Solución de la Ecuación Cúbica. Discusión de la Fórmula detartaglia-cardano.

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1 Solución de la Ecuación Cúbica. Discusión de la Fórmula detartaglia-cardano. Alvaro H. Salas Universidad de Caldas Universidad Nacional de Colombia-sede Manizales FIZMAKO Research Grou Gonzalo Escobar Lugo Universidad Distrital Francisco José de Caldas Universidad Cooerativa de Colombia Gruo Cibavir. jogoel@gmail.com 1 Introducción. El roblema a tratar es la resolución de la ecuación cúbica general ax + bx + cx + d = 0, a 6= 0 (1) con coe cientes reales o comlejos. En el comienzo del siglo XVI los números comlejos no existían como tales. Una ecuación con soluciones comlejas era considerada una ecuación sin soluciones. De hecho este caítulo de la historia es fundamental en la acetación de los números comlejos en la matemática. El análisis ue mostramos a continuacion es una ligera modi cación de lo desarrollado or Girolamo Cardano ( ) y está basado en el trabajo revio de Nicolo Tartaglia ( ). La sustitución b x = z () a convierte la ecuación (1) en la forma z + z + = 0; () en donde = ac b y = b 9abc + 7a d : (4) a 7a La ecuación () se conoce como ecuación cúbica reducida. Su solución en radicales viene dada or la famosa fórmula de Tartaglia-Cardano s r s r z = : (5) La exresión = (6)

2 recibe el nombre de discriminante de la ecuación cúbica reducida (). En 1545 fue ublicado el clásico libro de Cardano Ars Magna en el cual aareció la fórmula (5) y el método de solución. En virtud de esta obra y de una gran disuta entre Tartaglia y Cardano, la fórmula ara la solución de la ecuación cúbica lleva or nombre fórmula de Cardano. Pretendemos realizar una discusión detallada de la fórmula (5). Consideraremos algunos casos articulares a manera de ilustración. Preliminares Sea un número comlejo, = x + iy. Si 6= 0 su reresentación olar es = (cos + i sin ); en donde = jj = x + y es el módulo o valor absoluto de y = arg es el argumento de, el cual se uede calcular or la fórmula! = arg = tan 1 y x + si y 6= 0 o x > 0: (7) x + y = arg = si y = 0 y x < 0: (8) Si = 0, sus raíces cuadradas, al igual ue sus raíces cúbicas, son todas iguales a cero. Si 6= 0, las raíces cuadradas de vienen dadas or 1; = (cos + i sin ): En efecto, (z 1 )(z ) = (z (cos + i sin ))(z + (cos + i sin )) = z (cos + i sin ) = z (cos + i sin ) = z ; de donde resulta ue 1; son las soluciones de la ecuación z =, o sea, son las raíces cuadradas de. A la raíz comleja (cos + i sin ) se le llama valor rincial de la raíz cuadrada de. Cabe anotar ue si 0 es una raíz cuadrada comleja de, entonces la otra raíz es 0. En articular, z = z ara todo comlejo z: (9) Las raíces cúbicas de la unidad son las soluciones de la ecuación z = 1. Estas son 1;! = 1 + i y! = 1 i : (10) Estas raíces satisfacen las relaciones! +! =! +! = 1,! =! 1,! n+1 =!,! n+ =! ;! n = 1: (11) De otro lado, si = (cos + i sin ), al número comlejo + = cos + i sin (1)

