Una aplicación de los residuos cuadráticos al cálculo de sumas trigonométricas

Transcripción

1 Una alicación de los residuos cuadráticos al cálculo de sumas trigonométricas Iveth V. Martínez Darío Herrera Resumen Se realiza un estudio del uso de los residuos cuadráticos ara la transformación de sumas trigonométricas a exresiones más simles y otra forma de encontrar el número de clase asociado a formas cuadráticas binarias reducidasatravés delassumas degaußyel símbolo delegendre. Además se analiza gráficamente el comortamiento de las sumas trigonométricas al introducir una variable real en el argumento ara un número rimo fijo. 1. Introducción Euler en 1754 resenta unadefinición formal de residuo cuadrático y residuo no cuadrático al encontrarse con la ecuación cuadrática Diofantina de la forma x n y los utilizó en la famosa Ley de Recirocidad Cuadrática. Los residuos cuadráticos en la actualidad no limita su alicación en la Ley de Recirocidad Cuadrática, resentada or Euler y Gauß, sino que tienen diversas utilidades en otras áreas de la ciencia como en el caso de la electrónica (en el Diseño de difusores de sonidos, en difusores de residuos cuadráticos, entre otras y en la Matemática ara simlificar el cálculo de exresiones con alto grado de comlejidad. En este artículo analizamos la imortancia de los residuos cuadráticos en la simlificación de los cálculos de sumas trigonométricas, en que el argumento involucra un rimo imar, así como otra forma de encontrar de manera ráida y recisa el valor del número de clases. Iniciamos con algunos concetos y roiedades básicas que nos faciliten realizar, sistemáticamente, las transformaciones de una exresióna otra. A la vez nos aoyamos del Algebra comutacional, con el uso del software de alicación MATHEMATICA, versión 7, ara comarar los resultados obtenidos e introducir cambios que nos ermita generar nuevas inferencias.. Nociones básicas El conceto de residuos cuadráticos tiene su génesis de manera imlícita en la solución de las ecuaciones cuadráticas Diofantina, de la forma x n. Estas 9

2 Factorial!-Revista matemática de la Universidad de Panamá 30 ecuaciones fueron de interés ara matemáticos como Fermat al evidenciarse en su rimer teorema que 1 es un residuo cuadrático módulo. Euler introduce en 1754 la terminología de residuos cuadráticos al afirmar que Si existe un x tal que x es divisible or q, entonces se dice un residuo o resto cuadrático de q, ai no existe tal x, se dice un no resto cuadrático de q. Lo que equivale a resolver la ecuación descrita en el árrafo anterior. En , Bernoulli resenta un ensayo que es considerado un reescrito del artículo de Euler, en donde realiza una recoilación del material sobre residuos cuadráticos, en esecial los teoremas ara decidir si -1 es un residuo cuadrático módulo o no. Estos resultados intrigaron y desconcertaron a Gauß durante muchos años y el unto de artida fue una regunta sencilla: Cómo son los cuadrados erfectos a un módulo dado? Para tal efecto en el artículo 95 de Disquisitiones Arithmeticae, adota el lenguaje introducido or Euler, en el que seara ara cualquier módulo, todos los números en dos clases: la clase que contiene los números que son congruentes a algún cuadrado y la clase que contiene los números que no ueden ser congruentes a algún cuadrado. Los números de la rimera clase son los residuos cuadráticos y los segundos no residuos cuadráticos. Definición 1: Para todo a y un rimo imar tal que (a, = 1, recibe el nombre de residuo cuadrático módulo si la congruencia x a(mod tiene una solución. Si no tiene una solución, entonces a es un residuo no cuadrático. Ejemlo 1 Mediante una rutina desarrollada en Mathematica, se encuentra los residuos cuadráticos ara cualquier rimo. Así ara = 7, 11 y 19 tenemos que In[1]= res[ ]:=Table[Mod[x, ],{x,1,(-1/};res[7] res[11] res[19] Out[1]={1,4,} {1,4,9,5,3}{1,4,9,16,17,11,7,5} ( a Legendre (1808 inventó el símbolo ara simlificar los cálculos en la Ley de Recirocidad Cuadrática, definido de la forma siguiente. Sea un rimo imar y (a, = 1, el símbolo de Legendre se define or ( { a 1 si a es un residuo cuadrático de. = 1 si a es un residuo cuadrático de. Vale la ena enunciar algunas roiedades de los residuos cuadráticos que serán de utilidad a lo largo de este trabajo. Proiedad 1. Para un rimo imar, los residuos cuadráticos de son congruentes módulo con uno y sólo uno de los enteros 1,,..., ( 1. Proiedad. Si es un rimo imar tal que 1(mod4 y C es un conjunto comleto de residuos cuadráticos módulo, entonces C C(mod. Proiedad 3. (Artículo 98 de Disquisitiones Arithmeticae: El roducto de dos residuos cuadráticos de un rimo es un residuo; el roducto de un residuo con un no residuo es un no residuo; finalmente, el roducto de dos no residuos es un residuo cuadrático. Proiedad 4. Sea es un número rimo, entonces:

