UTILIZANDO LA LÓGICA SIMBÓLICA EN SITUACIONES DE

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1 Unidad I Razonamiento Lógico Matemático UTILIZANDO LA LÓGICA SIMBÓLICA EN SITUACIONES DE NUESTRO CONTEXTO El hombre que hace algo uede equivocarse ero aquel que no hace nada ya está equivocado. E. Rótterdam Figura 1 Fuente: htt:// Caacidades Identifica y elabora roosiciones lógicas relacionadas a su entorno. Formaliza roosiciones moleculares y determina su valor de verdad. Demuestra la validez de una inferencia emleando leyes de equivalencia o tablas de verdad. Utiliza las leyes de inferencias lógicas ara determinar conclusiones a artir de un conjunto de remisas. Simboliza y diseña circuitos lógico. 101

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3 Tema: 1 PROPOSICIONES Y CONECTIVOS LÓGICO, SIMBOLIZACIÓN Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES El estudio de la lógica es fundamental en la vida del ser humano, ya que mediante ella es osible discilinar y ordenar el conocimiento. Sólo mediante el conocimiento, el hombre es caaz de realizar su roia esencia, erfeccionando su vida: cuando la razón es el faro que guía las acciones del hombre, éste tiene que llegar necesariamente a la verdad Daniel Márquez Muro. Figura Fuente:htt://xtianlb.blogsot.com/009/03/adivinanzaalemana.html Reseña histórica de la lógica La lógica se inicia con Aristóteles (384-3 A.C.) quien fue el rimero en desarrollar el análisis formal de los razonamientos. Los escritos lógicos de Aristóteles están reunidos en un libro llamado Organon (significa instrumento, roedéutica, metodología ) que contiene cinco tratados como son: Las categorías, Sobre las roosiciones, Los analíticos (rimeros y segundos), Los tóicos y Las refutaciones sofísticas. De estos cinco tratados Los analíticos es el documento que contiene la naturaleza de la lógica y el silogismo. Posteriormente se inicia la lógica moderna con Leibniz ( ) quien desarrolló el cálculo de la lógica roosicional ( Mathesis universalis ); Euler ( ), introdujo los diagramas que lleven su nombre ara ilustrar geométricamente los silogismos. En 1854, el matemático inglés George Boole ublicó su obra An investigation of the laws of thought (una investigación de las leyes del ensamiento) dando origen a la lógica 103

4 matemática, interretando de esta manera la afinidad de la lógica de clases y la lógica roosicional. Russell ( ) junto con Whitehead ( ) escribe Princiia matemática, obra que generó investigaciones sobre la inferencia y sus alicaciones.actualmente la lógica moderna tiene múltiles alicaciones en todos los camos. No olvides que: Francisco Miró Quesada Cantuarias, fue quien introduce y desarrolla la lógica matemática en Latinoamérica. 1. Lógica Es la ciencia que estudia los métodos o rocedimientos formales ara alicar las leyes o reglas lógicas en el análisis de validez de las inferencias. Esta Discilina tiene alicación en todos los camos del saber; en la filosofía ara determinar si un razonamiento es válido o no. Los matemáticos usan la lógica ara demostrar teoremas e inferir resultados. En comutación, ara revisar rogramas y crear algoritmos. Existen circuitos integrados que realizan oeraciones lógicas como los bits, gracias a ello se ha logrado el desarrollo de la tecnología. 1.3 Definiciones básicas de lógica Lógica Proosicional Es una arte de la lógica que estudia las roosiciones y su relación entre ellas, así como las funciones que tienen las variables roosicionales y los conectivos lógicos Enunciado Es toda frase u oración que señala alguna idea. Algunos enunciados son mandatos, interrogaciones o exresiones de emoción; otros en cambio son afirmaciones o negaciones que tienen la característica de ser verdaderos o falsos. Ejemlos: Cómo estás? Esas flores son hermosas. El cuadrado y el círculo son olígonos. Mañana será viernes. ( a + b) = 65 Jorge es rofesor de la USS. X + 3 < 14 5 es divisor de 140. Chiclayo es la ciudad de la amistad Messi y Guerrero juegan muy bien. Eres un cameón! 104

5 1.3.3 Enunciado Abierto Llamada también función roosicional, es un enunciado en el que intervienen una o más variables, que admiten la osibilidad de convertirse en una roosición lógica cuando la variable asume un valor determinado. Ejemlos: Él es un escritor eruano. x 6x 36 m + n 3 Ella es una sicóloga. N es un número imar. Los enunciados abiertos usan las alabras el, ella y los símbolos x, y, z, etc. No son roosiciones ero cuando se reemlazan estas alabras o símbolos or un determinado objeto o valor resultan ser roosiciones Proosición Llamado también enunciado cerrado, es toda exresión coherente que se caracteriza or oseer un valor de verdad (V) o falsedad (F) sin ambigüedad, en un determinado contexto. Por lo general se denotan con letras minúsculas como:, q, r, s, etc., las cuales son llamadas variables roosicionales y se analizan en una tabla de verdad. Tabla de verdad V F Valores veritativos Ejemlos: La luna es un satélite. (V) 13 es un número divisible or y or 3. (V) Ciro Alegría no fue literato. (F) La velocidad es una magnitud vectorial. (V) ( a + b) = a + ab + b (V) Los Moches se caracterizaron or sus huacos retrato. (V) 16 es múltilo de 7. (F) 150 0* (F) 105

6 1.3.5 Proosiciones Simles y Comuestas PROPOSICIÓN SIMPLE Llamada también atómica o elemental, monádicas o monarias. Exresa una sola idea y se reresenta or una sola variable (tienen un solo sujeto y un solo redicado), no tienen conjunciones gramaticales ni adverbio de negación. Ejemlos: El bosque de Pomac se encuentra en Ayacucho es un número caicúa. El Señor de Sián fue encontrado en el deartamento de Lambayeque. 3 es un número ar. PROPOSICIÓN COMPUESTA Llamada también molecular o coligativa, esta formadas or dos o más roosiciones simles unidas or conjunciones gramaticales (conectivos) o afectados or el adverbio de negación NO. Ejemlos: 15 es divisible or 3 y múltilo de 5. Arequia no es llamada la ciudad blanca. Si mañana sale el sol entonces iremos de aseo. Luís es abogado o ingeniero. O Jorge esta en Chiclayo o en Trujillo >11 y + 3 > Conectivos Lógicos Los conectivos lógicos son alabras que sirven ara enlazar roosiciones o cambiar el valor veritativo de una roosición. Sean las roosiciones y q. Tenemos: SÍMBOLO OPERACIÓN ASOCIADA ESQUEMA SIGNIFICADO O INTERPRETACIÓN Negación simle, interna o ligada. No, no es cierto que Conjunción roducto lógico q Y,ero, sin embargo, no obstante, aunque, etc. Disyunción inclusiva o Incluyente Disyunción Débil suma lógica q O, salvo, a menos que, exceto Si entonces ; imlica; or lo Imlicación Condicional, q tanto; de ahí que; de modo que; condicional simle imlicación luego; en consecuencia; or material consiguiente, etc. Si y solo si; siemre y solo Doble imlicación Bicondicional, q cuando; solamente si; entonces y equivalencia, etc. solo entonces es idéntico; cuando y solo cuando, etc. Diferencia simétrica O Disyunción Exclusiva Excluyente Disyunción fuerte q O O ; A no ser que 106

7 1.3.7 Oeraciones con Proosiciones De la misma forma como en la aritmética y en el algebra se estudian oeraciones entre números, en lógica se estudian oeraciones entre roosiciones donde se determina su valor de verdad de la roosición resultante. Una tabla de verdad de una roosición da los valores verdaderos (que ueden ser V o F) de la roosición ara todas las asignaciones osibles. El número de valores que se asigna a cada variable roosicional está dada or la fórmula: n Donde: n es el número de roosiciones simles. A) Negación: Es una roosición cuyo valor es ouesto al de la roosición original. Ejemlo: Sea: : Augustus de Morgan fue matemático. : Augustus de Morgan no fue matemático. Su tabla de verdad es: V F F V Las alabras: no, no es cierto que, no es verdad que, es falso que, no ocurre que, no es el caso que, etc. Equivale al conectivo B) La Conjunción: Vincula dos roosiciones mediante el conectivo lógico y. Ejemlo: Su tabla de verdad es la siguiente q q V V V V F F F V F F F F La conjunción es verdadera únicamente cuando las dos roosiciones comonentes son verdaderas. En todo otro caso, es falsa. 107

8 Nota: Las alabras ero ; sin embargo ; además ; obstante, equivalen al conectivo de la conjunción. C) Disyunción inclusiva o incluyente o disyunción débil: Vincula dos roosiciones mediante el conectivo O. aunque ; no Ejemlo: Su tabla de verdad es la siguiente: q q V V V V F V F V V La disyunción sólo es falsa cuando sus comonentes son falsas en otros casos es verdadera. F F F D) Imlicación o condicional Son aquellas roosiciones que se relacionan mediante la conjunción condicional: Si entonces o sus equivalentes. La roosición condicional consta de elementos, el antecedente y el consecuente. Ejemlo: Su tabla de verdad es: q q V V V V F F F V V F F V La condicional tiene un valor falso cuando su antecedente es verdadero y su consecuente q es falsa, en los demás casos será verdadero. Nota: Algunas formas gramaticales de la condicional son: de ahí que q; imlica q; de modo que q; or lo tanto q; deviene q; conclusión q; dado 108

9 or eso q; luego q; cuando así ues q; or consiguiente q; de derivamos q; cada vez que q, etc. E) Bicondicional o doble imlicación Vincula dos roosiciones mediante el conectivo lógico:.si y sólo si. Ejemlo: La tabla de valores de verdad es: q q V V V V F F F V F F F V La doble imlicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas roosiciones tienen el mismo valor de verdad, en caso contrario es falso. Algunas de sus formas gramaticales son: solamente si; cuando y sólo cuando; entonces y sólo entonces; es idéntico; cada vez que y sólo si; es condición necesaria y suficiente ara q; etc. F) Diferencia simétrica o disyunción exclusiva Cuando sólo uno de sus miembros uede ser acetado, el otro queda inválido. Sus formas gramaticales son: o o ; o (en sentido excluyente). Ejemlo: La tabla de valores de verdad es la siguiente: P q Δ q V V F V F V F V V F F F La disyunción exclusiva es verdadera sólo si sus comonentes tienen valores diferentes; caso contrario será falso. 109

