PROYECTO DE CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL ASIGNATURA: ESTADÍSTICAS II UNIDAD III: TECNICAS DE ESTIMACIÓN ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

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1 PROYECTO DE CARRERA: INGENIERÍA INDUTRIAL AIGNATURA: ETADÍTICA II UNIDAD III: TECNICA DE ETIMACIÓN ETIMACIÓN POR INTERVALO INTRODUCCIÓN E temas ateriores se estableciero las bases que ermite a los estadísticos etraer coclusioes acerca de los arámetros de la oblació a artir de datos eerimetales. Esto imlica el coocimieto de la distribució muestral del estadístico y de la relació establecida co el arámetro. La teoría de iferecia estadística cosiste e aquellos métodos or los que se realiza iferecias o geeralizacioes acerca de ua oblació. Esta se uede dividir e dos áreas riciales: La estimació y la rueba de hiótesis. A cotiuació se eoe los cocetos de esta teoría así como alguos ejemlos y ejercicios rouestos ara su aálisis. EL PROBLEMA DE ETIMACIÓN e uede hacer dos tios de estimacioes cocerietes a ua oblació: ) La estimació utual y ) La estimació or itervalo. Ua estimació utual es u solo úmero que se utiliza ara estimar u arámetro descoocido. A meudo ua estimació utual es isuficiete debido a que sólo tiee dos ocioes: es correcta o está equivocada. Por otra arte o se tiee certeza de que la estimació sea cofiable e algua medida. Por tal motivo ua estimació utual es mucho más útil si viee acomañada or ua estimació del error que odría estar imlicado. La estimació or itervalo e cambio es u rago de valores que se utiliza ara estimar u arámetro. Ua estimació de este tio idica el error de dos maeras: ) Por etesió del itervalo y ) Por la robabilidad que el arámetro esté coteido e el itervalo.

2 De esta maera se tiee ua mejor idea de la cofiabilidad de la estimació. PROPIEDADE DE LO ETIMADORE PUNTUALE Alguos estadísticos so mejores estimadores que otros. Afortuadamete éstos uede ser comarados e relació a ciertas roiedades o características deseables tales como: ) esgo ) Cosistecia 3) Eficiecia 4) uficiecia Para ecotrar estimadores co esas roiedades se usa dos métodos ricialmete: el método de cuadrados míimos y el método de máima verosimilitud. i embargo eiste otros métodos como el método de los mometos y el método de estimació de Bayes. A cotiuació se describirá e que cosiste cada ua de éstas roiedades ara los estadísticos e geeral. Estimador Isesgado e dice que u estadístico θ (léase tita sombrero) es u estimador isesgado del arámetro θ sí = E( ) = θ. θ θ Ejemlo: Muestre que X es u estimador isesgado de la media oblacioal olució: i E( i ) = E( ) = E = = = =

3 Estimador Cosistete ea θ (que se calcula a artir de la muestra X X X ) u estimador del arámetro oblacioal θ. í P( θ θ) cuado etoces θ se deomia u estimador cosistete de θ. Estimador Eficiete í se ecotrara u estimador co variaza iferior a la de cualquier otro estimador se utilizaría este como base de la medida de la eficiecia; e térmios de eficiecia se dice que este estimador de variaza más equeña es u estimador eficiete. i cosideramos todos los osibles estimadores isesgados de algú arámetro θ el de meor variaza se llamará: estimador más eficaz de θ. Estimador uficiete U estadístico suficiete es u estimador que utiliza toda la iformació que osee ua muestra ara estimar el arámetro. Por ejemlo y so estadísticos suficietes ara y π resectivamete dado que el cálculo de estos estadísticos ivolucra a cada uo de los valores observados e la muestra. X ACTIVIDAD PARA EL ALUMNO Ivestigar los distitos métodos que eiste ara obteer estimadores co las roiedades deseables que se mecioaro ateriormete. LA ETIMACIÓN POR INTERVALO Como ya se dijo ates es referible determiar u itervalo el cual eseraríamos que cotuviera el valor del arámetro e cotraosició a suoer que ua estimació utual obteida de ua muestra sea eactamete igual al arámetro oblacioal. E este setido la estimació or itervalo comlemeta la estimació utual dado que cosidera dicho valor utual del estadístico más o meos u error de estimació el cual se estudiará más adelate. 3