3 se le denomina raíz cúbica rincial de. Las raíces cúbicas de son 1 = +, =! + y =! + : (1) En efecto, utilizando las relaciones (11), junto con el hecho de ue u = obtenemos (z 1 )(z )(z ) = (z 1 )(z ( + )z + ) = (z 1 )(z (! +! ) 1 z +! 1 ) = (z 1 )(z + z 1 + 1) = z 1 = z ; lo cual nos dice ue 1, y son las soluciones de la ecuación z =, es decir, son las raíces cúbicas de. Solución de la Cúbica Reducida Emecemos considerando la identidad x + y + z xyz = (x + y + z)(x + y + z xy xz yz) (14) ue también uede escribirse en la forma x + y + z xyz = (z + x + y)(z +!x +! y)(z +! x +!y) (15) en donde! es la raíz cúbica de la unidad de nida or (10). En efecto, observemos ue! = 1;! 4 =!! =! y ue! +! = lo tanto, 1: Por (!x +! y)(! x +!y) =! x + (! +! 4 )xy +! y = x + (! +!)xy + y = x xy + y : Por lo tanto, (z +!x +! y)(z +! x +!y) = z + (!x +! y +! x +!y)z + x xy + y = z + ( x y)z + x xy + y = x + y + z xy xz yz: Hagamos x = u y y = v en (15) : z uvz +( u v ) = (z (u+v))(z (!u+! v))(z (! u+!v)): (16) La identidad (16) nos dice ue las solucuiones de la ecuación cúbica z + ( uv)z + ( u v ) = 0; (17) son z 1 = u + v, z =!u +! v y z =! u +!v: (18) Por lo tanto, si comaramos la ecuación (17) con la ecuación z + z + = 0 (19)

4 vemos ue si u y v satisfacen el sistema u + v = uv = : : ; (0) entonces las soluciones de la ecuación cúbica reducida (19) vienen dadas or (18). A artir del sistema (0) se obtiene el sistema u + v = : u v = : ; (1) 7 cuyas soluciones u y v son las raíces de la ecuación cuadrática t + t 7 = 0; () llamada resolvente de la ecuación (19). Las soluciones de la ecuación () vienen dadas or = r y = r : () A artir de las fórmulas () Tartaglia llega a la fórmula (5) tomando como solución z = +. Sin embargo, or cuanto estamos trabajando con números comlejos arbitrarios, ara cada una de las dos raíces cúbicas en (5) tenemos tres osibilidades, lo ue nos lleva a ensar en nueve soluciones. Esto es consecuencia de elevar al cubo la segunda de las ecuaciones del sistema (0), con lo cual introducimos soluciones extrañas. Cabe resaltar ue u y v deben ser soluciones del sistema (0) y las soluciones de (1) deben escogerse de a ares, de modo ue uv = : Para hallar las tres soluciones basta con encontrar tan solo una solución del sistema (0). Procedemos como sigue. En las fórmulas () consideramos ue es una de las raíces cuadradas del número comlejo + : 4 7 Los números comlejos y dados en () satisfacen la condición = 7, o bien, = 7: (4) Anotemos ue si = 0 y = 0, entonces odemos tomar u = v = 0 y en este caso la formula (5) roorciona la solución z = u + v = 0: Las soluciones de la ecuación (19) son z 1 = z = z = 0: Por consiguiente, suondremos ue 6= 0 o bien 6= 0: Suongamos ue 6= 0. Sea u cualuiera de las raíces cúbicas de ; de modo ue u = : Por cuanto = =7 6= 0, es claro ue 6= 0, luego u = 6= 0: De nimos u = 6= 0 y v = u. (5) Sea = 0: En este caso 6= 0 y en las fórmulas () tomamos, de modo ue = y = 0:De nimos =

