Desarrollo: Teorema: El número natural impar p=2k+1 es primo si, y solamente si, él pertenece a todos los intervalos abiertos de la forma I x =

Transcripción

1 Hacia ua ueva caracterizació de los úmeros rimos. Autores: Dr.Eberto Rodobaldo Morgado Morales Dto. de Matemáticas. MSc. Fracisco Arturo Ruiz Martíez Dto. de Física Uiversidad Cetral Marta Abreu de Las Villas Resume. E el resete trabajo se rueba u teorema de caracterizació ara la rimalidad de u úmero atural imar. Se da ua codició ecesaria y suficiete ara que u úmero atural imar sea rimo. Del roio teorema se deriva u algoritmo secillo que sirve ara determiar la rimalidad o o de u úmero imar dado. Abstract. I the reset work a characterizatio theorem for the rimality of a odd atural umber is roved. A ecessary ad sufficiet coditio for a odd atural umber to be rime is give. From the roer theorem a simle algorithm for the determiatio of the rimality of a give odd umber is derived. Itroducció. U úmero rimo es or defiició u úmero atural diferete de que solamete es divisible or y or sí mismo. El úico rimo que es ar es el úmero siedo todos los demás imares es decir úmeros de la forma =k dode k es otro atural. Por sus alicacioes e la Critología es imortate oder disoer de algoritmos eficietes que ermita determiar si u úmero imar grade es o o rimo. Demostraremos u teorema que da a uestro juicio ua ueva caracterizació de los úmeros rimos de la cual udiera derivarse la imlemetació de u bue algoritmo ara determiar la rimalidad. Desarrollo: Teorema: El úmero atural imar =k es rimo si y solamete si él erteece a todos los itervalos abiertos de la forma I = ( ) ( ) ara todo {kk k-} siedo

2 = la arte etera or defecto de la fracció. Demostració: Si es rimo ara todo { -} la fracció o es u úmero etero y or cosiguiete es u úmero racioal estrictamete comredido etre dos eteros cosecutivos y. Es decir < < De la desigualdad de la izquierda resulta si lo cual equivale a > = k que < ( ) y de la arte derecha ( ) <. Por cosiguiete erteece al itervalo abierto I si {kk k-}. Recírocamete si o es rimo eiste algú valor de >k ara el cual el úmero es u etero luego es igual a su arte etera =. De = se obtiee que sigifica que o erteece al itervalo abierto I = = y esto ( ) ( ) ( ) ues es igual a su míima cota suerior derecha o icluida e I. Co esto culmia la demostració. Ejemlos: A cotiuació ilustraremos co dos ejemlos equeños las osibles alicacioes del teorema. Iicialmete aalicemos el úmero imar =6= () Los valores de so los del cojuto { } de los cuales los rimeros determia los itervalos abiertos: I =] [ =]86[ co = I = =]9. 66[ co = I = =]68[ co = I = =].70[ co = I 6 = = ]7[ co 6 = I 7 = =].7[ co 7 = I 8 = =]776[ co 8 =

3 I 9 = =]8.78[ co 9 = I 0 = =]6080[ co 0 = I = =]6. 8[ co = I =] [ =]66[ co = De estos los rimeros 0 cotiee al úmero 6 ero el último o ues 6 es su cota suerior míima.esto sigifica que 6 es divisible or 6-=. Luego o es u úmero rimo. Hagamos ahora el mismo roceso co el úmero 6=(0). Los valores de so los del cojuto { } los cuales determia los itervalos abiertos: I =] [ =]6. 6[ co = I = ]8 6[ co = I = ]9. 66[ co = I = ]68[ co = I = ].70[ co = I 6 = ]7[ co 6 = I 7 = ].7[ co 7 = I 8 = ]776[ co 8 = I 9 = ]8.78[ co 9 = I 0 = ]60 80[ co 0 = I =] [ =].66 6.[ co = I = ]66[ co = I = ]7. 6.[ co = I = ] [ co = I = ]6067.[ co = I 6 = 6] [ = ]7. 6.[ co 6 = I 7 = ] [ co 7 = I 8 = ]60 6[ co 8 = 6 I 9 = 9] [ = ]8.8 6.[ co 9 = I 0 = ]60 6.[ co 0 = 7 6 I = ] [ = ]9. 6.[ co =6 6 I = ] [ co =6

4 I =] I = ] I = ] I 6 = 6] I 7 = 7] I 8 = 8] I 9 = 9] [ =] [ co =7 [ =] [ co = 8 [ =]60. 6.[ co =0 [ =] [ co 6 = [ = ] [ co 7 = [ =] [ co 8 =0 [ =] [ co 9 =0 Se arecia que ara todos los valores admisibles de el úmero 6 erteece al itervalo abierto I. Esto sigifica que el úmero 6 sí es u úmero rimo. Observacioes: ) Ocurre a veces que ara diferetes valores de el valor es el mismo. Esto sigifica que la fució que a cada asiga o es iyectiva. De hecho ara todos los valores de etre y k el valor de es igual a. Es además ua fució moótoa creciete ues a medida que aumeta los se reite o aumeta. ) Los valores de o barre todos los valores del cojuto de los úmeros etre y k ues se roduce saltos. Esto sigifica que vista como ua fució del cojuto de los úmeros etre y - dode varía la e el cojuto de los úmeros etre y k dode varía o es ua fució sobreyectiva. ) Cuado a y a les corresode el mismo valor = ara obteer el itervalo I o es ecesario multilicarsio solamete sumarle a los etremos del itervalo I los etremos del itervalo básico ] [. ) El icremeto del valor de se realiza cuado al sumar la fracció co el úmero etremo izquierdo del itervalo I se obtiee u úmero que ecede al úmero lo cual o es admisible. E ese caso se icremeta el valor de oiedo = y se obtiee el uevo itervalo I mediate la multilicació del úmero or los etremos del

5 uevo itervalo básico ] [. Si el etremo izquierdo vuelve a ser mayor que se icremeta de uevo el valor de y así sucesivamete.