la fila, le llamamos el, a quien le sigue le llamamos el. No hay ersonas entre y. Desués del hay quien le sigue, le llamamos el, y así sucesivamente. Vemos que cualquier ersona en la fila tiene un lugar, digamos el lugar n: el lugar que le antecede es el n y el lugar que le sigue es el n +, no hay ersonas colocadas entre dos sucesivas, es decir, no hay números naturales entre el n y el n +. Si consideramos varias ersonas de la fila siemre habrá quien esté situado más adelante. EJEMPLO. Si n N, el conjunto A = {,,,8,...,n,...} de los números ares es un subconjunto roio de los números naturales, escribimos A N. EJEMPLO. Si n N, el conjunto B = {,,,,...,n,...} de los números imares es otro subconjunto roio de los números naturales. De los ejemlos anteriores vemos que dado un número natural, una de dos, está en A o está en B, es decir, si m N, una de dos, m es ar o es imar. Los números ares son de la forma n, con n N, son múltilos de. Los imares son de la forma n, con n N, no son múltilos de.

2 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-. Caítulo Puntos en la recta real AFIRMACIÓN.. Si es ar entonces es ar. DEMOSTRACIÓN. Suongamos que no es ar, entonces es de la forma n ara algún n N. Por lo tanto, = (n ) = n n +, que es imar. Es decir, si tengo que es ar y suongo que es imar, llego a la conclusión de que es imar, lo cual constituye una contradicción. Luego la hiótesis de que es imar es insostenible, luego necesariamente es ar. DEFINICIÓN.. Dado un número natural n, el número natural siguiente es n+, llamado su sucesor. Todo número natural tiene sucesor y decimos que cada natural n es menor que su sucesor n + lo cual escribimos n < n +. DEFINICIÓN.. La relación de orden introducida or el conceto de sucesor es transitiva, es decir si m, n y N, tenemos que si m < n y n <, entonces m <, lo cual se lee: si m, n y son números naturales y si m es menor que n y n es menor que, entonces m es menor que. Hay dos roiedades de N que son equivalentes: DEFINICIÓN.. (PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN) Cualquier subconjunto no vacío de N tiene un elemento mínimo. EJEMPLO. El conjunto C de los múltilos de es un subconjunto no vacío de N, ues 8 C, y es el menor elemento de C. Noten que C no tiene elemento máximo!, ues si c C, tenemos c < c C. Es decir, dado cualquier elemento de C odemos hallar otro elemento de C, a saber c, mayor que el dado. EJEMPLO. Sea D el conjunto de naturales cuyo cuadrado es mayor que. Halla el elemento menor de D. SOLUCIÓN. El no uede ser el menor ues = no es mayor que. Pero = es mayor que. Como entre y no hay otro natural, resulta que el es el mínimo de D. DEFINICIÓN.. (PRINCIPIO DE INDUCCIÓN FINITA) Si una afirmación acerca de un número se cumle ara el y si sucediendo que se cumle ara el natural k se cumle ara el sucesor k +, entonces la afirmación se cumle ara todos los números naturales. El siguiente ejemlo tiene su anécdota, en una ocasión estando en la escuela el desués llamado ríncie de las matemáticas, CARL FRIEDRICH GAUSS, a la edad de 9 años, el maestro reguntó a los alumnos la suma de los 00 rimeros números con afán de mantenerlos ocuados. La sorresa fué que el niño GAUSS, no bien hubo enunciado el maestro el roblema dió la solución:,00. Cómo hizo ara sumar casi de inmediato ? En lugar de sumar + =, + =, + = y seguir así,

3 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-.. Números Naturales GAUSS se ercató que tomados or arejas los sumandos, comenzando or los extremos, es decir y 00, desués y 99, desués y 98, y así, hasta 0 y, la suma de cada areja es 0. Cuántas arejas hay? Como hay 00 sumandos, hay 0 arejas. Cada areja suma 0 luego el total es 0 0 =, 00. Actividad Digan, y exliquen cómo lo obtuvieron, cuál es el resultado de sumar los rimeros números naturales. La anécdota anterior viene al caso orque hay una fórmula ara hallar la suma de los rimeros n naturales, cuya validez se demuestra usando el rinciio de inducción finita también llamado rinciio de inducción matemática. AFIRMACIÓN.. Para todo número natural n se cumle que n = n(n + ). DEMOSTRACIÓN. Tenemos una afirmación acerca de todos los números naturales: si n es un número natural, la suma de los rimeros n naturales es el n(n + ) número. Para verificar que dicha afirmación cumle con las remisas del rinciio de inducción matemática debemos verificar que: (i) La afirmación se cumle ara el número natural n =. Veamos, la suma del rimer sumando es, evidentemente,. Por otro lado, alicando la fórmula ara n =, la suma es = = =. Es decir, la ( + ) fórmula da el resultado correcto ara n =, luego se verifica el rimer unto: la afirmación se cumle ara el número natural n =. (ii) Suoniendo que la afirmación se cumle ara el número natural n = k, se cumle la afirmación ara el natural k +. Suoner que se cumle la fórmula ara k significa suoner que k(k + ) k =, () a artir de lo cual verificaremos la validez de la fórmula ara k + que es la suma de los rimeros k + naturales: k + (k + ). k(k + ) De la fórmula () sabemos que los rimeros k términos suman, así, a la fracción anterior añadimos k + ara hallar la suma de los k + términos: k + (k + ) = ( k ) + (k + )