5 u = = 6= 0 y v = = 0: (6) u A rmamos ue la areja (u; v) de nida en cada caso or a (5)-a (6) es una solución del sistema (0). En efecto, sea 6= 0. Es evidente ue uv = : De otro lado, según (4) y (5), v = 7u = 7 7 = : El cálculo anterior nos dice ue v es una de las raíces cúbicas de. Además, u + v = + = : De esta manera, una solución de la ecuación (19) es z = u + v = + y la fórmula (5) es válida. Suongamos ahora ue = 0: Es claro ue uv = 0 = :De otro lado, según (6), u + v = + 0 = : Cabe observar ue en este caso la fórmula (5) también es válida. En efecto, z = u + v = + 0 = +. Conluimos ue la fórmula (5) es válida en el sentido como la hemos interretado en cada uno de los casos 6= 0 o = 0. De esta manera, si jj+jj 6= 0, las soluciones de la ecuación cúbica reducida (19) vienen dadas or (18), en donde u y v se calculan or medio de las fórmulas (5) si 6= 0 y (6) si = 0: Ejemlo 1. Resolver la ecuación ix + x + (i 1)x + 4 = 0: (7) Esta es una ecuación cúbica de la forma ax + bx + czx + d = 0 con a = i = 1, b =, c = i 1 y d = 4. Hagamos la sustitución x = z b a = z + i: Obtenemos la siguiente ecuación cúbica reducida z + (4 + i)z i = 0: (8) Esta ecuación es de la forma x + x + = 0 com = 4 + i y = 1 + 6i. Tenemos = + r De acuerdo con las fórmulas en en (5), 0: : i: u = 0: : i, v = 5 1: : i

6 A artir de (18) vemos ue las soluciones de la ecuación (8) vienen dadas or z 1 = u + v 0: : i: z =!u +! v 0: :557058i: z =! u +!v 0: : i: Las soluciones de la ecuación (7) se obtienen de las anteriores mediante la ecuación x = z + i. Estas son x 1 = z 1 + i 0: : i x = z + i 0: : i: x = z + i 0: : i: 4 Ecuación cúbica reducida con coe cientes reales. Consideremos la ecuación cúbica reducida z + z + = 0; (9) en donde y son números reales cualesuiera. Su discriminante es Consideremos tres casos. = : (0) Discriminante ositivo : > 0: Las soluciones o raíces de la ecuación (9) son z 1 = u + v; z =!u +! v y z =! u +!v; en donde r u = + y v = r u = : (1) En las fórmulas (1) las raíces involucradas son las raíces aritméticas. Escogemos de modo ue u 6= 0: Observemos ue u + v =, uv = =, es decir, la areja (u; v) es una solución del sistema (0). Además, u 6= v. En este caso tenemos una raíz real y dos raíces comlejas conjugadas : z 1 = u + v: () 1 z = (u + v) + 1 (u v) i. () 1 z = (u + v) 1 (u v) i : (4) Discriminante nulo : = 0: Las soluciones son z 1 = u + v; z =!u +! v y z =! u +!v; 6

7 en donde u = v = r : Es decir, tenemos tres soluciones reales, dos de ellas iguales : z 1 = 4; z = z = r. (5) Discriminante negativo (llamado caso irreducible) : < 0: Necesariamente, < 0. En este caso, las tres raíces son reales y distintas. En efecto, sea = + i, r = jj = r, = arg, = jj (cos + i sin ): 7 (6) Por cuanto = + < 0, entonces <, de donde < , luego < 0, es decir, + r = + > 0:Esto nos ermite calcular or medio de la fórmula (0) de la siguiente manera : = ', ' = tan 1 0; : (7) + r Esta escogencia garantiza ue ue 0 < < 180 =. De nimos la areja (u; v) como sigue : u = r(cos + i sin ), v = jj(cos i sin ). (8) Los cálculos muestran ue u + v = r cos = Re = = y uv = r (cos + sin ) = r= =! 1= = = 7 : Por lo tanto, (u; v) de nida or (8) es una solución del sistema (0) y las soluciones se calculan según las fórmulas (18) así : z 1 = u + v = r cos > 0. (9) z = 1 (u + v) + 1 (u v) i = r( cos + sin ) = r cos + : (40) z = 1 (u + v) 1 (u v) i = r( cos sin ) = r cos : (41) 7