10 ACTIVIDAD Nº 1 Orientaciones: 1. A continuación se le resenta una lista de ejercicios, en las que vamos a diferenciar: enunciados, roosiciones y no roosiciones, así mismo su validez. 01. Los siguientes enunciados son roosiciones lógicas 1. Si ingreso a la USS, seré muy feliz. Keos fue un inca egicio 3. Los nacidos bajo el signo de Aries son efusivos y aguerridos 4. En el monte Sinaí, Moisés habló directamente con Dios 5. 4y + 5y = 9, donde y = 1 Son correctas : a) 1,, 3 b), 4 c), 5 d) 1,, 5 e) 1, 0. Son roosiciones simles: 1. Si llegas temrano, te remiaremos.. Estudias o juegas. 3. O sientes frío o sientes calor. 4. La USS es una institución ública. 5. Jorge y Carmen son colegas. Son incorrectas: a) 1,, 3 b), 3, 4 c) 3, 4, 5 d) 1, 3, 5 e) 1, 4, Son roosiciones los siguientes enunciados: 1) Tres es un número comuesto. ) Perú Cameón! 3) Ojala consiga trabajo 4) Ollanta es residente del Perú. 5) = 1 Son correctas: a) 1,, 3 b), 3, 4 c) 3, 4, 5 d) 1, 3, 4 e) 1, 4, Son roosiciones atómicas: 1) Bolívar tal como Sánchez Carrión fueron amigos. ) La lógica es una ciencia que obviamente estudia las formas del ensamiento 3) Es concebible que Júiter sea el laneta más grande de la vía Láctea 4) Es imosible que el conjunto nulo tenga existencia real 5) El virus es el tránsito entre la vida y la muerte Son certeramente ciertas: a) 1, 5, 4 b) 4, 5 c) 1,, 3 d) 3,, 5 e) Todas menos Son roosiciones moleculares: 1) 6 no es un número rimo. ) José y María fueron adres de Jesús. 3) La Tierra se encuentra entre Venus y Marte. 4) Chiclayo está al norte de Trujillo, está más cerca a Ecuador. 5) La USS es una universidad rivada con más de 10 años de vida institucional. No son correctas, exceto: a) 1,, 3 b), 3, 4 c) 1, 4, 5 d) 1, 3, 4 e), 4, Son roosiciones conjuntivas. 1) Los alumnos de CEPRE son estudiosos y resonsables. ) Rómulo y Remo fueron hermanos según la leyenda 3) La tierra es un laneta tanto como el sol es una estrella 4) Ni Perú ni Venezuela ganaron la Coa América 011 5) Perú y Chile forman arte de la ONU. Son ciertas: a) 1, 3 y 5 b) sólo 1 y 3 c) 3, 4 y 5 d) 1, y 3 e) todas 07. De las siguientes roosiciones son comuestas: 1. La matemática es una ciencia formal a menos que sea fáctica.. Los rotones forman el núcleo atómico junto con los neutrones. 3. Júiter orbita alrededor del sol siendo el laneta más grande del sistema solar. 4. Carlos se casó ayer en Ferreñafe. 5. Huáscar y Atahuala fueron los últimos incas. Son innegablemente inciertas: a) 1,,4 b),5 c), 3,5 d) Ninguna e) Todas 08. Son roosiciones disyuntivas: 1. A menos que Calígula fue cómico, fue bufón.. Las matemáticas son deductivas a no ser que también sean inductivas. 3. Los silogismos son validos al igual que no válidos. 4. Más vale ájaro en mano o también ciento volando. 110

11 5. No solo ostularé a Ingeniería sino también a Contabilidad. Son lógicamente no falsas: a), 4 b) 1,, 4 c) 3, 5 d) 1 y e) 1,4,5 09. Son roosiciones imlicativas: 1. Las ballenas viven en el mar, resiran or branquias.. Chiclayo es la caital de Lambayeque, siendo Trujillo caital de La Libertad. 3. Juan viajó a Lima orque firmó contrato de trabajo es un número ar, si 6 es imar. 5. No es cierto que, 10 es un múltilo de entonces es un múltilo de 4. No son ciertas: a), 3 y 5 b) y 5 c) 1, y 3 d) 1, 3 y 4 e) 10. De los enunciados siguientes: 1. Vamos a cameonar!. La suma de tres números enteros consecutivos es múltilo de x 3x 4 x x 4. Pedro y Pablo fueron los rimeros aas de la iglesia católica. 5. El 8 de julio es feriado a nivel nacional. Se uede afirmar: a) Tres son roosiciones. b) Sólo dos son roosiciones. c) Dos son enunciados. d) Todas son roosiciones. e) Ninguna es roosición. 11. Cuáles son enunciados abiertos? 1. El roducto de dos números enteros es un número ar.. x + 3 = 5x 9 3. x > 4 3x 1 > A = 5. A B = Son ciertas a), 5 b), 4 c), 3, 4 d) 1, 4, 5 e) Todos. 1. Cuáles son roosiciones? 1. César Vallejo nació en Perú?. La luna es un laneta (x + 1/3) 1 3(5 x/3) 4. Batman vive en ciudad Gótica. 5. Las ersonas más inteligentes son generosas. a), 5 b), 3 c), 4 d) e) Todos. 13. De las siguientes oraciones son roosiciones lógicas: 1. El fin del mundo será el 01.. El sol era el dios rincial de los incas. 3. Entre dos números racionales siemre hay otro número racional. 4. Eseremos que ya are de llover! 5. Un olígono es regular si es equilátero y equiángulo. Son ciertas: a), 3, 5 b) 1,, 4 c), 4 d) 3, 5 e) Todas. 14. Cuantas son roosiciones atómicas: 1. La ciudad de barro más grande del mundo se encuentra en el Perú.. 6 y 5 son números rimos entre sí. 3. Tanto Sócrates como Platón fueron filósofos de la antigüedad. 4. La masa es una magnitud escalar así como fundamental. 5. Ricardo y Carlos son socios. a) 1 b) 4 c) d) 3 e) Son roosiciones negativas: 1. Ni Chiclayo ni Piura son ciudades de la selva eruana.. La química no es una ciencia formal. 3. No se cumle que los números rimos sean todos imares. 4. El cero no es un número ar. 5. Los números son ositivos o negativos. Son ciertas: a) Solo dos b) Solo tres c) Solo una d) Solo cuatro e) Todas 16. Cuántas roosiciones son conjuntivas? 1. El cinco es imar, también el siete es imar.. Viajamos temrano ero llegamos tarde. 3. El mercurio es un metal líquido a temeratura ambiente. 4. El 33 es un número rimo, tiene sólo dos divisores. 5. El Perú limita or el norte con Ecuador así como con Colombia. a) 3 b) c) 4 d) 1 e) Todas 111

12 17. Viajaremos a Lima, siemre que terminemos el trabajo, es una roosición: a) Disyuntiva débil. b) Imlicativa. c) Disyuntiva fuerte. d) Conjuntiva. e) Negativa. 18. Cuántas de las exresiones son roosiciones: 1. El Perú es un lugar maravilloso.. Los números rimos son imares 3. Chiclayo está al sur de Lima? 4. Árbol que crece torcido ya no se endereza 5. (x + 3) > x(x + 6) + 7 a) 1 b) c) 3 d) 4 e) Indique cuántas de las roosiciones son bicondicionales: 1. Ser un número negativo equivale a ser menor que cero.. Dos triángulos son semejantes siemre y cuando tienen dos ares de ángulos corresondientes con medidas iguales 3. Un triángulo es isósceles sí y solo sí tienen dos lados de medidas iguales 4. n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) 5. Zeus vivió en el monte Olimo sí y solo sí Poseidón vivió en el mar a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 0. Indica el valor de verdad de cada una de las roosiciones comuestas: 1. Un cuadrado es un rombo o es un rectángulo. 3x 7 = 9 x, entonces (x 1) + x = (x+1) es un número rimo y 89 es un cuadrado erfecto 4. No es cierto que, 36 = -6 orque (-6) = 36) a) VVVV b) VVVF c) VVFV d) VVFF e) VFVF 11

13 Tema N : ESQUEMAS MOLECULARES Figura 3 Fuente: htt://neofronteras.com/w-content/hotos/esquema_molecular.jg.1. Formalización de Proosiciones Es la reresentación de las roosiciones simles mediante variables roosicionales (; q, r;..) y de los conectivos lógicos or sus resectivos símbolos. Ejemlo: Si encuentro trabajo y ahorro, viajaré a Miami. : Encuentro trabajo q: ahorro r: viajaré a Miami Formalización: q r.1.1. Jerarquía de Conectores y de Signos De Puntuación JERARQUÍA DE CONECTORES 1. Bicondicional.. Disyunción fuerte Δ 3. Condicional Conjunción y disyunción.., 5. Negación..~ JERARQUÍA SIGNOS DE PUNTUACIÓN 1. Dos signos. Pero,. Punto y seguido. Pero 3. Punto y coma ; ero 4. Coma, ero 5. Ningún signo ero 113

14 Signos de Agruación Son los símbolos auxiliares Que ermiten establecer la jerarquía de los conectivos lógicos y así evitar ambigüedades. Paréntesis ( ) Llaves { } Corchetes [ ] Barras El conectivo lógico de mayor jerarquía es aquel que no está afectado or ningún signo de colección. q r q r s q r s t Conectivos de mayor jerarquía.1.. Reglas de formalización de Esquemas moleculares Para formalizar un enunciado, se siguen las siguientes reglas: 1. Se adjudica una variable roosicional a cada roosición simle. Si la roosición se resenta más de una vez en el mismo enunciado, se vuelve a emlear la misma variable.. Cada contenido roosicional debe ser reemlazado or su resectivo conectivo lógico. 3. Cada contenido lógico debe tener un alcance, dominio o jerarquía esecífico. Ejemlo: Roxana viajó a Esaña, ero regresó ronto o no viajó a tal lugar. Solución: Adjudicamos una variable a cada roosición: : Roxana viajó a Esaña q: regresó ronto : viajó a tal lugar Reemlazamos el contenido roosicional or su conectivo lógico: Pero. O.. no ~ Teniendo en cuenta la jerarquía, su esquema sería: (q ~ ) Conectivo de mayor jerarquía 114

15 .. Esquema molecular Es la combinación de variables y conectivos lógicos debidamente jerarquizados, se simbolizan mediante meta variables que son las letras mayúsculas a artir de A, B, C, Ejemlos: A = (q r) B = ( q) [ r (q s)] C = ~( ~ q) [ ( r) (q s)]..1. Evaluación de los esquemas moleculares or la tabla de verdad Consiste en obtener los valores del oerador rincial a artir de los valores de cada una de las variables roosicionales y se realiza mediante las denominadas Tablas de verdad creadas or Wittgenstein. Los valores obtenidos se denominan Matriz rincial y corresonden al conectivo de mayor jerarquía. Ejemlo: Evalúa [~ ( q) ] ( q) q [ ~( q) ] ( q) VV VF FV FF F V V V V F F F VV VV VF FF V F F V V F F V Matriz rincial.3. Tios de esquemas moleculares.3.1. Tautología. Una roosición es una tautología si y sólo si es verdadera ara todas las asignaciones osibles. Ejemlo: Consideremos la roosición comuesta: [(q) ] q q [( q) ] q V V V V V V V V F F F V V F F V V F F V V F F V F F V F Desarrollando su tabla tenemos que la roosición comuesta resulta todas verdadera, entonces decimos que la roosición es una tautología o una ley lógica. Ejemlo: Si analizamos la roosición t: (q) (~ q) realizando su tabla de verdad: q ( q) ( ~ q ) V V V V F V V V F F V F F F F V V V V V F F F V V V V F 115

16 .3.. Contradicción. Una roosición es una contradicción si y sólo si es falsa ara todas las asignaciones osibles. Ejemlo: Consideremos la roosición comuesta: ~ [( q) (q )] q ~ [( q) (q )] V V F V V V V F F V V V F V F V V V F F F F V V Desarrollando su tabla tenemos: que la roosición comuesta resulta toda falsa entonces decimos que la roosición exresa una contradicción Contingencia.- Una roosición que no sea una ni una tautología ni una contradicción se denomina contingencia (casualidad, eventualidad). Ejemlo: Sea el enunciado: ~ q q ~ q V V F F V F V F V V F V Es imortante tener en cuenta que: Un esquema tautológico se reresenta or Un esquema contradictorio se reresenta or Un esquema consistente se reresenta or T Q.4. Valor de verdad or el método directo Parte de las tablas de verdad se uede utilizar el método de directo ara encontrar el valor de verdad de una fórmula lógica o esquema molecular. Ejemlos: 1. Dadas las roosiciones: : 11 es un número rimo. q: 19 es un número ar. r: es un cuadrado erfecto. Hallar el valor de verdad de: q r qr Solución Definimos el valor de verdad real de las roosiciones. Entonces: V; q F; r V Reemlazamos dichos valores en la fórmula dada y alicamos la regla de los conectores según la jerarquía. Así: 116