4 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-. Caítulo Puntos en la recta real Es decir, k(k + ) = + (k + ) k(k + ) + (k + ) = = (k + )(k + ) (k + ) = (k + )( (k + ) + ). Luego al suoner que la fórmula se cumle ara n = k obtenemos que se cumle ara n = k +. Hemos verificado que se cumlen las remisas del rinciio de inducción matemática ara el caso de la afirmación que nos ocua, or lo tanto, dicha afirmación se cumle ara todos los números naturales. Es decir: ara todo número natural n sucede que n(n + ) n =. El ejemlo anterior ilustra una técnica de demostración llamada demostración or inducción finita, demostración or inducción matemática o, simlemente, demostración or inducción. Actividad Formen una fila de fichas de dominó, una ficha a continuación de otra, de manera que al derribar la rimera derribe a la segunda y ésta, a su vez, derribe a la que le sucede y así hasta derribar toda la fila. DEFINICIÓN.. Sea n un número natural, al conjunto de los rimeros n naturales le llamamos el segmento S n, es decir, S n = {,,,...,n}. El segmento S n tiene n elementos. Decimos que un conjunto A es finito y tiene n elementos si es osible establecer una corresondencia biunívoca entre A y S n, lo escribimos A = n, que leemos: la cardinalidad de A es n. EJEMPLO. El conjunto B de las letras de la alabra murciélago tiene 0 elementos ues hay una corresondencia biunívoca, a saber, m u r c i e l a g o entre B = {m,u,r,c,i,e,l,a,g,o} y S 0, luego B = 0. Claramente no hay segmento S n que ueda onerse en corresondencia biunívoca con todo N, luego N no es un conjunto finito, decimos que tiene un número infinito de elementos, que es un conjunto infinito y que su cardinalidad es ℵ 0, que se lee alef cero (alef es la rimera letra del alfabeto hebreo), N = ℵ 0.

5 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-.. Números Naturales DEFINICIÓN.. Si un conjunto infinito A se uede oner en corresondencia biunívoca con N, decimos que A tiene cardinalidad ℵ 0 y lo escribimos A = ℵ 0. Según mencionamos en la sección 0., hay varios tios de conjuntos infinitos. El conjunto de los números naturales es un reresentante de la cardinalidad ℵ 0. A los conjuntos que uedan onerse en corresondencia biunívoca con los naturales, es decir que tengan cardinalidad ℵ 0, se les llama conjuntos numerables o enumerables, en referencia al hecho de que odemos formar en fila a sus elementos y comenzar a llamarlos o enumerarlos con los números naturales: uno (señalando al rimero), dos (señalando al que sigue), tres,..., y así sucesivamente. Una eculiaridad de los conjuntos infinitos es que ueden onerse en corresondencia biunívoca con subconjuntos roios. AFIRMACIÓN.. Hay el mismo número de ares que de naturales. DEMOSTRACIÓN. Lo que afirma el enunciado es que existe una corresondencia biunívoca entre el conjunto A = {,,,8,...,n,...} de los números ares y el conjunto N de los números naturales. Para demostrarlo hay que exhibir la corresondencia biunívoca, es decir, a cada número ar asociar un número natural y a cada número natural asociar un número ar, 8... n n... Vemos que, en efecto, es osible establecer dicha corresondencia biunívoca, or lo tanto, odemos afirmar que hay el mismo número de ares que de naturales, es decir, que N = A = ℵ 0. Observamos, además, que hemos colocado en corresondencia biunívoca al conjunto de los naturales con un subconjunto roio, mostrando una arte del mismo tamaño que el todo, lo cual nos lleva a ensar que la famosa frase que dice el todo es mayor que cada una de sus artes es válida sólo en el caso de conjuntos finitos. Actividad Describan varios subconjuntos de los números naturales, digan cuáles son finitos y cuáles infinitos. Digan cuántos elementos tienen los conjuntos finitos y exhiban una corresondencia biunívoca con algún subconjunto roio de cada conjunto infinito. Ahora que estamos familiarizados con los números naturales, veamos cómo reresentarlos en una recta. Para ello tracemos una recta horizontal ensándola como dirigida de izquierda a derecha, lo que indicamos con una flecha:

6 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-. Caítulo Puntos en la recta real FIGURA. Recta dirigida. A continuación ubiquemos un unto al cual llamaremos origen: O FIGURA. Un unto arbitrario O es el origen (sosechamos que desués será el 0). Desués de señalar un origen en la recta dirigida, con un comás, con centro en O y radio U, que seleccionamos de manera arbitraria ero mantenemos fijo de ahora en adelante, trazamos un arco marcando un segmento a la derecha de O sobre la recta, al unto de cruce del arco con la recta le asignamos el número natural. U O FIGURA. Al segmento U lo llamamos unidad, ubicamos el natural. Esta construcción geométrica es la base la construcción de la recta real: consiste de una recta dirigida, un unto llamado origen (el cero), un segmento arbitrario considerado como unidad y el número colocado en el extremo derecho de dicho segmento. Con centro en y radio U, localizamos el, con centro en y radio U ubicamos el y así sucesivamente. Hemos identificado cada número natural con un unto en la recta real. FIGURA. 0 R Los naturales en la recta real. Hay, sin embargo, multitud de untos de la recta real que no están ocuados or números naturales. Los números naturales están colocados sobre la recta real de manera que los seara un segmento unidad. Los naturales N son un conjunto discreto en la recta real. Con ello queremos exresar que dado un elemento hay un elemento sucesor, que existe el elemento que le sigue. EJEMPLO. Los números ares forman un conjunto discreto en la recta real.

7 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-.. Números Naturales SOLUCIÓN. Dado un número ar, al ser múltilo de tiene que ser de la forma n donde n N, luego el número n + es el número ar que sigue al n. EJEMPLO 8. Localiza los múltilos de en la recta real. SOLUCIÓN. A artir de O medimos unidades (con nuestro segmento U). El rimer natural que dista del origen en unidades es el número. Con centro en y radio U, localizamos el, con centro en y radio U localizamos el 9, y así, el,, 8, continuando sucesivamente. En el conjunto N de los números naturales tenemos definidas dos oeraciones: suma y roducto. Son oeraciones cerradas, lo cual significa que la suma de dos números naturales es un natural, y que el roducto de dos números naturales es un número natural. Las oeraciones cumlen con estas roiedades: Suma Producto Cerradura a, b N = a + b N a, b N = ab N Conmutatividad a + b = b + a ab = ba Asociatividad a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c Distributividad a(b + c) = ab + ac Además, en los números naturales tenemos definido un orden: cada número natural es menor que su sucesor. La relación de orden cumle con: Orden Tricotomía Si a y b N, entonces a < b, a = b ó b < a. Transitividad Si a < b y b < c, entonces a < c. Buen orden Si C N y C, entonces existe algún elemento m C tal que m c ara todo c C. En resumen, en esta sección hemos identificado a los números naturales con ciertos untos de la recta real. PROBLEMAS. Para los conjuntos en los roblemas del al contesta: i) Cuántos elementos tiene? ii) Está bien ordenado? iii) Hay algún subconjunto roio del conjunto dado que sea infinito?, uedes exhibir una corresondencia biunívoca entre el conjunto dado y un subconjunto roio?

8 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, Caítulo Puntos en la recta real. El conjunto T de los múltilos de.. El conjunto P de los números rimos menores que 00 (Los números rimos son los naturales divisibles sólo entre sí mismos y la unidad.). Los naturales que al dividirlos entre 8 dejan residuo.. Las otencias de.. Demuestra, or inducción, que (n ) = n.. Ubica en la recta real los siguientes subconjuntos de los números naturales: a. B = {n N 0 < n < 000}, b. H = {n N n = m, m N}, c. C = {n N 00 < n }, d. F = {,,,, 8,,, }.. NÚMEROS ENTEROS Una descrición breve y fácil de los números enteros es ensar a los naturales junto con su reflejo en un esejo colocado en el origen O. En lugar del origen O colocamos el número 0 (cero) y a la imagen en el esejo del natural n le llamamos n. Denotamos con Z al conjunto de los números enteros, Z = {0,,,,,,,..., n, n,...}. La reresentación de los números enteros como untos de la recta real la obtenemos a artir de los naturales colocando el número 0 en el origen y, con el mismo radio que hay de 0 a, con centro en 0 trazamos un arco del lado izquierdo del 0 y le llamamos. De la misma manera hallamos el reflejo del natural n: con centro en 0 y radio la abertura de 0 a n trazamos un arco, a la intersección del arco con el lado izquierdo de la recta real le llamamos n. -n n R FIGURA. El conjunto Z en la recta real. A los números a la derecha del cero les llamamos los enteros ositivos y a los de la izquierda les llamamos los enteros negativos. Como ven, el conjunto de los números naturales es un subconjunto roio del conjunto de los números enteros, N Z, es el conjunto de los enteros ositivos. Es útil referirnos al conjunto de los enteros no negativos, que denotaremos con Z, formado or los enteros ositivos y el cero.

