Definicion Diremos que una función aritmética f es completamente multiplicativa si f(nm) = f(n)f(m) para cualesquiera enteros positivos n, m.

Transcripción

1 Caítulo Funciones aritméticas En el caítulo anterior hemos odido areciar algunos asectos de la Teoría de los Números y el tio de roblemas que retende resolver. No debe extrañar que las funciones definidas sobre los naturales tengan una imortancia caital. Estas funciones, reales o comlejas, son las funciones aritméticas..0.. Proiedades generales Dentro de todas las funciones aritméticas hay unas que merecen esecial atención orque engloban a una gran arte de las funciones aritméticas más interesantes: son las funciones multilicativas. Definicion.0.. Diremos que una función aritmética f es multilicativa si f(nm) = f(n)f(m) ara cualesquiera enteros ositivos n, m con (n, m) =. Definicion.0.. Diremos que una función aritmética f es comletamente multilicativa si f(nm) = f(n)f(m) ara cualesquiera enteros ositivos n, m. Observemos que si n = α α k k y f es una función multilicativa entonces f(n) = i f( α i i ). Proosición.0.3. Si f(n) es una función multilicativa entonces g(n) = d n f(d) también lo es. Demostración. Observemos que si (m, n) =, todo divisor d de mn ha de ser de la forma d = d d donde d y d han de ser divisores de m y n resectivamente. De

2 CAPÍTULO. FUNCIONES ARITMÉTICAS igual manera, cada areja de divisores de m y n nos da un divisor de mn. Entonces tenemos g(mn) = d mn f(d) = d m f(d d ) = d m f(d )f(d ) = d n d n f(d ) f(d ) = g(m)g(n). d m d n Ahora centraremos nuestra atención sobre las funciones aritméticas más interesantes, emezando con la función divisor..0.. La función divisor La función divisor τ(n) se define como el número de divisores de n: τ(n) = d n. Si n = α αr r, los divisores de n son de la forma d = β βr r, 0 β i α i, i =,..., r. Proosición.0.4. La función τ(n) es multilicativa y si n = α αr r τ(n) = i ( + α i). entonces Demostración. La roosición.0.3 imlica, trivialmente, que la función divisor es multiicativa. Debido a eso se tiene que τ(n) = i τ(α i i ) = i ( + α i) La función σ, los números erfectos y los rimos de Mersenne La función σ se define de la forma σ(n) = d n d. Como la función f(n) = n es multilicativa, el siguiente resultado se sigue también de la roosición.0.3.

3 3 Proosición.0.5. La función σ es multilicativa y si n = r σ(n) = r i= α i+ i i. i= α i i, entonces Demostración. De nuevo la Proosición.0.3 imlica que σ es una función multillicativa. Es or tanto suficiete demostrar que σ( α i i ) = αi+ i. σ( α i i ) = + i + i + + α i i = α i+ i i. Con la función σ está relacionado el clásico roblema de los números erfectos. Decimos que un entero ositivo n es erfecto si la suma de sus divisores menores que n coincide con n. Es decir, si σ(n) = n. El rimer número erfecto es el 6 cuyos divisores son,, 3 y 6. El siguiente es 8 = El siguiente teorema caracteriza los números ares erfectos. Teorema.0.6. Un número ar es erfecto si y sólo si n = m ( m ) con m rimo. Demostración. Si m es rimo entonces σ(n) = σ( m )σ( m ) = ( m ) m = n y n es un número erfecto. Por otro lado, si n es ar, n se uede escribir de la forma n = m s con s imar y m. Por ser n un número erfecto tenemos que m s = n = σ(n) = σ( m )σ(s) = ( m )σ(s). Entonces σ(s) = s + s. Como σ(s) es un entero, m m tiene que ser un divisor s de s y or lo tanto también. m s Ya que σ(s) es la suma de todos los divisores de s, entonces s y han de m ser los únicos divisores de s. Es decir = y además s tiene que ser rimo. s m Aunque en este teorema han quedado erfectamente caracterizados los números erfectos ares, es un roblema abierto resonder a la regunta de si existen infinitos números ares erfectos, que es lo mismo que resonder sobre la existencia de infinitos rimos de la forma m, los llamados rimos de Mersenne. También se desconoce la existencia de números erfectos imares. No se ha encontrado ninguno ero no se ha demostrado que no existan.