8 4.1 Signo raíces reales de la cúbica reducida. Del análisis realizado concluimos ue toda ecuación cúbica reducida con coe cientes reales osee al menos una raíz real. Por lo tanto, toda ecuación cúbica con coe cientes reales osee al menos una raíz real. Estudiemos el signo de las raíces de la cúbica reducida deendiendo del signo del discriminante. A) > 0. Tenemos una raíz real r y dos comlejas conjugadas. Por cuanto el roducto de las raíces de la ecuación z +z + = 0 es igual a, concluimos ue r es ositiva si < 0 y negativa si > 0. Si = 0, entonces r = 0: B) = 0. Tenemos tres raíces reales, dos de ellas iguales, dadas or 4 y. Si > 0 tenemos dos raíces ositivas iguales a y una negativa igual a 4. Si < 0 tenemos dos raíces negativas iguales a y una raíz ositiva igual a 4. Si = 0, las tres raíces son iguales a cero (soluciones nulas). C) < 0. En este caso las tres raíces son reales y siemre existe una raíz ositiva, la cual se uede calcular or la fórmula (9). Entre las otras dos raíces, al menos una es negativa, ya ue si ambas fueran ositivas, la suma de las tres raíces sería ositiva, lo cual es imosible, ya ue siendo z 1, z y z las raíces de la cúbica reducida z + z + = 0, entonces z 1 + z + z = 0: Examinemos con cuidado el signo de las raíces de nidas or las fórmulas (40) y (41). Si 0 < < 90, es decir, < 0, entonces de lo cual y < + < 5 6 y < < ; = cos > cos > cos = 6 1 = cos < cos < cos = 0: Es claro de (40) y (41) ue r < z < r < z < 0 < z 1 < r: Tenemos dos raíces negativas y una ositiva. Si 90 < < 180, es decir, > 0, entonces de lo cual y 5 6 < + < y < < 6 ; 5 + = cos > cos > cos () = 1 0 = cos < cos < cos = 6 : 8

9 Es evidente de (40) y (41) ue r < z < r < 0 < z < r < z 1 < r: Tenemos dos raíces ositivas y una negativa. Si = 90, es decir, = 0, entonces z 1 = r, z = r y z = 0. Evidentemente, z < 0 = z < z 1. Tenemos una raíz ositiva, una negativa y una nula. Concluimos ue toda ecuación cúbica reducida con discriminante negativo osee al menos una raíz ositiva y al menos una negativa. Además, las tres raíces son distintas, siendo z 1 la mayor y z la menor de ellas, de modo ue z < z < z 1, en donde z 1, z y z se calculan or las fórmulas (9), (40) y (41). Cualuier ecuación cúbica ax + bx + cx + d = 0, a 6= 0 (4) con coe cientes reales a, b, c y d osee al menos una raíz real. El discriminate de esta ecuación es = 4b d b c 18abcd + a (7ad + 4c ) 108a 4 : (4) A esta exresión se llega artiendo de las fórmulas (4) y (6). Suongamos ue a, b, c y d son números reales. Si > 0 tenemos una raíz real y dos comlejas conjugadas. Si < 0 las tres raices son reales y distintas. Si = 0 las tres raíces son reales y dos de ellas son iguales. La versión generalizada de la fórmula de Tartaglia-Cardano es x = r b 9abc + 7a d 54a + + r b 9abc + 7a d 54a b a : (44) Si x 1, x y x son las raíces de la ecuación (4), entonces x 1 x x = d. a Si d 6= 0; entonces una de las raíces reales es de signo contrario al de d: a En efecto, suongamos ue todas las raíces son reales. Si d > 0, entonces a x 1 x x < 0 y al menos una de ellas es negativa, mientras ue si d < 0, a entonces x 1 x x > 0 y al menos una de ellas es ositiva. Si hay exactamente una raíz real, entonces las otras dos son comlejas conjugadas y su roducto es ositivo, luego el roducto x 1 x x = d tiene el mismo signo ue el de a la raíz real, lo cual nos dice ue esta es ositiva si d < 0 y es negativa si a d > 0: a Ejemlo. Resolver la ecuación x + x x 90 = 0: (45) La sustitución x = z 1 convierte la ecuación (45) en z 5z 66 = 0: (46) 9