9 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-.. Números enteros 9 Noten que Z, el conjunto de los números enteros es discreto, es decir, está acomodado de manera sucesiva, dado un entero existe su sucesor + y su antecesor, manteniendo la siguiente relación de orden, < < +, ero no está bien ordenado ues es osible hallar subconjuntos de Z, no vacíos, que carecen de elemento mínimo. EJEMPLO 9. Halla un subconjunto de Z que no tenga elemento mínimo. SOLUCIÓN. Es fácil ver que el conjunto de los enteros negativos no tiene elemento mínimo. Dado q, un entero negativo, debe ser de la forma n donde n es un número natural (q es el reflejo de n). Sabemos que n < n +, es decir que, en la recta real, n + está a la derecha, de n y, or lo tanto, el reflejo de n + está a la izquierda del reflejo de n. Esto significa que (n + ) < q. Luego dado cualquier entero negativo q tenemos que q está a la izquierda de q. Los enteros, en la recta real, están formados en línea, como los naturales, ero no hay quien comience la fila. Sin embargo odemos contarlos. Para verificarlo debemos exhibir una corresondencia biunívoca entre Z, el conjunto de los enteros y N, el conjunto de los naturales. A rimera vista arece cosa imosible que exista dicha corresondencia siendo que los enteros incluyen a los naturales y a otro conjunto tan grande como los naturales, como son los enteros negativos. Pero ya nos vimos en situaciones arecidas, cuando establecimos una corresondencia biunívoca entre los naturales y los ares. La cuestión es cómo formar a los enteros, indeendientemente de su osición en la recta real, ara contarlos, hagámoslo así: 0 n n. Noten que estamos formando a los enteros de manera que odamos contarlos, no significa que estén en orden y que de esta formación infiramos que hay un elemento mínimo. Así, señalando al 0 decimos uno, señalando al decimos dos, señalando al decimos tres, y continuamos, dado un número en la fila es natural o es un reflejo. En caso de ser un natural, digamos n, lo señalamos y decimos n, en caso de ser un reflejo, digamos que sea n, el reflejo del natural n, lo señalamos y decimos n +, y seguimos así contando a los enteros, 0 n n n n +. Claramente esta asociación de enteros con naturales constituye una corresondencia biunívoca entre los conjuntos Z y N ues a cada entero corresonde un natural, según acabamos de ver, y a cada natural corresonde un entero: dado un natural n es ar o imar. Al natural lo asociamos con el entero 0. Si n es ar es de la forma n = m, con m N, entonces al natural n le corresonde el entero m. Si n es imar es de la forma n = m +, m N, entonces

10 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, Caítulo Puntos en la recta real al natural imar n le corresonde el entero m. Por lo tanto, Z y N tienen la misma cardinalidad, es decir, Z es numerable y Z = ℵ 0. Hay dos oeraciones definidas en los números enteros, la suma y el roducto, que cumlen con las siguientes roiedades: Suma Producto Cerradura a, b Z = a + b Z a, b Z = ab Z Conmutatividad a + b = b + a ab = ba Asociatividad a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c Existen Neutros a + 0 = 0 + a = a a = a = a Inverso Aditivo Si a Z, a + ( a) = 0 Distributividad a(b + c) = ab + ac Si a Z, a = a + a, a = a + a + a, son múltilos de a, así como a = a a y a = a a a son otencias de a, tenemos, en general, que: DEFINICIÓN.. Si n es un entero ositivo y a es un entero, na es un múltilo ositivo de a, y a n es la n-ésima otencia de a. Así, na = a + a + + a, }{{} n veces y a n = a } a {{ a }. n veces En realidad la definición anterior es más bien intuitiva, nos ermite argumentar, or ejemlo, que ma + na = (m + n)a, ara a Z y m, n N, se hace visualmente: m veces n veces {}}{{}}{ ma + na = a + + a + a + + a }{{} m+n veces = (m + n)a. De manera análoga se tratan las roiedades de los exonentes: m veces n veces a m a n {}}{{}}{ = } a a {{ a a } m+n veces = a m+n. En un buen curso de álgebra suerior tratarán lo anterior con menos ligereza y definirán, or ejemlo, DEFINICIÓN.8. Si a Z y n N, definimos, de manera recursiva a = a, a n+ = a n a. Con la definición anterior, usando el rinciio de inducción, odemos demostrar la siguiente

