SUMAS DE CARACTERES y aplicaciones en cuerpos primos

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1 SUMAS DE CARACTERES y alicaciones en cueros rimos Ana Zumalacárregui a.zumalacarregui@unsw.edu.au 6 de julio de 2016 Índice 1. Caracteres Caracteres aditivos Caracteres multilicativos Sumas de caracteres Sumas comletas Sumas incomletas Algunos ejemlos famosos Sumas de Gauss Sumas de Jacobi Sumas de Kloosterman Cota de Pólya-Vinogradov Cotas de Weil Alicaciones Primos suma de cuadrados El mínimo residuo no-cuadrático Distribución untos en la hiérbola modular Fenómeno suma-roducto en cueros rimos ** Las sumas exonenciales y las sumas de caracteres han sido objeto central en la teoría analítica y combinatoria de números. Contamos con muchos ejemlos de roblemas clásicos que se han atacado mediante las técnicas en sumas exonenciales: la Conjetura ternaria de Golbach (Vinogradov, Helfgott), el roblema de Waring (Hardy, Littlewood, Vaughan, Vinogradov, Wooley), la distribución de los números rimos (Ford, Hardy, Korobov, Linnik), así como muchas otras cuestiones. Las alicaciones de estas técnicas son muy amlias y reresentan un área muy activa de investigación a día de hoy. En este curso introductorio discutiremos teoría básica de caracteres en cueros rimos y demostraremos algunos resultados clásicos en sumas de caracteres así como una serie de alicaciones directas, alguna de ellas relativamente reciente. El curso retende ser un rimer acercamiento a la teoría de sumas de caracteres, ero ha sido mi objetivo demostrar al lector que incluso a artir de resultados muy básicos se ueden obtener resultados muy otentes y novedosos, como lo fué la cota de Garaev [5] ara el roblema de suma-roducto en cueros finitos que se discutirá en la última sección. Muchos de los teoremas resentados se ueden generalizar a cueros finitos sin mucha dificultad. Para el lector interesado tanto [7] como [10] son buenas referencias. También [6] es una buena referencia en esañol ara una rimera toma de contacto con estas técnicas. Un gran libro ara estudiar sumas de caracteres más en rofundidad es [8]. 1

2 Notación: De ahora en adelante denotaremos or e(x) := e 2πix y ara un entero ositivo n definimos e n (x) := e( x n ) = e2πix/n. Nótese que ara todo x, y R y entero ositivo n se tiene e (x + y) = e (x) e (y) y e n (x + y) = e n (x) e n (y). Para un anillo R (o cuero 1 ) denotaremos or R al gruo de unidades o el conjunto de elementos invertibles en R, deendiendo del contexto. Durante todo el curso G denotará un gruo abeliano finito. El gruo cíclico de n elementos será denotado or Z n y lo identificaremos -salvo que se esecifique de otro modo- or las clases residuales {0, 1,..., n 1}. A lo largo del texto denotará un número imo y F denotará el cuero de elementos. En muchas ocasiones identificaremos los elementos en F con sus corresondientes residuos en {0, 1,..., 1}. Recordemos que F contiene dos gruos, resecto de las oeraciones suma y roducto, (F, +) = Z y (F, ) = Z 1. El gruo de unidades F es cíclico y denotaremos or g a su generador (que no tiene or qué ser único), también llamado raíz rimitiva. Para cantidades f, g diremos que f = O(g), o bien f g, si existe una constante absoluta C tal que f Cg. 1. Caracteres Sea G un gruo abeliano finito (que denotaremos multilicativamente) de order G y elemento identidad 1 G. Un caracter χ de G es un homomorfismo de G en el gruo multilicativo de los números comlejos C. Es decir χ : G C con ara cualesquiera elementos g i G. En articular, como entonces necesariamente χ(1 G ) = 1. χ(g 1 g 2 ) = χ(g 1 )χ(g 2 ), (1) χ(1 G ) = χ(1 G 1 G ) = χ(1 G ) χ(1 G ), Entre los caracteres de G existe el llamado caracter trivial, denotado or χ 0, que es definido or χ(g) = 1 ara cada g G: el resto de caracteres se conocen como no triviales. Lema 1. Sea χ un caracter de un gruo G. Entonces, ara todo g G i) (χ(g)) G = 1. ii) χ(g 1 ) = χ(g), donde x denota el conjungado comlejo de x C. Demostración. Ejercicio ara el lector. Ejemlo 2. Si G es el gruo cíclico de order n y sea g un generador de G. Para un entero dado j, 0 j n 1, la función χ j ( g k ) = e n (jk), k = 0, 1,..., n 1, define un caracter de G. Dados x, y G tenemos que x = g t, y = g s ara dos enteros 0 s, t n 1, de modo que χ j (xy) = χ ( g s+t) = e n (j(s + t)) = e n (js)e n (jt) = χ ( g s) χ ( g t) = χ j (x)χ j (y). Nótese que χ 0 1 coincide con el caracter trivial. 1 Este curso fue dictado en Colombia, donde a los cueros (del francés cors ) se los denomina camos (del inglés fields ). A lo largo del texto he intentado ser consistente y usaré la notación Esañola, a la que estoy habituada. 2