4 La estimació or itervalo de u arámetro de oblació θ ecierra u rago de valores (o itervalo) de la forma θ LI < θ < θ L dode θ LI y θ L rereseta lo etremos o límites iferior (LI) y suerior (L) del itervalo y deede tato del valor del estadístico θ ara ua muestra esecífica como de su distribució muestral ƒ ( θ ). A cotiuació se defie tres cocetos estrechamete relacioados e la costrucció de itervalos de cofiaza: Estos so: Itervalo de Cofiaza Nivel de Cofiaza y Valor Crítico. Itervalo de Cofiaza IC U itervalo de cofiaza es u cojuto o rago de valores que se usa ara estimar el valor real de u arámetro oblacioal. Nivel de Cofiaza - El ivel de cofiaza es la robabilidad - idicativa de la roorció de veces que el IC realmete cotiee el arámetro de la oblació suoiedo que el roceso de estimació se reite u gra úmero de veces. Valor Crítico Z U valor crítico es u úmero que está e la frotera que seara aquellos valores del estadístico que robablemete ocurrirá de aquellos valores del estadístico que o tiee osibilidades de ocurrir. Por ejemlo el valor crítico Z que corresode a u ivel de cofiaza (-) del 95% es la utuació Z co la roiedad de que seara u área de = 005 e la cola derecha de la distribució ormal estádar tal como se muestra e la siguiete figura. 4

5 Nivel de Cofiaza del 95% - = 095 = 005 = Z = -96 Z = 0 Z = 96 Figura. Curva de la distribució ormal idicado las áreas y valores críticos ara u ivel de cofiaza del 95%. Fuete: Autor. Alguos de los valores críticos Z usados co mayor frecuecia e la estimació or itervalos cuado la distribució muestral del estadístico corresode a ua distribució ormal se idica e la siguiete tabla: Tabla. Valores críticos más utilizados e la costrucció de IC co estadísticos cuya distribució muestral corresode a la distribució ormal estadarizada. Nivel de cofiaza (- ) Valor crítico Z 90% % % ACTIVIDAD PAR EL ALUMNO Ecuetre los valores críticos corresodietes a los iveles de cofiaza del y 99 or cieto sabiedo que la distribució muestral del estadístico es la distribució t de studet co ν = grados de libertad (g.l.). 5

6 ERROR DE ETIMACIÓN Cuado se utiliza los datos de ua muestra aleatoria simle ara estimar u arámetro oblacioal θ el marge de error que se deota co la letra mayúscula E rereseta la diferecia máima robable (co robabilidad -) etre el valor del estadístico θ calculado a artir de la muestra y el valor real del arámetro θ. El error de estimació tambié se cooce como error máimo del estimado o error de estimació y se calcula multilicado el valor crítico θ or la desviació estádar del estadístico como se muestra e la siguiete fórmula: θ E = θ * θ Ua vez coocido el error de estimació se uede costruir el itervalo de cofiaza siguiedo el rocedimieto que a cotiuació se detalla. PROCEDIMIENTO GENERAL PARA CONTRUIR UN INTERVALO DE CONFIANZA. Verificar que los suuestos requeridos se satisfaga.. Calcular el valor crítico corresodiete al ivel de cofiaza que se deseado. 3. Evaluar el marge de error E. 4. Calcular los valores corresodietes a los límites de cofiaza del itervalo: a. θ LI = θ - E b. θ L = θ E 5. Erese el itervalo e alguo de los siguietes formatos: a. ( θ LI θ L ) b. θ E c. θ LI < θ < θ L A cotiuació se dará alguos ejemlos de cómo obteer itervalos de cofiaza ara la media oblacioal siguiedo los asos descritos e el rocedimieto aterior. 6

7 Estimació de la media oblacioal mediate u itervalo de cofiaza (cuado se cooce la desviació estádar de la oblació ).. Verificar que los suuestos requeridos se satisfaga. (Ver codicioes de validez del teorema). La muestra es aleatoria simle. e cooce el valor de la desviació estádar oblacioal. La oblació está ormalmete distribuida o > 30. Nota: La media muestral X es el mejor estimador utual de la media de la oblació dado que es u estimador isesgado cosistete eficiete y suficiete como se había mecioado ates.. Calcular el valor crítico corresodiete al ivel de cofiaza que se deseado. Por ejemlo si el ivel de cofiaza es de 95% (- = 095) el valor crítico es Z = 96. Nota: Recuérdese que segú el teorema del límite cetral odemos eserar que la distribució muestral de X = y desviació estádar = esté distribuida de forma aroimadamete ormal co media De aquí que el estadístico Z = ( X - ) = ( X - ) ( ) siga ua distribució ormal estadarizada: Z N(0). 3. Evaluar el marge de error E = θ * Nota: E este caso θ es reemlazado or X el cual tiee ua distribució ormal (como se elica e el aso aterior) y que será equivalete a la variable aleatoria Z ua vez que se haya hecho la estádarizació. Por lo tato θ es e este caso: Z y es igual a: θ θ De aquí que E = Z * 7