17 q r qr V F F V F V V V V V La fórmula lógica es: V (Tautología). Si la roosición: q r s Solución V ~ es falsa. Hallar el valor de verdad de, q, r y s. q ~ r s V V V F V F V; q V; r F, s F F 117

18 ACTIVIDAD Nº Orientaciones: Formaliza correctamente las roosiciones. Demuestra que en cada una de los casos siguientes los esquemas moleculares son tautológicos, contradictorios o contingentes. Resuelve esquemas moleculares or medio del método directo. 01. La formalización correcta de la roosición: No es verdad que sea falso que, Newton fue un físico. Es: a) b) v c) () d) & e) () 0. La formalización correcta de la roosición: O los mamíferos son vertebrados o invertebrados. Pero, es absurdo que los voladores sean bíedos. Se formaliza correctamente: a) ( v ) & q b) (A v A) q c) ( v ) d) ( v ) & - q e) ( v q) & - r 03. La roosición: Los cuadernos, láices y/o borradores son útiles escolares, se formaliza: a) - -q -r b) v q v r c) - v q v r d) ( q) v - r e) v q r 04. Jamás en invierno hace calor, aún cuando en verano llueve al igual que hay eclise asimismo hay evaoración de agua tal como no hay granizo, se simboliza: a) - - q - r - s - t b) - q r -s -t c) - q r -s d) - q r s -t e) - q r s t 05. Puesto que hay globalización se deduce que, tanto hay aíses que altamente tecnologizados cuanto aíses bastantes atrasados en ciencia Se formaliza: a) (q r) b) (q r) c) (q r) d) (q r) e) (q r) 06. En la tabla de verdad se obtiene: ( q) ( q) a) VFVF b) VVVV c) FFFF d) VFFV e) FFFV 07. La roosición: (q r) es falsa, la roosición s es verdadera Cuáles de las roosiciones son verdaderas? I) q II) s ( r) III) ( q) r IV) ( q) r a) I y II b) I y IV c) III d) Sólo I e) Sólo II 08. Si: ( q) r es falsa, Determina el valor de, q y r a) VVV b) FFF c) VVF d) VFF e) FVF 09. ( r) (q ) Halla si el resultado o matriz es: a) Tautológico b) Contradictorio c) Consistente d) Contingente e) c y d 10. [ (q )] [( q) v q] Indica cuántas falsas se obtienen en la tabla de verdad: a) 0 b) 1 c) d) 3 e) [( r ) q] [ (q r)] En el resultado de la tabla de verdad cuántas verdaderas se obtienen: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 1. La fórmula: [-(q v -) -(-q -)]; es: a) Tautológica b) contingente c) contradictoria d) imrecisa e) No se uede determinar 13. Si la estructura lógica: [( - q)] (- r - s) es falsa. Los valores de verdad de, q, r y s; Son resectivamente: a) 1101 b) 1010 c) 1100 d) 1111 e)

19 14. Cuáles de los siguientes esquemas moleculares son tautológicos? (q q) I) II) ( q) q) III) ( q) ) q a) Solo I b) I y II c) II y III d) I y III e) Todos 15. Se tiene el siguiente esquema: ~ q ~ q, se afirma que: a) Es contingencia b) Es tautología c) Es contradicción d) No se uede afirmar nada e) No es un esquema molecular 16. Cuáles de las siguientes roosiciones son tautológicas? I. q ~ ~ q II. q III. q q IV. ~ q ~ ~ q V. ~ q ~ q a) Solo I, IV y V b) Solo I y II c) Solo I, II y III d) Solo III, IV y V e) Solo III y V 17. Cuál de las siguientes roosiciones son contradicciones? I. q ~ ~ II. ~ q ~ q q ~ r r III. ~ q q a) Solo I b) Solo I y II c) I y III d) II y III e) Todas 18. Si la negación del esquema q s r es verdadera: halla el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares. r q q r s I. II. q q q a) VV b) FF c) VF d) FV e) Falta información 19. Si: q r q q q es verdadera. Halla el valor de verdad de, q y r, resectivamente. a) VVV b) FFF c) FFV d) VFV e) FVF 0. La roosición molecular dada es falsa: q r s, halla el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares: A q s B C r s q q s r a) VVV b) FFF c) FFV d) VFV e) FVF 119

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21 Tema: 3 IMPLICACIONES Y EQUIVALENCIAS LÓGICAS Existen varias equivalencias de la lógica roosicional, las cuales se conocen como leyes de equivalencia o leyes lógicas que son formas roosicionales tautológicas con carácter general que ermiten transformar y simlificar fórmulas lógicas. Figura 4 Fuente:htt://a7.idata.over-blog.com//63/94/0/Balanza-1-.gif Sean los esquemas moleculares o fórmulas roosicionales (o simlemente roosiciones comuestas) A r B q C q r r Debemos distinguir los concetos de imlicación y equivalencia de los concetos condicional y bicondicional resectivamente. La imlicación y la equivalencia son relaciones entre fórmulas roosicionales, mientras que la condicional y la bicondicional son relaciones entre roosiciones. definiciones: 3. G 3.1. Imlicación lógica. Así tendremos las siguientes Una fórmula A imlica a B, cuando unidos or el condicional, siendo A antecedente y B consecuente, el resultado es una Tautología. 11

22 3.. Equivalencia lógica Dos fórmulas B y C son equivalentes cuando unidos or el bicondicional el resultado es una Tautología Equivalencias notables. Existen varias equivalencias de la lógica roosicional, las cuales se conocen como leyes de equivalencia o leyes lógicas que son formas roosicionales tautológicas con carácter general que ermiten transformar y simlificar fórmulas lógicas. Dos formulas F 1 y F son equivalentes si: F1 F resulta ser una tautología. Y se denota F 1 F Un ejemlo de equivalencia es: q q. Basta revisar las tablas de verdad La siguiente tabla muestra estas leyes. Ley de equivalencia Conmutación Asociación Fórmula q q q q q q ( q) r (q r) ( q) r (q r) ( q)r (qr) Ley de equivalencia Distribución Comlemento Fórmula (q r) ( q) ( r) (q r) ( q) ( r) F V () V F F V Idemotencia Involución Imlicación Doble Imlicación ( ) q q q ( q) (q ) q q q q q Identidad Absorción De Morgan F V V V F F ( q) (q) ( q) q q q ( q) q ( q) q 1

23 Las leyes lógicas nos ayudan a simlificar exresiones simbólicas, las cuales reresentan enunciados. También nos sirve ara demostrar la equivalencia entre esquemas moleculares. Ejemlos: a) Se tiene el siguiente esquema: ~ q r ~ s ~ q leyes lógicas. Solución: ~ q r ~ s ~ q ~ ~ q r ~ s ~ q ~ q r ~ s ~ q r ~ s ~ q ~ q r ~ s ~ q ~ q..condicional.. De Morgan conmutativa Asociativa ~ q ~ q r s..conmutativa ~ q..absorción, simlificar utilizando las b) Simlifica {[( q) ] } Solución: {[( q) ] } {[ ( q)] } ley conmutativa {[ ( q)] } {[ ( q)] } {( ) } ley imlicación ley absorción ley absorción (V) ley comlementación F c) Demostrar que: ~ ~ q~ q q Solución: ~ ~ q~ q ~ ~ ~ q q q q q ~ ~ ~ ~ q q ~ q ~ q q q Condicional De Morgan Conmutativa Absorción Conmutativa Absorción 13

24 ACTIVIDAD Nº 3 Orientaciones: Simlifica cada una de las roosiciones rouestas que se te resentan, utilizando las leyes de equivalencia. 01. La roosición: Voy al cine ero no veo la elícula, equivale a: a) No voy al cine orque no me gusta la elícula. b) Si voy al cine entonces no veo la elícula. c) No es cierto que, si voy al cine en consecuencia veo la elícula. d) Ni voy al cine, ni veo la elícula. e) es falso que, vaya al cine a ver la elícula. 0. La roosición: Los aíses obres no son desarrollados a menos que no sean subdesarrollados, equivale a: a) No es verdad que, los aíses obres sean desarrollados o subdesarrollados. b) Es mentira que, los aíses obres sean desarrollados también subdesarrollados. c) De reente los aíses obres son y no son desarrollados y subdesarrollados. d) los aíses obres son y no son subdesarrollados. e) Sí, los aíses obres son desarrollados entonces son subdesarrollados. 03. Simlifica la siguiente roosición: ~ ~ ~ q q a) ~ q b) ~ q c) q d) q e) ~ q 04. Desués de simlificar la roosición, lógica: ~ q ~ ~ r se obtiene: a) ~ q b) ~ c) q d) e) q 05. Simlifica a su mínima exresión: a) q b) c) q d) q e) ~ ~ q 06. La fórmula roosicional: ( q) Equivale a: 1) ( q) ) q 3) q 4) q 5) q Son ciertas: a) 1, y 3 b), 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 1, y 5 e) 1, 4 y La roosición: Jugar equivale a recrear, salvo que, recrear no sea lo mismo que jugar. Equivale formalmente a: a) 0 b) 1 c) d) e) q 08. La fórmula: (( q) ) q. Equivale a: a) b) q c) d) q e) La fórmula: ( F) ( F) equivale a: a) b) V c) F d) e) 10. La fórmula roosicional: q Equivale a: a) ( q) b) q c) q d) ( q) e) ( q) 11. La roosición: Es absurdo que, la Tierra sea una estrella así como el sol es un laneta, equivale a: a) La Tierra no es una estrella y el sol no es un laneta. b) Si la tierra no es una estrella entonces el sol no es un laneta. c) La Tierra no es una estrella o el sol es laneta. d) La Tierra es mentira que sea una estrella exceto que el sol no sea un laneta. e) es falso que, la tierra es estrellada o el sol no es un laneta. 1. La roosición: No es falso que no mienta que, el erro es un vertebrado, equivale a: 1) El erro es vertebrado y no vertebrado. ) Es falso que el erro sea vertebrado. 3) Es inconcebible que el erro no sea vertebrado. 4) El erro es un vertebrado. 5) El erro no es un vertebrado. 14

25 De las anteriores son ciertas: a) 1,, 3 b), 3, 4 c) 3, 4, 5 d) 3 y 4 e) 3, Simlifica: (A B) [ B ( A A) ] a) A b) B c) B A d) C e) B A 14. Cuáles de los siguientes enunciados son roosiciones equivalentes? a). Si tengo ahorros entonces me voy de viaje. b). Si no tengo ahorros entonces no voy de viaje. c). No tengo ahorros o voy de viaje. a) I y II b) I y III c) II y III d) I, II y III e) Ninguna 15. Al simlificar: ( q) ( q) se tiene: a) q b) q c) d) e) q 16. La roosición: Maradona juega y no está lesionado, a menos que, no juega ero está lesionado, equivale a: a) Si Maradona no juega es orque está lesionado. b) Maradona no juega ero está lesionado. c) Es falso que, Maradona juega o no está lesionado. d) Es absurdo que, Maradona no juega si y sólo si está lesionado. e) No es mentira que sea falso que, Maradona juega siemre que y sólo cuando está lesionado. 17. La roosición: No es verdad ensar que, si voy a la Sierra inmediatamente me resfrío, no equivale a: a) Voy a la sierra y no me resfrío. b) Iré a la sierra ero de ninguna manera me resfriaré. c) Voy a la sierra además es falso que me resfríe. d) Iré a la sierra sin embargo no es verdad que me resfriaré. e) No voy a la sierra y me resfrió 18. Dados los esquemas moleculares: A B C q q q q Cuál de las siguientes relaciones es correcta? a) A es equivalente a B b) C es equivalente a B c) A es equivalente a B d) A es equivalente a C e) B es equivalente a C 19. Dados los esquemas moleculares: A q B r C (q r) Indica lo correcto: a) A imlica a B b) (A C) imlican a B c) [(A C) B] equivale a (A B) d) B equivale a C e) A equivale a B 0. Dados los siguientes esquemas moleculares: A B q q q Se cumle que: a) A imlica en B. b) A es equivalente a B. c) A equivale a ( q) d) B equivale a ( q) e) A es equivalente a B 15

