Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y polinomios ortogonales

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1 Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y polinomios ortogonales B. de la Calle Ysern Dpto. de Matemática Aplicada, E.T.S. Ingenieros Industriales, Universidad Politécnica de Madrid Encuentro Iberoamericano p. 1/2

2 Aproximantes de Padé Sea f función analítica en un entorno de z 0 C y P n el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n. El polinomio de Taylor T n (f) de f en z 0 es el elemento de P n que tiene mayor orden de contacto con f en z 0. Encuentro Iberoamericano p. 2/2

3 Aproximantes de Padé Sea f función analítica en un entorno de z 0 C y P n el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n. El polinomio de Taylor T n (f) de f en z 0 es el elemento de P n que tiene mayor orden de contacto con f en z 0. Sea R n = {P/Q : gr P,Q n} el conjunto de cocientes de polinomios de grado menor o igual que n. El aproximante de Padé diagonal Π n (f) de f en z 0 es el elemento de R n que tiene mayor orden de contacto con f en z 0. Encuentro Iberoamericano p. 2/2

4 Convergencia Sea f(z) = log(1 + z) y z 0 = 0, entonces T n (f) converge uniformemente a f en compactos de { z < 1}, Encuentro Iberoamericano p. 3/2

5 Convergencia Sea f(z) = log(1 + z) y z 0 = 0, entonces T n (f) converge uniformemente a f en compactos de { z < 1}, Π n (f) converge uniform. a f en compactos de C \ (, 1]. Encuentro Iberoamericano p. 3/2

6 Convergencia Sea f(z) = log(1 + z) y z 0 = 0, entonces T n (f) converge uniformemente a f en compactos de { z < 1}, Π n (f) converge uniform. a f en compactos de C \ (, 1]. Información global de datos locales: Los aproximantes de Padé recuperan la función a partir de los coeficientes de Taylor. Encuentro Iberoamericano p. 3/2

7 Convergencia Sea f(z) = log(1 + z) y z 0 = 0, entonces T n (f) converge uniformemente a f en compactos de { z < 1}, Π n (f) converge uniform. a f en compactos de C \ (, 1]. Información global de datos locales: Los aproximantes de Padé recuperan la función a partir de los coeficientes de Taylor. Si en un entorno de z 0 (i) f se aproxima rápidamente por polinomios = f es entera. (ii) f se aproxima rápidamente por funciones racionales = f es univaluada. Encuentro Iberoamericano p. 3/2

8 Divergencia Cuidado: puede haber defecto de interpolación! q n (z)f(z) p n (z) = O((z z 0 ) 2n+1 ), z z 0. f(z) Π n (f)(z) = O((z z 0 ) 2n+1 k ), z z 0. Encuentro Iberoamericano p. 4/2

9 Divergencia Cuidado: puede haber defecto de interpolación! q n (z)f(z) p n (z) = O((z z 0 ) 2n+1 ), z z 0. f(z) Π n (f)(z) = O((z z 0 ) 2n+1 k ), z z 0. Existen funciones enteras cuyos aproximantes de Padé divergen en todo punto del plano complejo Encuentro Iberoamericano p. 4/2

10 Divergencia Cuidado: puede haber defecto de interpolación! q n (z)f(z) p n (z) = O((z z 0 ) 2n+1 ), z z 0. f(z) Π n (f)(z) = O((z z 0 ) 2n+1 k ), z z 0. Existen funciones enteras cuyos aproximantes de Padé divergen en todo punto del plano complejo No hay resultados generales de convergencia debido a la posible aparición de polos espurios. Encuentro Iberoamericano p. 4/2

11 Divergencia Gonchar (1982) Sea D un dominio cuyo complemento es un conjunto convexo. Si, para todo n N, Π n (f) es holomorfa en el dominio D, no hay defecto de interpolación, Entonces Π n (f) converge a f uniformemente en compactos de D. Encuentro Iberoamericano p. 5/2

12 Divergencia Gonchar (1982) Sea D un dominio cuyo complemento es un conjunto convexo. Si, para todo n N, Π n (f) es holomorfa en el dominio D, no hay defecto de interpolación, Entonces Π n (f) converge a f uniformemente en compactos de D. Obstáculos para converger: { Defecto de interpolación. Polos espurios. Encuentro Iberoamericano p. 5/2