10 Esta ecuación es de la forma (45) con = 5 y = 66. Su discrminante es = 1778 > 0: 7 Por lo tanto, tenemos una raíz real y dos comlejas conjugadas. Alicando la fórmula de Tartaglia-Cardano (5) vemos ue la solución real es z = u + v, en donde u = r r 6 y v = 8 6: (47) 9 De otro lado, es fácil ver ue z = 6 es una solución de la ecuación (45), con lo cual resulta la curiosa igualdad r + 8 r = 6: 9 9 Las otras dos soluciones se obtienen haciendo uso de () y (4). Sin embargo, es más fácil calcularlas teniendo en cuenta ue z 5z 66 = (z 6)(z +6z+11): Estas se obtienen resolviendo la ecuación z +6z+11 = 0, cuyas soluciones son i. De esta manera, las soluciones de la ecuación (45) son x 1 = 5; x = 4 + i y x = 4 + i. 5 La sustitución de Vieta La ecuacion cúbica reducida tambien se uede resolver mediante la siguiente sutitucion debida a Vieta: z = u Esta sustitucion convierte la ecuación (9) en Al resolver esta ecuacion con resecto a u resulta, w 6= 0: (48) u u + = 0: (49) 7u u = r : (50) El signo + o se escoge de manera ue resulte u 6= 0: Esto siemre es osible cuando jj + jj 6= 0: De esta manera, s r u = y llegamos a los mismos resultados obtenidos anteriormente. 10

11 6 De la cúbica a la cuártica La ecuación cuártica es de la forma Ax 4 + Bx + Cx + Dx + E = 0, A 6= 0: (51) Mediante la sustitución se llega a la ecuación x = z B A (5) z 4 + 8AC B z + 8A D 4ABC + B z+ 56A E 64A BD + 16AB C B 4 = 0: 8A 8A 56A 4 (5) Por lo tanto, basta resolver la ecuación z 4 + az + bz + c = 0: (54) con coe cientes reales o comlejos a, b y c. La ecuación (54) recibe el nombre de ecuación cuártica reducida. Como veremos, su solución se reduce a la solución de cierta ecuación de tercer grado, llamada su resolvente cúbica. Para emezar, consideremos el olinomio P (z) = [z "(u+v+w)][z "(u v w)][z "(v u w)][z "(w u v)], " = 1: (55) Exandiendo el roducto en (55) llegamos a la exresión P (z) = z 4 u + v + w z 8"uvwz+[u 4 +v 4 +w 4 u v + u w + v w ], " = 1: (56) De (55) y (56) es evidente ue las soluciones de la ecuación cuártica reducida z 4 u + v + w z 8"uvwz+[u 4 +v 4 +w 4 u v + u w + v w ] = 0, " = 1: (57) son z 1 = "(u+v+w), z = "(u v w), z = "(v u w), z 4 = "(w u v), " = 1: (58) Si comaramos las ecuación (54) con la ecuación (57), vemos ue (58) son las soluciones de la ecuación (54) siemre y cuando Sea 8 < : (u + v + w ) = a: 8"uvw = b: u 4 + v 4 + w 4 (u v + u w + v w ) = c: (59) = 4 u + v + w, = 16 u v + u w + v w y = 64u v w : (60) Observemos ue u 4 +v 4 +w 4 u v + u w + v w = (u +v +w ) 4(u v +u w +v w ); (61) 11