3 Proosición 3. El conjunto Ĝ de caracteres de G forma un gruo abeliano con resecto a la oeración dada or Demostración. Ejercicio ara el lector. (χ 1 χ 2 )(g) := χ 1 (g)χ 2 (g) ara cada g G. Teorema 4. Sea H un subgruo de G, un gruo abeliano finito, y sea ψ un caracter de H. Entonces ψ uede extenderse a un caracter de G: i.e. existe un caracter χ Ĝ con χ(h) = ψ(h) ara todo h H. Dem. Sin érdida de generalidad odemos suoner que H es un subgruo roio de G. Para un elemento a G \ H sea H 1 el subgruo generado or H y a. Denotaremos or m al mínimo entero tal que a k H, entonces ara todo g H 1 existe una reresentación única de la forma g = a k h, donde k {0, 1,..., m 1} y h H. Podemos definir la función ψ 1 : H 1 C or ψ 1 (g) = ω k ψ(h) con ω un número comlejo que satisface ω m = ψ(a m ). (2) Veamos ahora que ψ 1 es un caracter en H 1, cuya restricción a H es recisamente ψ. Se sigue de la definición de ψ 1 que ψ 1 (h) = ψ(h) ara cada h H. Sea g 1 = a k h 1, g 2 = a s h 2 H 1, entonces g 1 g 2 = a k+s h 1 h 2. Si k + s < m entonces ψ 1 (g 1 g 2 ) = ω k+s ψ(h 1 h 2 ) = ω k ψ(h 1 )ω s ψ(h 2 ) = ψ 1 (g 1 )ψ 1 (g 2 ), si k + s m, entonces dado que a m H se tiene ψ 1 (g 1 g 2 ) = ω k+s m ψ(h 1 h 2 a m ) = ω k+s m ψ(a m )ψ(h 1 h 2 ) = ω k+s ψ(h 1 h 2 ) = ψ 1 (g 1 )ψ 1 (g 2 ) a artir de (2). Si H 1 = G entonces hemos construido el caracter ψ 1 que buscábamos. En otro caso, siemre odemos reetir este roceso ara un nuevo elemento b G \ H 1 y en un número finito de asos -dado que nuestro G es finito- este algoritmo finaliza y ara cierta iteración tendremos H t = G. Claramente la extensión de ψ no es única: las distintas elecciones de ω en (2) dan lugar a caracteres distintos en G. Corolario 5. Para cualquier h 1 G, existe un caracter χ en G ara el cual χ(h) 1. Demostración. Sea H el subgruo de G generado or h, que es cíclico de orden m ara algún m 2. Se sigue del Ejemlo 2 que ψ(h k ) = e m (k) define un caracter en H con ψ(h) = e m (1) = e 2πi/m 1 (uesto que m 2). Del Teorema 4 se sigue que ψ uede extenderse a un caracter en G. El resultado anterior imlica que el gruo de caracteres Ĝ discrimina entre elementos distintos del gruo: si g 1 g 2 en G entonces ha de existir un caracter χ Ĝ con χ(g 1) χ(g 2 ). Teorema 6 (Ortogonalidad de los caracteres). Sea G un gruo abeliano finito. Entonces, ara cada χ Ĝ { G if χ = χ0, χ(g) = (3) 0 de otro modo. Y ara cada g G se tiene g G χ(g) = χ Ĝ { Ĝ if g = 1 E, 0 de otro modo. (4) 3

4 Demostración. Claramente, si χ = χ 0 la igualdad en (3) se cumle. Asumamos que χ χ 0. Como χ es no trivial, entonces or el Corolario 5 existe un elemento h G con χ(h) 1. entonces χ(h) χ(g) = χ(hg) = χ(g), g G g G g G orque si g recorre G, también lo hace hg. Entonces tenemos (χ(h) 1) g G χ(g) = 0, que de hecho imlica (3), dado que χ(h) 1. Para la segunda arte, de nuevo asumiremos que g 1 G, ya que de otro modo el resultado es trivial. Nótese que la función ĝ(χ) = χ(g) es un caracter ara el gruo Ĝ, ya que ara cualesquiera dos caracteres χ 1, χ 2 Ĝ se tiene g(χ 1 χ 2 ) = (χ 1 χ 2 )(g) = χ 1 (g)χ 2 (g) = g(χ 1 )g(χ 2 ). Este caracter es no trivial uesto que g 1 G, or tanto se sigue del Corolario 5 existe un caracter χ Ĝ con ĝ(χ) = χ(g) 1. Por tanto, la igualdad en (4) se sigue de (3) alicada al gruo Ĝ: χ(g) = ĝ(χ) = 0. χ Ĝ χ Ĝ En la demostración anterior, se rueba de forma indirecta que Ĝ = G. Corolario 7. Sea G un gruo abeliano finito. Entonces Ĝ = G. Demostración. Se sigue de las roiedades de ortogonalidad de los caracteres que G = χ(g) = χ(g) = Ĝ. g G χ Ĝ χ Ĝ g G Como ya comentamos anteriormente, en un cuero rimo F existen dos gruos abelianos finitos: el gruo aditivo (F, +) y el gruo multilicativo (F, ). En este contexto, denominaremos a dichos caracteres los caracteres multilicativos y caracteres aditivos de F. De ahora en adelante los caracteres aditivos serán denotados or la letra griega ϕ mientras que la letra χ se reservará ara caracteres multilicativos Caracteres aditivos Sea la característica de F. El gruo aditivo (F, +) = Z es cíclico y está generado or el elemento 1 (unidad multilicativa en F ). La función ϕ 1 definida or ϕ 1 (c) = e (c) = e 2πic/ ara todo c F (5) es un caracter en el gruo aditivo de F, uesto que e (a+b) = e (a) e (b) ara cada a, b F. Además ϕ 1 es un caracter no trivial. Al caracter definido en (5) se llamará caracter aditivo canónico en F. Como veremos a continuación los caracteres de F ueden exresarse en términos de ϕ 1. 4