13 Estrategias Debilitar la sucesión Π n (f): tomar subsucesiones. Encuentro Iberoamericano p. 6/2

14 Estrategias Debilitar la sucesión Π n (f): tomar subsucesiones. Debilitar la convergencia: convergencia en capacidad. Encuentro Iberoamericano p. 6/2

15 Estrategias Debilitar la sucesión Π n (f): tomar subsucesiones. Debilitar la convergencia: convergencia en capacidad. Debilitar la clase de funciones f que se aproximan: funciones de Markov, Stieltjes,... Encuentro Iberoamericano p. 6/2

16 Estrategias Debilitar la sucesión Π n (f): tomar subsucesiones. Debilitar la convergencia: convergencia en capacidad. Debilitar la clase de funciones f que se aproximan: funciones de Markov, Stieltjes,... Dejar fijo el grado del denominador: sea m N fijo, Cuándo lim n + p n q m es convergente? Encuentro Iberoamericano p. 6/2

17 Filas de aproximantes de Padé Sean polinomios p n,m, gr p n,m n, y q n,m, grq n,m m, elegidos de modo que q n,m (z)f(z) p n,m (z) = o ( z n+m), z 0 y Π n,m (f) = p n,m /q n,m es el aproximante de Padé de tipo (n,m) de f en 0. Encuentro Iberoamericano p. 7/2

18 Filas de aproximantes de Padé Sean polinomios p n,m, gr p n,m n, y q n,m, grq n,m m, elegidos de modo que q n,m (z)f(z) p n,m (z) = o ( z n+m), z 0 y Π n,m (f) = p n,m /q n,m es el aproximante de Padé de tipo (n,m) de f en 0. Si fijamos m N y variamos n N nos movemos por la fila m-ésima de la tabla de Padé. Encuentro Iberoamericano p. 7/2

19 Filas de aproximantes de Padé Sean polinomios p n,m, gr p n,m n, y q n,m, grq n,m m, elegidos de modo que q n,m (z)f(z) p n,m (z) = o ( z n+m), z 0 y Π n,m (f) = p n,m /q n,m es el aproximante de Padé de tipo (n,m) de f en 0. Si fijamos m N y variamos n N nos movemos por la fila m-ésima de la tabla de Padé. Teoría de convergencia similar a la de los polinomios de Taylor Encuentro Iberoamericano p. 7/2

20 Filas de aproximantes de Padé Teorema de De Montessus de Ballore (1902) Sea D m el mayor disco donde la función f es meromorfa con m polos y R m su radio. Sea K compacto de D m que no contenga ningún polo de f. Sea ρ(k) = max z K z. Encuentro Iberoamericano p. 8/2

21 Filas de aproximantes de Padé Teorema de De Montessus de Ballore (1902) Sea D m el mayor disco donde la función f es meromorfa con m polos y R m su radio. Sea K compacto de D m que no contenga ningún polo de f. Sea ρ(k) = max z K z. Entonces lim sup n f Π n,m 1/n K = ρ(k) R m Encuentro Iberoamericano p. 8/2

22 Filas de aproximantes de Padé Problema inverso (Gonchar 1981) Supongamos que existe un polinomio q m de grado m tal que lim sup n q n,m q m 1/n = r < 1. Encuentro Iberoamericano p. 8/2

23 Filas de aproximantes de Padé Problema inverso (Gonchar 1981) Supongamos que existe un polinomio q m de grado m tal que lim sup n q n,m q m 1/n = r < 1. Entonces f admite extensión meromorfa con m polos (precisamente los ceros de q m ) al disco de radio R m = max z i q m (z i )=0 r Encuentro Iberoamericano p. 8/2

24 Conjetura de Padé Siempre hay subsucesiones de Π n (f) sin defecto de interpolación. Encuentro Iberoamericano p. 9/2

25 Conjetura de Padé Siempre hay subsucesiones de Π n (f) sin defecto de interpolación. En muchos ejemplos Π n (f) admite subsucesiones que convergen a f uniformemente en compactos del dominio. Encuentro Iberoamericano p. 9/2

