TÍTULO: MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA Disponibilidad

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1 TÍTULO: MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA Disponibilidad Calculo proposicional 1 Argumentos y proposiciones lógicas 1 Algunos argumentos lógicos importantes 2 Proposiciones 4 Conexiones lógicas 5 Negación (tabla) 6 Conjunción (tabla) 6 Disyunción (tabla) 8 Condicional (tabla) 9 Bicondicional (tabla) 11 Comentarios adicionales sobre conexiones 11 Resumen de conexiones (tabla) 12 Proposiciones compuestas 12 Expresiones lógicas 12 Análisis de proposiciones compuestas 14 Árbol de análisis (sintáctico) de una preposición ( mapa conceptual) 15 Reglas de prioridad 17 Evaluación de expresiones y tablas de verdad 18 Ejemplos de proposiciones compuestas 19 Tautologías y contradicciones 22 Tautologías 22 Tautología y razonamiento válido 24 Contradicciones 25 Tipos importantes de tautología 25 Equivalencias lógicas y su utilización 27 Demostración de equivalencias lógicas (tablas) 27 Algebra declarativa 28 Eliminación de condicionales y bicondicionales (ejemplo) 30 Leyes esenciales para el algebra declarativa 31 Métodos abreviados para manipular expresiones 32 Formas normales de expresiones 34 Tablas de verdad y formas normales disyuntivas (tabla) 36 Formas normales conjuntivas y complementación 37 Implicaciones y derivaciones lógicas 40 Implicaciones lógicas 40 Demostración de validez mediante tablas de verdad 41 Demostraciones 43 Sistemas para derivaciones 46 Principales reglas de inferencias utilizadas en el texto (tabla) 47 El teorema de la deducción 49 Calculo de predicados 55 Componentes sintácticos del calculo de predicados 56 El universo de discurso 56 Predicados 57 Asignación para el predicado madre (tabla) 59 Asignación para el predicado mayor (tabla) 59 Variables y particularizaciones (casos o ejemplares) 59 Cuantificadores 61 Restricciones de los cuantificadores a ciertos grupos 64 Interpretaciones y validez 66 Interpretaciones 66 Validez 69 Expresiones no validas 71 Demostración de la validez 73 Derivaciones 75 Particularización universal 75 Generalización universal 77 El teorema de la deducción y la generalización universal 79 Eliminación de los cuantificadores universales 80 Generalización existencial 82 Particularización existencial 83 Equivalencias lógicas 87 Equivalencias lógicas básicas 87 Otras equivalencias importantes 89 Lógica de las ecuaciones 91 Igualdad 91 Igualdad y unicidad 94

2 Funciones y lógicas de ecuaciones 96 Composición de funciones 98 Propiedades de los operadores 100 Elementos nulo e identidad 103 Las derivaciones en la lógica de ecuaciones 106 La lógica de ecuaciones en la practica 108 Algebra de Boole (tabla) 110 Inducción y recursividad 115 Los números naturales 117 Inducción matemática 118 La inducción para demostrar propiedades como la suma 122 Modificación de la base inductiva 124 Sumas y construcciones relacionadas 127 Definiciones recursivas de sumas y productos 127 Identidades que implican sumas 130 Sumas dobles y matrices 134 Demostración por recursividad 136 Definiciones recursivas 137 Sucesiones descendentes 141 El principio de demostraciones por recursividad 142 Inducción estructural 144 Aplicaciones de la recursividad a la programación 148 La programación como composición de funciones 149 La recursividad en los programas 153 Programas que implican árboles 157 Funciones recursivas 161 Funciones recursivas primitivas 163 Programación y recursividad primitiva 167 Mineralización 169 Prolog 173 Prolog básico 174 Hechos, reglas y consultas 174 Derivaciones que implican hechos 177 Derivaciones que implican reglas 178 Particularización y unificación 182 Retroceso (backtracking) 183 Resolución 185 Ejecución y depuración de programas 188 Compiladores e interpretes de prolog 188 Consulta de una base de datos 189 Depuración y seguimiento 191 Características adicionales de prolog 192 Entrada y salida 192 Estructuras 193 Notación infija 194 Aritmética 195 Predicados de igualdad 196 Recursividad 198 Predicados recursivos 198 Terminación 200 Bucles y prolog 202 Listas 202 Predicados recursivos que contienen listas 204 Refinamiento sucesivo 207 Negación en prolog 209 Prolog como lenguaje lógico 209 La negación como fracaso 212 Utilización del orden de cláusulas 212 Cortes 213 Aplicación de prolog a la lógica 215 Las listas como expresiones lógicas 216 Representación de expresiones lógicas como estructuras 217 Conjuntos y relaciones 223 Conjuntos y operaciones de conjuntos 223 Los conjuntos y sus miembros 224 Subconjuntos ( imagen) 226 Intersecciones 228 Uniones 229 Diferencias y complementos 230

