9- Intervalos de confianza

Transcripción

1 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli 9- Itervalos de cofiaa 9. Itroducció e ha visto como costruir a artir de ua muestra aleatoria u estimador utual de u arámetro descoocido. E esos casos ecesitábamos dar alguas características del estimador como or ejemlo si era isesgado o su variaa. A veces resulta más coveiete dar u itervalo de valores osibles del arámetro descoocido de maera tal que dicho itervalo cotega al verdadero arámetro co determiada robabilidad. Esecíficamete a artir de ua muestra aleatoria se costruye u itervalo ( Θ Θ ) dode los extremos Θ y Θ so dos estadísticos tal que ( ( θ Θ Θ ) dode θ es el arámetro descoocido a estimar y es u valor real etre cero y uo dado de atemao. or ejemlo si 0.05 se quiere costruir u itervalo ( Θ Θ ) tal que ( θ ( Θ Θ ) o escrito de otra forma ( Θ θ Θ ) Esta robabilidad tiee el siguiete sigificado: como Θ y Θ so estadísticos los valores que ellos toma varía co los valores de la muestra es decir si x x... x so los valores medidos de la muestra etoces el estadístico Θ tomará el valor θ y el estadístico Θ tomará el valor θ. i medimos uevamete la muestra obtedremos ahora valores x x... x y or lo tato Θ tomará el valor θ y el estadístico Θ tomará el valor θ diferetes e geeral de los ateriores. Esto sigifica que si medimos la muestra 00 veces obtedremos 00 valores diferetes ara Θ y Θ y or lo tato obtedremos 00 itervalos distitos de los cuales aroximadamete 5 de ellos o cotedrá al verdadero arámetro. Al valor se lo llama ivel de cofiaa del itervalo. Tambié se suele defiir como ivel de cofiaa al ( ) 00% La costrucció reetida de u itervalo de cofiaa ara se ilustra e la siguiete figura 53

2 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli 9. Itervalo de cofiaa ara la media de ua distribució ormal variaa coocida. El método geeral ara costruir itervalos de cofiaa es el siguiete llamado método del ivote: uogamos el siguiete caso articular sea (... ) ua muestra aleatoria de tamaño de ua v.a. dode ~ N( ) coocido se quiere costruir u itervalo de cofiaa ara de ivel. uogamos tomamos u estimador utual de sabemos que es u estimador co bueas roiedades. - a artir de costruimos el estadístico Z. Notar que Z (ivote) cotiee al verdadero arámetro y que bajo las codicioes dadas Z ~ N(0) 3- como coocemos la distribució de Z odemos latear: hallar u úmero tal que ( Z ) or la simetría de la distribució ormal estádar odemos escribir Z Φ Φ Φ 0. Φ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 95 or lo tato (.96 Z.96) Desejamos : Etoces ; ;.96 y tiee ivel de cofia- Es decir el itervalo de cofiaa ara es a 0.95 o 95%. Aquí Θ.96 y Θ.96 Reetimos el rocedimieto aterior y costruimos u itervalo de cofiaa ara co ivel de cofiaa 54

3 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli -artimos de la eseraa muestral i tamaño. abemos que es u estimador isesgado y cosistete de. -Costruimos el estadístico Z ~ N (0) / ara ua muestra aleatoria ( )... de La variable aleatoria Z cumle las codicioes ecesarias de u ivote ara costruir u itervalo de cofiaa al ivel de cofiaa - artiedo del ivote Z comeamos or latear la ecuació dode la icógita es el úmero real. ( Z ) - i reemlaamos la v.a. Z or su exresió teemos: / - Multilicado todos los miembros de la desigualdad or - (el orde de los miembros se ivierte) llegamos a: - Evidetemete si defiimos Θ hemos costruido dos estadísticos Θ y Θ Θ tales que ( Θ ) Θ - es decir hemos costruido el itervalo de cofiaa bilateral deseado [ Θ Θ ]. Todos los elemetos que forma los estadísticos Θ y Θ so coocidos ya que el úmero verifica la ecuació aterior es decir (ver figura): 55