4 4 CAPÍTULO. FUNCIONES ARITMÉTICAS.0.4. La función de Moebius Una de las funciones aritméticas más imortantes en la teoría analítica de los números es la función de Moebius. Aunque la rimera definición de la función ueda resultar algo articial en un rinciio, aarece de manera natural cuando, or ejemlo, se trata de contar el número de rimos menores que una cantidad dada. Esto lo veremos osteriormente. La función de Moebius µ(n) se define de la siguiente manera: si n =, µ(n) = ( ) k si n es el roducto de k rimos distintos 0 si n tiene algún divisor cuadrado mayor que. Proosición.0.7. La función µ(n) es multilicativa. Demostración. Si (m, n) = entonces m = α αr r y n = q β qs βs distintos de los q j. con los i Si alguno de los α i o de los β j es mayor que, entonces m o n tienen algún divisor cuadrado que también lo será de mn. En este caso µ(mn) = µ(m)µ(n) = 0. Si α = = α r = β = = β s = entonces µ(m) = µ( r ) = ( ) r, µ(n) = µ(q q s ) = ( ) s y µ( r q q s ) = ( ) r+s. Proosición.0.8. µ(d) = d n {, si n = 0, si n > Demostración. Al ser µ(n) multilicativa, la función g(n) = d n µ(d) también lo es. En ese caso, si n = i qα i i entonces g(n) = i g(qα i i ). Pero si q i es rimo, g(q α i i ) = d q α i µ(d) = µ()+µ(q i )+µ(qi )+ +µ(q α i i ) = = 0. i Proosición.0.9. i) Sea f : Z + C y definamos F : Z + C de la forma. F (n) = d n f(d). Entonces f(n) = d n µ(d)f (n/d). ii) Sea f : R + C y definamos F : R + C de la forma F (x) = n x f(x/n).

5 5 Entonces f(x) = n x µ(n)f (x/n). Demostración. i) f(n) = c n = d n µ(d) f(c) = µ(d)f(c) d (n/c) c,d cd n µ(d) µ(d)f (n/d). c (n/d) f(c) = d n ii) f(x) = n x k n µ(k) f(x/n) = k,l µ(k)f(x/(kl)) kl x = µ(k) f(x/(lk)) = k x l x/k k x µ(k)f (x/k) La función de Euler La función φ(n) se define como el número de enteros ositivos rimos con n y menores o iguales que n. Proosición.0.0. La función φ(n) es multilicativa. Demostración. Por la roosición.0.8, la función φ(n) también se uede escribir como φ(n) = µ(d). k n Reordenando las sumas tenemos φ(n) = d n d (k,n) µ(d) n d = n d n µ(d) d. La demostración se termina con la observación de que al ser µ(d) multilicativa, también lo es µ(d) φ(n). Entonces la función, y or tanto la función φ(n), es multilicativa. d n

6 6 Corolario.0.. CAPÍTULO. FUNCIONES ARITMÉTICAS φ(n) = n n ( ) Demostración. Solamente hay que observar que φ(n) es multilicativa y que φ(α ) n α α =. α Proosición.0.. φ(d) = n. d n α = Demostración. La función g(n) = d n φ(d) es multilicativa. Por lo tanto sólo hay que demostrar que g( m ) = m ara todo rimo y ara todo entero ositivo m, Esto es, g( m ) = d m φ(d) = φ() + φ() + φ( ) + + φ( m ) = = + ( ) + ( ) + + ( m m ) = m El número de divisores rimos de un entero Dado un entero ositivo n se define ω(n) como el número de divisores rimos distintos de n y Ω(n) como el número de divisores rimos de n contando la multilicidad. Más formalmente, si n = q α q α k k, donde los q i son rimos distintos, se define ω(n) = k y Ω(n) = α + + α k. Algunas veces es conveniente utilizar las siguientes exresiones alternativas: ω(n) = n, Ω(n) = m n. Proosición.0.3. Existen constantes ositivas c, c tales que ara todo n 3 se tiene que i) Ω(n) c log n ii) ω(n) c log n/(log log n). Demostración. Si n = q α q α k k es claro que n α + +α k = Ω(n). Tomando logaritmos se obtiene i). La arte ii) se ide en el ejercicio..3

