CONCEPTO DE LÓGICA MATEMÁTICA

Transcripción

1 CONCEPTO DE LÓGICA MATEMÁTICA La Lógica estudia la forma del razonamiento. La Lógica Matemática es la discilina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica roorciona reglas y técnicas ara determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emlea en Matemáticas ara demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante ara realizar cualquier actividad en la vida. Lenguajes y estructuras de rimer orden Un lenguaje de rimer orden, notado como es una colección de distintos símbolos clasificados como sigue: 1. El símbolo de igualdad ; el aréntesis. 2. los conectores,,, ; 3. Los cuantificadores: universal y existencial. 4. Un conjunto contable de símbolos de variable v.. 5. Un conjunto de símbolos de constante C 6. Un conjunto de símbolos de función f 7. Un conjunto de símbolos de relación R i A.. B. Así, ara esecificar un orden, generalmente sólo hace falta esecificar la colección de símbolos constantes, símbolos de función y símbolos relacionales, dado que el rimer conjunto de símbolos es estándar. Los aréntesis tienen como único roósito de agruar símbolos y no forman arte de la estructura de las funciones y relaciones. Los símbolos carecen de significado or sí solos. Sin embargo, a este lenguaje odemos dotarlo de una semántica aroiada. i0 DEFINICIÓN Y CLASES DE PROPOSICIONES Una roosición o enunciado es una oración que uede ser falsa o verdadera, ero no ambas a la vez. Toda roosición consta de tres artes: un sujeto, un verbo y un comlemento referido al verbo. La roosición es un elemento fundamental de la Lógica Matemática. A continuación se tienen algunos ejemlos de roosiciones válidas y no válidas, y se exlica el or qué algunos enunciados no son roosiciones. Las roosiciones se indican or medio de una letra minúscula, dos untos y la roosición roiamente dicha.

2 Ejemlos. Sean las siguientes roosiciones: : Bogotá q : r : 2x t :los recios de los autos w : cómeteel an! se encuentraen Euroa. bajaraneste año Los enunciados y q ueden tomar un valor de falso o verdadero, or lo tanto, son roosiciones válidas. El inciso r también es una roosición valida, aunque el valor de falso o verdadero deende del valor asignado a la variable x en determinado momento. La roosición del inciso s también esta erfectamente exresada aunque ara decir si es falsa o verdadera se tendría que eserar a que terminara el año. Sin embargo, los enunciados t y w no son válidos, ya que no ueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden. En general, las roosiciones ueden ser: Simles si sólo tienen un sujeto, un verbo y un comlemento. En caso contrario, son roosiciones Comuestas. Cerradas si tienen determinado el sujeto. Abiertas si no lo tienen determinado. Afirmativas o Negativas. Según lo afirmen o nieguen. Verdaderas o Falsas según corresondan o no a la realidad. Ejemlos. h: "Ana come izza y bebe refresco", es una roosición comuesta, cerrada y afirmativa. j: "Ella no nada muy ráido", es una roosición simle, abierta y negativa. k: Bogotá no está al norte de la Casanare y no hace frío", es una roosición comuesta, cerrada, negativa y verdadera. l: es una roosición simle, cerrada, afirmativa y verdadera. m: x - 2 x es una roosición simle, abierta y negativa. n: a b 6 es una roosición comuesta, abierta y afirmativa.

3 1 CONECTIVOS LÓGICOS EN PROPOSICIONES COMPUESTAS Existen conectivos u oeradores lógicos que ermiten formar roosiciones comuestas, es decir, formadas or varias roosiciones. Los oeradores o conectores básicos son: Conjunción (oerador and, se lee y ). Se utiliza ara conectar dos roosiciones que se deben cumlir ara que se ueda obtener un resultado verdadero. Se le conoce como multilicación lógica y su símbolo es (and). Sea el siguiente enunciado: "Voy al cine cuando hay una buena elícula y cuando tengo dinero En estas condiciones sean: : Voy al cine. q: Hay una buena elícula. r: Tengo dinero. De tal manera que la reresentación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: q r, su tablas de verdad es como sigue en cualquiera de las dos resentaciones. Su corresondencia es la misma. q r q r V v V V F F F V F F F F q r q r Donde: 1 = verdadero, 0 = falso 1 Además de los oeradores básicos (And, Or y Not) existe el oerador Xor, cuyo funcionamiento es semejante al oerador Or con la diferencia de que su resultado es verdadero solamente si una de las roosiciones es cierta, y cuando ambas son verdad, el resultado es falso. Por otro lado, con ayuda de los oeradores básicos se ueden formar los oeradores comuestos Nand (combinación de los oeradores Not y And), Nor (combina oerado res Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