4 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli ( Z ) Φ( ) Φ( ) - dode ( ) Φ es la Fda ara la v.a. Z ~ N (0) Recordado que ( ) Φ( ) Φ ( ) Φ( ) Φ( ) Φ esta ecuació queda: - o bie (ver figura aterior) ( ) Φ o de otra forma ( Z > ). Al valor de que verifica esta ecuació se lo suele idicar cofiaa bilateral al ivel de sigificació - queda: [ Θ Θ ] E cosecuecia:. E cosecuecia el itervalo de i(... ) ua muestra aleatoria de tamaño de ua v.a. dode ~ N( ) coocido u itervalo de cofiaa ara de ivel es (8.) Ejemlo: U igeiero civil aalia la resistecia a la comresió del cocreto. La resistecia está distribuida aroximadamete de maera ormal co variaa 000 (si). Al tomar ua muestra aleatoria de esecímees se tiee que x 350 si. a) Costruya u itervalo de cofiaa del 95% ara la resistecia a la comresió romedio. b) Costruya u itervalo de cofiaa del 99% ara la resistecia a la comresió romedio. Comare el acho de este itervalo de cofiaa co el acho ecotrado e el iciso a). olució: La v. a. de iterés es i : resistecia a la comresió del cocreto e u esécime i Teemos ua muestra de esecímees. Asumimos que i ~ N( ) ara i 3... co 000 a) Queremos u itervalo de cofiaa ara de ivel 95%. or lo tato El itervalo a utiliar es. Buscamos e la tabla de la ormal estádar el valor de. 96 Reemlaado: b) reetimos lo aterior ero ahora

5 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli El itervalo a utiliar es. Buscamos e la tabla de la ormal estádar el valor de. 58 Reemlaado: La logitud del itervalo ecotrado e a) es: La logitud del itervalo ecotrado e b) es: Notar que la seguridad de que el verdadero arámetro se ecuetre e el itervalo hallado es mayor e el itervalo b) que e el a) ero la logitud del itervalo b) es mayor que la del itervalo a). Al aumetar el ivel de cofiaa se erdió recisió e la estimació ya que a meor logitud hay mayor recisió e la estimació. E geeral la logitud del itervalo es L Notar que: a) si y está fijos a medida que dismiuye teemos que aumeta or lo tato L aumeta. b) si y está fijos etoces a medida que aumeta teemos que L dismiuye. odemos latearos la siguiete reguta relacioada co el ejemlo aterior: qué tamaño de muestra se ecesita ara que el itervalo tega ivel de cofiaa 95% y logitud la mitad de la logitud del itervalo hallado e a)? olució: el itervalo hallado e a) tiee logitud y queremos que el uevo itervalo tega logitud aroximadamete. lateamos: 000 L / Desejado : O sea hay que tomar or lo meos 84 esecímees ara que el itervalo tega la logitud edida. E geeral si queremos hallar tal que desejado L l dode l es u valor dado etoces l 57