26 Conjetura de Padé Siempre hay subsucesiones de Π n (f) sin defecto de interpolación. En muchos ejemplos Π n (f) admite subsucesiones que convergen a f uniformemente en compactos del dominio. Conjetura de Baker-Gammel-Wills (1961) Si f es meromorfa en el disco abierto U, entonces existe una subsucesión Γ N tal que Π n (f),n Γ, converge a f uniformemente en compactos de U en la métrica de la esfera de Riemann. Encuentro Iberoamericano p. 9/2

27 Conjetura de Padé Variantes: Convergencia en capacidad (se verá más adelante). f es algebraica y el dominio es extremal (idem). Acotación uniforme del número de polos espurios. Encuentro Iberoamericano p. 10/2

28 Conjetura de Padé Variantes: Convergencia en capacidad (se verá más adelante). f es algebraica y el dominio es extremal (idem). Acotación uniforme del número de polos espurios. Avances: Funciones hiperelípticas (Stahl): f = r 1 + r 2 p, con restricciones sobre polos y ceros de r 1 y r 2. Funciones enteras de crecimiento lento (Lubinski). Encuentro Iberoamericano p. 10/2

29 Conjetura de Padé Refutada por Lubinski en Más tarde Suetin encontró un contraejemplo con una función hiperelíptica. Encuentro Iberoamericano p. 10/2

30 Conjetura de Padé Refutada por Lubinski en Más tarde Suetin encontró un contraejemplo con una función hiperelíptica. Recientemente el propio Baker ha propuesto una nueva conjetura, the patchwork convergence: afirma que utilizando un número finito de subsucesiones es posible lograr convergencia. Encuentro Iberoamericano p. 10/2

31 Capacidad logarítmica Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K): 1 P(σ;z) = log z ζ dσ(ζ). K Encuentro Iberoamericano p. 11/2

32 Capacidad logarítmica Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K): 1 P(σ;z) = log z ζ dσ(ζ). K Energía de σ: I(σ) = P(σ;z)dσ(z). K Encuentro Iberoamericano p. 11/2

33 Capacidad logarítmica Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K): 1 P(σ;z) = log z ζ dσ(ζ). K Energía de σ: I(σ) = P(σ;z)dσ(z). K Energía mínima sobre K: I(K) = inf σ I(σ). Encuentro Iberoamericano p. 11/2

34 Capacidad logarítmica Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K): 1 P(σ;z) = log z ζ dσ(ζ). K Energía de σ: I(σ) = P(σ;z)dσ(z). K Energía mínima sobre K: I(K) = inf σ I(σ). Medida de energía mínima de K: λ si I(K) = I(λ). Encuentro Iberoamericano p. 11/2

35 Capacidad logarítmica Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K): 1 P(σ;z) = log z ζ dσ(ζ). K Energía de σ: I(σ) = P(σ;z)dσ(z). K Energía mínima sobre K: I(K) = inf σ I(σ). Medida de energía mínima de K: λ si I(K) = I(λ). Capacidad logarítmica de K: cap (K) = exp( I(K)). Encuentro Iberoamericano p. 11/2

36 Diámetro transfinito Sea K compacto de C y n 2. El diámetro n-ésimo de K es el valor 2 δ n (K) = max a j a a 1,...,a n K k n(n 1) j,k:j<k Encuentro Iberoamericano p. 12/2

37 Diámetro transfinito Sea K compacto de C y n 2. El diámetro n-ésimo de K es el valor 2 δ n (K) = max a j a a 1,...,a n K k n(n 1) j,k:j<k lim δ n(k) = cap (K). n Encuentro Iberoamericano p. 12/2

38 Diámetro transfinito Sea K compacto de C y n 2. El diámetro n-ésimo de K es el valor 2 δ n (K) = max a j a a 1,...,a n K k n(n 1) j,k:j<k lim δ n(k) = cap (K). n Ejemplos: Si K es un disco de radio r, cap (K) = r. Si K es un intervalo de longitud h, cap (K) = h/4. Encuentro Iberoamericano p. 12/2

39 Convergencia en capacidad Sea K compacto con cap (K) = 0. Toda función armónica y acotada en G \ K (G abierto que contiene a K) admite extensión armónica a todo G. Encuentro Iberoamericano p. 13/2