5 Teorema 8. Para un b F dado, la función ϕ b dada or ϕ b (c) := ϕ 1 (cb) ara cada c F es un caracter aditivo de F. Además, cada caracter aditivo de F tiene una reresentación de esta forma. Demostración. Para cada c 1, c 2 F se tiene, ϕ b (c 1 + c 2 ) = ϕ 1 (bc 1 + bc 2 ) = ϕ 1 (bc 1 )ϕ 1 (bc 2 ) = ϕ b (c 1 )ϕ b (c 2 ), lo que demuestra la rimera arte del resultado. Como ϕ 1 es un caracter no trivial, ara cada a, b F, a b, tenemos ϕ a (c) ϕ b (c) = ϕ 1(ac) ϕ 1 (bc) = ϕ 1((a b)c) 1, ara cierto c F, y así ϕ a y ϕ b son caracteres distintos. Se sigue del Corolario 7 que F tiene exactamente characters, de modo que la lista de caracteres queda comletada. Tomando b = 0 en (5) se obtiene el caracter trivial ϕ 0 (c) = ϕ 1 (0 c) = ϕ 1 (0) = 1 ara cada c F. Con esta caracterización en mente es claro que G = (Z, +) = Ĝ, mediante el isomorfismo a ϕ a = ϕ a Caracteres multilicativos Los caracteres del gruo multilicativo F de F son llamados caracteres multilicativos de F. Como F es un gruo cíclico de orden 1 sus caracteres ueden obtenerse de manera sencilla. Teorema 9. Sea g una raíz rimitiva de F. Para cada j = 0, 1,..., 2 la función χ j dada or χ j ( g k ) = e 1 (jk) = e 2πijk/( 1) ara k = 0, 1,..., 2 (6) define un caracter multilicativo de F. Además, todo caracter multilicativo de F tiene una reresentación como esa. Demostración. La demostración es análoga a la del Teorema 8. Se sigue de la definición de χ j que el gruo de caracteres multilicativos de F es cíclico de orden 1 con elemento unidad χ 0, ya que de hecho χ j χ j 1, or definición. Además, ara cada j corimo con 1 el elemento g j es nuevamente una raíz rimitiva de F. Por tanto, el caracter χ j también es generador del gruo de caracteres multilicativos: Ĝ = (F, ) mediante el isomorfismo j χ j. Ejemlo 10. Símbolo de Legendre: consideremos, ara un cuero rimo dado F de característica imar, el caracter definido en (6) ara j = ( 1)/2. Es decir, χ ( 1)/2 (g c ) = e 1 (c( 1)/2) = e πic. El caracter χ ( 1)/2 es conocido como caracter cuadrático de F y coincide con el conocido como símbolo de Legendre, habitualmente denotado or ( ), y satisface ara x F ( ) { x 1 si x es un cuadrado en F χ ( 1)/2 (x) = =, 1 de otro modo. Se conoce como caracter cuadrático orque es el único caracter χ de F con χ 2 χ 0. 5

6 Será conveniente ara algunas alicaciones extender los caracteres multilicativos en F al cuero comleto imoniendo χ(0) = 0. Esta extensión es comatible con la estructura de caracter: χ(c 0) = χ(c)χ(0) ara todo c F. Además con esta nueva definición tenemos que { 1 si χ es trivial, χ(c) = (7) 0 de otro modo. c F Veamos ahora alguna roiedad del caracter cuadrático. Teorema 11 (Euler). Sea un rimo. Para todo n F se tiene ( n ) n 1 2 (mód ), donde ( ) denota el símbolo de Legendre. Demostración. Claramente la identidad se tiene ara n 0 (mód ), de modo que odemos asumir que n 0 (mód ). En rimer lugar, nótese que si n = m 2 ara algún m, entonces n 1 2 m 1 1 (mód ). Como F es cíclico de orden 1, con una raíz rimitiva g, el conjunto de cuadrados {n F : n = m 2 ara algún m F } = {g 2, g 4, g 6,..., g 1 } tiene exactamente 1 2 elementos. Además, la ecuación x (mód ) tiene a lo sumo 1 2 soluciones distintas, así que estas son todas. Por último, nótese que ara todo n se tiene que ( ) n = n 1 1 (mód ), lo que imlica que ara no-residuos cuadráticos que concluye la demostración 2. Sumas de caracteres n (mód ) Para la mayoría de las alicaciones nos interesaremos or el comortamiento de sumas de la forma: ψ(f(a)), (8) a A donde A F es un conjunto (una variedad, un conjunto de Sidon, el sonjunto de soluciones a cierta ecuación, etc.), ψ un caracter (aditivo o multilicativo) en F y f es alguna función interesante en F (generalmente un olinomio). Siemre que A = F, diremos que la suma es comleta y de otro modo diremos que es una suma incomleta. En algunos casos los menos se obtienen fórmulas cerradas ara el valor de ciertas sumas de caracteres. En general sólo odemos eserar obtener cotas no triviales ara la cantidad en (8): i.e. cualquier cota suerior mejor que ψ(f(a)) a A a A ψ(f(a)) = A. El objetivo de nuestro estudio será encontrar cotas de la forma: ψ(f(a)) A a A donde o bien < 1 es una constante o bien, en los mejores casos, = ( A ) es una cantidad que tiende a cero cuando A, tienden a infinito. 6

7 2.1. Sumas comletas El siguiente resultado, que se obtiene a artir de la ortogonalidad de los caracteres, sugiere que las sumas de caracteres ueden emlearse ara contar soluciones a ciertas congruencias. Corolario 12. Sean ψ a, ψ b dos caracteres aditivos en F. Entonces, 1 { 1 si a = b, ψ a (c)ψ b (c) = 0 si a b c F Además, sumando sobre todos los caracteres aditivos, tenemos que 1 { 1 si c = d, ψ(c)ψ(d) = 0 si c d. ψ Demostración. Nótese que el caracter ψ a ψ b = ψ a ψ b = ψ 0 si y sólo si a = b y que ara cualquier caracter ψ tenemos que ψ(c)ψ(d) = ψ(c d) si ψ es aditivo. El resultado se sigue ahora del Teorema 6 y las observaciones revias. En articular, ara cualquier función f se tiene que: lo que imlica que 1 a F ψ a (f(c))ψ a (d) = #{c : f(c) = d} = 1 c F { 0 si f(c) d 1 si f(c) = d, a F ψ a (f(c))ψ a (d). (9) Nótese que el resultado análogo se obtiene ara caracteres multilicativos ajustando la constante en la suma y análogamente uno obtiene: #{c : f(c) = d} = 1 1 c F a=0 2 χ a (f(c))χ a (d). (10) Las ecuaciones (9) y (10) ueden emlearse ara codificar muchos roblemas y, una vez exresados en términos de sumas de caracteres, exlotar las técnicas que se discutirán en las siguientes secciones Sumas incomletas El rimer ejemlo no trivial de una cota general ara sumas de caracteres incomletas en cueros rimos se resenta a continuación. En este caso el conjunto A en (8) es un intervalo modulo. Proosición 13. Para un rimo y un entero 0 N 1 ϕ N 1 x=0 ϕ(x) = O ( log ), donde la suma se toma sobre todos los caracteres aditivos de F. Nótese que la cota trivial en 13 es recisamente N, que significa que el resultado es no trivial siemre que N sea mayor que log. Demostración. Recordemos que todos los caracteres aditivos en F son de la forma ϕ a (x) = e 2πiax/ ara algún a F. Por tanto, siemre que a 0 la suma N ϕ a (x) = e (a) 0 + e (a) + e (a) e (a) N 1 x=0 7