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27 Tema: 4 INFERENCIAS LÓGICAS Y CIRCUITOS LÓGICOS Mientras existan los ensamientos existirán las alabras, mientras existan las alabras existirán los hechos y mientras existan los hechos existirán las reflexiones. Figura 5 Fuente:htt://4.b.blogsot.com/_5R-OXY8b6c/TEPjq_ljr- I/AAAAAAAAADs/3N94wiEZkdA/s400/cuadro.jg Kung FuTse, Confucio 4.1. Inferencias lógicas. Es el conjunto de roosiciones en donde a artir de una o más roosiciones llamadas remisas extraemos otra conocida como conclusión. Ejemlo: P 1 : Todos los eruanos son americanos. P 1 : Juan es eruano Entonces: C: Juan es americano Métodos de demostración Las inferencias se denotan de dos formas, así: b) Forma Horizontal: Cuando la conjunción de remisas que imlican a la conclusión se escribe horizontalmente en forma exlícita usando los conectores, P 1 P P 3. P n C Premisas Conclusión a) Forma vertical: La conjunción de remisas que imlican a la conclusión se escriben verticalmente uno desués del otro y al término de la última remisa se escribe una raya y tres untos ara luego escribir la conclusión. C P1 P P3... Pn Premisas Conclusión 17

28 4.1.. Reglas de inferencia Las reglas de inferencia son tautologias que modelan razonamientos universalmente correctos. Para determinar su validez se analiza la forma de las roosiciones involucradas y no de los valores esecificos de cada variable. Estas reglas se relacionan ara recisar una demostracion. Ejemlo: Es válido el siguiente argumento? Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico. Si se hace usted rico, entonces será feliz. Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz. Sea: Ejemlo: : Usted invierte en el mercado de valores. q: Se hará rico. r: Será feliz De tal manera que el enunciado anterior se uede reresentar con notación lógica de la siguiente manera: q q r r Es válido el siguiente argumento? Si bajan los imuestos, entonces se eleva el ingreso El ingreso se eleva. Los imuestos bajan Solución: Sea: : Los imuestos bajan. q: El ingreso se eleva. Tenemos: q q 18

29 Las reglas de inferencia al relacionarse entre las roosiciones que artician en un roceso de razonamiento ermiten determinar otras nuevas líneas validas y ara esto se debe tener esecial cuidado al alicar la regla correcta. Existen varias reglas de inferencia que se ueden alicadar en una demostracion entre ellas tenemos: 1. Adición 4. Conjunción q q q. Simlificación 5. Modus onens q q q 3. Silogismo disyuntivo 6. Modus tollens q q ~ ~ q q ~ 7.- Silogismo hiotético q q r r Validez de una inferencia La validez es una cualidad de las inferencias, solamente las inferencias ueden ser válidas (correctas) o inválidas (incorrectas). Una inferencia es válida cuando la conclusión se ha derivado lógica y necesariamente de las remisas. En la validez no interesa el contenido de las roosiciones (sean verdaderas o falsas) que integran la inferencia, sino que la estructura que tenga cumla con las reglas, métodos y rocedimientos de la lógica. Ejemlo: Todo universitario es estudiante (V) Algún tacneño es universitario (V) Inferencia válida Algún tacneño es estudiante (V) 19

30 Método ara determinar la validez de una inferencia Existen diversos métodos, entre los más utilizados tenemos: Método de las tablas de verdad. Método de las leyes lógicas. Método de las inferencias notables. Aquí solo veremos los métodos de tablas de verdad y el método abreviado Prueba de la validez or tablas de verdad Como una inferencia es válida si y sólo si (P1 P P3. Pn) Q, es una tautología. Entonces debemos analizar la tabla de verdad de toda la inferencia. Ejemlo: Se tiene el siguiente razonamiento: Manuel es contador o administrador, ero Manuel es administrador or tanto Manuel no es contador. Determinar si es válido o no. Manuel es contador o administrador, ero Manuel es administrador Manuel no es contador ( P 1 P ) Q or tanto Además P 1: Manuel es contador o administrador : ( q) P : Manuel es administrador: q Q: Manuel no es contador: Luego la inferencia se simboliza de la siguiente forma: ( q) q q. Analizamos la tabla de verdad: En conclusión el razonamiento no es válido, uesto que debe ser una tautología. q ( q ) q V V V V V F F V F V F F V V F V V V V V F F F F F F V V Prueba de la validez or método abreviado Este rocedimiento evita la tarea de construir tablas, es conveniente sobre todo cuanto se trabaja con más de dos roosiciones simles. Consiste en suoner la conjunción de remisas Verdadera y la conclusión Falsa, como única osibilidad que invalida la imlicación (inferencia): (P1 P P 3. P n ) Q ( V V V. V ) F 130 V

31 Ejemlo: Si el clima está seco entonces el enfermo se mejora Si el enfermo se mejora, la familia gasta menos dinero Luego, si el clima es seco, la familia gasta menos dinero. Solución: : El clima es seco q: El enfermo se mejora r: La familia gasta menos dinero Forma lógica será: q q r r La inferencia se simboliza de la siguiente manera: q q r r Utilizando el método abreviado tenemos: q q r r V V F Se tiene: (i) r F V F V y r F (ii) ( q) (q r) V (V q) (q F) V V Donde: V q V y q F V Se observa que: q uede tomar el valor de verdad (V o F) y así se llega a una contradicción al reemlazar el valor de verdad en el esquema molecular. La argumentación es correcta 131

32 4.. Circuitos. Figura 6 Fuente:htt://.b.blogsot.com/_BuaRahAIcHM/SlkzyNviLI/AAAAAAAAAL0/lZzdSfPTgg/s30/circuitoelemental.gif Vamos a ejemlificar la materialización del cálculo roosicional, emleando el más antiguo de los disositivos que ya fue utilizado ara fines lógicos or nuestro sabio ingeniero Leonardo Torres Quevedo, a finales del siglo XIX, al construir sus máquinas aritméticas y su jugador de ajedrez Circuitos conmutadores Un circuito conmutador es un circuito eléctrico que contiene interrutores ara el aso o interrución de la corriente. Para el diseño de estos circuitos designemos or y q dos interrutores eléctricos que dejan asar corriente y or ~ y ~q los que no dejan asar corriente estos se ueden conectar or un alambre en serie o en aralelo. Gráficamente tenemos: Figura (1) Figura () En la figura (1) se tiene un circuito en serie y se reresenta or: En la figura () se tiene un circuito en aralelo y se reresenta or: Observación: Su evaluación en tablas de verdad es: 13 q q Donde: 1 = verdadero (V) q q = falso (F)

33 Ejemlo1: Describe simbólicamente el siguiente circuito: q q r r q Solución: Observemos que el circuito esta en serie y en aralelo, tenemos: y q están en aralelo es decir: v q, ( v q) y q están en serie, es decir: ( v q) q r y q están en aralelo es decir: r v q r, (r v q) y están n serie, es decir: r (r v q) Luego: la reresentación de todo el circuito es: [ ( v q) q] v [r (r v q) ] 4... Simlificación de circuitos Para la simlificación de circuitos se debe tener en consideración las leyes de equivalencia. Ejemlo : Del ejemlo anterior se tiene que el circuito queda simlificado de la siguiente manera: [ ( v q) q] v [r (r v q) ] Ξ {[ ( v q)] q} v {[r (r v q)] } Ξ ( q) v (r ) Ξ [( q) v r] [( q) v ] Ξ [( q) v r] Ξ [( v r) (q v r)] Ξ [( v r) ] (q v r) Ξ (q v r) Luego: se obtiene el circuito: q r 133

34 Ejemlo 3: Simlificar el siguiente q q q q q circuito Solución: Tenemos: {[ ( v q) q] v [q (q v ) ]} ( v q) Ξ {( q) v [(q ) ]} ( q) Ξ {( q) v [(q ( )]} ( q) Ξ {( q) v (q F)} ( q) Ξ {( q) v F} ( q) Ξ {( q)} ( q) Ξ ( ) (q q) Ξ F F Ξ F 134

35 ACTIVIDAD Nº4 Orientaciones: 1. Alicando las leyes de la imlicación determinar la conclusión de las afirmaciones rouestas.. Demostrar cada uno de los argumentos anteriores si son válidos o no. 3. Simlifica y reresenta los circuitos rouestos. Se tiene los siguientes argumentos: 01. Si terminamos la obra, entonces tomaremos el nuevo contrato; terminamos la obra. Por tanto a) No tomaremos el nuevo contrato b) Tendremos unos días libres c) Tal vez tomemos es nuevo contrato d) Tomaremos el nuevo contrato e) Tenemos tiemo ara el nuevo contrato 0. Si ha estudiado, entonces arobará el curso; ha estudiado. En consecuencia a) Desarobará el curso b) No es cierto que no aruebe el curso c) No dará examen de recueración d) Puede irse de vacaciones e) Ya sabe los temas del curso 03. Si tiene dinero, entonces ostulará a la universidad; Es innegable que tiene dinero. En conclusión a) Tiene la intención de ostular a la U b) Estudiará una carrera en la universidad c) Está mejorando el negocio d) Tiene la osibilidad de ostular a la U e) Postulará a la universidad 04. Si hacemos ejercicios todos los días, entonces tendremos buena salud; no tiene buena salud. Por tanto a) A veces entrena b) No hace ejercicios c) Hay que entrenar d) Hace ejercicios e) No hace ejercicios todos los días 05. Si Vallejo es eruano, entonces Borges es argentino. Borges no es argentino. Luego: a) Vallejo nació en el Perú b) No se sabe donde nació Vallejo c) Vallejo no es eruano d) Borges es argentino e) No es cierto que Vallejo no sea eruano 06. Trabajo o viajo; no viajo. Por tanto: a) Puede que trabaje b) Me quedaré c) No trabajo d) Trabajo e) Perderé las vacaciones 07. Es jueves a menos que vaya a la universidad; no he ido a la universidad. En consecuencia a) He tenido algunos contratiemos b) Es jueves o estoy trabajando c) Hoy no me toca clases d) Es jueves entonces estoy trabajando e) No es jueves 08. Ha vendido o ha comrado, no ha comrado. Entonces a) No ha vendido b) No ha comrado c) Ha vendido y tiene dinero d) No ha vendido o tiene dinero e) Si no ha vendido entonces tiene dinero 09. Si Miguel es deortista, entrena. Al entrenar es obvio que siemre está rearado ara cometir. En consecuencia 1. En el caso que Miguel sea deortista estará rearado ara cometir.. Miguel es deortista además está rearado ara cometir. 3. No es deortista salvo que esté rearado ara cometir Miguel. 4. Es falso que, si Miguel no es deortista or ello esté rearado ara cometir. 5. Es imosible que, Miguel sea deortista mas no esté rearado ara cometir. Son ciertas: a) 1,,3 b) 1, 3,5 c) 3, 4,5 d), 4,5 e) y Ya que existió el Racionalismo or ende surgió el Emirismo. Sin embargo, es innegable que el culto a la razón tuvo gran vigencia en la Filosofía. Por ello: 1. No tuvo vigencia el culto a la exeriencia.. También tuvo vigencia el Emirismo. 3. Aareció el Eclecticismo. 4. Es indefectible que el culto a la exeriencia tuvo vigencia. 5. Existió el Racionalismo. Son anti incorrectas: a) Sólo 5 b) 1 y 5 c) y 4 d), 5 y 4 e) 1, 3 y 5 135

