Entre primos anda el juego

Transcripción

1 Marzo 2011 Universidad Autónoma de Madrid

2 Qué es la Teoría de Números? Conjeturas. La Teoría de Números es la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y sus propiedades. Carl Friedrich Gauss. La Matemática es la reina de las ciencias y la Teoría de Números es la reina de las Matemáticas.

3 Conjeturas. La Teoría de Números está plagada de conjeturas, muchas de ellas de enunciado muy simple... Existencia de números perfectos impares. Un número es perfecto si es igual a la suma de todos sus divisores positivos diferentes de sí mismo. Euclides, Euler N perfecto y par N = 2 n 1 (2 n 1) con 2 n 1 primo. Conjetura de Collatz, Para cualquier entero n > 1 se puede formar una sucesión finita {x k } que empieza con n y termina con 1 aplicando el siguiente algoritmo: { x k /2 si x k es par, x k+1 = 3x k + 1 si x k es impar....

4 Conjeturas. La Teoría de Números está plagada de conjeturas, muchas de ellas de enunciado muy simple...??? Existencia de números perfectos impares. Un número es perfecto si es igual a la suma de todos sus divisores positivos diferentes de sí mismo. N perfecto N = 2 n 1 (2 n 1) con 2 n 1 primo. Conjetura de Collatz, Para cualquier entero n > 1 se puede formar una sucesión finita {x k } que empieza con n y termina con 1 aplicando el siguiente algoritmo: { x k /2 si x k es par, x k+1 = 3x k + 1 si x k es impar....

5 Conjeturas.... y en particular la Teoría de Números Primos. Conjetura de Goldbach, Todo número par mayor que 2 es suma de dos primos. Conjetura de Legendre. Existe siempre un número primo entre n 2 y (n + 1) Algunas sobre la infinitud de determinados tipos de primos. Primos de la forma n Primos de Mersenne, 2 p 1. Parejas de primos gemelos, p = 2 + q....

6 Qué es un número primo? Un primo es aquél que es divisible sólo por él mismo y por la unidad. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100. Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo número natural mayor o igual que 2 puede ser expresado, de forma única, como producto de números primos.

7 Cuántos números primos hay? P.20 - IX Euclides c. 300 a.d.c. Hay más números primos que cualquier cantidad dada de números primos.

8 Cuántos números primos hay? P.20 - IX Euclides c. 300 a.d.c. Hay más números primos que cualquier cantidad dada de números primos. Supongamos que sólo hay una cantidad finita de números primos. 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., p.

9 Cuántos números primos hay? P.20 - IX Euclides c. 300 a.d.c. Hay más números primos que cualquier cantidad dada de números primos. Supongamos que sólo hay una cantidad finita de números primos. 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., p. n = p + 1

10 Cuántos números primos hay? P.20 - IX Euclides c. 300 a.d.c. Hay más números primos que cualquier cantidad dada de números primos. Supongamos que sólo hay una cantidad finita de números primos. 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., p. n = p + 1 n sería primo

11 Diversas observaciones sobre series infinitas Euler, 1737 Si hacemos tender a infinito la fracción , donde el numerador es el producto de todos los primos y el denominador es el producto de todos los números inferiores en una unidad a los primos, el resultado es el mismo que la suma de la serie que es ciertamente infinita.

12 Diversas observaciones sobre series infinitas Euler, 1737 (1 p 1 ) 1 = 1 n p n

13 Diversas observaciones sobre series infinitas Euler, 1737 (1 p 1 ) 1 = 1 n = x p n

14 Diversas observaciones sobre series infinitas Euler, 1737 (1 p 1 ) 1 = 1 n = x p n x = 1 n 1 2 x = 1 2n x(1 1 2 ) = 2 n 1 n

15 Diversas observaciones sobre series infinitas Euler, 1737 (1 p 1 ) 1 = 1 n = x p n x(1 1 2 ) = 2 n 1 3 x(1 1 2 ) = 2 n 1 n 1 3n x(1 1 2 )(1 1 3 ) = 2 n 3 n 1 n,... etc.

16 Diversas observaciones sobre series infinitas Euler, 1737 (1 p 1 ) 1 = 1 n = x p n El producto de Euler 1 ζ(s) = n s, n=1 ζ(s) = p (1 p s ) 1.

17 Prueba de Euler de la infinitud de los primos. ( 1 ) = = (log para Euler). p n Tomando logaritmos y usando que log(1 x) 1 x para x pequeño, se tiene 1 p log 1 n = (log log para Euler).

18 Prueba de Euler de la infinitud de los primos. ( 1 ) = = (log para Euler). p n Tomando logaritmos y usando que log(1 x) 1 x para x pequeño, se tiene 1 p log 1 n = (log log para Euler). Mertens, 1897 ( 1 ) 1 1 C log N y p p<n p<n dando sentido expĺıcito a los infinitos de Euler. 1 p log log N

19 Para qué otra demostración de la infinitud de los primos?

20 Corolario 1 (1 p s ) 1 = n s, s = 1 Se cumple (1 p 1 ) 1 = log. log es el mínimo entre todas las potencias de infinito.

21 Corolario 1 Se cumple (1 p 1 ) 1 = log. (1 p s ) 1 = n s, s = 1 Corolario 2 (1 n 2 ) 1 = 2 Los primos son infinitamente más numerosos que los cuadrados.