8 es una rogresión geométrica de razón e (a) 1, ya que ϕ a ϕ 0. Por tanto Dado que y N 1 x=0 ϕ(x) = e (a) N 1 e (a) 1 2 e (a) 1. (11) e (a) 1 = ex(πia/) ex( πia/) = 2 sin(πa/), sin(πa/) = sin(π( a)/) 2 mín{a, a} ues sin(α) 2α/π ara 0 α π/2. Incluyendo estas estimaciones en (11) se tiene ara ϕ a, a 0, N 1 ϕ a (x) 2 mín{a, a}. Para el caracter trivial se tiene x=0 ϕ 0 (0) + ϕ 0 (1) + + ϕ 0 (N 1) = N 1. Sumando sobre todos los caracteres obtenemos el resultado deseado 1 a=0 N 1 x=0 1 ϕ a (x) N + a=1 ( 1)/2 2 mín{a, a} N + = O( log ). a a=1 A continuación obtendremos una estimación no trivial ara conjuntos mucho más generales. Para cualquier número comlejo x C se tiene x 2 = x x. Entonces, ara cualquier caracter aditivo ϕ y cualquier conjunto X de F se tiene: ϕ(a) a X 2 ( ) ( ) = ϕ(a) ϕ(b) = ϕ(b a). (12) a X b X a,b X Dados X e Y subconjuntos arbritrarios de F, ara un caracter aditivo dado ϕ definiremos la suma W ϕ = ϕ(xy). x X y Y De forma trivial se obtiene la cota W ϕ X Y y la igualdad se alcanza ara ϕ = ϕ 0 el caracter trivial. El siguiente resultado mejora la cota trivial incluso ara conjuntos muy oco densos, siemre y cuando X Y. Teorema 14. Para cualesquiera subconjuntos X, Y F, se tiene máx ϕ ϕ 0 W ϕ ( X Y ) 1/2. Demostración. Claramente W ϕ = ϕ(xy) ϕ(xy). x X y Y x X A artir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz 2 se tiene que W ϕ 2 X 2 ϕ(xy) X x F 2 ϕ(xy). x X y Y y Y 2 Para cualesquiera 2n números comlejos x 1, y 1,..., x n, y n se tiene n i=1 x iy i 2 n i=1 x i 2 n i=1 y i 2. y Y 8

9 Se sigue de (12) que 2 ϕ(xy) = x F x F y Y y 1,y 2 Y A artir del Teorema 8 y de (4) se tiene ϕ(x(y 1 y 2 )) = ϕ(x(y 1 y 2 )) = ψ(y 1 y 2 ) = x F ψ y 1,y 2 Y x F ϕ(x(y 1 y 2 )). { si y1 = y 2, 0 en otro caso. De donde se sigue W ϕ 2 X Y. 3. Algunos ejemlos famosos 3.1. Sumas de Gauss Para un caracter aditivo ϕ de F y χ uno multilicativo, se define la suma de Gauss G(ϕ, χ) como G(ϕ, χ) := c F ϕ(c)χ(c). El valor absoluto de G(ϕ, χ) está trivialmente acotado or 1 (uesto que χ(0) = 0 ara todo χ). La igualdad se alcanza en el caso ϕ = ϕ 0 y χ = χ 0, ero en la mayoría de casos esta cantidad es considerablemente menor. Nótese que se sigue de (7) que G(ϕ 0, χ) = 0, si χ χ 0, y de (3) que G(ϕ, χ 0 ) = ϕ(c) = ϕ(c) ϕ(0) = 1, c F c F si ϕ ϕ 0. Sin embargo, cuando los caracteres son ambos no triviales, el la suma resulta es más interesante. Teorema 15. Sea ϕ un caracter aditivo y χ uno multilicativo en F. Si ϕ ϕ 0 y χ χ 0, entonces G(ϕ, χ) = 1/2. Demostración. G(ϕ, χ) 2 = G(ϕ, χ)g(ϕ, χ) = ϕ(b) χ(b) ϕ(a) χ(a) = ϕ(a b)χ(ab 1 ). b F a F b F a F En la suma interior haremos la sustitución ab 1 = c, y or tanto a b = b(c 1). Entonces G(ϕ, χ) 2 = ϕ(b(c 1))χ(c) b F c F = ( ) χ(c) ϕ(b(c 1)) ϕ(0) = χ(c) ϕ(b(c 1)), (13) b F b F c F dado que del Teorema 6 se sigue que c F χ(c)ϕ(0) = 0. Del mismo resultado se sigue que la suma { if c = 1, ϕ(b(c 1)) = 0 if c 1. b F c F Incluyendo la igualdad anterior en (13) se obtiene G(ϕ, χ) 2 = χ(1) =. 9