36 11. Salvo que no trabaje, tengo dinero. Más si fuese el caso que no tengo dinero, concluiríamos en: 1. Trabajo.. Dejé de trabajar. 3. No tengo trabajo. 4. No me dedico al trabajo. 5. A veces trabajo y a veces no trabajo. Son correctas: a) 1, 3,5 b) 1, 3 c), 4,3 d) 3, 5 e) 1,, 4 1. No hay democracia a menos que a la vez haya articiación oular. Emero no hay articiación oular exceto que incluso haya crisis, or tanto: 1. Si hay democracia, hay instrucción.. Al no haber crisis tamoco hay democracia 3. Jamás hay democracia salvo que a la vez haya crisis. 4. Es mentira que, hay democracia sin embargo no hay crisis. 5. Hay crisis salvo que también no haya democracia. Son ciertas: a) 1,,3 b), 3,4 c) 3, 4,5 d) Todas e) 1, 3,5 13. No hay artistas a menos que haya creatividad. Si hay creatividad or ende existen intores, en consecuencia: 1. Dado que hay intores se deduce que hay artistas.. Hay intores salvo que no existan artistas 3. Puesto que no hay artistas se infiere que no existen intores. 4. Es objetable que, existan artistas sin embargo no existan intores. 5. Jamás habrá intores salvo que hayan artistas. Son falsas: a) 1, 3, 5 b), 4,5 c) y 4 d) 1 y 3 e) 1, Determina el circuito equivalente al circuito dado: a) c) q q b) q d) e) n.a. q q q r 15. Si el costo de cada llave en la instalación del circuito es de S./15 Cuánto se agaría si reemlazamos la instalación su equivalente más simle: q q a) 30 soles b) 40 soles c) 60 soles d) 45 soles e) 15 soles 16. Simlifica y da la roosición que corresonde al circuito: q A q B a) b) q c) q d) q e) q q 17. Reduce el siguiente circuito: a) b) q c) d) q e) q 18. La roosición: { q v [ ( r) ] } equivale al circuito: a) q b) q r e) 19. Señale el circuito equivalente: [ ( q) ] [ ( q) ] a) b) q c) q d) e) 0. Simlifica el circuito siguiente: s s t s s t Señale el esquema corresondiente: a) s b) t c) s d) t e) s v t t t s 136

37 Unidad II Razonamiento Lógico Matemático TEORÍA DE CONJUNTOS, ECUACIONES E INECUACIONES Se alcanza el éxito convirtiendo cada aso una meta y cada meta en un aso. C. Cortez Figura 7 Fuente: htt://edu.jccm.es/ies/labesana/index.h?otion=com_content&ta sk=view&id=18&itemid=0 Caacidades Alica oeraciones con conjuntos en la solución de roblemas. Resuelve roblemas de ecuaciones lineales y cuadráticas relacionados con su entorno. Matematiza situaciones de diferentes contextos al resolver roblemas con sistema de ecuaciones relacionados con su entorno. Alica algoritmos ara la resolución de ejercicios y roblemas con inecuaciones lineales y cuadráticas. 137

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39 Tema: 5 DEFINICIONES BÁSICAS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El rimer estudio formal sobre el tema fue realizado or el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada or Zermelo. Figura 8 Fuente:htt:// 5.1 Noción de conjunto El conceto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemática. Intuitivamente un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que como se verá en los ejemlos, ueden ser cualquiera: números, ersonas, letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Si bien los conjuntos se estudian como entidades abstractas, veamos ejemlos articulares de conjuntos. Ejemlos: 1) Los números,4, 6 y 8. Es decir: A = {, 4, 6, 8} ) Las soluciones de la ecuación y - 3y = 0. 3) Las vocales del alfabeto: a, e, i, u, o. Es decir: B = {a, e, i, u, o} 4) Las ersonas que habitan la tierra. 5) Los estudiantes: Fernando, Carlos y Erick. C = {Fernando, Carlos, Erick} 6) Los aíses: Alemania, Francia, Finlandia. Es decir: D = {Alemania, Francia, Finlandia} 7) Las ciudades caitales de Euroa. 8) Los números:, 4, 6, 8, Es decir: E = {, 4, 6, 8,.} 9) Los ríos de Perú. 139

40 5. Notación Es usual denotar los conjuntos con las letras mayúsculas: A, B, X, Y, Los elementos de los conjuntos se reresentan or letras minúsculas a, b, c, x, y, al definir un conjunto con la efectiva enumeración de sus elementos, or ejemlo, al A que consiste en los números, 4, 6 y 8, se escribe A = {, 4, 6, 8}. Searando a los elementos or comas y encerrándolos entre llaves { }. Esto es la llamada forma tabular de un conjunto. Pero si se define un conjunto; enunciando roiedades que deben tener sus elementos, como, or ejemlo, el H, conjunto de todos los números ares, entonces se emlea una letra or lo general x, ara reresentar un elemento cualquiera y se escribe H = {x x es ar} lo que se lee H es el conjunto de los números x tal que x es ar. Se dice que esta es la forma de definición or comrensión o constructiva de un conjunto. Téngase en cuenta que la barra vertical se lee tales que. Para aclarar el emleo de la anterior notación, se escriben de nuevo los conjuntos de los ejemlos anteriores, designando los conjuntos resectivamente. Ejemlos: 1) A = {,4,6,8} ) F={y y - 3y = 0} 3) B={a, e, i, o, u} 4) G={x x es una ersona que habita la tierra} 5) C={Fernando, Carlos, Erick} 6) D={Alemania, Francia, Finlandia} 7) I={x x es una ciudad caital y x está en Euroa} 8) E= {, 4, 6, 8, } 9) J={x x es un río y x esta en Perú Si un objeto x es elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x como uno de sus elementos se escribe xa, que se uede leer x ertenece a A ó x está en A. Si or el contrario x no es un elemento de un conjunto A, es decir, si A no contiene a x entre sus elementos, se escribe xa, que se lee x no está en A o x no ertenece a A Es costumbre en los escritos matemáticos oner una línea vertical u oblicua / tachando un símbolo ara indicar lo ouesto o la negación del significado del símbolo, ejemlo: B = {a, e, i, o, u}, ab; bb; eb; f B. G= {x x es ar}, 3G; G; 11G; 1G. 140

41 5.3 Cardinal de un conjunto Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Se denota mediante la letra "n" así: n(a): se lee El cardinal del conjunto A o la cantidad de elementos que tiene el conjunto A Ejemlo: Dado el conjunto A = {0; ; 4; 6; 8; 10} n(a) = Relación de ertenencia Un elemento ertenece () a un conjunto si forma arte o es agregado de dicho conjunto. Un elemento no ertenece () a un conjunto si no cumle con la condición anterior. Esta relación vincula un elemento con un conjunto, más no vincula elementos o conjuntos entre sí. Es decir el símbolo reresenta la relación que existe entre un elemento y un conjunto, cualquier elemento "x" ertenece o es elemento del conjunto A (x A) o no es elemento del conjunto A ( x A) Ejemlo 1: Dado el conjunto: A = {14; 3; 17; 9} Entonces: 14 A (14 ertenece a A) 9 A (9 ertenece a A) 15 A (15 no ertenece a A) Ejemlo : Dados los conjuntos: A = {0; ; 4; 6; 8; 10} y B = {a, e, o} Se tiene que: 8 A 0 B 11 A g B {0; } A Nota en esta última exresión {0; } A que ara usar la relación de ertenencia se relaciona un solo elemento con el resectivo conjunto. 141

42 5.5 Determinación de un conjunto Por Comrensión o de forma constructiva: Es cuando se define al conjunto se enuncia una roiedad común que caracterizan a todos los elementos de dicho conjunto. Ejemlo: A = {x / x es un número natural ar menor que 15} B = {x / x es una vocal abierta} C = x/x N 4 x Por extensión o de forma tabular: Es cuando se nombran exlícitamente a todos los elementos del conjunto. Ejemlo: Desarrollando los conjuntos que están escritos arriba or comrensión serán escritos or extensión así: A = {0; ; 4; 6; 8; 10; 1; 14} B = {a, e, o} C = 5, 6, 7 Ejemlo: Denotar or comrensión el siguiente conjunto: B = {99; 999; 9999; 99999} Solución: 99 = = = = = = = = Luego entonces, si llamamos x al exonente de 10 odremos decir que este x N, donde x < 6 Así, el conjunto denotado or comrensión sería: B = {10x 1 / x < 6; x N} 5.6 Clases de conjunto Por el número de elementos: A) Vacío o Nulo: Es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota así: ó Ejemlo 1: A = x N/ 5 x 6 Desarrollando or extensión será: A = o A = 14

43 Ejemlo : B = x R/ x x Desarrollando or extensión será: B = o B = B) Unitario o Singletón: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento; es decir su cardinal es 1: Ejemlo: G = x Z / -4 x - Desarrollando or extensión será: G = -3 n(g) = 1 C) Universal: (U): Es un conjunto de referencia ara el marco de una situación articular, es osible elegirlo de acuerdo a lo que se trate. También se uede definir como un conjunto referencial que se tiene convenientemente ara el estudio de otros conjuntos incluidos en el. Ejemlo: D o n d e : U = -7; -3 ; 3 1 ; ; 1; ; 5 ; 3,5 (Conjunto Universal) 7 N = 1; Z = -7; -3; 1; Q = -7; -3; 3 1 ; ; 1; 7 Q* = 5 D) Finito: Aquel que tiene un limitado número de elementos. Su cardinal se uede determinar: 143

44 Ejemlo: M = x/x es una ciudad del Perú E) Infinito: Aquel que osee una cantidad ilimitada de elementos: Ejemlo: K = x/x es un número natural 5.6. Por la relación entre los conjuntos A) Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento común. Su gráfica es: A B A B = Ejemlo 1: Consideremos los siguientes conjuntos: A = 1; ; 4; 6 B = 5; 8; 16; 3 Entonces: A B = Ejemlo : Consideremos los siguientes conjuntos: A = x, g, t, d B = m, n, u, r Entonces: A B = B) Diferentes: Aquellos que, teniendo distintos elementos tienen or lo menos un elemento común (ero no todos). Su gráfica es: A B A B Ejemlo 1: Sean los conjuntos: A = 1; ; 5; 4; 6 B = 5; 8; 16; 3 Entonces: A B = 5 Ejemlo : Sean los conjuntos: A = x, g, t, d B = m, n, x, u, r Entonces: A B = x 144

45 C) Comarables: Dos conjuntos A y B son comarables si y solo si A B ó B A. Su gráfica es: Ejemlo 1: Sean los conjuntos: Ejemlo : Sean los conjuntos: A = 1; ; 3 A = x, g, t, d B = 1; ; 3; 5; 8 Entonces: B = x, g A B Entonces: B A D) Equiotentes o Equivalentes: Cuando entre sus elementos uede establecerse una corresondencia biunívoca. (tienen el mismo número de elementos) Ejemlo: Sean los conjuntos: A = 1,, 3, 4 B = a, b, c, d Se tiene: n(a) = n(b) = 4 Luego: Se dice que: A y B son Conjuntos equivalentes Conjunto eseciales: A) Conjunto de Conjuntos: También se le denomina "Familia de Conjuntos" y es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos: Ejemlo: Así tenemos: A = 3, 1, 4, 6, 7 B) Conjunto Potencia: Se llama conjunto otencia de A (o conjunto de artes de A) al conjunto formado or todos los subconjuntos de A. Se le denota or: P(A) El número de elementos de P(A) está dado or n, donde "n" reresenta el número de elementos del conjunto A. Es decir: np(a) = n(a) Ejemlo: Si: A = 1, 3 y n(a) = elementos 145