7 .. PROMEDIO DE FUNCIONES ARITMÉTICAS 7.. Promedio de funciones aritméticas En general, las funciones aritméticas se comortan de un modo bastante irregular. Los valores τ(n), φ(n), µ(n) no deenden tanto de la magnitud de n como de su factorización en números rimos. Tiene or tanto mayor sentido reguntarse or el comortamiento de dichas funciones en media. Veremos or ejemlo que D(x) = n x τ(n) x log x y que Φ(x) = n x φ(n) π 6 x. El siguiente teorema va a ser una herramienta imortante ara estimar sumas or medio de integrales. Teorema.. (Identidad de Abel). Para toda función aritmética a(n), sea A(x) = a(n) y sea f una función con derivada continua en [, ). Entonces tenemos n x a(n)f(n) = A(x)f(x) n x x A(t)f (t)dt. Demostración. Utilizaremos el hecho de que a(n) = A(n) A(n ) y que f(n) f(n ) = n f (t)dt. Definimos también a(0) = 0 y k = x. n a(n)f(n) = (A(n) A(n )) f(n) n k n k = = n k n k = = A(n)f(n) n k k = A(x)f(x) 0 n k A(n)f(n + ) A(n) (f(n) f(n )) + A(k)f(k) A(n) n+ n f (t)dt + A(k)f(k) A(t)f (t)dt + A(x)f(x) x A(t)f (t)dt. x k A(t)f (t)dt

8 8 CAPÍTULO. FUNCIONES ARITMÉTICAS En los cálculos osteriores nos va a interesar el orden de magnitud de algunas funciones más que su valor exacto. Para ello introducimos la siguiente notación: Notación: a) f(x) = O(g(x)) cuando x si existe una constante ositiva C tal que f(x) C g(x) ara x suficientemente grande. b) f(x) = o(g(x)), cuando x si lím x f(x) g(x) = 0. Análogamente se definen f(x) = O(g(x)) y f(x) = o(g(x)) cuando x x 0. También usaremos la notación f(x) g(x) y la notación f(x) g(x) ara indicar que existe una constante ositiva C tal que f(x) Cg(x) y f(x) Cg(x) resectivamente.... La constante de Euler Proosición... n k= k donde γ es la constante de Euler. = log n + γ + O(/n), Demostración. Alicaremos la identidad de Abel a la función aritmética más sencilla de todas, a(n) =, y a la función f(x) = ara estimar las sumas arciales de la x serie armónica. Dichas funciones cumlen las condiciones de la identidad de Abel con A(x) = x y f (x) = x. Tenemos entonces que n k= k = A(n) n n + = + log n k= A(t) t dt = + {t} t dt + n n t {t} dt t {t} t dt. Observemos que la última integral es O ( n). Entonces ( n ) lím n k log n {t} = t dt. Esta constante es la llamada de Euler: ( n ) γ = lím n k log n. k=

9 .. PROMEDIO DE FUNCIONES ARITMÉTICAS 9 La constante de Euler es una de las constantes, como π y como e, que aarecen de una manera natural en las matemáticas. Sin embargo se desconoce si γ es un número racional o irracional.... Fórmulas de Mertens Teorema..3. a) b) x x log = log x + O(), x = log log x + B + O ( ), x log x Demostración. En la rueba de estas leyes asintóticas vamos a utilizar la fórmula log(m!) = m log m m + O(log m), que la odemos deducir comarando log(m!) con la integral m log tdt = m log m m, ya que la diferencia m m m log k log tdt k= k log k log tdt k= k m m log k log(k ) O(/k) = O(log m) k= k= a) Por el lema..4 sabemos que m! = m α, donde α = m + m +. Tomando logaritmos obtenemos la relación: log(m!) = m log + ( ) m log k m m k = m log + ( m m ) log + O(m) m m = m ( ) log + O log + O(m). m m