11 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-.. Números enteros AFIRMACIÓN.. Si a y b son enteros y m y n son naturales se cumlen las siguientes roiedades de los exonentes:. a m a n = a m+n,. (a m ) n = a mn,. (ab) m = a m b m. DEMOSTRACIÓN. Usemos el rinciio de inducción. Demostremos la roiedad () or inducción en n. En rimer lugar verifiquemos que se cumle la fórmula ara n =. Si n = entonces a m a n = a m a = a m a, y a m+n m+ def = a = a m a. Es decir cuando n = ambos lados de la fórmula dan el resultado a m a, luego la roiedad () se cumle ara n =. Ahora debemos verificar que, suoniendo que se cumle ara n = k, se cumle ara n = k +. Suoner que se cumle ara n = k significa suoner que a m a k = a m+k. Veamos qué sucede con n = k +, a m a k+ = a m (a k a) ues or definición a k+ = a k a, = (a m a k )a orque el roducto es asociativo, = a m+k a or la hiótesis de inducción ara n = k, = a (m+k)+ or definición de otencia, = a m+(k+) orque la suma es asociativa. Hemos verificado que se cumle la roiedad ara n = k + a artir de suoner su validez ara n = k. Por lo tanto, hemos demostrado que la roiedad () se cumle ara cualquier número natural n. La demostración de las otras roiedades las dejamos como ejercicio. Como sucede con los números naturales también hay un orden definido en los números enteros. DEFINICIÓN.9. Si a y b son dos números enteros, decimos que a es menor que b, y lo escribimos a < b, si existe algún número natural n tal que a + n = b. Es decir, el entero a es menor que el entero b si a está a la izquierda de b. EJEMPLO 0. Demuestra que <. SOLUCIÓN. Al sumar el natural al obtenemos, + =. Luego el entero está a la izquierda del entero. El orden así definido cumle: Orden en Z Tricotomía Si a y b Z, entonces a < b, a = b ó b < a. Transitividad Si a < b y b < c, entonces a < c.

12 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-. Caítulo Puntos en la recta real Hemos ubicado a los números enteros en la recta real. Actividad Considera la ecuación ax + b = c. Suón que a, b y c son números naturales, es decir a, b, c N. Analiza si la ecuación tiene solución. Ahora ara a, b, c Z hay solución de la ecuación? En cada caso da ejemlos, y exhibe contraejemlos que aoyen tus afirmaciones. Hasta ahora hemos asignado untos en la recta real a los números naturales y a los enteros. Los vemos formados, con sus resectivos sucesores y antecesores, como un conjunto discreto. Notemos que dicha asignación no agota los untos de la recta. Quedan todavía untos or ejemlo, los que están entre dos enteros sucesivos sin que tengan un número asignado. Pero no hemos terminado, continuemos desués de resolver algunos PROBLEMAS.. Exhibe un subconjunto infinito de Z, el conjunto de los números enteros, que contenga ositivos y negativos, que esté bien ordenado.. Define recursivamente el conceto de múltilo de un entero.. Basado en la definición del ejercicio anterior, demuestra, or inducción en n, que ma + na = (m + n)a.. Demuestra, or inducción en n, la roiedad () de la afirmación... Demuestra, or inducción en m, la roiedad () de la afirmación... NÚMEROS RACIONALES Llamamos números racionales a las fracciones de números enteros sin factor común y denominador distinto de cero. Q = { }, q Z, q 0, (,q) = q En donde (,q) = significa que y q no tienen factor común, es decir, que son rimos relativos, que ninguno es múltilo del otro. Así, es un número racional. Noten que todos los números enteros son racionales, si a Z, a = a. Es decir EJEMPLO. Es 0 N Z Q. un número racional?

13 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-.. Números Racionales SOLUCIÓN. Así como está escrito y según nuestra definición, como (0,) = es decir el 0 y el tienen a como factor común entonces 0 / Q. Pero veamos más de cerca, si reducimos la fracción 0, dividiendo entre el numerador y el denominador, es decir, si reducimos la fracción a su mínima exresión, tenemos que 0 =. Ahora bien (,) =, es decir, son rimos relativos, or lo que Q. Cómo es esto? Sucede que vamos a considerar a los racionales como las fracciones en su mínima exresión. Sabemos así que al referirnos a la fracción, ara considerarla como número racional, debemos tratar con su mínima exresión = =. EJEMPLO. Es un número racional? SOLUCIÓN. En vista de que y son números enteros, 0 y (, ) =, la resuesta es sí, Q. Bien, tenemos el conjunto de los números racionales, denotado or Q. Veamos ahora cómo reresentar estos números en la recta real. EJEMPLO. Localiza el número racional en la recta real. SOLUCIÓN. Trazamos la recta real, la cual consiste en una recta horizontal, orientada con una flecha hacia el lado derecho, con un unto O como el origen y un segmento arbitrario, ero fijo, como unidad. Vamos a dividir el segmento unidad, es decir el segmento de recta que va del 0 al, en artes congruentes, o sea, de igual longitud. Dividir un segmento de recta dado en un número determinado de artes congruentes, constituye un roblema de geometría, cuya solución se basa en sus axiomas y en roiedades de triángulos semejantes: Dividir el segmento OA en artes congruentes. A O FIGURA. El segmento OA.

14 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-. Caítulo Puntos en la recta real Para ello trazamos un recta cualquiera l que ase or O, ero que no contenga al segmento OA. A O FIGURA. La recta l asa or O, ero no contiene a OA. Con un comás con abertura cualquiera, ero sin cambiarla, señálese, a artir de O y sobre la recta l, veces esa longitud, marcando los untos P, Q y R. A l O P Q R l FIGURA.8 Tres segmentos de igual longitud sobre l. A continuación únase los untos R y A or una recta y trácense aralelas a esta recta or los untos P y Q obteniendo así los untos B y C, donde cortan las aralelas al segmento OA. C B A O P Q R l FIGURA.9 Unimos R y A, y trazamos aralelas or Q y P. Los untos B y C dividen al segmento OA en artes congruentes. Volvamos al ejemlo, or medio del rocedimiento recién ilustrado dividimos el segmento unidad en artes congruentes ubicando, así, el número racional.