40 Convergencia en capacidad Sea K compacto con cap (K) = 0. Toda función armónica y acotada en G \ K (G abierto que contiene a K) admite extensión armónica a todo G. También: generalizaciones del problema de Dirichlet y del principio del máximo de las funciones armónicas. Encuentro Iberoamericano p. 13/2

41 Convergencia en capacidad Sea K compacto con cap (K) = 0. Toda función armónica y acotada en G \ K (G abierto que contiene a K) admite extensión armónica a todo G. También: generalizaciones del problema de Dirichlet y del principio del máximo de las funciones armónicas. Convergencia en capacidad ǫ > 0, K D lim n cap {z K : f(z) f n(z) > ǫ} = 0.. Notación: f n C f en D Encuentro Iberoamericano p. 13/2

42 Convergencia en capacidad Lema de Gonchar (1975) Supongamos que f n C f en el dominio D. 1. Si f n H(D), entonces {f n } n N converge uniformemente en subconjuntos compactos de D. 2. Si f n M(D) y tiene como mucho k < + polos en D y f M(D) y tiene exactamente k polos en D, entonces todas las funciones f n, n N, tienen también k polos en D y la sucesión {f n } tiende a f uniformemente en subconjuntos compactos de D en la métrica de la esfera de Riemann. Encuentro Iberoamericano p. 14/2

43 Convergencia en capacidad Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973) Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f analítica en C \ K. Entonces, Π n (f) C f en C. Encuentro Iberoamericano p. 14/2

44 Convergencia en capacidad Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973) Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f analítica en C \ K. Entonces, Π n (f) C f en C. En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap (K) = 0 es necesaria. Encuentro Iberoamericano p. 14/2

45 Convergencia en capacidad Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973) Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f analítica en C \ K. Entonces, Π n (f) C f en C. En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap (K) = 0 es necesaria. Previamente Gonchar había extendido el teorema a funciones que se aproximan rápidamente por funciones racionales. Encuentro Iberoamericano p. 14/2

46 Convergencia en capacidad Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973) Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f analítica en C \ K. Entonces, Π n (f) C f en C. En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap (K) = 0 es necesaria. Previamente Gonchar había extendido el teorema a funciones que se aproximan rápidamente por funciones racionales. Qué se puede afirmar cuando f tiene puntos de ramificación? Encuentro Iberoamericano p. 14/2

47 Convergencia en capacidad Teorema del dominio extremal (Stahl 1997) Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f analítica (posiblemente multivaluada) en C \ K. Entonces, C Π n (f) f en un dominio D que verifica: Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a la convergencia de Π n (f). Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a la continuación analítica univaluada de f. C \ D es esencialmente unión de arcos analíticos que unen los puntos de ramificación. Encuentro Iberoamericano p. 15/2

48 Convergencia en capacidad Polos espurios Polos de Π n (f) en regiones de analiticidad de f ( o de meromorfía pero con mayor número de polos) donde, a su vez, haya convergencia en capacidad. Asintóticamente se emparejan con ceros de Π n (f). Encuentro Iberoamericano p. 15/2

49 Convergencia en capacidad Polos espurios Polos de Π n (f) en regiones de analiticidad de f ( o de meromorfía pero con mayor número de polos) donde, a su vez, haya convergencia en capacidad. Asintóticamente se emparejan con ceros de Π n (f). La convergencia en capacidad permite entender el comportamiento global de los aproximantes de Padé, Encuentro Iberoamericano p. 15/2

50 Ortogonalidad Sea f(z) = m=0 c m analítica en un entorno de z =. zm+1 1 q n (z)f(z) p n (z) = O( zn+1), z. z k (q n f p n )(z) = O(1/z 2 ), z ; k = 0,1,,n 1. Encuentro Iberoamericano p. 16/2

51 Ortogonalidad Sea f(z) = m=0 c m analítica en un entorno de z =. zm+1 1 q n (z)f(z) p n (z) = O( zn+1), z. z k (q n f p n )(z) = O(1/z 2 ), z ; k = 0,1,,n 1. Por el teorema de Cauchy 0 = γ z k q n (z)f(z)dz, k = 0,1,,n 1. Encuentro Iberoamericano p. 16/2