10 Las sumas de Gauss, tal y como las hemos definido anteriormente, tienen distintas alicaciones conectando caracteres aditivos y multilicativos y en ocasiones nos ermiten estimar ciertas sumas exonenciales. Corolario 16. Para cualquier rimo 3 y un entero a con gcd(a, ) = 1, se tiene 1 e (ax 2 ) = 1/2. x=0 Demostración. Sea ( ) el símbolo de Legendre descrito en el Ejemlo 10 y recordemos que e (ac) = ϕ a (c) es un caracter aditivo no trivial cuando gcd(a, ) = 1. Nótese que la cantidad (( ) c ) +1 {0, 1, 2} cuenta el número de soluciones a x 2 c (mód ), ara cualquier c F. Entonces 1 x=0 e (ax 2 ) = ( ( ϕ a (c) c ) ) + 1 c F = G ( ϕ, ( )) ( + ϕ a (c) = G ϕa, ( )), c F ya que a artir de (3) se sigue que c F ϕ a (c) = 0 siemre y cuando gcd(a, ) = 1. El resultado se sigue del Teorema Sumas de Jacobi Para dos caracteres multilicativos χ, ψ en F, la suma de Jacobi asociada a ψ y χ queda definida or J(ψ, χ) := χ(c)ψ(1 c) = χ(x)ψ(y). c F x+y=1 Esta sumas ueden, sorrendentemente, ser exresables en términos de sumas de Gauss. Teorema 17. Sean χ y ψ dos caracteres multilicativos no triviales en F tales que (χψ) χ 0. Entonces ara cualquier caracter aditivo ϕ no trivial se tiene J(χ, ψ) = G(ϕ, χ)g(ϕ, ψ). G(ϕ, χψ) Demostración. En rimer lugar nótese que el denominador G(ϕ, χψ) 0 or hiótesis. Por tanto a artir de las definiciones se tiene J(χ, ψ)g(ϕ, χψ) = χ(x)ψ(1 x) χ(y)ψ(y)ϕ(y) x F = x F y F χ(xy)ψ((1 x)y)ϕ(y). y F Recordemos que extendimos los caracteres multilicativos a F tras imoner χ(0) = ψ(0) = 0, entonces odemos restringir la suma a x {0, 1}. Para u = xy y v = y xy, tenemos un cambio de variable biyectivo de (x, y) ( F \ {0, 1} ) F a {(u, v) F F : u + v 0}. ya que a artir de u, v odemos recuerar x e y como y = u + v, x = u/(u + v). Así se tiene J(χ, ψ)g(ϕ, χψ) = χ(u)ψ(v)ϕ(u + v) u,v F u+v 0 ( = u F )( χ(u)ϕ(u) v F ) ψ(v)ϕ(v) = G(ϕ, χ)g(ϕ, ψ) ψ( 1) (χψ)(u) u F χ(u)ψ( u) = G(ϕ, χ)g(ϕ, ψ), u F 10

11 ya que or el Teorema 6 se tiene (χψ)(u) = 0 u F dado que χψ es un caracter no trivial or hiótesis. Corolario 18. Sean χ y ψ dos caracteres multilicativos no triviales en F tales que (χψ) χ 0. Entonces, J(χ, ψ) = 1/2. Demostración. Se sigue del Teorema 15 que ara cualesquiera caracteres no triviales ϕ, χ (aditivos y multilicativos) se tiene G(ϕ, χ) = 1/2. El resultado se sigue del Teorema Sumas de Kloosterman Para dos caracteres aditivos en F, definimos la suma de Kloosterman K(ϕ, ψ) asociada como K(ϕ, ψ) := ϕ(c)ψ(c 1 ) = ϕ(x)ψ(y). (14) c F xy 1() Nótese que K(ϕ, ψ) es siemre un número real, uesto que K(ϕ, ψ) = ϕ(c)ψ(c 1 ) = ϕ( c)ψ( c 1 ) = ϕ(d)ψ(d 1 ) = K(ϕ, ψ), c F c F d F tras realizar el cambio de variable d = c. Para cada b F tenemos que donde ϕ b (x) = ϕ(bx) y ψ b 1(x) = ψ(b 1 x). K(ϕ, ψ) = K(ϕ b, ψ b 1) (15) Teorema 19 (Kloosterman). Sean ϕ, ψ dos caracteres aditivos no triviales en F. Entonces K(ϕ, ψ) < 2 3/4. La idea tras de la rueba de este resultado se basa en intentar entender las sumas de Kloosterman globalmente, en vez de individualmente. Más concretamente, la idea es utilizar el siguiente hecho: si somos caaces de robar que ara los momentos k ésimos M k = K(ϕ, ψ) 2k M ϕ,si ϕ 0 ara k 1 y algún M 0, entonces ara cada ar ϕ, ψ odemos deducir de (15) que ( 1) K(ϕ, ψ) 2k = K(ϕ b, ψ b 1) 2k M, y or tanto Ahora, ara cada k 1 tenemos M k = ϕ,ψ K(ϕ, ψ) b F K(ϕ, ψ) 2k 2 ( ) 1/2k M. (16) 1 ϕ ϕ 0 K(ϕ, ϕ 0 ) 2k K(ϕ 0, ϕ 0 ) 2k y se sigue del Corolario 12 que K(ϕ, ϕ 0 ) = 1 ara todo ϕ ϕ 0. Por tanto M k = ϕ,ψ K(ϕ, ψ) 2k 2( 1) ( 1) 2k. Para robar el Teorema 19 necesitaremos el siguiente resultado auxiliar. 11

12 Proosición 20. Los rimeros momentos normalizados ara las sumas de Kloosterman son M 0 ( 1) 2 = 1, M 1 ( 1) 2 = 2 1, 1 M 2 ( 1) 2 = ( 1) Demostración. La igualdad de M 0 es trivial, de modo que comenzaremos con M 1. De nuevo, se sigue de (12) que M 1 = ϕ,ψ K(ϕ, ψ) 2 2( 1) ( 1) 2. = ϕ,ψ ϕ(c d)ψ(c 1 d 1 ) 2( 1) ( 1) 2 uesto que = c,d 0 c,d F ( )( ) ϕ(c d) ψ(c 1 d 1 ) 2( 1) ( 1) 2 ϕ ψ = 2 ( 1) 2( 1) ( 1) 2 = ( 1) ( 2 1 ) ( )( ) { ϕ(c d) ψ(c 1 d 1 2 si c = d ) = 0 de otro modo. ϕ ψ Ahora analizaremos la fórmula de M 2. Nótese que M 2 = ϕ(a + c b d)ψ(a 1 + c 1 b 1 d 1 ) 2( 1) ( 1) 4 ϕ,ψ a,b,c,d, F = ( )( ) ϕ(a + c b d) ψ(a 1 + c 1 b 1 d 1 ) 2( 1) ( 1) 4. a,b,c,d, F ϕ ψ De nuevo, or la ortogonalidad de los caracteres, tenemos que el roducto de sumas ( )( ) ϕ(a + c b d) ψ(a 1 + c 1 b 1 d 1 ) es 2 si la cuádrula a, b, c, d F ϕ ψ satisface { a + c = b + d 1 a + 1 c = 1 b + 1 d y cero en otro caso. Ahora deberemos contar el número de soluciones a (17): 1. Claramente si {a, c} = {b, d} la cuádrula (a, b, c, d) satisface (17). Hay exactamente 2( 1) 2 ( 1) de estas. 2. Si a = c, entonces a + c = b + d = 0 y tenemos ( 1) 2 de estas arejas: (17) (x, y, x, y) x, y F ero 2( 1) de ellas estan incluídas en el caso anterior (aquellas de la forma (x, x, x x) y (x, x, x, x) ara aglún x F ). Entonces, debemos añadir ( 1) 2 2( 1) a la cuenta final. 3. Suongamos que (a, b, c, d) es una solución no contada anteriormente: a + c 0 y {a, c} {b, d}. Entonces se sigue de (17) que Sustituyendo a nos queda a + c = b + d, bd(a + c) = ac(b + d). bd(b + d) = c(b + d c)(b + d) y or tanto bd = c(b + d c). Esto imlica que b(d c) = c(d c), que contradice el hecho de que c b, d or hiótesis. 12