15 FIGURA. El segmento de longitud nos ermite ubicar. Manuel Lóez Mateos Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-.. Números Racionales 0 / R FIGURA.0 Dividimos el segmento unidad en artes congruentes y ubicamos. Ahora, usando un comás con abertura de 0 a, con centro en ubicamos en la recta real el unto, desués, con centro en ubicamos = ; de manera sucesiva, ubicamos y finalmente. 0 / / / / R El rocedimiento realizado en el ejemlo anterior se uede alicar ara localizar cualquier fracción cuyo numerador y denominador sean enteros ositivos, se denotan con Z + si el numerador es igual a 0, la fracción es 0. Vamos entonces a reresentar en la recta real la arte ositiva de los números racionales: las fracciones con denominador distinto de cero, con numerador y denominador ositivos y rimos relativos, Q + = {, q Z +, q 0, (,q) = }. q Sea, ues, q Q+ un número racional ositivo, ara ubicarlo en la recta real actuamos de la siguiente manera:. Dividimos el segmento unidad en q artes congruentes, el racional /q estará situado a la derecha del 0, entre el 0 y el.. A artir de 0 y en la misma dirección de /q, trazamos veces, una a continuación de otra, la longitud del 0 a /q ara ubicar ahí el racional /q. 0 /q / q R FIGURA. veces la longitud /q. Hemos entonces ubicado cada número racional ositivo en la recta real. Los negativos se ubicarán de manera simétrica al otro lado del 0 en la recta real. Así, hemos asociado a cada número racional un unto en la recta real.

16 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-. Caítulo Puntos en la recta real En el conjunto Q de los números racionales están definidas las oeraciones de suma y roducto, así como una relación de orden. DEFINICIÓN.0. Si q, r s Q la suma y el roducto se definen como q + r s + rq =, s qs q r s = r qs. Se dice que q es menor que r s, y se escribe q < r, si s < qr. s Las oeraciones así definidas cumlen las roiedades siguientes: Cerradura Conmutatividad Asociatividad Neutros Inversos Distributividad Suma q, r s Q = q + r s Q q + r s = r s + q ( r q + s + t ) ( = u q + r + s) t u q + 0 = 0 + q = q ( q + ) = 0 q r q( s + t ) = r u q s + t q u Producto q, r s Q = r q s Q r q s = r s q r t ) ( r t = q( s u q s) u q = q = q q 0 = ) = q( q El orden cumle con estas roiedades: Orden en Q Tricotomía Si q y r s Z, entonces q < r s, q = r s ó r s < q. Transitividad Si q < r s y r s < t u, entonces q < t u. Densidad Si q < r s entonces existe t u q < t u < r s. Q tal que

17 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-.. Números Racionales En un curso de álgebra suerior se estudian los números racionales a rofundidad. Aquí, sin entrar en más detalle, usaremos las roiedades de las fracciones comunes, = = = ( ). Y, generalizando, si, q Z y q 0, q = q = ( ) q = q, q r s = q + ( r s ), ( q ) = q, con 0. Donde sí conviene analizar un oco más es lo que sucede con el orden. A diferencia de los naturales y los enteros, el conjunto Q de los números racionales no es un conjunto discreto, en el que cada elemento tenga un sucesor. Precisamente, la roiedad de densidad significa que dado un número racional no existe el racional que le sigue, sino que: AFIRMACIÓN.. Entre dos números racionales hay siemre otro racional. DEMOSTRACIÓN. Basta demostrar la afirmación ara dos racionales ositivos. Así, si tenemos dos racionales tales que q < r demostraremos que su media s aritmética está entre los dos, esto es, s + rq < < r q qs s. Partamos de que q < r s, como, q, r y s son enteros ositivos, diferentes de 0, odemos alicar las roiedades elementales ara las desigualdades entre enteros ositivos, tenemos entonces que, or la definición de orden, s < rq. Sumando s en ambos lados de la desigualdad tenemos dividiendo ambos lados entre qs, Ahora, artiendo de nuevo de tenemos, como antes, que s < s + rq, q Sumando rq en ambos lados tenemos s + rq <. () qs q < r s, s < rq. s + rq < rq,