22 Corolario 1 Se cumple (1 p 1 ) 1 = log. (1 p s ) 1 = n s, s = 1 Corolario 2 (1 n 2 ) 1 = 2 Los primos son infinitamente más numerosos que los cuadrados. Corolario 3 (1 n 1 ) 1 =, log < Los primos son infinitamente menos numerosos que los naturales.

23 Corolario 1 Se cumple (1 p 1 ) 1 = log. (1 p s ) 1 = n s, s = 1 Corolario 2 (1 n 2 ) 1 = 2 Los primos son infinitamente más numerosos que los cuadrados. Corolario 3 (1 n 1 ) 1 =, log < Los primos son infinitamente menos numerosos que los naturales. Corolario 4 log (1 p 1 ) 1 p 1 La suma de los inversos de los primos diverge: p 1 = log log.

24 Orden en el caos. Teoría de Números. Contemplando los números primos globalmente, se observa que la proporción de primos inferiores o iguales a x disminuye, cuando x aumenta. π(x) = {p primo, p x} Legendre, 1798 π(x) para ciertas constantes A y B. x A log x + B Conjetura

25 Orden en el caos. Teoría de Números. Contemplando los números primos globalmente, se observa que la proporción de primos inferiores o iguales a x disminuye, cuando x aumenta. π(x) = {p primo, p x} Legendre, 1808 donde ĺım A(x) = 1,08366 π(x) x log x A(x) Conjetura

26 π(x) x log x Tabla2 x π(x) π(x)/x 1/ log x (π(x) log x)/x ,25 0,2171 1, ,1229 0,1086 1, ,0785 0,0724 1, ,0576 0,0543 1, ,0455 0,0434 1,0483

27 Consecuencias. Teoría de Números. Para un número natural arbitrario N, la probabilidad de que dicho número sea primo es aproximadamente 1/ log N. Alrededor de N, la distancia media entre dos números primos será log N. El n-ésimo número primo p n será de una magnitud comparable a n log n.

28 Una mejor aproximación se debe a Gauss y viene dada por el logaritmo integral. π(x) Li(x) = x 2 dt log t Tabla1 x π(x) Li(x) π(x)/li(x) , , , , ,9999

29 π(x) x/ log x Li(x)

30 Dirichlet, 1837 Prueba la conjetura de Legendre sobre la existencia de infinitos primos en una progresión aritmética.

31 Dirichlet, 1837 Prueba la conjetura de Legendre sobre la existencia de infinitos primos en una progresión aritmética. Los métodos anaĺıticos pueden ser aplicados provechosamente a problemas aritméticos!

32 Dirichlet, 1837 Prueba la conjetura de Legendre sobre la existencia de infinitos primos en una progresión aritmética. Chebychev, El Teorema de los Números Primos es equivalente a las dos afirmaciones, θ(x) x, ψ(x) x donde θ(x) = p x log p, ψ(x) = p m x log p. Obs.

33 Riemann, 1859 ζ(s) 1 s 1 = 1 + s [t] t 1 t s+1 es una función entera. dt ζ(s) se puede continuar anaĺıticamente en todo el plano, siendo entonces meromorfa, con un único polo simple en s = 1 con residuo 1.

34 Ec. Funcional Riemann π s/2 Γ(s/2)ζ(s) = π (1 s)/2 Γ((1 s)/2)ζ(1 s) Los ceros de ζ(s) con Rs < 0 son simples y están situados en s = 2, 4, 6,... mientras que el resto, los ceros no triviales, están en la banda crítica 0 Rs 1.

35 ψ(x) = 1 x s ζ (s) ds + Error 2πi (c±ir) sζ(s) Tma de los Residuos ψ(x) = x Iρ <R donde ρ recorre los ceros no triviales. x ρ ρ ζ (0) ζ(0) 1 2 log(1 x 2 ) + Error

36 Iρ <R x ρ ρ Si Rρ = 1 entonces ψ(x)/x no existiría y el teorema no sería cierto.

37 ??? HR Si Rρ α 0, ψ(x) = x + O(x α 0 log 2 x) π(x) = Li(x) + O(x α 0 log x).

38 Hadamard-Vallé Poussin, 1896 De forma independiente, establecen la existencia de una región libre de ceros. Región Idea Si 1 Rρ fuera muy pequeño entonces Iρ sería tan grande que no aparecería en la suma Iρ <R x ρ ρ

39 Hadamard-Vallé Poussin, 1896 De forma independiente, establecen la existencia de una región libre de ceros. El Teorema de los Números Primos queda demostrado! Región Idea Si 1 Rρ fuera muy pequeño entonces Iρ sería tan grande que no aparecería en la suma Iρ <R x ρ ρ

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41 Conexión entre π(x) y ψ(x). ψ(x) = n x Λ(n), Λ(n) = { log p n = p m 0 otro caso π(x) = p x Sumando por partes, 1 = 2 n x Λ(n) log n + O(x 1/2 ) π(x) Li(x) = ψ(x) x log x x ψ(t) t + 2 t log 2 t dt + O(x 1/2 ). Volver

42 Hipótesis de Riemann. Hipótesis de Riemann Los ceros no triviales de ζ tienen parte real 1/2. Si la Hipótesis de Riemann es cierta, ψ(x) = x + O(x 1/2 log 2 x) y π(x) = Li(x) + O(x 1/2 log x) obteniéndose el menor error posible al aproximar π(x) por Li(x). Volver

43 Región sin ceros. Teoría de Números. La región 1 Rs < K log( Is + 2) no contiene ceros de ζ, donde K es cierta constante. para cierta K > 0. ψ(x) = x + O(xe K log x ) Volver