13 Por tanto, el número total de arejas que satisfacen (17) es recisamente 3( 1) 2 3( 1). Entonces, M 2 = 2 (3( 1) 2 3( 1)) 2( 1) ( 1) 4 = ( 1) ( ). Demostración del Teorema 19. Se sigue de (16) y la Proosición 20 que K(ϕ, ψ) ( ( 1)M2 ) 1/4 = ( 2 3 ( ) ) 1/4 < 2 3/4 ara cada areja de caracteres no triviales ϕ, ψ. La mejor cota conocida, que no robaremos aquí, fue obtenida or Weil mediante argumentos de geometría algebraica relacionados con el estudio de las funciones zeta ara variedades algebraicas en cueros rimos. Teorema 21 (Weil). Sea un número rimo y ϕ, ψ dos caracteres aditivos no triviales. Entonces K(ϕ, ψ) 2. El resultado de Weil es en cierto sentido ótimo, tal y como indica el siguiente resultado. Corolario 22. Para al menos una areja de caracteres aditivos no triviales ϕ, ψ, se tiene K(ϕ, ψ) > 2 2. Demostración. De la definición de las cantidades M 1, M 2 se sigue que M 2 ( máx ϕ,ψ ϕ 0 K(ϕ, ψ) 2) M 1, y entonces existe al menos una areja ϕ, ψ ara la cual de la Proosición Cota de Pólya-Vinogradov K(ϕ, ψ) 2 M 2 = M 1 2 > 2 2, 1 El siguiente resultado es otro ejemlo de una suma incomleta. Podría entenderse tanto como el análogo multilicativo de la Proosición 13 o como una truncación de la suma de Gauss G(ϕ 0, χ). Teorema 23 (Pólya-Vinogradov). Para todo entero N, 1 N 1 y un caracter multilicativo no trivial dado χ se tiene N x=1 ( ) χ(x) = O 1/2 log. Demostración. Dado un elemento a F denotemos or S(a) la siguiente suma de Gauss S(a) = G(ϕ a, χ ) 1 = ϕ a (c)χ(c). Se sigue del Teorema 15 que S(a) = 1/2 si a 0 y de la ortogonalidad de los caracteres S(0) = 0. c=1 13

14 Utilizando el Corolario 12 obtenemos N 1 χ(c) = ( 1 χ(c) c=1 uesto que la Proosición 13 imlica a F c=1 a F d=1 N ϕ a (x y)) = 1 N S(a) ϕ a ( y) a F d=1 1 N S(a) ϕ a ( y) a F d=1 = 1/2 N ϕ a ( y) = O( 1/2 log ) a F d=1 N ϕ a ( y) = N ϕ b (y) = O( log ) b F d=1 haciendo el cambio de variable a = b Cotas de Weil Dado ϕ un caracter aditivo no trivial de F y f F [x] un olinomio de grado ositivo. Consideraremos las sumas de la forma c F ϕ(f(c)), que en ocasiones son llamadas sumas de Weil. Obsérvese que si f(x) = ax + b, entonces las sumas ueden estimarse de forma sencilla a artir de las relaciones de ortogonalidad. También, si f es un olinomio cuadrático estas sumas ueden exresarse en términos de las sumas de Gauss estudiadas en la Sección 3.1 tras comletar cuadrados en F. Para un olinomio general André Weil demostró, a artir de resultados rofundos de geometría algebraica, el siguiente resultado. Teorema 24. Sea f F [x] un olinomio de grado d 1 con gcd(d, ) = 1 u sea ψ un caracter aditivo no trivial de F. Entonces ψ(f(x)) (d 1)1/2. x F d=1 La misma cota se obtiene ara caracteres multilicativos. Teorema 25. Sea χ un caracter multilicativo no trivial de F de orden m y sea f F [x] un olinomio mónico de grado d 1 que no es una otencia m-ésima de un olinomio. Entonces, χ(f(x)) (d 1)1/2. x F Podemos utilizar el resultado de Weil ara robar la siguiente cota ara el número de soluciones a ecuaciones en cueros finitos. Corolario 26. Sea m N y f F [x] un olinomio mónico de grado d 1 tal que y t f(x) es absolutamente irreducible, donde t = gcd(m, 1). Entonces el número de soluciones a y m = f(x) en F es N (t 1)(d 1) 1/2. 14