52 Ortogonalidad Sea f(z) = m=0 c m analítica en un entorno de z =. zm+1 1 q n (z)f(z) p n (z) = O( zn+1), z. z k (q n f p n )(z) = O(1/z 2 ), z ; k = 0,1,,n 1. Por la fórmula integral de Cauchy f(z) Π n (f)(z) = 1 q n (z) 1 2πi γ q n (ζ) z ζ f(ζ)dζ. Encuentro Iberoamericano p. 16/2

53 Funciones de Markov Sea µ(z) = 1 1 dµ(x) z x ; µ medida con soporte en [ 1,1]. 0 = 1 1 x k q n (x)dµ(x), k = 0,1,,n 1. Encuentro Iberoamericano p. 17/2

54 Funciones de Markov Sea µ(z) = 1 1 dµ(x) z x ; µ medida con soporte en [ 1,1]. 0 = 1 1 x k q n (x)dµ(x), k = 0,1,,n 1. Π n ( µ)(z) = p n(z) q n (z) = n i=1 λ n,i z x n,i Fórmula de cuadratura Gauss-Jacobi: Si gr P < 2n entonces P(x)dµ(x) = n λ n,i P(x n,i ). i=1 Encuentro Iberoamericano p. 17/2

55 Funciones de Markov Sea µ(z) = 1 1 dµ(x) z x ; µ medida con soporte en [ 1,1]. 0 = 1 1 x k q n (x)dµ(x), k = 0,1,,n 1. Teorema de Markov (1895) Sea K compacto de C \ [ 1,1]. Entonces lim sup n µ Π n ( µ) 1/2n K z z 2 1 K Encuentro Iberoamericano p. 17/2

56 Funciones de Stieltjes Sea f analítica en C \ [0,+ ) definida por f(z) = 0 e t 1 zt dt. Encuentro Iberoamericano p. 18/2

57 Funciones de Stieltjes Sea f analítica en C \ [0,+ ) definida por f(z) = 0 e t 1 zt dt. Integrando por partes repetidamente se obtiene f(z) = 1 + z 0 e t dt = 1 + z + z2 (1 zt) 2 0 2e t (1 zt) 3 dt = 1 + 1!z + 2!z n!z n + z n+1 0 (n + 1)!e t dt. (1 zt) n+2 Encuentro Iberoamericano p. 18/2

58 Funciones de Stieltjes Sea f analítica en C \ [0,+ ) definida por f(z) = 0 e t 1 zt dt. El aproximante de Padé Π n (f) en z 0 = 0 construído usando la serie divergente converge a f uniformemente en compactos de C \ [0,+ ). Encuentro Iberoamericano p. 18/2

59 Funciones de Stieltjes Una función de Stieltjes es una función del tipo f(z) = 0 dµ(t) z t, donde µ es una medida con soporte en [0,+ ) y c n = 0 t n dµ(t) < +, n = 0,1,... Encuentro Iberoamericano p. 18/2

60 Funciones de Stieltjes Una función de Stieltjes es una función del tipo f(z) = 0 dµ(t) z t, donde µ es una medida con soporte en [0,+ ) y c n = 0 t n dµ(t) < +, n = 0,1,... Toda función de Stieltjes tiene un desarrollo asintótico dado por f(z) n=0 c n z n+1. Encuentro Iberoamericano p. 18/2

61 Funciones de Stieltjes Una función de Stieltjes es una función del tipo f(z) = 0 dµ(t) z t, donde µ es una medida con soporte en [0,+ ) y c n = 0 t n dµ(t) < +, n = 0,1,... Teorema de Stieltjes (1895) Si los números c n, n = 0,1,... determinan unívocamente la medida µ, entonces {Π n (f)} en z 0 = converge a f uniformemente en compactos de C \ [0,+ ). Encuentro Iberoamericano p. 18/2

62 Principio general Se plantea un problema de aproximación racional de funciones analíticas. Encuentro Iberoamericano p. 19/2

63 Principio general Se plantea un problema de aproximación racional de funciones analíticas. Los denominadores de los aproximantes satisfacen ciertas relaciones de ortogonalidad. Encuentro Iberoamericano p. 19/2

64 Principio general Se plantea un problema de aproximación racional de funciones analíticas. Los denominadores de los aproximantes satisfacen ciertas relaciones de ortogonalidad. Se aplican propiedades y comportamiento asintótico de polinomios ortogonales. Encuentro Iberoamericano p. 19/2