46 Entonces: n P(A) = n(a) = = 4 Luego: P(A) =, 1, 3, 1, Relaciones entre conjunto Relación de inclusión Es la relación que existe entre dos conjuntos: Se dice que "El conjunto A está incluido en el conjunto B (Se denota A B), cuando todo elemento que ertenece al conjunto A también ertenece al conjunto B. Es decir: A B x, xa xb El número de subconjuntos de A: np(a) = n(a) Ejemlo: Si: A = 1; ; 3 y n(a) = 3 elementos Entonces: El número de subconjuntos de A: n P(A) = n(a) = 3 = 8 Es decir: P(A) =, 1,, 3, 1, 3 1,,, 31,, 3 Observación: Se dice que A es subconjunto roio de B si y solo si A B y A B. Y el número de subconjuntos roios de A, esta dado or: n(a) Relación de igualdad Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. Es decir: A = B A B B A Ejemlo: Sean los conjuntos: A = 1; ; 3 y B = x/x N 0 x 3. Tenemos: Desarrollando or extensión al conjunto B se tiene: B = 1; ; 3 Luego: A = B 5.8 Oeraciones con conjuntos Entre las oeraciones de conjuntos tenemos: Unión o reunión (AB): Es aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que ertenecen al conjunto A y/o a B. Es decir: A B x/x A ó x B A B A B B 146 A

47 Ejemlo: Consideremos los conjuntos: A = 1; ; 3 B = 3; 4; 5 Luego: A B = A = 1; ; 3; 4; 5 Proiedades. AB = BA AA = A A(AB) A = A B (AB) AU = U U = Conjunto Universal 5.8. Intersección (AB): Es aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que ertenecen al conjunto A y B (son elementos comunes o ambos). Es decir : AB = x/x Ax B A B A B A B= B A Ejemlo: Sean: A = 1; ; 3 B = 3; 4; 5 Luego: A B = Diferencia (A-B): Es aquel conjunto cuyos elementos ertenecen a "A" ero no al conjunto "B". Es decir : A - B = x/x A x B Ejemlo: Considere los conjuntos: A = 1; ; 3 B = 3; 4; 5 Se tiene: A - B = 1; Proiedades: A-B B-A A-A = 147

48 (A-B) A A - = A (B-A) B - A = (A-B) (AB) = A A - B = = B - A A = B Gráficamente tenemos: A B A B A B B A A B B - A Diferencia simétrica (AB): La diferencia simétrica de A y B es el conjunto de elementos que ertenecen a A ó B ero no a ambos conjuntos. Es decir: A B = x/xa ó xb; x(ab) También: AB = (A-B) (B-A) AB = (AB) - (AB) A B A B B A Ejemlo: Sean los conjuntos: A = 1; ; 3 B = 3; 4; 5 Entonces: A B = 1; ; 4; 5 Proiedades: A A = A = A A B = B A Si: A y B son conjuntos disjuntos, entonces A B = A B Si: B está incluida en A, entonces: A B = A B 148

49 5.8.5 Comlemento (A') (Aº): Es aquel conjunto cuyos elementos ertenecen al universo ero no al conjunto A. Es decir: A' = x/x U xa Gráficamente se tiene: Ejemlo: Considere los conjuntos: A = 1; ; 3 U = 1; ; 3; 4; 5 Se tiene: A' = 4; 5 Proiedades: AA' = U AA = (A')' = A ' = U Leyes de Morgan: (AB)' = A' B' (AB)' = A' B' Leyes y roiedades del algebra de conjuntos 1. Reflexivas 1A. A A = A 1B. A A = A 1C. A A = A. Conmutativas A. A B = B A B. A B = B A C. A B = B A 3. Asociativas 4. Distributivas 4A. A (B C) = (A B) (A C) 4B. A (B C) = (A B) (A C) 4C. (A B) C = (A C) (B C) 4D. (A B) C = (A C) (B C) 5. De la inclusión A B B A B A Si: A B A - B A B B - A 3A. A (B C) = (A B) C 3B. A (B C) = (A B) C 3C. A (B C) = (A B) C 6. De la exclusión Si A y B son disjuntos: A B A - B A A B A B 149

50 7. Elemento neutro 7A. A = A 7B. A = 7C. A U = U 7D. A U = A 8. Del comlemento 8A. (A')' = A 8B. A A' = U 8C. A A' = 8D. ' = U 8E. U' = 9. De la diferencia 9A. A - B = A B' 9B. A - B = B' - A' 10. Leyes de Morgan 10A. (A B)' = A' B' 10B. (A B)' = A' B' 11. De absorción 1A. A (A B) = A 1B. A (A B) = A 1C. A (A' B) = A B 1D. A (A' B) = A B 150

51 ACTIVIDAD Nº5 Orientaciones: 1. Se te resentan una lista de ejercicios, en las que deberás alicar las definiciones, clases y roiedades de conjuntos.. Se te resenta una lista de roblemas de dos conjuntos a más, que deberás desarrollar tomando los criterios básicos de los conjuntos 01. Dado el conjunto: A = { 1,, { }, {, 3 }, { 1,, 3 } } I. { 1,, 3 } A II. A III. {1, } A a ) b ) 3 c ) 4 d) 5 e ) 6 0. De las siguientes exresiones : III. P A y n P ( ) ( ( ) IV. Si A B A B Son verdaderas: a) I, II y III b) I, III y IV c) II, III y IV d) I, II y IV e) I y II 03. Si A B. Luego la roosición falsa es : a) A B' b) B' A' c) A B B d) A B A e) B A B 04. La exresión xa ( B A' ) equivale a : a) x A b) x A B ' c) x A d) x U e) x B ' 05. Si A 3n 8, 44, n B 10, m 0 y Además A B y B A Calcule m n a) 9 b) 16 c) 36 d) 64 e) Sean A={ x / x es aís sudamericano }, B={ x / x es aís americano } y H P P P P ( A B ) Luego el número de elementos de H es: a) 1 b) c) 8 d) 16 e) Dados los conjuntos M N, r, e, c,, i, o e, m,, r, e, s, a si h es el número de subconjuntos roios de M que son disjuntos con N. k es el número de subconjuntos no vacíos de N que son disjuntos con M. Halla h + k a) 14 b) 15 IV. { { }, 1 } P ( A ) V. { 1 } P ( A ) VI. { 1, } A VII. { 1,, 3 } A Cuántas exresiones son falsas? I / II. x x x A B A c) 18 d) 0 e) 08. Dados los conjuntos A = {x R/1 x (-4,6]} [-4,8] B = {x R [0,4)} Luego A B Z es: a) 4, 3,, 1,1, b) 4, 3,, 1,4,5 c) 4, 3,, 1,3,5 d) 4, 3,, 1, 4 e) 4, 3,, 1,,5 09. Dados los conjuntos U 1,1, 3,7, 8,9 A xu / x 7 x 7 B xu / x 1 x 3 Halla A' B ' a) 1, 3, 7 b) 1,1, 3 c) 1,1, 7 d) 1,1 e) 1,1, 3, De 34 estudiantes que han rendido dos exámenes se sabe que: 180 arueban el rimero, 130 arueban el segundo y 140 no arueba ninguno de estos exámenes. Cuántos arobaron los dos exámenes? a) 80 b) 90 c) 100 d) 108 e) Si A = {3, {4}, {, 9}}. Identifica la afirmación verdadera: a) {3, 4,, 9} A b) 4 A c) {, 9} A d) 3 A e) {{, 9}} A 151

52 1. Sean A, B y C conjuntos tales que: A C ; C B; n(a B) = 30; n(a B) = 90 ; n(a) = n(b) + 30 ; n(c) = 10. Determine: n [(C A) (B A)] a) 55 b) 50 c) 45 d) 40 e) La arte sombreada de la figura que oeración reresenta? A C a) (A B) [(B C) A] b) [C (A B)] [(B C) (A B)] c) [(A B) C] [(B C) (A B)] d) [(A C) (B C)] (A B) e) B [C (B A) ] 14. Si ara los conjuntos A, B, C se tiene: A B y C A = Simlifica la exresión: {[A (B-C)] [B (C-A)]} {(A-B C} a) A (B-C) b) B C c) A d) B e) 15. De 3 ersonas se conoce: 4 mujeres tiene 16 años 1 mujeres no tienen 17 años 14 mujeres no tienen 16 años 9 varones no tienen 16 ni 17 años Cuántos varones tienen 16 a 17 años? a) 5 b) 6 c)7 d)4 e) En un conjunto que forman 40 ersonas hay algunas que estudian e trabajan y otros que estudian ni trabajan, si hay; 15 ersonas que no estudian ni trabajan, 10 ersonas que estudian, 3 ersonas que estudian y trabajan. Cuántas ersonas solo estudian? a) 18 b) 15 c) 7 d) e) ersonas resondieron a un cuestionario firmado or 3 reguntas, cada regunta debía contestarse or sí o or no y una sola de estas resuestas es correcta. Si sabemos que: 8 ersonas contestaron bien las 3 reguntas. B 9 ersonas contestaron bien solo la 1 ra y la da. 11 ersonas contestaron bien solo la 1 ra y la 3 ra. 6 ersonas contestaron bien solo la da y la 3 ra. 55 ersonas contestaron bien la 1 ra regunta or lo menos. 3 contestaron a la da or lo menos. 49 resondieron a la 3 ra or lo menos. Cuántas ersonas no contestaron bien ninguna regunta? a) 18 b) 15 c) 7 d) e) Dado el conjunto A = { 1,, { }, {, 3 }, { 1,, 3 } } I. { 1,, 3 } A II. A III. {1, } A IV. { { }, 1 } P ( A ) V. { 1 } P ( A ) VI. { 1, } A VII. { 1,, 3 } A Cuántas exresiones son falsas? a) b) 3 c) 4 d) 5 e) Una agencia automotriz vendió 47 automóviles en Marzo del 011 ; 3 de ellos tenían dirección Hidráulica, 7 eran de cambio automático y 0 tenían radio ; 3 tenían dirección hidráulica, cambios automáticos, ero no tenían radio; dos tenían cambios automáticos y radio, ero no tenían dirección hidráulica y 4 radio, ero no tenían cambios automáticos aunque tenían dirección hidráulica. Cuántos autos se vendieron con solamente uno de estos accesorios? a) 36 b) 31 c) 5 d) 0 e) En un aula de 50 alumnos, arueban matemática 30 de ellos ; física 30 ; castellano 35; matemática y física 18; física y castellano 19, matemática y castellano 0 y 10 alumnos arueban los 3 cursos ; se deduce que: a) alumnos no arueban ninguno de los tres cursos b) 8 alumnos arueban matemática y castellano, ero no física c) 6 arueban matemática y física; ero no castellano d) arueban matemática, ero no arueban matemática y física e) faltan datos 15