10 0 CAPÍTULO. FUNCIONES ARITMÉTICAS Teniendo en cuenta que log(m!) = m log m+o(m) y que m log (log m)π(m) = O(m), resulta que: m log m + O(m) = m m log + O(m). Es decir, m log = log m + O(). b) La segunda suma la escribimos de la forma x = x log log = n x log n a(n), donde a(n) = log si n es rimo y a(n) = 0 en caso contrario. Estamos en condiciones de alicar el lema de sumación de Abel: x = log x A(x) + x A(t) t(log t) dt, donde A(t) = n t a(n) = t log = log t + O() or el resultado anterior. Tenemos que: x A(t) t(log t) dt = x dt x t log t + A(t) log t dt = I t(log t) + I. I = I = = x dt = log log x log log. t log t A(t) log t O() dt t(log t) x t(log t) dt ( ) A(t) log t dt + O. t(log t) log x Por lo tanto, x ( ) = log log x + B + O, log x

11 .. PROMEDIO DE FUNCIONES ARITMÉTICAS donde B = log log + A(t) log t dt. t(log t) Observación..4. Puede demostrarse que la constante B tiene la forma siguiente: B = γ + { ( log ) + }, donde γ es la constante de Euler...3. La función r(n). Puntos de coordenadas enteras sobre circunferencias Dado un entero ositivo n, se define r(n) como el número de sus reresentaciones como suma de dos cuadrados. r(n) = #{n = t + s : s, t Z}. Por ejemlo = (±) + 0 = 0 + (±) y, or tanto r() = 4. De igual manera tenemos r() = 4, r(3) = 0, r(4) = 4, r(5) = 8, r(6) = 0, r(7) = 0, r(8) = 4, etc.. Basta echar una ojeada a una tabla de valores de r(n) ara ercibir su carácter irregular. Por ello es razonable definir la función R(n) = n r(k) k= de tal manera que R(n) sea un romedio de r(k) y eserar que esta nueva función n tenga una distribución de valores más regular. Ambas funciones tienen una reresentación muy sencilla en trminos del retículo fundamental: r(n) = número de untos del retículo Z (de coordenadas enteras) que están situados sobre la circunferencia de radio n y centro el origen. R(n) = número de untos de coordenadas enteras situados en el círculo de centro el origen y radio n. El siguiente resultado, debido a Gauss, nos da el orden de magnitud de la función R(n) ara valores grandes del entero n.

12 Teorema..5. CAPÍTULO. FUNCIONES ARITMÉTICAS R(n) = πn + O( n). Demostración. A cada unto ν de coordenadas enteras le asociamos el cuadrado de área uno, Q ν, que le tiene como vértice suroeste. El número R(n) es igual al área de la región F del lano formada or la unión de los cuadrados Q ν tales que ν está dentro del círculo x + y n. Este área no es exactamente igual al área del círculo de radio n, ues algunos de los cuadrados escogidos tienen arte fuera del círculo, mientras que quedan orciones dl círculo sin recubrir. Sin embargo odemos trazar dos círculos C y C centrados en el origen y de radios resectivos n y n + tales que C F C. Por lo tanto, π( n ) R(n) π( n + ), lo cual imlica que R(n) = πn + O( n). Este resultado fue obtenido or Gauss a rinciios del siglo asado. En torno al año 906, W. Sierinski demostró que el error E(n) = R(n) πn era O(n /3 ). El mejor resultado hasta la fecha se debe a Iwaniec: E(n) = O(n 7 +ɛ ) ara todo ɛ > 0. En el otro sentido Hardy y Landau robaron que la relación E(n) = O(n /4 ) es falsa. Es un famoso roblema de la teoría de los números encontrar el orden de magnitud exacto del error E(n). Es cierto que E(n) = O(n /4+ɛ ) ara todo ɛ > 0?..4. Promedio de la función divisor La función τ(n) ha sido estudiada en el caítulo anterior. Análogamente al caso anterior, consideramos, n D(n) = τ(k). k= EL cociente D(n) mide el número de divisores que, en romedio, tiene un número n comrendido entre y n. Veamos la interretación geométrica: τ(n) es el número de untos de coordenadas enteras del rimer cuadrante que están sobre la hiérbola xy = n y D(n) es el número de untos que se encuentran en la región R comrendida entre la hiérbola xy = n y las rectas x =, y =.