4 En la tabla anterior el valor de q 1 significa que hay una buena elícula, r 1 significa que tengo dinero y q r 1 significa que voy ir al cine. Se uede notar que con cualquiera de las dos roosiciones que valga cero imlica que no asisto al cine. Disyunción (oerador or, se lee o ). Con este oerador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las roosiciones es verdadera. Se conoce como suma lógica y su símbolo es (or). Sea el siguiente enunciado: Para ir al autódromo de Tocanciá uedo tomar la carrera 7 o tomar la autoista norte Sean: ir al autodromo de Tocanciá; q tomar la carrera sétima; r tomar la autoista norte; la tabla de verdad es de cualquiera de las siguientes forma: q r q r V v V V F V F V V F F F q r q r En la tabla anterior el valor de q 1 significa tomar la carrera sétima, r 1 significa tomar la autoista norte y q r 1 significa ir al autódromo de Tocanciá. Se uede notar que con cualquiera de las dos roosiciones que valga uno imlica que llego al autódromo de Tocanciá. Negación (oerador not, se lee no ) Su función es negar la roosición. Esto significa que sí alguna roosición es verdadera y se le alica el oerador not se obtendrá su negación (falso) y viceversa. Este oerador se indica or medio del símbolo. Sea el siguiente enunciado: El león es el rey de la selva Sean:

5 El león es el rey de la selva; Su tabla de verdad es como sigue: su negacion notada or El león no es el rey de la selva V F F V En la tabla anterior el valor de 1 significa que el león no lo es. significa que el león es el rey de la selva, y 0 Sean las roosiciones: : Ya es tarde. q: Tengo que dormirme. r: Me levantaré temrano. El enunciado: "Ya es tarde y tengo que dormirme o no me levantaré temrano. Se uede reresentar simbólicamente de la siguiente manera: q r. PROPOSICIONES CONDICIONALES Una imlicación o roosición condicional, es aquella que está formada or dos roosiciones simles (o comuesta) y q. Se indica de la siguiente manera: q (se lee "si entonces q") Un hombre dice "Si ahorro me odré comrar una casa en tres años". Una declaración como esta se conoce como condicional. Veamos otro ejemlo: Sean: : Ahorro. q: Podrá comrar una casa en tres años. De tal manera que el enunciado se uede exresar como: q Su tabla de verdad es de la siguiente manera: q r q V v V V F F F V V F F V q r q

6 La interretación de los resultados de la tabla es la siguiente: Analizando si el hombre mintió con la afirmación del enunciado anterior: Cuando =1 significa que ahorró y q=1 que se comró la casa en tres años, or lo tanto q 1 (el hombre dijo la verdad). Cuando 1 y q 0 significa que q 0 la casa. Cuando 0 y q 1 recursos), así que no mintió, de tal forma que q 1, el hombre mintió, ya que ahorró y no se comró significa que aunque no ahorró se comró la casa (ya tenía los. Cuando 0 y q 0 se interreta que aunque no ahorró tamoco se comró la casa, or lo tanto q 1 ya que tamoco mintió. PROPOSICIÓN BICONDICIONAL Sean y q dos roosiciones. Una doble imlicación o roosición es bicondicional cuando es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien es falsa si y sólo si q también lo es. Se indica de la siguiente manera: q (se lee " si y sólo si q") Sea el siguiente enunciado: "Una ersona uede votar, si y sólo si, tiene credencial de elector" Dónde: : Una ersona uede votar. q: Tiene credencial de elector. Su tabla de verdad es. q r q V v V V F F F V F F F V q r q La interretación de los resultados de la tabla es la siguiente: Cuando 1 significa que una ersona uede votar y q 1 que tiene credencial, al ser esto cierto q 1. Cuando 1 y q 0 significa que q 0 Cuando 0 y q 1, una ersona uede no votar, ya que no osee la credencial. significa que una ersona no uede votar aunque tenga credencial (or ejemlo los residentes en el extranjero), esto es que q 0. Cuando 0 y q 0 se interreta como que ni uede votar ni tiene credencial, or lo tanto es cierto q 1.