3 Factorial!-Revista matemática de la Universidad de Panamá 31 a Si 7(mod8, entonces los conjuntos { n /1 n 1 } y { n /1 n 1 } son idénticos módulo. b Si 3(mod8, entonces los conjuntos { n /1 n 1 } y { n /1 n 1 } son idénticos módulo. Los números comlejos z soluciones de la ecuación z n = 1, (n = 1,,... se denominan raíces de la unidad y vienen dados or z n = e πk/n, k = 0,1,,...,n 1. Cuando k y n son corimos se denominan raíces rimitivas n-ésimas de la unidad. Residuos cuadráticos y sumas trigonométricas Sea un rimo imar, consideramos la suma T( = ( πn tan 1 n=1 Si C es un sistema comleto de residuos cuadráticos módulo. En virtud de la roiedad 1, la exresión (1 toma la forma T( = ( jπ tan ( j C ya que es imar, 1(mod4 ó 3(mod4. Si 1(mod4, or la roiedad, C C(mod lo que imlica que T( = 0. Ejemlo Consideremos = y los conjunto de residuos cuadráticos C = {1,3,4,9,10,1} y C = { 1, 3, 4, 9, 10, 1}. Se observa que 1 1, 3 10, 4 9, 9 4, 10 3, 1 1 (mod. De (, obtenemos: T( = [ tan ( π T( = [ tan ( π T( = 0 ( 3π ( 3π ( 4π ( 4π ( 9π ( 4π ( 10π ( 3π (1 ( 1π ] ( π ] Sean 3(mod4 y ζ = e πi, entonces ζ es una raíz rimitia -ésima de la unidad. Al hacer uso de la idntidad: tan(x = i 1 e ix 1+e ix

4 Factorial!-Revista matemática de la Universidad de Panamá 3 La fórmula (, toma la forma: T( = j C 1 ζ j 1+ζ j (3 En Laradji, A. (010, se deriva de (3 que T( es equivalente a T( = i Lo sorrendente es que la exresión 1 1 ( 1 k k=1 1 S(k, = ζ k, j=0 ζ k (4 ara k = 1,,..., 1 es de un tio articular de sumas incomletas de Gauß, las cuales se calculan a través de la fórmula: ( k S(k, = i (5 Combinando(4 y(5, obtenemos otra exresión ara T( en función del símbolo de Legendre: T( = 1 ( k ( 1 k+1 k=1 ( (6 Esta nueva exresión resenta ventajas, ya que = ±1, si k es un residuo cuadrático o un residuo no cuadrático. Podemos calcular fácilmente T( como un entero imar divisible or y no or otras otencias de, de la siguiente manera: T( = (q 0 ( q e ( (7 dondeq e (yq o (reresenta,resectivamente,lacantidadderesiduoscuadrático ares e imares módulo. Ejemlo 3 Analicemos el caso ara = 19 y el conjunto comleto de residuos cuadráticos C, dado en el ejemlo 1. Tenemos que q o ( = 6 y q e ( = 3 y or lo tanto T( = 19(6 3 = 57. Comarando este valor con el obtenido en Mathematica, la ecuación T( en (1 ara cualquier rimo imar, se obtiene: ( q [ In[1] = T[a ]:= Sum Tan In[] = T[19] Out[1] = j=0 k [ N[Pi,10]k ]] q,{k, 0, (q-1/}

5 Factorial!-Revista matemática de la Universidad de Panamá 33 Con la finalidad de generalizar este estudio, consideremos un rimo fijo un rimo fijo y la función definida ara todo x R or T(,x = ( jπx tan (8 j C A continuación resentamos una rutina en Mathematica ara calcular esta nueva suma ara un fijo. A artir de esta rutina (función se uede derivar dos tios de gráficas, uno ara el caso discreto y el otro ara el caso continuo. En el caso discreto cuando fijamos = 19 y variamos x de 0 a 4 el valor T[, y ] es 57 ó -57, como se observa a continuación. vemos que T(19,x 57. Procediendo de manera análoga ara el caso continuo, la gráfica viene dada or:

6 Factorial!-Revista matemática de la Universidad de Panamá 34 la exresión (8 es una función eriódica y de eríodo 19, continua y acotada. De inmediato surge la regunta, Se mantendrá este comortamiento ara otros rimos de la forma 4k +3?, Procedamos analizar el caso = 103 y x variando de 0 hasta 10. Por (7, y con la siguiente rutina en Mathematica obtenemos los valores de T(,x. Entonces T(103 = 103(3 8 = 515. Igual que ara el caso anterior; se uede obtener, resectivamente, la gráfica discreta y continua, las cuales mostramos a continuación.