13 .. PROMEDIO DE FUNCIONES ARITMÉTICAS 3 Teorema..6. donde γ es la constante de Euler. Demostración. D(n) = n log n + (γ )n + O( n) D(n) = τ(k) = = k n k n ab=k ab n = + = [ n] ab n a ab n n b ab n n a,b ab n n a n = n n + O( n) = n a a n + O( n) a n a n = n log( n) + nγ n + O( n)...5. Puntos visibles desde el origen Un unto de coordenadas enteras es visible desde el origen si el segmento rectilíneo que une dicho unto con el origen no contiene a ningún otro. Es fácil observar que el unto de coordenadas enteras (a, b) es visible desde el origen si y sólo si (a, b) =. Consideremos la región cuadrada del lano x r, y r. Sea N(r) el número de untos de coordenadas enteras en este cuadrado y sea N (r) el número de ellos que son visibles desde el origen. El cociente N (r) mide la roorción de untos del cuadrado que son visibles N(r) desde el origen. Teorema..7. El conjunto de coordenadas enteras visibles desde el origen tiene densidad 6 π. Demostración. Por simetría tenemos que N (r) = + donde φ es la función de Euler. n r m n (m,n)= = + n r φ(r)

14 4 CAPÍTULO. FUNCIONES ARITMÉTICAS Recordando que φ(n) = d n µ(d) n y reordenando las sumas tenemos d φ(n) = µ(d) n d = µ(d)q n r n r d n n r q,d qd=r = µ(d)q = µ(d) q = { } [r/d]([r/d] + ) µ(d) q,d d r q [r/d] d r qd r = { } ( r µ(d) d + O(r d ) = r µ(d) + O r ) d d d r d r d r ( = r µ(d) r µ(d) + O r ) = r µ(d) + O(r log r). d d d d d= d>r d r d= Para calcular la constante µ(d) d= d en el caítulo. Si s > teníamos que ζ(s) = n= ζ(s) = volvamos a la identidad de Euler comentada n s = ( ) = s ( s ). Entonces n= µ(n) n s. Es bien conocido que ζ() = π. Asumiendo este hecho, tenemos que 6 φ(n) = 3 π r + O(r log r). n r Obviamente N(r) = r + O(r). Luego N 6 (r) N(r) = r + O(r log r) π r + O(r) Haciendo tender r a infinito obtenemos el teorema. = 6 + O ( log r π r + O ( r ) )...6. El número tíico de divisores rimos de un entero y el roblema de la tabla de multilicar de Erdős Emezamos estimando el valor medio de la función ω(n). Proosición..8. ω(n) = x log log x + O(x). n x

15 .. PROMEDIO DE FUNCIONES ARITMÉTICAS 5 Demostración. ω(n) = = = x n x n x n x n x x n = ( { }) x x = x + O(π(x)) x x = x(log log x + O()) + O(x/ log x) = x log log +O(x). Es decir, el valor medio de ω(n) ara los n x es log log x + O(). Pero vamos a demostrar algo más fuerte. Vamos a ver que ω(n) log log x ara casi todos los n x. Eso será consecuencia del siguiente teorema robado or Hardy y Ramanujan en 97. Teorema..9. (ω(n) log log x) = O(x log log x). n x Demostración. Utilizando la Proosición..8 tenemos que log log x) n x(ω(n) = ω (n) log log x ω(n) + x(log log x) n x n x = n x ω (n) x(log log x) + O(x log log x). Así que tenemos que demostrar que ω (n) = x(log log x) + O(x log log x). n x Claramente tenemos que ω (n) = ( ) = + n x n x n n x n q n <q = ω(n) + = x + O(x log log x) q n x <q x n x <q q n q x = x + x + O(x log log x) q q x<q x x/q <q x

16 6 Observar que x<q x x/q x q CAPÍTULO. FUNCIONES ARITMÉTICAS x q x<q x x x (log log x + O()) q x<q x x (log log x + O()) ( log log x log log x + O() ) = O(x log log x). Por otra arte, <q x x q = <q x = x q x = x q x = x q x ( ) x q + O() q + O <q q x π(q) (log log q + O()) + O(x) q log log q q + O(x log log x). log log q q = Utilizando (ver Ejercicio..4) que q x a x = x(log log x) + O(x log log x). q <q x (log log x) +O(log log x) llegamos Consideremos la tabla de multilicar n n que todos hemos visto en la escuela, normalmente ara n = 0. Las n entradas de la tabla no son todas diferentes. Es claro que hay una simetría resecto la diagonal. Llamemos M(n) al número de entradas diferentes en la tabla de multilicar n n. Obviamente se tiene que M(n) n y si tenemos en cuenta la simetría odemos decir algo más: M(n) n(n+). Erdős demostró que M(n) = o(n ) y cuya demostración dejamos como ejercicio avanzado. Teorema..0 (Erdős). M(n) lím = 0. n n