65 Principio general Se plantea un problema de aproximación racional de funciones analíticas. Los denominadores de los aproximantes satisfacen ciertas relaciones de ortogonalidad. Se aplican propiedades y comportamiento asintótico de polinomios ortogonales. Se prueba convergencia de los aproximantes racionales a la función. Encuentro Iberoamericano p. 19/2

66 Funciones de Stieltjes meromorfas Sea f(z) = de [0,+ ). 0 dµ(t) z t + s(z), donde los d polos de t están fuera t(z) Encuentro Iberoamericano p. 20/2

67 Funciones de Stieltjes meromorfas Sea f(z) = de [0,+ ). 0 dµ(t) z t + s(z), donde los d polos de t están fuera t(z) Los aproximantes de Padé diagonales Π n (f) convergen a f? Encuentro Iberoamericano p. 20/2

68 Funciones de Stieltjes meromorfas Sea f(z) = de [0,+ ). 0 dµ(t) z t + s(z), donde los d polos de t están fuera t(z) Tras un cambio de variable, el denominador q n del aproximante satisface las relaciones de ortogonalidad 1 1 x j q n (x)t(x) dν(x) = 0, j = 0,1,...,n 1 d. (1 x) 2n Encuentro Iberoamericano p. 20/2

69 Funciones de Stieltjes meromorfas Sea f(z) = de [0,+ ). 0 dµ(t) z t + s(z), donde los d polos de t están fuera t(z) Tras un cambio de variable, el denominador q n del aproximante satisface las relaciones de ortogonalidad 1 1 x j q n (x)t(x) dν(x) = 0, j = 0,1,...,n 1 d. (1 x) 2n Se consideran los polinomios ortogonales {l n,m } m N respecto dν(x) de la medida variante (1 x) 2n. Encuentro Iberoamericano p. 20/2

70 Funciones de Stieltjes meromorfas Debido a las relaciones de ortogonalidad q n t = d k= d λ k l n,n+k Encuentro Iberoamericano p. 21/2

71 Funciones de Stieltjes meromorfas Debido a las relaciones de ortogonalidad q n t = d k= d λ k l n,n+k Bajo condiciones generales lim n l n,n+k+1 (z) l n,n+k (z) = z + z 2 1, k Z. Encuentro Iberoamericano p. 21/2

72 Funciones de Stieltjes meromorfas Debido a las relaciones de ortogonalidad q n t = d k= d λ k l n,n+k Bajo condiciones generales lim n l n,n+k+1 (z) l n,n+k (z) = z + z 2 1, k Z. Entonces los polinomios q n tienen como mucho d ceros lejos del soporte = hay convergencia en capacidad = hay convergencia uniforme. Encuentro Iberoamericano p. 21/2

73 Funciones de Stieltjes meromorfas Debido a las relaciones de ortogonalidad q n t = d k= d λ k l n,n+k Bajo condiciones generales lim n l n,n+k+1 (z) l n,n+k (z) = z + z 2 1, k Z. Lagomasino (1989) Encuentro Iberoamericano p. 21/2

74 Además Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en una tabla de puntos con una cierta distribución límite. Encuentro Iberoamericano p. 22/2

75 Además Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en una tabla de puntos con una cierta distribución límite. Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de los aproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce la geometría del conjunto de singularidades de la función. Encuentro Iberoamericano p. 22/2

76 Además Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en una tabla de puntos con una cierta distribución límite. Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de los aproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce la geometría del conjunto de singularidades de la función. Aproximantes Hermite-Padé. Aproximación simultánea de funciones. Encuentro Iberoamericano p. 22/2

77 Además Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en una tabla de puntos con una cierta distribución límite. Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de los aproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce la geometría del conjunto de singularidades de la función. Aproximantes Hermite-Padé. Aproximación simultánea de funciones. Aproximantes Fourier-Padé. Se consideran desarrollos ortogonales y se busca el aproximante racional que tenga el mayor orden de contacto según este desarrollo. Encuentro Iberoamericano p. 22/2