53 Tema: 6 ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Último Teorema de Fermat: las ecuaciones del tio: Figura 9. Perez Reverte A.El último teorema de Fermat. Fuente: htt://3.b.blogsot.com/ Si n es un número entero mayor que (o sea, n > ), entonces no existen números enteros a, b y c distintos de 0, tales que cumlan la igualdad: a^n + b^n = c^n. Fermat suuestamente escribió en los márgenes de un libro que había descubierto una maravillosa demostración de este teorema, ero que no le cabía en ese esacio. Falleció sin haber hecho ública nunca la solución. El 3 de junio de 1993, Andrew Wiles, resentó una demostración de este teorema, sin embargo, Nick Katz encontró en setiembre de ese año, que el trabajo de Wiles resentaba un error que invalidaba la demostración. Tras un año de esfuerzo, Wiles, el 5 de octubre de 1994, resentó en dos manuscritos - unas 130 áginas en total - la demostración de dicho teorema. Fuente: Concetos revios En este caítulo encontrarás información relacionada con igualdades, ecuaciones, teoremas ara resolver una ecuación, ya sea lineal o cuadrática. Qué es una igualdad? IGUALDAD es Aquella relación que existe entre dos cantidades y que nos indica que tienen el mismo valor se clasifican en Igualdades absolutas o IDENTIDADES Igualdades relativas o ECUACIONES son Aquellas que se verifican ara cualquier sistema de valores a tribuido a sus variables son Igualdades condicionales que se verifican ara valores articulares asignados a sus incógnitas ejemlo 1. (x+y)(x-y) = x y. 3x y = - (y-3x) 3. (x+y) (x-y) = 4xy ejemlo 1. 3x+1 = x+ es una igualdad que se cumle ara x = 1.. x +x-15=0 es una igualdad que se cumle ara x = 3 y x =

54 Qué es la solución de una ecuación? La solución o conjunto solución de una ecuación es el VALOR o VALORES que asume la o las incógnitas, con la característica de verificar la ecuación. Si una ecuación está escrita en función de una variable o incógnita, a su solución también se le odrá llamar RAÍZ. Ejemlo: Las raíces de x x 3 = 0 son x 1 = 3 x = Clasificación de las ecuaciones. Las clasificaremos según: Según la osibilidad de solución. Las ecuaciones ueden ser: A) Ecuación comatible: aquella que admite solución, a su vez uede ser: Determinada: si resenta un número limitado de soluciones. Ejemlo: x = 0, solución = C.S.{4;7} Observamos que esta ecuación admite dos soluciones. Indeterminada: si resenta un número ilimitado de soluciones. Ejemlo: (x+5) = 0x + (x-5) cualquier valor que reemlacemos en esta exresión la igualdad se mantiene. B) Ecuación incomatible: aquella que no admite solución, frecuentemente se le dá el nombre de ecuación absurda o inconsistente. Ejemlo: x + x + 1 = x + x-8; observa que C.S. = Ø 6... Según la naturaleza de los exonentes que intervienen en la igualdad: Pueden ser: A) Ecuación algebraica: Si ambos miembros de la igualdad solo intervienen exresiones algebraicas, a su vez uede ser: 154

55 B) Ecuación algebraica racional: Es aquella en donde la incógnita uede tener como exonentes a números enteros. Una ecuación algebraica uede ser entera o fraccionaria. Ecuación algebraica racional entera: si los exonentes de la variable son enteros ositivos (la variable debe estar en le numerador). Ejemlo: x 10 x 3 C.S. = {0} Ecuación algebraica racional fraccionaria: si al menos uno de los exonentes de la variable (estando esta en el numerador). 1 5x Ejemlo: x 10 C.S. = { 5 ; 10} C) Ecuación algebraica irracional: si al menor un exonente es una fracción o la incógnita o alguna exresión está afectada or un radical. Ejemlo: 3x 8 - x = - 4 C.S. = {8} D) Ecuación trascendente: es aquella en la que al menos uno de los términos en la igualdad es una exresión trascendente. Ejemlo: x + lnx = log Según el número de incógnitas: ueden ser de una, dos, tres, o más incógnitas. Ejemlos: x x = 0 ecuaciones con 1 sola incógnita. x + y = 5 ecuaciones con incógnitas. x + y z = 10 ecuaciones con 3 incógnitas, etc Según el grado absoluto: odrán ser lineales (de rimer grado), cuadráticas (de segundo grado), cúbicas (de tercer grado), cuártica (de cuarto grado) etc. Ejemlos: 155

56 x + y = 5 x + y z = 10 x 5 = 0 ecuaciones de rimer grado con dos variables o incógnitas. ecuación de rimer grado con tres variables o incógnitas. ecuación de segundo grado con una incógnita. A) Ecuaciones lineales de rimer grado con una incógnita. Forma general: ax + b = 0; a 0 SOLUCIÓN: x = Ejemlo: b - Halla la raíz de la siguiente ecuación: a ó C.S. = { b - a } = 0 5 x - 5 SOLUCIÓN. Tenemos en cuenta lo siguiente: x 0 x Afirmamos que: x = no uede se elemento del conjunto solución. Sumamos las fracciones homogéneas, el resultado lo asamos al segundo miembro de la igualdad y multilicamos a ambos miembros de dicha igualdad or - 1: 1 x - Multilicando medios y extremos: x- = 1 x = 3 Luego el conjunto solución C.S. = {3} =1 B) Ecuaciones de º grado con una incógnita: Se llama ecuación de segundo grado con una incógnita a cada ecuación que se uede reducir a la forma: ax + bx + c = 0 donde {a, b, c} R; a 0 (*) A esta ecuación se le denomina ecuación cuadrática y se caracteriza or resentar soluciones que ueden ser: dos valores reales diferentes o dos valores reales iguales o dos valores comlejos. 156

57 Análisis de una ecuación de º grado: Llamamos discriminante a la siguiente igualdad. = b 4ac Análisis de una ecuación de º grado, mediante el discriminante: Si > 0, la ecuación de (*) tiene soluciones reales y diferentes. Si = 0, la ecuación de (*) tiene soluciones reales iguales. Si < 0, la ecuación de (*) no tiene solución en los números reales, sino más bien sus raíces serán comlejas y conjugadas. En este caso el C.S de esta ecuación en R es el conjunto vacío. Proiedades de las Raíces: Adición de las Raíces: ax + bx + c = 0 x 1 + x = -b/a El roducto de las Raíces x 1. x = c/a Fórmula de Sadi Carnot (fórmula cuadrática). Mediante el método de comletar cuadrados se deduce de la ecuación de (*) la fórmula cuadrática, así: ax + bx + c = 0, con a 0 Desejamos x : -b ± b - 4ac x= a Además: x= -b ± Δ a 157

58 ACTIVIDAD Nº6 01. Si x o es solución de la ecuación x + 3 = 5, halle el valor de : x 0 x a)7/8 b) 8/7 c) 3/5 d) 4/3 e) 5/3 0. Resolver la siguiente ecuación (x + 1) + x (x + 4) = x (x + 1) + ( x + ) ( x + 3) a) 0 b) 1 c) d) 4 e) Incomatible 03. Resuelve la siguiente ecuación y da como resuesta la suma de sus raíces. x x x 1 a)5 b) -1 c) 0 d) -5 e) Halla el conjunto solución de: 6 x 1 a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) Resuelve la siguiente ecuación e indica uno de sus valores. 3 x 1 x 1 x 9 x 1 x 1 x 3 a)1 b) 3 c) 5 d) 7 e) Halla el menor valor de m ara que la diferencia de las raíces de la ecuación mx mx m 13 0 sea igual a la unidad a) -4 b) 0 c) 4 d) e) -13/4 07. Si m y n son las raíces de la ecuación: x 3x + = 0. Hallar: ( m n) m n a)4 b) 5 c) 6 d) 7 e) Resuelve la ecuación y da como resuesta la mayor raíz. 1 x x a) -3/ b) 3/ c) 0 d) 1 e) Resuelve la ecuación y da como resuesta x x 3 x 6 3 x 3 a)4 b) -4 c) d) - e) Resuelve la ecuación: x + 6x k = 0, si la ecuación 3x + (k + a) x + 5 k = 0 tiene raíces recírocas y la ecuación 6x + ( 1)x + 8 = 0 tiene raíces simétricas. a) 4,-1 b) -4,1 c) 3,-3 d),4 e) -8, 11. Resuelve la siguiente ecuación ( x 1) 3 4x 5 4x 4 4 roducto de sus raíces. a)3 b) -3 c) 1 d) 0 e) 1. Resuelve la siguiente ecuación 4a 3 a 3a 5 resuesta la mayor de sus raíces. a) 1 b) 3 c) /3 d) 1/ e) e indica el y da como 13. Determinar la ecuación cuadrática cuyo término indeendiente es -63 y una de sus raíces es -9 a) x + x + 63 b) x x 63 c) x + x 63 d) x x + 63 e) x + x

59 14. La suma de las raíces de la ecuación: 4x 8x + 5 = 0 es igual a : a)1 b) c) - d) -1 e) Calcula el valor de k ara que el roducto de las raíces de la ecuación: (k -) x 5x + k = 0, sea 6 a)1 b) c) 3 d) 4 e)5 16. Resolver la ecuación x 6x 5 x x x x 1 x 1 x mayor de sus raíces. a)-10 b) c)- d) 10 e) 4 e indica la 17. Calcula el valor que debe tener k, de modo que la ecuación: x + 11x + k = 0 tiene una raíz igual a -4 a)10 b) 11 c) 1 d) 13 e) Resolver la siguiente ecuación x 1 3x 8 x 1 1x 35 x 3 x 0 a) b) 3 c) 4 d) 6 e) N.A 19. Resuelve 4x x 9x 5x x 7 1 x a)6 b) 9 c) d) 3 e) 5 0. Halla El coeficiente de x de La ecuación de segundo grado, cuyas raíces son la suma y el roducto de lãs raíces de La ecuación x 7x 13 0 a)5 b) -91 c) -0 d)0 e)

60 160

61 Tema 7 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS Y TRES VARIABLES Figura 10. El Equilibrio equitativo Fuente: htt:// La idea de que debe existir un equilibrio equitativo entre las energías o fuerzas del universo es la imagen sobre la realidad más vieja que ha revalecido en todas las civilizaciones. Para los egicios existía el mundo solar de la vida dominado or el dios Horus y también existía el mundo de la oscuridad de los muertos dominado or el dios Anubis, y cuando alguien moría simlemente su alma sufría una transición entre ambos mundos como se muestra en la imagen suerior en que el dios Horus acomaña el alma de un faraón ara entregársela al dios Anubis. Existía un erfecto equilibrio entre el mundo de la vida y el mundo de la muerte. Existía un equilibrio o balance erfecto entre lo que ocurría en los cielos y lo que ocurría en la Tierra. El dios Anubis también tenía una «balanza» ara soesar los actos malos y los actos buenos de las almas que llegaban a su reino ara establecer si había existido el equilibrio o el desequilibrio en sus vidas terrenales. Fuente:ht// Concetos revios Qué es un sistema de ecuaciones?. Veamos el siguiente caso Existen dos datos que no conocemos, los untos que vale una bola roja, y los que vale una bola amarilla. A estos datos que no conocemos los llamamos incógnitas, x e y. x = Puntos bola roja y = Puntos bola amarilla Ya que bolas rojas (x) y una bola amarilla (y) son 5 untos, se debe cumlir que: x + y = 5 Ecuación (I) Por otro lado, 3 bolas rojas (3x) y cuatro bolas amarillas (4y) son 10 untos, así que: 3x + 4y = 10 Ecuación II 161

62 Cuántos untos vale cada bola? Por tanto, se cumlen dos ecuaciones de rimer grado. Juntando ambas ecuaciones: x y 5 3x 4y 10 El conjunto de estas dos ecuaciones se llama sistema de ecuaciones con dos variables. Qué es un sistema de ecuaciones lineales con dos variables? Un sistema de ecuaciones de rimer grado con dos incógnitas son dos ecuaciones en las que las incógnitas deben tomar el mismo valor en ambas. Se escribe así: ax by c mx ny En esta exresión, x e y son las incógnitas; a, b, m, n son los coeficientes de las incógnitas; c, son los términos indeendientes. 7.. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. De acuerdo con ese caso se ueden resentar los siguientes casos Sea el sistema de ecuaciones ax by c mx ny Con a,b,m,n X R- {0} c, X R Comatible Comatible Determinado a b m n Comatible Indeterminad o a m b n c C.S= {(x,y)} Gráficamente: Dos rectas en el lano que se intersecan en un unto C.S= {(x,y),(x 1,y 1 ),(x,y ),..(x n,y n ), )} Gráficamente: Dos rectas en el lano coincidentes:(infinitos untos en el lano corresondiente a las rectas) Incomatible a m b n c C.S: = Gráficamente: Dos rectas aralelas en el lano 16