3 Expresiones que involucran conjuntos 232 Identidades básicas de conjuntos (tabla) 233 Tuplas, sucesiones y conjuntos potencia 236 Tuplas y productos cartesianos 237 Sucesiones y cadenas 239 Conjuntos potencia 240 Tipos y signaturas 241 Relaciones 244 Relaciones y su representación 244 Relación en forma tabular (tabla) 245 Dominios y rangos 246 Diágrafo de una relación ( imagen) 246 Diágrafo para encontrar el dominio y el rango (imagen) 247 Algunas operaciones de relaciones 247 Composición de relaciones 250 Propiedades de las relaciones 255 Relaciones sobre un conjunto 255 Grafo de la relación menor o igual que, < (imagen) 456 Relaciones reflexivas 256 Configuraciones para una red de computadores (imagen) 257 Relaciones simétricas 258 Transitividad 259 Cierres 261 Relaciones de equivalencia 263 Ordenes parciales 264 Diagramas de Hasse (imágenes) 267 Funciones 273 Representaciones y manipulaciones que involucran funciones 273 Definiciones y notación 274 Representación de funciones (tablas e imágenes) 276 La notación lambda 277 Restricciones y sobrecarga 279 Composición de funciones 280 Composición de funciones (imagen) 281 Inyecciones, sobreyecciones (o epiyecciones) e inversas 283 Creación de inversas mediante creación de tipos 287 Enumeración, isomorfismos y homomorfismos 289 Enumeración 290 Conjuntos contables e incontables 292 Permutaciones y combinaciones 295 Isomorfismos y homomorfismos 297 Complejidad computacional 300 Polinomios y algoritmos de tiempo polinómico 301 Funciones y algoritmos relacionados con las exponenciales 305 Los limites de la computabilidad 309 Análisis asintótico 311 Divide y vencerás 315 Polinomios no deterministas 318 Relaciones de recurrencia 321 Relaciones de recurrencia homogéneas 323 Ecuaciones de recurrencia no homogéneas 326 Miranda 330 El nivel de órdenes 330 Definiciones de función 331 Tipos, funciones y declaraciones 333 Reconocimiento de patrones y reescritura 335 Un problema de programación 337 Grafos y árboles 341 Introducción y ejemplos de modelado de grafos 342 Representación de una red de computadores (imagen) 344 Definiciones básicas de la teoría de grafos 348 Caminos, accesibilidad y conexiones 355 Cálculo de caminos a partir de una representación matricial de los grafos 363 Recorrido de grafos representados como listas de adyacencia 376 Representación de grafos mediante listas de adyacencia 376 Búsqueda en amplitud 379 Árbol BFS (imagen) 380 Búsqueda en profundidad 382 El algoritmo de Dijkstra para la búsqueda de caminos mínimos 386

4 Árboles y árboles de expansión 392 Árboles libres (imagen) 393 Árboles de expansión 393 Árboles de expansión mínimos 399 Redes de planificación 404 Un modelo de administración de proyectos 404 Ordenación topológica 412 Especificación formal de requisitos en Z 419 El ciclo vital del software 420 Modelo de cascada del cielo de vida del software (imagen) 421 La necesidad de las especificaciones formales 423 Introducción a Z 425 Alfabeto y elementos léxicos 426 Tipos y declaraciones 426 Especificación de un sistema mediante lógica y conjuntos 428 Sumario de la notación Z para conjuntos y lógica 429 Esquemas 432 Relaciones 437 Funciones 443 Sucesiones 449 Nociones básicas 449 Operaciones con sucesiones 450 Colas: un ejemplo de sucesiones 452 Un archivo secuencial: otro ejemplo de sucesión 453 Verificación de programas 459 Conceptos preliminares 460 Programas y códigos 460 Aserciones (asertos) 461 Corrección 462 Reglas generales relativas a las precondiciones y postcondiciones 464 Reforzamiento de precondiciones 464 Debilitamiento de postcondiciones 466 Reglas de conjunción y disyunción 467 Verificación de códigos sin bucles 469 Sentencias de asignación 470 Concatenación de código 472 La sentencia if 476 Bucles y Arrays 479 Una regla while preliminar 479 La regla while general 484 Arrays 485 Terminación del programa 489 Gramáticas, lenguajes y análisis sintácticos 493 Lenguajes y gramáticas 494 Tratamiento de las gramáticas 495 Definición formal de un lenguaje 498 Nociones de análisis sintáctico 503 Gramáticas ambiguas 508 Gramáticas reducidas 513 Análisis sintáctico descendente 517 Estrategia general de análisis sintáctico descendente 518 Análisis sintáctico descendente determinista con gramáticas 521 Nociones de análisis sintáctico determinista 521 Un sistema generador de analizadores sintácticos (imagen) 522 Gramáticas LL(1) simples 522 Gramáticas LL(1) sin reglas vacías 527 Derivaciones 537 Derivaciones en cálculo proposicional 537 Conceptos básicos de la derivación natural 537 Implementación del teorema de la deducción 538 Resolución 541 Algunos resultados del calculo de predicados 547 Complementos 547 Formulas normales de prenex 548 Derivaciones en el cálculo de predicados 549 Derivaciones canónicas 550 Cuantificadores en la deducción natural 554 Sustitución de cuantificadores por funciones y variables libres 555 Resolución en el calculo de predicados 556

5 Una panorámica de los sistemas de bases de datos relacionales 563 Conceptos básicos 564 Definiciones y conceptos 564 Ejemplo introductorio de una base de datos relacional 564 Estructura jerárquica de la información para procesar información (imagen) 565 Panorámica de un sistema de base de datos 568 El modelo de datos relacional 571 Panorámica de la estructura relacional 572 Las relaciones y sus esquemas 572 Representación de relaciones en el modelo relacional 574 Reglas de integridad 575 Álgebra racional 576 Operaciones básicas 576 Operaciones relaciones adicionales 578 Cálculo relacional 590 Cálculo de tuplas 591 El lenguaje de consulta estructurado (SQL) 595 Definición de datos 596 Administración de datos 597 Consulta de datos 598 Operadores aritméticos y agregados en consultas SQL 601 Consulta de datos anidadas 603 Comentarios finales 608 Bibliografía 611 Solución a los problemas con numero par 613 Índice analítico 687