78 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Euler (1748/1755). Probó las fórmulas n=1 1 n 2k = ( 1)k 1 4k b 2k 2(2k)! π2k donde b k Q son los números de Bernoulli. Es decir x e x 1 = n=0 b n n! xn b 0 = 1, n 1 j=0 ( nj ) b j = 0. Encuentro Iberoamericano p. 23/2

79 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Euler (1748/1755). Probó las fórmulas n=1 1 n 2k = ( 1)k 1 4k b 2k 2(2k)! π2k donde b k Q son los números de Bernoulli. Qué ocurre con las sumas de exponente impar? n=1 1 n 2k+1 = q π2k+1, q Q? Encuentro Iberoamericano p. 23/2

80 Valores irracionales de la función zeta de Riemann La función zeta de Riemann se define como ζ(z) = n=1 1, si Re z > 1 nz y mediante continuación analítica en C \ {1}. Encuentro Iberoamericano p. 23/2

81 Valores irracionales de la función zeta de Riemann La función zeta de Riemann se define como ζ(z) = n=1 1, si Re z > 1 nz y mediante continuación analítica en C \ {1}. Problema abierto: Demostrar que los números ζ(2k + 1), k N, son irracionales Encuentro Iberoamericano p. 23/2

82 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Apéry (1978). ζ(3) es irracional. Usa la fórmula ζ(3) = 5 2 n=1 ( 1) n 1 n 3 [( 2n n )] 1 La demostración no es generalizable a otros valores ζ(2k + 1). Encuentro Iberoamericano p. 24/2

83 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Apéry (1978). ζ(3) es irracional. Usa la fórmula ζ(3) = 5 2 n=1 ( 1) n 1 n 3 [( 2n n )] 1 La demostración no es generalizable a otros valores ζ(2k + 1). Beukers (1981). Muestra que la sucesión de aproximantes racionales de Apéry puede obtenerse a partir de un problema generalizado de aproximación de Padé simultánea. Encuentro Iberoamericano p. 24/2

84 Valores irracionales de la función zeta de Riemann f k (z) = n=1 z n n k, k N Encuentro Iberoamericano p. 24/2

85 Valores irracionales de la función zeta de Riemann f k (z) = n=1 z n n k, k N Encontrar polinomios p n,t n,q n y q n de grado n tales que q n (z)f 1 (z) + q n (z)f 2 (z) p n (z) = o ( z 2n), z 0, q n (z)f 2 (z) + 2 q n (z)f 3 (z) t n (z) = o ( z 2n), z 0, q n (1) = 0. Encuentro Iberoamericano p. 24/2

86 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Prévost (1996) Calcula los aproximantes de Padé del término de error en el desarrollo de ζ(3). Encuentro Iberoamericano p. 25/2

87 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Prévost (1996) Calcula los aproximantes de Padé del término de error en el desarrollo de ζ(3). ζ(3) = n k=1 1 k Ψ(1/n), donde Ψ(z) tiene la expansión asintótica Ψ(z) = (n + 1)b n z n+2. n=0 Encuentro Iberoamericano p. 25/2

88 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Prévost (1996) Calcula los aproximantes de Padé del término de error en el desarrollo de ζ(3). ζ(3) = n k=1 1 k Ψ(1/n), donde Ψ(z) tiene la expansión asintótica Ψ(z) = (n + 1)b n z n+2. n=0 Prévost-Rivoal (2007) Este principio puede ser general al aparecer en otro tipo de funciones como la exponencial. Encuentro Iberoamericano p. 25/2

89 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Rivoal (2000) En el conjunto {ζ(3),ζ(5),ζ(7),... } hay infinitos números irracionales. Encuentro Iberoamericano p. 26/2

90 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Rivoal (2000) En el conjunto {ζ(3),ζ(5),ζ(7),... } hay infinitos números irracionales. Utiliza aproximación simultánea de Padé de polilogaritmos, Li p (z) = n=0 z n (n + 1) p Encuentro Iberoamericano p. 26/2

91 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Rivoal (2000) En el conjunto {ζ(3),ζ(5),ζ(7),... } hay infinitos números irracionales. Utiliza aproximación simultánea de Padé de polilogaritmos, Li p (z) = n=0 z n (n + 1) p Zudilin (2001) Al menos uno de los siguientes números es irracional. ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) Encuentro Iberoamericano p. 26/2

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