7 Factorial!-Revista matemática de la Universidad de Panamá 35 Se observa el mismo comortamiento que el caso = 19, es decir T(103,x T(103 = 515 y la exresión (8 es una función, (ara = 103 eriódica con eríodo 103, continua y acotada. Sorrendente! Para todos los rimos de la forma 4k + 3, es osible demostrar que este comortamiento se mantiene. Ahora describiremos un rocedimiento ara determinar el signo de T(, ara tal efecto tengamos resente que: Si 3(mod4 entonces 3(mod8 ó 7(mod8. Del artículo 98, Gauss, F.(1995, la ecuación (1 se reescribe: 1 ( πn T( = tan n=1 La Desigualdad de A. L. Whiteman 1 ( πn cot > 0 n=1

8 Factorial!-Revista matemática de la Universidad de Panamá 36 Tomando en cuenta la identidad tanθ = cotθ cotθ la exresión en el unto, se escribe de la forma 1 ( πn T( = cot n=1 ( πn cot 1 Así, si 7(mod8 or la roiedad 4-a, se deduce que T( < 0 y el número de residuos cuadráticos imares es menor que el número de residuos cuadráticos ares. Si 3(mod8 imlica que T( > 0, (or la roiedad 4-b, y or ende el número de residuos cuadráticos imares es mayor que el número de residuos cuadráticos ares. El número de clases y el símbolo de Legendre Los restos cuadráticos también se utilizan ara hacer un cálculo ráido y reciso del número de clases de la forma cuadrática binarias reducidas. Presentamos, rimeramente, algunas definiciones útiles ara centrarnos en el número de clases antes señalado. Una forma cuadrática binaria es un olinomio f(x,y Z[x,y], el cual es homogéneo de grado. Su forma general es: n=1 f(x,y = ax +bxy +cy El discriminante de la forma cuadrática binaria f(x,y = ax + bxy + cy se define or D = b 4ac. Si a y c son ambos ositivos y D es negativo, diremos que f es definida ositiva. En el caso en que b a < c y si b = a ó a = c entonces b 0, diremos que f es reducida. Un entero D es un discriminante fundamental si D 1(mod4 y es libre de cuadrado o D 0(mod4, D/4 es libre de cuadrado y D (mod4, ó D 3(mod4. En articular, si es rimo y 3(mod4, es un discriminante fundamental. El número de clases h(d se define como el número de formas cuadráticas binarias reducidas de discriminante D. En el corolario.3 del artículo, B.C. Berndt y A. Zaharescu (008, rueban que h( = 1 1 k=1 ( k cot ( kπ A artir de esta última exresión y de los resultados aquí mostrados, se tiene que: q e ( q 0 ( si 7(mod8. h( = 1 3 [q e( q 0 (] si 3(mod8. Ejemlo 4 Calculemos h( 11. Como 11 3(mod8, tenemos tenemos que:

9 Factorial!-Revista matemática de la Universidad de Panamá 37 h( 11 = 1 3 (q o(11 q e (11 = 1 3 (4 1 = 1 Este tio de cálculos se ueden verificar con el uso de la siguiente rutina en Mathematica Esto nos indica que sólo hay una forma cuadrática binaria reducida del discriminante -11, y así todas las formas de discriminante -11 son equivalentes y or ende reresentan los mismos enteros. También obtenemos: h( 3 = h( 7 = h( 19 = h( 43 = h( 163 = 1 Gauß, en Disquisitiones Arithmeticae, conjeturó nueve discriminantes fundamentales D asociados a la forma cuadrática con h(d = 1 y en consecuencia otros tantos cueros imaginarios con anillos de enteros donde vale el rinciio de factorización única. Referencias [1] Aostol, T. M Introducción a la Teoría Analítica de Números. Sringer- Verlag, Barcelona [] Berndt, B.C. &Zaharescu, A Finite Trigonometric sums and class number. Math. Ann [3] Boccara, Nino Essentials of Mathematica: with Alications to Mathematics and Physics. Sringer, Chicago Illinois. [4] Burton, D Elementary Number Theory. Allyn & Bacon, Boston [5] Chamizo, F Formas Cuadráticas Binarias Definidas Positivas. htt:// di/ciencias/fchamizo/kiosco/files/qua010. df [6] Gauß, K. F Disquisitiones Arithmeticae. Universidad de Costa Rica, San José. [7] Krantz, S. G An Eisodic History of Matehemathic: Mathematical Culture Through Problem Solving. TheMathematicalAssociation of America, USA [8] Laradji, A., Mignotte, M. & Tzanakis, N Elementary

10 Factorial!-Revista matemática de la Universidad de Panamá 38 Trigonometric Sums related to Quadratic Residues. Math. N. T. 1-9 [9] Lemmermeyer, F Recirocity Laws: From Euler to Eisenstein. Sringer- Verlag, New York [10] Leveque, W. J Teoría Elemental de los Números. Herrero Hermano, México: Centro Regional de Ayuda Técnica, [11] Lóez, R Formas Cuadráticas, Gruo de Clases y Factorización de Enteros. htt://smm.org.mx/smmp/html/modules/publicaciones/am/cm/35/ artex06.df