18 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, Caítulo Puntos en la recta real dividiendo ambos lados entre qs, s + rq qs < r s. () Las desigualdades () y () demuestran que la media aritmética está entre los dos racionales dados. Hasta aquí hemos demostrado que entre dos racionales ositivos hay otro racional. Dejamos como ejercicio el resto de la demostración La afirmación anterior tiene imortantes consecuencias: AFIRMACIÓN.. Entre dos números racionales dados hay un número infinito de números racionales. DEMOSTRACIÓN. La demostración comleta y formal escaa del ámbito de este libro, ero demos una idea. Dados dos números racionales, ya demostramos que hay uno entre ellos, bien, consideremos el racional de la izquierda y el que recién hallamos; ues entre esos dos, or la afirmación anterior, hay uno. Consideremos de nuevo el de la extrema izquierda; entre ese y el recién hallado hay otro, y así, y así, odemos reetir el rocedimiento ad infinitum y, finalmente, entre los dos racionales dados hemos hallado un número infinito de racionales entre ellos. Es imortante comrender el significado de la densidad de los racionales. Imaginen dos racionales cercanos, digamos,000,000 y,000,000, rácticamente inindistinguibles si fueran fracciones de milímetro, ues bien, or la afirmación., entre esos dos hay un número infinito de racionales. Es decir, los números racionales arecen tan aretujados en la recta real que nos haría ensar que la cubren. Cosa que no sucede, ero eso es el tema del siguiente arágrafo. Actividad Comitan entre un gruo de ersonas dando dos números racionales, retando a encontrar un número racional entre ellos, y a esbozar la manera de encontrar un número infinito, hallar, ó 0, y exlicar cómo se odrían encontrar más. La densidad de Q, el conjunto de los números racionales, odría inducirnos a ensar que hay muchos más racionales que enteros. En los arágrafos anteriores vimos que N = Z = ℵ 0. Ahora nos reguntamos cuál es cardinalidad de los racionales? quién es Q? La sorresa es que la cardinalidad de los racionales también es ℵ 0, lo cual significa

19 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-.. Números Racionales 9 que odemos establecer una corresondencia biunívoca entre Q y N. Dicho en lenguaje coloquial, que hay la misma cantidad de racionales que de naturales. No es fácil de exlicar dicha corresondencia, ara ilustrar artamos de la idea de que un conjunto de cardinalidad ℵ 0 se uede formar ara contarlo como lo hicimos con los enteros, formarlos ero no ordenarlos de manera consecutiva. Aun así, ara ilustrar la manera en cómo vamos a contar los racionales, lo haremos con los racionales ositivos, ya que los negativos tendrán la misma cardinalidad y, como ya ercibimos de los enteros ositivos y los negativos, la unión de dos conjuntos de cardinalidad ℵ 0 tiene, a su vez, cardinalidad ℵ 0. Vamos, entonces, a contar los racionales ositivos. Primero los colocamos, ero no en una fila, sino en varias, en una tabla: fila tras fila. Primero colocamos una fila con los racionales con denominador igual a, debajo colocamos a los racionales con denominador, y así sucesivamente: ւ ր ւ ր ւ ր ր ւ ր ւ ր ւ ր ւ ր ր ւ ր. ւ ր ր Contemos los racionales según la dirección de las flechas, comenzamos con =, a quien asociamos el natural, a continuación asociamos el a =, desués el se asocia a, continuando asociamos el natural a, y continuamos de esa manera, verificando, antes de asociar un número natural, que la fracción esté formada or rimos relativos. Según la dirección de las flechas el corresondería a = que ya fue considerada (fue contada con el ), así, el corresonde, en realidad a =. Seguimos de esta manera y asociamos,, 8, 9 y 0, resectivamente, a =,,, y. Desués, según la sucesión de fracciones indicada or las flechas, siguen tres fracciones cuyo numerador y denominador

20 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, Caítulo Puntos en la recta real no son rimos relativos, a saber, y, or lo cual las saltamos y asignamos el a =. Al seguir el camino marcado or las flechas, cuando hallamos una fracción cuyo numerador y denominador no son rimos relativos, se trata de un racional ya contado. Es decir, en la tabla aarecen, además de los racionales, como, otras fracciones: las obtenidas al multilicar numerador y denominador del racional or un número natural, or ejemlo = 9 = =. Es or ello que saltamos esas fracciones. Dada cualquier fracción ocua un lugar en la tabla recién mostrada y, según q el camino señalado or las flechas, llegará el turno de contarla. Ilustramos, así, una manera de establecer una corresondencia biunívoca entre los naturales y la arte ositiva de Q. Al considerar todos los racionales se mantiene la cardinalidad. Concluimos que Q = ℵ 0. Veamos otra aariencia de los números racionales. Dado q Q (sabemos que q 0 y que (,q) = ) efectuemos la división del numerador entre el denominador q obteniendo, así, su exresión decimal. Ilustremos. EJEMPLO. Halla la exresión decimal de. SOLUCIÓN. = 0.8. Al dividir numerador entre denominador, obtuvimos un número con cifras decimales, es decir desués de obtener en el cociente el último decimal, el, obtuvimos el residuo 0. El rocedimiento ara dividir se detuvo. A este tio de exresiones le llamamos decimal que termina. EJEMPLO. Halla la exresión decimal de. SOLUCIÓN. = Los untos susensivos indican que el roceso de la división no se detiene, siemre se obtiene residuo, se baja el cero y de nuevo tenemos 0 entre, que coloca otro en el cociente, obteniendo residuo. Para indicar lo anterior se coloca una barra sobre el número que se reite en el cociente, así, = 0.. A esta exresión le llamamos decimal eriódico, en este caso el eriodo es. EJEMPLO. Halla la exresión decimal de 8. SOLUCIÓN. 8 = , =.09.