8 4. Calcular los valores corresodietes a los límites de cofiaza del itervalo: θ LI = θ - E X LI = X - (Z * ) θ L = θ E X L = X (Z * ) 5. Erese el itervalo e alguo de los siguietes formatos: a. ( θ LI θ L) ( X LI X L) b. θ E X E c. θ LI < θ < θ L X LI < θ < X L Nota: Cualquiera de estas tres formas de eresar el itervalo es similarmete correcta. Estimació de la media oblacioal mediate u itervalo de cofiaza (cuado NO se cooce la desviació estádar oblacioal ). Como se dijo ates la media muestral es el mejor estadístico ara estimar la media oblacioal si embargo el hecho de que la desviació estádar de la oblació sea descoocida obliga a redefiir la distribució muestral de X. Por lo tato e este caso articular X uede ser descrita co mayor eactitud mediate la distribució t de studet a la cual ya se ha hecho referecia e otras oortuidades. Co esto e mete sígase el rocedimieto geeral ara la costrucció de itervalos de cofiaza euesto ates. X. Verificar que los suuestos requeridos se satisfaga. La muestra es aleatoria simle. La oblació está ormalmete distribuida o > 30.. Calcular el valor crítico corresodiete al ivel de cofiaza que se deseado. Hallar or medio de la tabla de la distribució t el valor t co ν = - (g.l.). 3. Evaluar el marge de error E. X 8

9 Para este caso el estadístico tiee ua desviació estádar equivalete a or lo tato el error de estimació viee dado or: E = t * 4. Calcular los valores corresodietes a los límites de cofiaza del itervalo: X X LI = L = X - E X E 5. Erese el itervalo e alguo de los siguietes formatos: X ( X LI X L ) E X LI < < X L Estimació de la variaza ( ) y la desviació tíica () de la oblació mediate u itervalo de cofiaza ara u ivel de cofiaza del (-)%. ea la variaza de ua muestra aleatoria de tamaño de ua oblació ormal etoces el estadístico: (-)* es ua variable aleatoria llamada χ cuya distribució muestral corresode a ua distribució chi-cuadrada co - grados de libertad. Para la costrucció del itervalo de cofiaza e este caso el rocedimieto difiere u oco del caso geeral eslicado ates dado que la distribució chi-cuadrada o es simétrica y además está defiida solo ara valores ositivos. cotiuació: E cosecuecia de esto se debe obteer los límites de cofiaza como se idica a LI L = (-)* χ - y = (-)* χ - - Luego se eresa el itervalo e uo de los modos acostubrados. Observacioes:. es la variaza muestral y se calcula mediate la fórmula: = ( i - ) ( -). Los valores críticos χ - y χ - - ara el Nivel de Cofiaza del (-)% so obteidos de la distribució chi-cuadrada co - g.l. y corresode a aquellos 9

10 valores bajo la curva que deja u área de e cada cola de dicha distribució como se muestra e la gráfica siguiete. Gráfica de la Distribució χ χ - χ - - χ Figura. Distribució Chi-cuadrada idicado los valores críticos ara el Nivel de Cofiaza del (-)%. Fuete: Autor. 3. E el caso de la desviació estádar los límites de cofiaza ara el ivel de (-)% so los siguietes: LI = (-)* χ - y = (-)* χ - - L INTERVALO DE CONFIANZA PARA LO PARÁMETRO MAYORMENTE UTILIZADO A cotiuació se resume los itervalos de cofiaza de aquellos arámetros que se utiliza co mayor frecuecia e roblemas de estimació estadística así como el estadístico utilizados. 0

11 Parámetro Estadístico Itervalo de cofiaza ( coocida) (0) N Z ( descoocida) t t (sí > 30) ( ) χ ( ) ( ) χ χ ( ) ( ) χ χ B() (0) ) ( N Z ) ( (cuado > 5 y q > 5) B( ) y B( ) (0) N Z - ( y coocidas) ( ) ( ) (0) N Z Z

12 Parámetro Estadístico Itervalo de cofiaza t f - ( o dadas) ( ) ( ) f t ( ) ( ) = f Z (cuado > 30) - ( = o dadas) ( ) ( ) t ) ( ) ( = t F F F F F