6 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli i estimamos utualmete al arámetro co estamos cometiedo u error e la estimació L meor o igual a que se cooce como recisió del estimador Ejemlo: e estima que el tiemo de reacció a u estímulo de cierto disositivo electróico está distribuido ormalmete co desviació estádar de 0.05 segudos. Cuál es el úmero de medicioes temorales que deberá hacerse ara que la cofiaa de que el error de la estimació de la eseraa o exceda de 0.0 sea del 95%? L Nos ide calcular tal que < 0. 0 co or lo tato Además Etoces (. 96 5) O sea hay que tomar or lo meos 97 medicioes temorales. ara muestras tomadas de ua oblació ormal o ara muestras de tamaño 30 de ua oblació cualquiera el itervalo de cofiaa dado ateriormete e (8.) roorcioa bueos resultados. E el caso de que la oblació de la que se extrae la muestra o sea ormal ero 30 el ivel de cofiaa del itervalo (8.) es aroximadamete. ero ara muestras equeñas tomadas de oblacioes que o so ormales o se uede garatiar que el ivel de cofiaa sea si se utilia (8.). Ejemlo: uogamos que rereseta la duració de ua iea de equio y que se robaro 00 de esas ieas dado ua duració romedio de 50. horas. e sabe que la desviació estádar oblacioal es 4 horas. e desea teer u itervalo del 95% de cofiaa ara la eseraa oblacioal E ( ). olució: E este caso si bie o coocemos cuál es la distribució de teemos que el tamaño de la muestra es 00> 30 (muestra grade) or lo tato el itervalo buscado es uesto que De la tabla de la ormal estadariada obteemos Etoces reemlaado: ara el valor articular x 50. teemos el itervalo 58

7 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli x.96 x Al establecer que es u itervalo al 95% de cofiaa de estamos diciedo que la robabilidad de que el itervalo cotega a es O e otras alabras la robabilidad de que la muestra aleatoria (... ) tome valores tales que el itervalo aleatorio defia u itervalo umérico que cotega al arámetro fijo descoocido es Itervalo de cofiaa ara la media de ua distribució ormal variaa descoocida Nuevamete como se trata de ecotrar u itervalo de cofiaa ara os basamos e la ese- raa muestral i que sabemos es u bue estimador de. ero ahora o odemos usar como ivote a Z / orque descoocemos y ua codició ara ser ivote es que exceto or el arámetro a estimar ( e este caso ) todos los arámetros que aarece e él debe ser coocidos. Etoces rooemos como ivote ua variable aleatoria defiida e forma arecida a Z ero reemlaado or u estimador adecuado. Ya vimos que la variaa muestral defiida ( ) i dode es la eseraa muestral es u estimador isesgado de la variaa oblacioal V ( ) decir ( ) ( ) E V. Etoces estimamos co y rooemos como ivote a la variable aleatoria es T. / ero ara oder usar a T como ivote debemos coocer su distribució. e uede robar que la distribució de T es ua distribució llamada tudet co arámetro -. Nota: Ua v.a. cotiua tiee distribució tudet co k grados de libertad si su f.d.. es de la forma 59

8 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli ( k ) Γ ( x) < x< k πk Γ x k f k Notació: T ~ tk La gráfica de la f.d.. de la distribució tudet tiee forma de camaa como la ormal ero tiede a cero más letamete. e uede robar que cuado k la fd de la tudet tiede a la fd de la N (0 ). E la figura siguiete se grafica f(x) ara diferetes valores de k k k k t k Aotaremos al cuatil de la tudet co k grados de libertad que deja bajo la fd a derecha u área de y a su iquierda u área de. Luego ara costruir el itervalo de cofiaa buscado a artir del ivote T rocedemos como e los casos ateriores: Comeamos or latear la ecuació ( t T t) - dode la icógita es el úmero real t. i reemlaamos la v.a. T or su exresió teemos sucesivamete (multilicado or / y restado ): t t t t t t - / Multilicado todos los miembros de la desigualdad or - (el orde de los miembros se ivierte) llegamos a: 60

9 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli t t - Evidetemete si defiimos Θ t hemos costruido dos estadísticos Θ y Θ Θ tales que ( Θ ) Θ - t veamos quie es el úmero t que verifica la ecuació es decir (ver figura): k 4 grados de libertad t t ( t T t) F( t) F( t) - dode ( t) F es la Fda ara la v.a. T t. or la simetría de la distribució t de tudet se deduce fácilmete de la figura aterior que F t F t etoces: F ( ) ( ) ( t) F( t) F ( t) - o bie (ver figura aterior) F( t). Al valor de t que verifica esta ecuació se lo suele idicar cofiaa bilateral al ivel de sigificació - queda: t. E cosecuecia el itervalo de t t co E cosecuecia: F t. i(... ) ua muestra aleatoria de tamaño de ua v.a. dode ~ N ( ) descoocido u itervalo de cofiaa ara de ivel es t t (8.) 6