15 Demostración. Nótese que ara cualquier m dado y cualquier caracter multilicativo ψ { ψ(y m ) = ψ m si ψ (y) = m = χ 0, 0 en otro caso, y F y F y ψ m = χ 0 si y sólo si el orden de ψ divide a m. De hecho, si t = gcd(m, 1) y χ es un caracter multilicativo de orden t, entonces los únicos caracteres de orden dividiendo a m son recisamente χ, χ 2,..., χ t 1, χ t = χ 0. Por tanto, N = 1 ψ x F ψ(f(x)) = t 1 j=0 x F χ j (f(x)). Searando la contribución de j = 0 del resto y alicando el Teorema 25 tenemos que t 1 N χ j (f(x)) (t 1)(d 1) 1/2. j=1 x F 4. Alicaciones A continuación resentaremos una serie de alicaciones directas de los resultados que hemos resentado, que ilustran varias estrategias clásicas alicadas a distintos roblemas en teoría de números Primos suma de cuadrados El siguiente resultado se le atribuye a Fermat, que sin embargo no dejó demostración alguna. La rimera demostración conocida se debe a Euler, bastante comlicada y basada en argumentos de descenso infinito. Se conocen demostraciones muy variadas que emlean la factorización de enteros Gaussianos, fracciones continuas, formas cuadráticas o incluso el teorema de Minkowski. Aquí incluimos una demostración simle a artir de sumas de Jacobi que uede encontrarse en [7, Ca. 8]. Teorema 27 (Fermat). Sea un rimo tal que 1 (mód ). Entonces existen enteros a, b tales que = a 2 + b 2. Demostración. Puesto que 1 (mód 4), entonces existe un aracter multilicativo de orden 4 en F, denotado or χ 1. 4 Nótese que dicho caracter toma valores en las cuartas raíces de la unidad en C. Es decir: χ ( 1)/4 (x) {1, 1, i, i} ara todo x F. Por tanto, dado que el caracter cuadrático sólo toma valores en {1, 1}, la suma de Jacobi J (( ) ) (, χ( 1)/4 = x ) χ( 1)/4 (y) = a + bi, x+y 1 () ara ciertos a, b Z. Se sigue del Corolario 18 que (( J ) ), χ ( 1) 2 = a 2 + b 2 =. 4 15

16 4.2. El mínimo residuo no-cuadrático En F hay exactamente +1 2 residuos cuadráticos (incluyendo el 0) y 1 2 residuos no cuadráticos. Si ordenamos los residuos {0, 1, 2,..., 1} entonces 0, 1 o 4 son siemre cuadrados y or ejemlo (mód 7) o (mód 13). Incluso si consideramos = el rimer residuo no cuadrático es 29 y de hecho sólo hay 19 residuos no cuadráticos menores que 100: {29, 31, 37, 41, 47, 53, 58, 59, 62, 71, 73, 74, 79, 82, 87, 89, 93, 94, 97}. Con un simle ejercicio de rogramación uno arece oder encontrar con cierta facilidad rimos ara los que los rimeros n residuos sean todos cuadrados, sin embargo existe algún rimo ara el que todos los residuos cuadráticos sean números consecutivos? La resuesta a esta regunta es no, ero de hecho vamos a dar una resuesta mucho más contundente obteniendo cotas sueriores ara el menor residuo no cuadrático n 0. Teorema 28 (Vinogradov). Sea un rimo. El mínimo residuo no cuadrático n 0 satisface n 0 1/2 log. Demostración. El número de residuos cuadráticos en [1, N] uede exresarse como #{ s en [1, N]} = 1 2 N c=1 ( 1 + uesto que, como ya vimos en la rueva del Corolario 16, ( 1 + ( c )) cuenta el número de soluciones a x 2 c (mód ). De modo que #{ s en [1, N]} N N 2 = ( x=1 x ( c )) ) = O ( 1/2 log ), (18) or el Teorema 23. En articular, esto imlica que si n 0 denota el mínimo residuo no cuadrático en [1, 1], entonces or definición de n 0 se tiene que #{ s en [1, n 0 ]} = n 0 1. Por tanto lo que concluye la demostración. n 0 = #{ s en [1, N]} + 1 = n O( 1/2 log ) A esar de que la demostración anterior es aarentemente sencilla, ha sido la mejor cota conocida durante mucho tiemo. No fue hasta las mejoras de Burgess ara ciertas sumas de caracteres que se consiguió mejorar el resultado de Vinogradov obteniendo n ɛ 1/(4+ e)+ɛ. Sin embargo se conjetura que el mínimo residuo cuadrático aarece bastante antes, más concretamente ara todo ɛ > 0 se cree que n ɛ log 1+ɛ. Para el lector interesado, en [1] los autores utilizan una nueva estrategia ara atacar el roblema y rueban condicionalmente n log 1, Distribución untos en la hiérbola modular Consideremos la hiérbola modular H = {(x, y) F 2 : xy 1 (mód )}. El hecho de que exista mucha cancelación entre los términos en las sumas de Kloosterman K(ϕ a, ϕ b ) = (x,y) H e 2πi(ax+by)/ 16

17 nos hace sosechar que los untos en H deberían estar armoniosamente distribuídos en F 2. Estudiaremos cómo los untos en H se distribuyen en cajas B = [h+1, h+n] [t+1, t+m]. Teorema 29. El número de untos de la hiérbola H con coordenadas en una caja B cumle H B = B + O( 1/2 log 2 ). Recordemos que la cota trivial en este caso es B 1/2, ya que ara cada x [h + 1, h + N] existe a lo sumo un unto en la hiérbola y lo mismo sucede ara cada y [t + 1, t + M]. De hecho, si B = o( log 4 ) la cota obtenido es eor que la trivial y si B 3/2 log 2 entonces el resultado anterior nos da la asintótica H B B /. Puntos en la hiérbola xy 1 (mód 7843) Tal y como arece en la figura anterior, los untos en esta ecuación se encuentran equidistribuidos en los residuos [0, 1] [0, 1]: aunque claramente se arecia en la figura las simetrías roias de la ecuación, si nos fijamos en una región cualquiera (una caja, or ejemlo) entonces el número de untos con coordenadas en dicha región coincide con el número eserado. Demostración. Recordemos que a artir de la fórmula (10) odemos codificar el número de untos en la hiérbola con coordenadas en una caja B = [h + 1, h + N] [t + 1, t + M] de la siguiente forma H B = 1 2 h+n ϕ,η xy 1 () u=h+1 = H B ϕ(x)ϕ(u) h+m v=t+1 (ϕ,η) (ϕ 0,ϕ 0) xy 1 () u=h+1 η(y)η(v) h+n ϕ(x)ϕ(u) h+m v=t+1 η(y)η(v) (19) donde la última suma en (19) se toma sobre arejas de caracteres aditivos (ϕ, η) (ϕ 0, ϕ 0 ) en F, aunque sí uede incluir arejas en las que uno de ellos es trivial. Así, teniendo en cuenta que las sumas de Kloosterman se ueden reescribir como K(ϕ, η) = ϕ(x)η(y) xy 1 () 17