12 luego u 4 + v 4 + w 4 u v + u w + v w = 16 4 : (6) Elevando al cuadrado la segunda de las ecuaciones del sistema (59) y haciendo uso (60) y (6), junto con el hecho de ue " = 1; obtenemos el sistema 8 >< = a: = b : >: 16 4 = c: Resoviendo este sistema con resecto a, y resulta (6) = a, = a 4c, = b : (64) Consideremos la ecuación (x 4u )(x 4v )(x 4w ) = 0: (65) Es evidente ue las soluciones de (65) son 4u, 4v y 4w. De otro lado, (x 4u )(x 4v )(x 4w ) = x x +x = x +ax +(a 4c)x b : (66) Por lo tanto, las cantidades 4u, 4v y 4w se obtienen resolviendo la ecuación x + ax + (a 4c)x b = 0 (67) llamada resolvente cúbica de la ecuación cuártica (54). Sean x 1, x y x las soluciones de la ecuación (67). De nimos u = 1 x1, v = 1 x y w = 1 x : (68) En la fórmulas (68) escogemos el valor rincial de las raíces cuadradas de los números x 1, x y x. Ahora debemos encontrar una solución del sistema (59). Por cuanto en los sistemas (59) y (6) la rimera y tercera ecuaciones son euivalentes, entonces debemos escoger " de modo ue se satisfaga la ecuación 8"uvw = b. Tenemos : (8uvw) = ( x 1 x x ) = x 1 x x = b ; luego 8uvw = b: Si 8uvw = b, tomamos " = 1. Si 8uvw = b hacemos " = 1. Por lo tanto las soluciones de la ecuación (54) son 8 < z 1 = 1( x 1 + x + x ), z = 1( x 1 x x ): : z = 1( x x1 x ), z 4 = 1( x x1 x ) si x1 x x = b: y 8 < : z 1 = 1 ( x 1 + x + x ), z = 1 ( x 1 x x ): z = 1 ( x x1 x ), z 4 = 1 ( x x1 x ) 1 si (69) x1 x x = b; (70)

13 en donde x 1, x y x son las soluciones de la ecuación x + ax + (a 4c)x b = 0: Las fórmulas (69)-(70) se denominan fórmulas de Euler. Ellas son de utilidad ara investigar el carácter de las raíces en el caso de una ecuación cuártica reducida con coe cientes reales. Ejemlo. Resolver la ecuación x 4 4x + 7x + = 0: (71) Haciendo x = z + 1 se obtiene la siguiente cuártica reducida : z 4 6z z + 6 = 0: (7) La resolvente cúbica (67) se obtiene con a = : 6, b = 1 y c = 6 : x 1x + 1x 1 = 0: (7) Dado ue x 1x + 1x 1 = (x 1) (x 11x + 1), las soluciones de la resolvente cúbica son Usando la identidad a b = obtenemos x 1 = 1, x ; = , x = 11 s a + a b s a a 1. x1 = 1, r 11 x ; = 1 1 =, b, a b 0, b > 0: (74) de donde x 1 x x = 1 = b: Las soluciones de la cuártica reducida (7) vienen dadas or (69) y son z 1 = 1 + 1, z = 1 1, z = 1, z 4 = : (75) Finalmene, las soluciones de la ecuación (71) resultan de la ecuación x = z + 1 y son x 1 = + 1, x = 1, x =, x 4 = 1: Cabe anotar ue la ecuación (67) se uede resolver fácilmente or medio de la división sintética, la cual nos da la descomosición x 4 4x + 7x + = (x ) (x + 1) x x 1 : Sin embargo, este ejemlo es de carácter ilustrativo y tiene or objetivo mostrar la validez de las fórmulas (69)- (70). 1