63 Sistema comatible o Sistema comatible determinado cuando tiene una única solución. Ejemlo: Clasificar y graficar el siguiente sistema: x y 6 x y El sistema es comatible determinado orque: Graficamente: o C.S= {(4,)} Sistema comatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones. Por ejemlo, el siguiente sistema: 3x 6y 1 El sistema es comatible indeterminado orque: x y C.S = { (0,) ;(1;,5); (; 3); (-1; 1,5);..} 163

64 Sistema incomatible si no tiene ninguna solución. Por ejemlo, suongamos el siguiente sistema: x y 5 El sistema es incomatible orque: x y C.S = 7.3. Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales con dos variables El método de sustitución: Consiste en desejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, referiblemente la que tenga menor coeficiente, ara, a continuación, sustituirla en otra ecuación or su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida or su valor equivalente en todas las ecuaciones exceto en la que la hemos desejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que odemos seguir alicando este método reiteradamente. Ejemlo. 3x y......( I) 4x 3y ( II) En la rimera ecuación, seleccionamos la incógnita y or ser la de menor coeficiente y que osiblemente nos facilite más las oeraciones, y la desejamos, obteniendo la siguiente ecuación. y 3x 164

65 El siguiente aso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, ara así obtener una ecuación donde la únic a incógnita sea la x. 4x 3( 3x) 1 4x 66 9x 1 13x x 65 Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5, y si ahora sustituimos esta incógnita or su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7 con lo que el sistema queda ya resuelto. C.S = {(5,7)} El método de igualación: Se uede entender como un caso articular del método de sustitución en el que se deseja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la arte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemlo ara el método de sustitución, si desejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera: y 3x 4x 1 y 3 Como se uede observar, ambas ecuaciones comarten la misma arte izquierda, or lo que odemos afirmar que las artes derechas también son iguales entre sí. 4x 1 3x 3( 3x) 4x x x 5 3 Una vez obtenido el valor de la incógnita x se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la y. En este caso lo sustituimos en la ecuación ( I ) 3x y 3(5) y y 7 C.S={(5,7)} El método de reducción: Este método suele emlearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo ocos los casos en que se utiliza ara resolver sistemas no lineales. El rocedimiento, diseñado ara sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante roductos ), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aarezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones roduciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simle. Por ejemlo, en el sistema: x 3y ( I) 5x 6y ( II) 165

66 no tenemos más que multilicar la rimera ecuación or (- ) ara oder cancelar la incógnita y. Al multilicar, dicha ecuación nos queda así: (x 3y 5) 4x 6y 10 Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita (y) ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita (x) : 4x 6y 10 5x 6y 4 x 6 El siguiente aso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x en cualquiera de las ecuaciones donde aarecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de y es igual a: y= 17/3 C.S={(-6;17/3)} El método de Cramer. Sea el sistema siguiente: ax by c mx ny Hallamos el determinante de: c b X = cn-bn; n a c Y = a-cm; m a b D = an-bm m n Luego: x X D cn bn an bm y Y D a cm an bm Por lo tanto el C.S ={(x,y)} Ejemlo: x 3y 5. 5x 6y 4 Hallamos el determinante de: X = 5x6-3x4= 18 Y = x4-5x5 = D = x6-3x5= Luego: X x D Y y D

67 C.S ={(-6;17/3)} 7.4. Método de solución a sistemas de ecuaciones lineales con tres variables. La Regla de Cramer alicada a determinantes de matrices 3 x 3 es uno de los métodos más usados. Observa un sistema de ecuaciones lineales que consta de tres ecuaciones lineales y las variables x, y, z. x y z 3 x y 4z 3 x y 3z Primero hallamos el determinante de los coeficientes de las variables, que es Una forma de hallar este determinante se resenta a continuación: D =()(x-3- ( -x4))-1(-1x-3-(1x4))+1(-1x--(1x)) D= (-6+8)-(3-4)+(-) D = ()+1+0 D=5 Sigues un rocedimiento arecido ara hallar el determinante en x, y, z. Recuerda que cada vez que vas a hallar un determinante, sustituyes la columna de coeficientes de la variable bajo estudio or las constantes. Estudia ahora este roceso alicado ara hallar el determinante en x Dx = [(3)()( 3) + (1)(4)(4) + ( 1)( 3)( )] - [(4)()( 1) + ( )(4)(3) + ( 3)( 3)(1)] Dx= [ ] [ ] Dx= 8 - ( 3) Dx =

68 Hallamos la determinante en y Dy = [()( 3)( 3) + (3)(4)(1) +( 1)( 1)(4)] [(1)( 3)( 1)+(4)(4)()+( 3)( 1)(3)] Dy = [ ] - [ ] Dy= Dy = 10 Hallamos la determinante en z Dz = [()()(4) + (1)( 3)(1) + (3)( 1)( )] - [(1)()(3) + ( )( 3)() + (4)( 1)(1)] Dz = [ ] - [ ] Dz = Dz = 5 En resumen: D = 5, Dx = 15, Dy = 10, Dz = 5. Para determinar los valores de las variables llevas a cabo el roceso siguiente: Dx x ; D y Dy D z Dz D 15 x ; 5 y 10 5 z 5 5 x = 3, y =, z = 1 La solución de este sistema es : {(3,, 1)}. Lo cual significa que las tres rectas reresentadas or las ecuaciones del sistema se intersecan en este unto. 168

69 ACTIVIDAD Nº 7 Resuelve los siguientes sistemas or el método que creas más adecuado: x y 1 x y a) (3/; -1/) b)(-1/; 3/ ) c) (1; ) d) ( -3/; ½) x y 3 3x 4y 5 a) ( 7/11;11) b) ( 17/11; 1/11) c)(17;1) d)(4/3; -1/) y 3 x y 1 5 a) (1/; /5) b) (-;3 ) c)(-5; ) d)(- /5 ; 3) a)(1,1,1) c)(/3;5/3;-11) 5X 3Y Z 1 X 4Y 6Z 1 X 3Y 4Z 9 b)(1/3;-35/3;-1) X Y Z 6 3X Y Z 4 4X 3Y 3Z 1 d)(1/3;-1;1/3) a)(-1; ; 3) b)(-1;-4; 3) c)(1; ; 3) d)( 1,4,-3) 09. Escribe un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas que tenga como soluciones x = 5; y = x y 5 x y 7 a) (-6; 7) b) (-/5; 3) c) ( 3,1) d) (8/3 ; /3 ) 10. En una tienda de anticuario hay 1 candelabros de y 3 brazos. Si ara utilizarlos se necesitan 31 velas, cuántos candelabros hay de cada tio? x 3 5 y x y 9 a) (8/3; 3) b) (9/; 3/ ) c) (/6; 6/) d) (1;3) 3X Y Z 1 5X 3Y 4Z X Y Z 1 a)(-4 ; 6 ; 1) b) (-4;3,) c)(1,6,-4) d)(-3,-4,) a) (5,7) b) (10,) c)(3,9) d( 4,8) 11. Un adre quiere reartir el dinero que lleva en el bolsillo entre sus hijos. Si a cada hijo le da 700 soles le sobran 00 soles, ero si le da a cada uno 800 soles le faltan 00 soles. Cuánto dinero lleva en el bolsillo y cuántos hijos tiene? a) (300 soles y 10 hijos) b)(3000 soles y 4 hijos) c)( 6000 soles y hijos) d) ( 3000 soles y 6 hijos) 169

70 1. Hoy la edad de un hijo es 1 año menos que 1/3 de la de su madre. Si dentro de 5 años, la edad de la madre será 10 años mayor que el doble de la de su hijo, qué edad tienen? a) (39 ;1) b) (46, 15) c) (37; 1) d) ( 30; 9) 13. Calcula gráficamente el valor de una cinta de vídeo y un CD si 1 cinta de vídeo y CD valen 7 euros y 4 cintas de vídeo y CD valen 10 euros. 18. Un comerciante comró dos relojes distintos or nuevos soles y los vendió or 3 5 nuevos soles. Cuánto agó or cada reloj si en la venta del rimero ganó un 0% y en la del segundo erdió un 5 %? a)(1500;1500) b)(1600;1400) c)(1000;000) d)(800; 00) 19. Se tienen dos soluciones de la ecuación ax + by = 15. La rimera x = : y = -1 y la segunda solución x = -, y = -9. Calcula a y b. a) (8,) b)( -8,3) c)(10;6) d)((7; -1) 14. Dos números suman 51. Si el rimero lo dividimos entre 3 y el segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1. Halla los números. a) ( 9; ) b) (11,40) c)(-11; 6) d)(19;3) 0. Un barco que lleva asajeros or un río, los traslada de A a B distantes 75 km., en 3 horas. Y de B a A en 5 horas. Halla la velocidad del barco y de la corriente. a) (0km/h; 10 km/h) b)(35km/h;5km/h) c) ( 0km/h; 5km/h) d)( 15km/h; 15km/h) 15. Un ejercicio realizado en clase consta de 16 reguntas. El rofesor suma 5 untos or cada resuesta correcta y resta 3 untos or cada cuestión no contestada o mal contestada. Si un Carlos ha obtenido 3 untos en el ejercicio, cuántas reguntas ha contestado correctamente Carlos? a) (8,8) b) (9,7) c)(6,10) d) (11,5) 16. El erímetro de un rectángulo tiene 8 cm. Calcula el área de este rectángulo sabiendo que uno de sus lados tiene cuatro centímetros más que el otro. a) 56 cm b) 8 cm c) 45cm d) 56 cm 17. La razón entre dos números es /3. Si se añaden 0 unidades al más equeño y 5 al más grande la razón se invierte. De qué números se trata? a)( 10;15) b) (14,1 ) c) (0;30) d) (8,1) 170

71 Tema 8: INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS De igual forma que las identidades y las ecuaciones están asociadas al signo de igualdad, las inecuaciones se asocian a los signos de desigualdad que conocemos como mayor que o menor que. Las desigualdades y las inecuaciones reflejan situaciones en las que se sobreasa o no se llega a un cierto valor conocido. Las desigualdades desemeñan un imortante ael en diversos roblemas que se resentan en matemática, entre ellos en matemática alicada, tales como la búsqueda de máximos o mínimos (roblemas de otimización). Estos conducen a desigualdades, lo cual exresa el hecho que la variable que se considera es menor (o mayor) o a lo sumo igual al valor máximo (o mínimo) que roorciona la solución. Asimismo, las inecuaciones son el fundamento de un asecto de las Matemáticas denominado rogramación lineal. Huertas Christiam R. Fuente: Figura 11. Escobar Caceres C..Resolver el Sistema Inecuaciones Lineales con variables. Fuente : diccio-mates.blogsot.com/009/09/sistema-de Definición: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que solo se verifica ara determinados valores de la incógnita o incógnitas. Ejemlo: La desigualdad: x + 1 > x + 5 es una inecuación orque tiene una incógnita x que se verifica ara valores mayores que Intervalos: Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que sirven ara exresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se reresenta gráficamente en la recta numérica real. Consideremos los siguientes tios de intervalos: 171