FAMILIAS NORMALES VARIABLE COMPLEJA #6

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1 VARIABLE COMPLEJA #6 FAMILIAS NORMALES Recordemos que F C(D, C) es una familia normal cuando cada sucesión en F tiene una subsucesión que converge en C(D, C). Esto es lo mismo que decir que cerr(f) es compacto en C(D, C) F es uniformemente acotada si ( M)( z D)( f F) f(z) < M. F es uniformemente acotada en E D si la familia F E = {f E : f F} es uniformemente acotada. F es uniformemente acotada en compactos si ( K cpto. D) F es uniformemente acotada en K. F es localmente uniformemente acotada si ( z D)( V vec. de z) F es uniformemente acotada en V. F es acotada puntualmente si F es uniformemente acotada en todo subconjunto formado de un solo punto F es equicontinua (=uniformemente eq.) en E si ( ɛ > 0)( δ > 0)( z 1, z 2 E)( f F) z 1 z 2 ) < δ f(z 1 ) f(z 2 ) < ɛ. F es (uniformemente) equicontinua en compactos si ( K cpto. D) F es equicontinua en K. F es localmente equicontinua si ( z D)( V vec. de z) F es equicontinua en V. Proposición. F C(D, C) es localmente uniformemente acotada F es uniformemente acotada en compactos. Nota. equicontinua loc. unif. acotada. Proposición. F C(D, C) es localmente equicontinua F es equicontinua en compactos. 1

2 Lema. F C(D, C) es una familia normal ( K cpto. D)( δ > 0) ( {f 1, f 2,, f n } F)( f F)( j) sup K f f j < δ. Teorema. (Arzela-Ascoli) Sea F C(D, C). Entonces F es una familia normal (a) F es equicontinua en compactos, y (b) F es acotada puntualmente Proposición. Sea F H(D), F localmente uniformemente acotada. Entonces F es localmente uniformemente acotada. Lema. Sea F H(D), F localmente uniformemente acotada. Entonces F es equicontinua en compactos. Lema. Sea F C(D, C), F equicontinua en compactos y uniformemente acotada en {z 0 }. Entonces F es localmente uniformemente acotada. Teorema. (Montel) Sea F H(D). Entonces F es una familia normal F es localmente uniformemente acotada. VARIABLE COMPLEJA #7 CONEXIDAD SIMPLE 7.1. X será un espacio topológico arco-conexo y localmente arco-conexo. X es simplemente conexo si toda curva cerrada en X es homotópica a un punto relativo a extremos fijos. X satisface la Propiedad de Extensión si toda función continua φ: X puede extenderse a una función continua φ: X. Nota. Conexidad simple y Propiedad de Extensión son propiedades topológicas (conservadas por homeomorfismos). Proposición. X es simplemente conexo X satisface la propiedad de extensión. 2

3 Proposición. Sea X simplemente conexo. Sean 0, 1 : [0, 1] X curvas con 0 (0) = 1 (0), 0 (1) = 1 (1) ( comparten extremos ). Entonces 0 1 con respecto a extremos fijos Una 1-forma (diferencial) (real) ω es un par (p, q) de funciones reales (generalmente continuas o aún suaves). Se escribe ω = p dx + q dy. Dada una función compleja f = u + iv, se escribe f dz para la 1-forma compleja f dz = (u + iv)(dx + i dy) = (u + iv)dx + ( v + iu)dy = (u dx v dy) + i(v dx + u dy) que es un par de 1-formas reales. Dada una función real-valuada u diferenciable, su diferencial es la 1-forma du = u x dx + u y dy. Para f = u + iv compleja, su diferencial es df = du + i dv. p dx + q dy = donde (t) = (x(t), y(t)). 1 0 (p((t))x (t) + q((t))y (t)) dt La 1-forma ω = p dx+q dy se llama cerrada si q x p y = 0. La forma ω se llama exacta si existe u tal que du = ω. Lema. (a) ω exacta ω cerrada; (b) ω cerrada en un disco ω exacta. Lema. Sea ω = du en D. Sea D, (0) = a, (1) = b. Entonces ω = u(b) u(a) Proposición. Sean 0, 1 D; sea ω una forma cerrada en D. Si 0 1 relativo a extremos fijos, entonces ω = ω. 0 1 Corolario. Sea D un dominio simplemente conexo en C; sea ω una 1-forma cerrada en D. Si 0, 1 D comparten extremos, entonces ω = ω. Si D es una curva cerrada, entonces ω =

4 Teorema. Sea D simplemente conexo. Entonces (a) Todo u Ar D tiene un conjugado armónico v. (b) Si f H(D) no se anula, entonces existen g, h H(D) tales que f = e g, f = h 2. (c) Si f H(D) entonces existe F H(D) tal que F = f. VARIABLE COMPLEJA #8 TRANSFORMACIÓN CONFORME Escribimos D = B 1 (0), P + = { Im z > 0} Lema. (de Schwarz) Sea f H(D), f: D D, f(0) = 0. Entonces (i) ( z D) f(z) z ; (ii) f (0) 1. (iii) Si existe z 0 0 tal que f(z 0 ) = z 0 o si f (0) = 1, entonces ( α R)( z D) f(z) = e iα z Transformación conforme de D 1 en D 2 = función holomorfa y bijectiva de D 1 sobre D 2. Aut D = {f H(D): f es una transformación conforme de D en D}. Proposición. T Aut D existen a, b C, a 2 b 2 = 1, T (z) = az + b bz + ā. T Aut P + existen a, b, c, d R, ad bc = 1, T (z) = az + b cz + d. Teorema. (de transformación conforme de Riemann-Koebe) Sea D = C. Supóngase que todo elemento de H(D) que no se anula tiene una raíz cuadrada. Entonces existe una transformación conforme f: D D. 4

5 DOMINIOS HOMOLOGICALMENTE NULOS Sea C una curva cerrada, y z. El índice de alrededor de z es n(, z) = 1 dζ 2πi ζ z. Proposición. n(, z) es un entero, es constante cuando z varía en una componente conexa de C. D curva cerrada. es homológicamente nula en D si ( z / D) n(, z) = 0. D es homológicamente nulo si ( D cerrada)( z C D) n(, z) = 0. Proposición. Simplemente conexo homológicamente nulo. Lema. ω una 1-forma cerrada en D. Supóngase que para todo polígono cerrado σ con aristas horizontales/verticales, ω = 0. Entonces para toda curva cerrada (rectificable) en D, ω = 0. σ Una 1-cadena es una suma finita formal c i i con curvas i y c i Z. Una 0-cadena es una suma finita formal c i p i con puntos p i y c i Z. cii ω = c i i ω. La frontera de una 1-cadena, ( c i i ) = c i i (1) c i i (0). Una 1-cadena es un ciclo si = 0. Un ciclo = c i i puede reescribirse = c i i donde cada i es una curva cerrada. Entonces n(, z) = c i n( i, z). Para ciclos, se tiene n( +, z) = n(, z) + n(, z). 5

6 Lema. Sea D homológicamente nulo. Entonces cualquier polígono cerrado σ con lados horizontales/verticales puede escribirse como σ = ci R i donde cada R i es un rectángulo con cerr R i D. Teorema. D es simplemente conexo D es homológicamente nulo. Teorema. D es homológicamente nulo Ĉ D es conexo. D satisface D simplemente, ω cer- C {0} ω = 0 f: D D biholomorfo a D Propiedad de la Extension conexo radas g = f D homológicamente nulo Ĉ D conexo 6

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