Sobre el caracter cuadrático de 2 módulo un número primo impar

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1 Abstractio & Alicatio UADY Sobre el caracter cuadrático de módulo u úmero rimo imar Carlos Jacob Rubio Barrios a, Jesús Efré Pérez Terrazas Facultad de Matemáticas, Uiversidad Autóoma de Yucatá, México a carlosrubio@uadymx Abstract Here we recall two ways to comute the symbol of Legedre for over the odd rime usig the roduct of cosie fuctios Resume Recordamos dos formas de calcular el símbolo de Legedre de sobre el rimo imar usado el roducto de fucioes coseo Keywords ad hrases : Fució trigoométrica, módulo, residuo cuadrático, símbolo de Legedre 010 Mathematics Subject Classificatio : 11A99 1 Itroducció E Matemáticas es comú el uso de recursos aritméticos, algebraicos, etc, que solemos describir como trucos, los cuales a veces so largos y tediosos, ero tambié los hay que so agradables e icluso estéticos, como geeralmete ocurre al calcular el símbolo de Legedre El símbolo de Legedre casi es u bit, ues el valor de a, co rimo e los aturales y a u etero o divisible or luego distito de cero, es 1 si existe z N tal que z a mod y 1 e caso cotrario Las fórmulas que se usa ara calcular el mecioado símbolo usa argumetos muy igeiosos, alguos atribuido a Gauss ver, or ejemlo, los teoremas 3 y 34 de [1], y e este escrito queremos mostrar dos idetidades que se obtiee a artir de multilicar fucioes trigoométricas, esecíficamete coseos evaluados adecuadamete La rimera de ellas la hemos tomado de [], Caítulo 5, Ejercicio 3, y eucia que si es u úmero rimo imar etoces 1/ cos jπ 11 46

2 J Rubio, E Pérez 47 E este escrito, daremos ua demostració del resultado revio, y robaremos que tambié se cumle la siguiete relació aáloga, la que osiblemete es coocida: 1/ cos j π 1 cuado es u rimo imar Resultados Prelimiares Por coveció, cuado a C {0} se tiee que a 0 1, y cuado f : R R es ua fució o costate se establece que comoer cero veces f cosigo misma es la fució costate 1, es decir f 0 r 1 ara cada r R Lema 1 Para cada etero ositivo se tiee que: se π se π se 1 π 1 Demostració: Sea ω 0, ω 1,, ω 1 las raíces -ésimas de la uidad Para k 0, 1,, 1 teemos que ω k ω k dode ω cos π + i se π, y que el oliomio tiee or raíces a ω 1,, ω 1 Luego, E articular, si x 1 obteemos que x 1 x 1 x 1 + x + + x + 1 x 1 + x + + x + 1 x ω x ω x ω 1 1 ω 1 ω 1 ω 1 Tomado módulos obteemos 1 ω 1 ω 1 ω 1, dode 1 ω k 1 cos kπ kπ + i se 1 cos kπ 1 cos kπ se kπ ara k 1,,, 1 ótese que elegimos la raíz ositiva y que la fució seo se está evaluado etre 0 y meos de π radiaes 180 grados Por lo tato, de dode se sigue el resultado se π se π se 1π, Lema Para cada etero ositivo se tiee que: cos π cos π 1π se π se 4π 1π se

3 48 Sobre el caracter cuadrático de módulo u úmero rimo Demostració: Sea x cos π cos π x 1 1π Por el Lema 1 teemos que: se π cos π se π cos π 1 se π 1 se 4π 1 1 se π se 4π 1π se 1 1π se 1π se, cos 1π de dode x se π se 4π se 1π Lema 3 Para cada etero ositivo imar, se tiee que: cos π cos π 1 π Demostració: Observemos rimero que: se se π se 3π π + 1π se, + 3π se, se π Etoces: 1 se πj se π se 3π π se se 1π se 1 1 se π se 4π π se se π se 4π + 3π se 1π se 1π 1π se se π se 4π Alicado los Lemas 1 y teemos etoces que: 1 π 1 1 cos cos π 1π, de dode cos π cos π 1π ± 1 1, dode el sigo deede de si 1 es ar o imar Lema 4 Para cada etero ositivo imar, se tiee que: cos π cos 4π 1π u 1 1, co u { 1, 1}

4 J Rubio, E Pérez 49 Demostració: Observemos rimero que: cos cos π cos 3π π 1π cos 3π cos cos π Etoces: cos π cos π 1π 1 1 cos π cos 4π 1 π Luego, or el Lema 3 teemos que: 1 1 cos π cos 4π 1 π 1 1 1, así que cos π cos 4π 1π Demostració de 11 Alicado el Lema 4 ara, teemos que 1 cos jπ 1 1 cos jπ { 1, 1} Basta etoces determiar el sigo del roducto Como 1 j 1 jπ, teemos que 0 < decir, si y sólo si 0 < j < 4 Como j 1 y 4 Por lo tato, e el roducto 1 jπ cos egativos 1π < π Luego, cos jπ > 0 si y sólo si 0 < jπ < π, es o es etero, teemos que cos jπ > 0 si y sólo si 1 j 4 hay 1 4 térmios ositivos y, e cosecuecia, 4 térmios Si 1 mód 8, es decir que 8t+1 ara algú etero ositivo t, etoces hay 1 sigos egativos, así que la exresió es ositiva 4 4t t t Cuado 8t + 7, ara t etero o egativo, se tiee 1 4 4t + 3 t + 1 t +, or lo que el roducto es ositivo Para 8t + 3 co t etero o egativo teemos 1 4 4t + 1 t t + 1, or lo que el roducto es egativo E el caso 8t + 5, co t etero o egativo, se obtiee 1 4 4t + t + 1 t + 1, or lo que el roducto es egativo Por otra arte, es coocido que { 1 si ±1 mód 8 1 si ±3 mód 8

5 50 Sobre el caracter cuadrático de módulo u úmero rimo ver [], Proosició 513, o alicar la última idetidad del Teorema 33 de [1] 4 Demostració de 1 Teemos que: 1 cos j π 1 1 cos j π 1 cos π cos π 1 π Multilicado or se π y usado reetidamete la idetidad se x se x cos x, teemos que: se π 1 cos j π 3 se π cos π cos 3 π 5 se 3 π cos 3 π cos 4 π π se +1 1 π 1 π Como es u rimo mayor que teemos, segú el llamado teorema equeño de Fermat, que 1 1 mód, de dode 1 ±1 mód Por otra arte, or el criterio de Euler ver [], Proosició 41 1/ 1 mód si y sólo si es u cuadrado módulo Etoces, si es u cuadrado módulo, teemos que k ara algú etero k Luego: +1 π 1 π 1 + kπ π + kπ π + kπ, de dode se +1 π se π 1 y, or lo tato, cos j π 1 De maera aáloga, si o es u cuadrado módulo, etoces 1/ 1 + l ara algú etero l y se +1 π se π se π 1, de dode cos 1 j π 1 E coclusió, cos j π De las relacioes 11 y 1 teemos el siguiete resultado Corolario 41 Si es u úmero rimo imar, etoces 1 1 cos jπ cos j π

6 J Rubio, E Pérez 51 Referecias [1] Iva Nive, Herbert Zuckerma Itroducció a la Teoría de Números Limusa, 1976 [] Keeth Irelad, Michael Rose A Classical Itroductio to Moder Number Theory Graduate Texts i Mathematics, Secod Editio Sriger-Verlag, 1990