18 reordenando la suma en (19) se tiene H B H B = (ϕ,η) (ϕ 0,ϕ 0) máx K(ϕ, η) 2 ( h+n K(ϕ, η) ϕ h+n u=h+1 u=h+1 ϕ(u) )( h+m ϕ(u) η h+m v=t+1 v=t+1 η(v) η(v)) 1/2 log 2 (20) uesto que del Teorema 21 se sigue que K(ϕ, η) 2 1/2 y de la Proosición 13 ϕ h+n u=h+1 ϕ(u) log (y de igual modo ara la suma en η). Teniendo en cuenta que H = 1 se tiene a artir de (20) que H B = B B 2 + O( 1/2 log 2 ) lo que concluye la demostración, dado que or definición B 2. Nótese que utilizando las cotas en la sección 3.5 se ueden obtener, siguiendo las líneas de la demostración anterior, resultados análogos ara ecuaciones más variadas. Para ver una discusión general sobre la alicación de esta estrategia en conjuntos más generales, así como ara una mejora del término de error consúltense [3] Fenómeno suma-roducto en cueros rimos Para un conjunto finito de enteros A Z, odemos definir sus conjuntos suma y roducto A + A = {n Z : n = a + a con a, a A}, A A = {n Z : n = aa con a, a A}. Si A es una rogresión aritmética entonces es sencillo comrobar que A + A = 2 A 1; de hecho el reverso es cierto también. De manera análoga, A es una rogresión geométrica si y sólo si A A = 2 A 1. En 1983, Erdős y Szemerédi que ara conjuntos de enteros el conjunto suma y conjunto roducto no odían ser grandes al mismo tiemo. Más concretamente. Conjetura 30 (Erdős-Szemerédi). Para todo conjunto A Z finito y ara ɛ > 0, máx ( A + A, A A ) ɛ A 2 ɛ. Los roios Erdős y Szemerédi [4] robaron que existe δ > 0 tal que ara todo A Z máx ( A + A, A A ) A 1+δ. La mejor cota se debe a Solymosi [9], que en 2009 demostró que uno era caaz de tomar δ < 1/3. En este caso nos vamos a centrar en el roblema análogo en cueros rimos. En F el roblema es un oco distinto: en articular, si A es un conjunto muy grande (or ejemlo 100) entonces no uede crecer mucho ni bajo adición ni multilicación, ya que está restringido or el cardinal del cuero ambiente. Para oder demostrar cualquier fenómeno suma-roducto en un cuero finito, hace falta suoner que el cardinal de A no sea del mismo orden que. El rimer resultado en esta dirección es relativamente reciente [2]. Teorema 31 (Bourgain-Katz-Tao). Sea un rimo. Para todo δ > 0 existe un ε = ε(δ) > 0 tal que ara todo A F con δ < A < 1 δ se tiene máx ( A + A, A A ) A 1+ε. 18

19 Poco desués, Bourgain y Konyagin quitaron la condición A > δ. No daremos los detalles de la rueba (que es larga y técnica), ero sin embargo robaremos otro resultado debido a Garaev [5] que mejora el anterior en ciertos rangos del tamaño de A. Por suerte ara nosotros la demostración de Garaev sólo emlea sumas de caracteres y es sorrendentemente sencilla. Teorema 32 (Garaev). Sea un rimo y A F, entonces máx ( A + A, A A ) ( A, A 2 ) mín. Nótese que el resultado es eor que trivial si A 1/2, ero de hecho es ótimo ara todo A > 2/3. Demostración. Sin érdida de generalidad odemos asumir que 0 / A. Definimos el conjunto J = {(x, a 1, a 2, y) (A A) A A (A + A) : xa a 2 = y}, y observamos que ara todo (a 1, a 2, a 3 ) A 3 se tiene que (a 1 a 3, a 1, a 2, a 3 + a 2 ) J, de donde J A 3. Así A 3 J = 1 1 b=0 x AA a 1,a 2 A y A+A A A A 2 A + A Se sigue del Teorema 14 que máx ϕ ϕ 0 b=1 ϕ b ( xa a 2 y ) x AA a 1 A x AA a 1 A ( ) ϕ b xa 1 1 ϕ(xa 1 1 ) A A A, a 2 A y A+A ϕ b (a 2 y). (21) y ara la segunda suma en (21) utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene a 2 A y A+A ( ϕ b (a 2 y) ϕ b (a 2 ) 2) 1/2( a 2 A Combinando estas estimaciones con (21) se tiene A A A A + A + y A+A A A A + A A ϕ b ( y) 2) 1/2 A A + A. de donde se obtiene que A + A A A mín ( A, A 4 / ). Referencias [1] J. Bober y L. Goldmakher, Pólya-Vinogradov and the least quadratic nonresidue. arxiv: [2] J. Bourgain, N. Katz y T. Tao, A sum-roduct estimate in finite fields and alications. Geom. Funct. Anal. 14 (2004), no. 1, [3] J. Cilleruelo y A. Zumalacarregui, Saving the logarithmic factor in the error term estimates of some congruence roblems, rerint. [4] P. Erdős y E. Szemerédi, On sums and roducts of integers. Studies in ure mathematics, , Birkhäuser, Basel,

20 [5] M. Z. Garaev, The sum-roduct estimate for large subsets of rime fields, Proc. Amer. Math. Soc. 136 (2008), no. 8, [6] M. Z. Garaev, Sumas trigonometricas y congruencias aditivas, Gac. R. Soc. Mat. Es. 12 (2009), no. 1, [7] K. Ireland y M. Rosen, A classical introduction to modern number theory. Graduate Texts in Mathematics, 84. Sringer-Verlag, New York, [8] H. Iwaniek y E. Kowalski, Analytic number theory. American Mathematical Society, Providence, RI, [9] J. Solymosi, Bounding multilicative energy by the sumset, Adv. in Math. 222 (2009), [10] R. Lidl y H. Niederreiter, Finite fields. Encycloedia of Mathematics and its Alications, 20. Addison-Wesley Publishing Comany, Reading, MA,