21 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-.. Los números reales Se trata de un decimal eriódico, cuyo eriodo es 09. Observemos que, dicho de manera estricta, un decimal que termina tiene eriodo 0, digamos 9.8 = 9.80, o, simlemente, =.0. De todos los decimales eriódicos vamos a excluir las colas de 9 debido a que no son más que otra reresentación de decimales que terminan. AFIRMACIÓN.. = 0.9. DEMOSTRACIÓN. Sea x = 0.9, multilicando or 0 en cada lado, 0x = 9.9. Restando ambas ecuaciones tenemos, 0x x = 9, 9x = 9, x =. De manera análoga odemos demostrar que.9 =. y que 0.89 = 0.9. Así, la exresión decimal de un racional es un decimal eriódico, excluyendo las colas de 9 s. PROBLEMAS.. Resuelve las ecuaciones siguientes, ara x Q: + x =, + x = 0, x =,. Comleta la demostración de la afirmación... Al contar los racionales qué lugar le corresonde a?. Qué racional está en el lugar? x =.. Exlica or qué al dividir dos números naturales el rocedimiento se detiene o se vuelve eriódico.. Halla la exansión decimal de, y de. Halla el racional que corresonde a., y a 0.8. LOS NÚMEROS REALES Entre dos racionales siemre hay otro racional, es más, entre dos racionales hay un número infinito de ellos. Sin embargo hay la misma cantidad de racionales que de naturales. La densidad de los racionales nos haría ensar que cubren

22 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-. Caítulo Puntos en la recta real la recta real, cosa que no sucede. Localicemos en la recta real el número. Trazamos sobre la recta real el cuadrado con lado igual al segmento unidad. Por el teorema de Pitágoras, la longitud de la hiotenusa es. Con centro en 0 y radio igual a la hiotenusa trazamos un arco hasta intersecar la recta real localizando, así, el unto sobre la recta. FIGURA. Ubicación de en la recta real. AFIRMACIÓN.8. El número no es racional. DEMOSTRACIÓN. Para demostrar que no es un número racional tenemos que demostrar que es imosible exresarlo como cociente de dos enteros, con el denominador distinto de 0 y que sean rimos relativos. Es decir, debemos demostrar que es imosible que existan, q Z, con q 0 y (,q) =, tales que q =. Bien, vamos a roceder or contradicción, es decir vamos a suoner que sí es osible exresar como el cociente de dos rimos relativos y artiendo de dicha suosición vamos a caer en una contradicción, lo que nos indicará que la hiótesis de la cual artimos es insostenible, obteniendo, así, la conclusion deseada. Procedamos: suongamos que sí es osible exresar como cociente de dos enteros rimos relativos, sean, entonces,, q Z tales que q =, con (,q) =. Recordemos que (,q) =, que y q sean rimos relativos, significa que no tienen factor común. De la hiótesis, multilicando ambos lados or q obtenemos que = q, Elevando ambos lados al cuadrado tenemos que = q. () Vemos que es un número ar, ues es múltilo de. Sabemos, or la Afirmación., que si es ar entonces es ar, es decir, odemos exresar Substituyendo en () obtenemos = n ara algún n N. () (n) = q, n = q, n = q.

23 Uso exclusivo ara los alumnos del curso de Cálculo I, 0-.. Los números reales Lo cual nos dice que q es ar, ues es múltilo de, y, de nuevo or la Afirmación., q es ar, q = m ara algún m N. () De () y () vemos que, contrario a la hiótesis, y q tienen a como factor común ues = n, q = m. Suoner la existencia de rimos relativos cuyo cociente fuera nos llevó a la contradicción de que esos rimos relativos tienen factor común. Por lo tanto, esa hiótesis es insostenible y la conclusión es que no existen enteros rimos relativos cuyo cociente sea. Es decir, no es racional. A los untos de la recta real que no corresonden a números racionales les llamamos irracionales. La unión de los racionales y los irracionales son los números reales, que denotamos con R. Nos reguntamos: qué aariencia tienen los números reales?, cuántos son? Así como los números racionales los reresentamos como decimales eriódicos, los irracionales estarán reresentados or decimales que no son eriódicos, que no terminan. El conjunto de las exresiones decimales (excetuando las colas de 9 s) conforman el conjunto de los números reales. EJEMPLO. Según ya demostramos no es racional, or lo tanto, es un decimal que no termina, veamos sus rimeros cincuenta dígitos significativos, = Los untos susensivos indican que el decimal continúa.