14 7 Ecuación cuártica con coe cientes reales En esta sección estudiaremos el carácter de las soluciones de la ecuación cuártica reducida z 4 + az + bz + c = 0; (76) en donde a, b y c son números reales con b 6= 0: La ecuación cúbica resolvente es x + ax + (a 4c)x b = 0: (77) Suongamos ue las raíces de la ecuación (77) son x 1, x y x. Un cálculo directo nos da (z 1 z )(z 1 z )(z 1 z 4 )(z z )(z z 4 )(z z 4 ) = (x 1 x )(x 1 x )(x x ); (78) en donde z 1, z, z y z 4 son las raíces de la ecuacvión (76). Además, es curioso el hecho de ue (x 1 x ) (x 1 x ) (x x ) = 108; (79) en donde es el discriminante de la resolvente cúbica (77) dado or = 1 7b 4 + 4a a 6c b 16c a 4c : (80) 108 La igualdad (79) se obtiene a artir de las fórmulas de Vieta: 8 x 1 + x + x = a: >< x 1 x + x 1 x + x x = a 4c: >: x 1 x x = b : Las igualdades (78) y (79) nos ermiten de nir el discriminante de una cúbica con raíces x 1, x y x y el de una cuártica raíces z 1, z, z y z 4 de la siguiente manera : y D(x 1 ; x ; x ) = (x 1 x ) (x 1 x ) (x x ) (81) D(z 1 ; z ; z ; z 4 ) = (z 1 z ) (z 1 z ) (z 1 z 4 ) (z z ) (z z 4 ) (z z 4 ) : (8) De hecho, algunos autores de nen de esta manera un discriminante. Desde este unto de vista, odemos decir ue la cuártica reducida (76) y su resolvente cúbica (77) oseen el mismo discriminante. Observemos ue y D(x 1 ; x ; x ) tienen signos ouestos, a menos ue uno de ellos sea igual a cero. Según estas de niciones, una ecuación osee una raíz doble si su discriminante es cero. Esto es cierto, or ejemlo, ara la cúbica reducida. Ahora bien, dada una ecuación de cuarto grado (51) con coe cientes reales, el carácter (real o comlejo) de sus soluciones es el mismo ue el de su cuártica reducida asociada (5), ya ue las soluciones de estas ecuaciones se relacionan mediante la ecuación (5). 14

15 7.1 Carácter de las soluciones de una cuártica reducida. Como vimos en la sección anterior, las soluciones de la ecuación (76) se calculan mediante las fórmulas de Euler (69)- (70), en donde x 1, x y x son las soluciones de la ecuación (77). Consideraremos dos osibilidades : b 6= 0 y b = 0. A) b 6= 0: Dado ue x 1 x x = b > 0, entonces no todos los números x 1, x y x ueden ser negativos. Si x 1, x y x son números reales, entonces o todos son ositivos o uno de ellos es ositivo y los otros dos son negativos. Si alguno de estos números no es real, entonces dos de ellos son comlejos conjugados y el tercero es un número real ositivo. En efecto, si x y x son los dos comlejos conjugados, entonces x x > 0, luego x 1 = b x x > 0. Examinemos cada uno de estos casos. Primer Caso < 0 (D(x 1 ; x ; x ) > 0): x 1, x y x son números reales. Si todos ellos son ositivos, las fórmulas de Euler (69)- (70) nos dicen ue las soluciones de la ecuación (76) son reales y en virtud de (78) y (79), dichas soluciones son mutuamente distintas.e. En caso contrario, uno de ellos es ositivo y los otros dos son negativos. De las fórmulas de Euler se sigue ue las soluciones de la ecuación son comlejas y conjugadas de a ares. Segundo Caso = 0 (D(x 1 ; x ; x ) = 0): Si los números x 1, x y x son ositivos, entonces las soluciones de la ecuación (76) son reales y según (78) y (79) al menos dos de ellas son iguales. Si x 1 = x = x > 0, entonces todas las raíces son reales y tres de ellas son iguales (existe una raíz trile). Si no todos los números x 1, x y x son ositivos, entre ellos hay uno ositivo y dos negativos e iguales, digamos x 1 > 0, x = x < 0. Las fórmulas de Euler nos dicen ue hay dos soluciones de la ecuación (76) ue son comlejas y conjugadas y las otras dos son reales e iguales (existe una raíz doble). Tercer Caso > 0 (D(x 1 ; x ; x ) < 0): Entre los números x 1, x y x hay uno ositivo y dos comlejos conjugados, digamos x 1 = > 0, x = +i y x = i. Las fórmulas de Euler (69)- (70) nos roorcionan dos raíces reales y dos comlejas conjugadas. B ) b = 0: La cuártica reducida (76) y su resolvente cúbica toman la forma z 4 + az + c = 0 (8) y x + ax + (a 4c)x = 0: (84) El discriminante de la ecuación (84) es = 4c (a 4c) : 7 (85) 15