7 Reresentar simbólicamente el enunciado: "Si no ago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si ago la luz, entonces me quedaré sin dinero o ediré restado. Y Si me quedo sin dinero y ido restado, entonces no odré agar la deuda, si y sólo si soy desorganizado" Solución: : Pago la luz. q: Me cortarán la corriente eléctrica. r: Me quedaré sin dinero. s: ediré restado. t: Pagar la deuda. w: Soy desorganizado. q r s r s t w El número de líneas de la tabla de verdad deende del número de variables de la exresión y se uede calcular or medio de la siguiente formula: Número de líneas = de variables distintas. Ejemlo: Dada la siguiente roosición: q q r r q Solución. q r q q q r ( q) ( q r) 2 n, donde n es el número. Elaborar su tabla de verdad. r q q q r r q TAUTOLOGÍA, EQUIVALENCIA Y CONTRADICCIÓN Tautología es aquella roosición (comuesta) que es cierta ara todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemlo tíico es la roosición contraositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación. q q q q q q ( q) ( q )

8 Nótese que en las tautologías ara todos los valores de verdad el resultado de la roosición es siemre uno. Las tautologías son muy imortantes en Lógica Matemática ya que se consideran leyes en las cuales se uede aoyar ara realizar demostraciones. Se dice que dos roosiciones son lógicamente equivalentes, o simlemente equivalentes. Si coinciden sus resultados ara los mismos valores de verdad. Se indican como q. En el ejemlo anterior, se uede observar que las columnas de q y q valores de verdad, or lo tanto se uede establecer que ( q ) ( q ) son iguales ara los mismos Contradicción es aquella roosición que siemre es falsa ara todos los valores de verdad, una de las más usadas y más sencilla es verdad.. Como lo muestra su corresondiente tabla de Si se tiene : El auto es verde, la roosición equivale a decir que "El auto es verde y el auto no es verde". Por lo tanto se está contradiciendo, es decir, es una falacia. LEYES NOTABLES EN LÓGICA Las leyes de lógica más notables son las que se enlistan a continuación: 1.- Ley de doble negación ( ) 2.- Leyes de idemotencia 3.- Leyes asociativas q r q r q r q r 4.- Leyes conmutativas q q q q q q

9 5.- Leyes distributivas q r q r q r q r 6.- Leyes de De Morgan q q q q MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN Todo enunciado uede ser lanteado en términos de teoremas. Un teorema or lo general es resultado de un lanteamiento de un roblema, que normalmente resenta el siguiente formato: q 1 n 1,,, 2 Como se establece 2 n son hiótesis (o remisas) derivadas del mismo roblema y que se consideran válidas. Pero además deberán conectarse con el oerador And (), lo cual imlica que 1 es cierta y () 2 es verdad y ()... y cierta entonces la conclusión q es cierta. n también es Para realizar la demostración formal del teorema se deberá artir de las hiótesis, y desués obtener una serie de asos que también deben ser válidos, ya que son roducto de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hiótesis y reglas de inferencia ueden aarecer en una demostración formal, sino también tautologías conocidas. En el teorema anterior cada uno de los asos 1,,, n 2 son escalones que deberán alcanzarse hasta llegar a la solución. Bibliografía: José A. Amor M., (1993). Comacidad en la Lógica de Primer Orden y su Relación con el teorema de comletud. UNA. México Boole G. (1954 ). An Investigation of the Laws of Thougth on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities. Reedición Dover (1958) Crossley J. et al., (1983). Qué es la <Lógica Matemática?. Técnos. USA. Mates B. (1971). Lógica Matemática Elemental. Tecnos. USA. Mendelson E. (1987). Introduction to Mathematical Logic, Wadsworth & Brooks/Cole Advance Books and Software 3ª Ed. USA.