17 .. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 7 Hace unos ocos años Kevin Ford halló el verdadero orden de magnitud de M(n): M(n) n +log log. (log n) log (log log n) 3/.. Ejercicios del caítulo... El conserje de un hotel cierra todas las uertas el rimer día, el segundo abre las ares, el tercer día vuelve (si estaba abierta la cierra y viceversa) las múltilos de 3, el cuarto día las múltilos de 4, etcétera. Qué uertas quedarán cerradas al final del roceso?... Demostrar que m n τ(m ) = τ (n)...3. Demostrar que n= τ(n) n = π Demostrar que, dado k, la suma de los inversos de los enteros ositivos con exactamente k divisores es convergente si y sólo si k es imar...5. Demostrar las identidades d = n τ(n)/, d n τ 3 (m) = τ(m) m n m n...6. Demostrar que un número erfecto imar no uede ser de la forma α q β,, q rimos...7. Demostrar que ara todo ɛ > 0 se tiene τ(n) = O(n ɛ ). Demostrar también que la estimación τ(n) = O ((log n) r ) no es cierta ara ningún r...8. Demostrar que m n (m,n)= m = nφ(n). φ(n) φ(n)..9. Calcular lím su n y lím inf n n. n { }..0. Demostrar que el conjunto φ(n), n es denso en el intervalo [0, ]. n

18 8 CAPÍTULO. FUNCIONES ARITMÉTICAS... Demostrar que σ(n) = O(n log n).... Demostrar que < σ(n)φ(n). n..3. Usar los dos ejercicios anteriores ara concluir que φ(n) n/ log n...4. Buscar todos los enteros tales que a) φ(n) = n, b) φ(n) = φ(n), c) φ(n) =...5. Demostrar que d n µ(d) = µ(n)...6. La función de Mandgoldt se define de la siguiente manera: Λ(n) = { log, si n es una otencia de un rimo 0 en otro caso. Demostrar que d n Λ(d) = log n y que d n µ(d) log d = Λ(n). Demostrar también que si Re(s) > entonces, ζ (s) ζ(s) = n= Λ(n) n s...7. Demostrar que ara cada 0 α < se tiene el desarrollo asintótico ara una constante c α. n x n α = x α α + c α + O(x α )..8. Estimar el número de fracciones irreducibles en el intervalo [0, ] con denominador menor o igual que N...9. Sea r 3 (n) = #{n = x +y +z : x, y, z Z}. Hallar una fórmula asintótica ara R 3 (x) = n x r 3(n)...0. Se dice que un entero ositivo es libre de cuadrados si no es divisible or ningún cuadrado mayor que. Estimar el número de enteros ositivos menores que x que son libres de cuadrados.... Hallar una fórmula asintótica ara n x σ(n) donde σ(n) = d n d.

19 .. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 9... Hallar el error en esta demostración del teorema del número rimo. Teorema del número rimo: π(x) x x. log x x Demostración: Por el teorema de Chebychev sabemos que π(x) 4 log x 4x x. Suongamos que π(x) α y queda or denostrar que α =. En lo que sigue log x log x utilizaremos la fórmula de Mertens, x log log x, y la fórmula de sumación de Abel: = π(x) x x + π(t) t dt α x log x + α dt α log log x. t log t Por lo tanto α = y π(x) x. log x..3. Demostrar que existe una constante ositiva c tal que ω(n) > c log n/(log log n)...4. Demostrar que x log log = (log log x) + O(log log x)...5. Demostrar que n x (Ω(n) ω(n)) = O(x)...6. Utilizar el roblema anterior y el Teorema..9 ara demostrar (Ω(n) log log x) = O(x log log x). n x..7. Demostrar que ara todo ɛ > 0 se tiene que ( {n x : Ω(n) log log x > (log log x) /+ɛ/ } = O..8. Demostrar el Teorema..0. x (log log x) ɛ ).