16 Las raíces de la ecuación (8) son x 1 = a + c, x = a c y x = 0: A artir de las fórmulas de Euler (69) vemos ue las soluciones de la ecuación (8) son 8 < z 1 = 1( a + c + a c), z = 1( a + c a c); : z = 1( a + c a c), z4 = 1( a + c + a c): (86) Estas soluciones también se obtienen directamente resolviendo la ecuación (8) como una cuadrática en z : s a a z 1;;;4 = 4c : (87) Estudiaremos tres casos. Primer Caso. < 0. De (85) se sigue ue c > 0 y a 4c 6= 0. Si a 4c < 0, entonces de las fórmulas (87) nos dan cuatro soluciones comlejas conjugadas de a ares. Si a 4c > 0 tenemos cuatro soluciones reales cuando a > 0 y cuatro comlejas conjugadas de a ares si a < 0. Segundo Caso. = 0. Si c = 0 obtenemos una raíz doble igual a cero ( z = z = 0) y las otras dos raíces son z 1 = a y z 4 = a. Estas raíces son reales y distintas si a < 0; son imaginarias y distintas si a > 0; son reales e iguales a cero si a = 0. Si c 6= 0, entonces a 4c = 0. Obtenemos cuatro raíces reales dobles iguales a a si a < 0 y cuatro imaginarias uras dobles iguales a a si a > 0. Si a = 0, las cuatro soluciones son reales e iguales a cero. Tercer Caso > 0. De (85) se sigue ue c < 0 y a 4c 6= 0. Las fórmulas (87) nos dicen ue hay dos soluciones comlejas conjugadas y dos soluciones reales de signo ouesto. 8 Conclusiones Hemos descrito con detalle el método de solución de una cúbica y una cuártica con coe cientes reales o comlejos siguiendo la idea de artir en cada caso de una ecuación con soluciones de antemano conocidas, tratando de mostrar de manera natural el uso de la heurística, la cual es válida como herramienta ara descubrir cosas en la matemática. La solución de la cúbica está insirada en el método de solución de la cuártica dado or Leonard Euler en sus Elementos de Algebra [1]. Las fórmulas de Euler (69)- (70) ara la resolución de la cuártica reducida nos ermiten describir el carácter de las soluciones de una cuártica reducida de manera sencilla y elegante or medio de las soluciones de su resolvente cúbica. Además, estas mismas fórmulas, junto con las fórmulas devieta, nos sirven ara darnos cuenta ue el discriminante de la cuártica reducida coincide con el discriminante de su resolvente cúbica. Las fórmulas de Vieta nos llevaron 16

17 a la de nición alternativa de discriminante dada or algunos autores en tratados de álgebra. Obviamente, existen otros métodos ara resolver estas ecuaciones [][][4][5]. En este trabajo nos esforzamos en mostrar con detalle los rocedimientos ara llegar a la solución y analizar el carácter de las raíces, en el caso de ecuaciones cúbicas y cuárticas con coe cientes reales. Un estudio más avanzado de las ecuaciones algebraicas se uede encontrar en [6]. Referencias [1] L. Euler. Elements of Algebra. Royal Academy od Sciences, St Ptersburg, [] R. S. Irving. Integers, Polynomials, and Rings. Sringer Verlag, 004. [] S. Barnard, J.M. Child, Higher Algebra. Macmillan, [4] N. B. Conkwright, Introduction to the Theory of Euations. Ginn and Comany, [5] H. S. Hall, S. R. Kinght. Algebra Suerior, UTEHA, [6] G. V. Milovanovic, D. S. Mitrinovic, Th. M. Rassias. Toics in Polynomials: Extremal Problems, Ineualities, Zeros. World Scienti c,