10 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli Ejemlo: e hiciero 0 medicioes sobre la resistecia de cierto tio de alambre que diero valores 0 x x... x0 tales que 0 i 0 x x i ohms y ( x i x).36 ohms. uógase 9 que ~N( ). e desea obteer u itervalo de cofiaa ara la eseraa oblacioal al 90 %. Teemos que / De la Tabla de la t de tudet teemos que t Etoces el itervalo de cofiaa buscado es: t t Esto es: [.69.7] 9. i la muestra aleatoria se toma de ua distribució ormal es descoocido y el tamaño de la muestra grade etoces se uede robar que al reemlaar or el estadístico i! Z N( 0 ) aroximadamete / y uedo costruir el itervalo ara como ates: ero su ivel es aroximadamete 9.4 Itervalo de cofiaa ara la diferecia de dos medias variaas coocidas uogamos que teemos dos variables aleatorias ideedietes ormalmete distribuidas: ~ N( ) y suoemos que las variaas y so coocidas. ~ N( ) ea además (... ) ua muestra aleatoria de tamaño de (... ) ua muestra aleatoria de tamaño de. Deseamos costruir u itervalo al ivel de cofiaa ara la diferecia de eseraas. Ya sabemos cuál es la distribució del romedio de variables aleatorias ormales ideedietes: 6

11 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli 63 i i i i N ~ N ~ Cosideremos ahora la diferecia Y. i y tiee distribució ormal y so ideedietes su diferecia tambié es ormal co eseraa igual a la diferecia de las eseraas y la variaa es la suma de las variaas: N ~. or lo tato ( ) ( ) N 0 ~ Z es decir tiee distribució ormal estadariada. La v.a. Z cumle co toda las codicioes ara servir de ivote y costruiremos uestro itervalo e forma aáloga a cómo hicimos e los casos ateriores: Comeamos or latear la ecuació ( ) Z - dode la icógita es el úmero real. Reemlaamos la v.a. Z or su exresió y teemos sucesivamete (multilicado or / y restado ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Multilicado todos los miembros de la desigualdad or - (el orde de los miembros se ivierte) llegamos a: ( ) Evidetemete si defiimos

12 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli Θ Θ habremos costruido dos estadísticos Θ y Θ tales que ( ) ( Θ ) - es decir Θ habremos costruido el itervalo de cofiaa bilateral deseado [ Â ] Â. Todos los elemetos que forma los estadísticos Θ y Θ so coocidos ya que el úmero verifica la ecuació aterior es decir: ( Z ) Φ( ) Φ( ) - dode ( ) Φ es la Fda ara la v.a. Z ~ N (0) o bie segú vimos: Φ ( ) que aotamos E cosecuecia el itervalo de cofiaa bilateral al ivel de sigificació - queda: or lo tato i y so dos variables aleatorias ideedietes ormalmete distribuidas: ~ N( ) ~ N( ) y suoemos que las variaas de ivel es itervalo de cofiaa ara la diferecia y so coocidas. U r (8.3) Ejemlo: e utilia dos máquias ara llear botellas de lástico co detergete ara máquias lavalatos. e sabe que las desviacioes estádar de volume de lleado so 0. 0 oas de líquido y 0.5 oas de líquido ara las dos máquias resectivamete. e toma dos muestras aleatorias botellas de la máquia y 0 botellas de la máquia. Los volúmees romedio de lleado so x oas de líquido y x oas de líquido. Asumiedo que ambas muestras roviee de distribucioes ormales Costruya u itervalo de cofiaa de ivel 90% ara la diferecia etre las medias del volume de lleado. olució: Como etoces

13 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli or lo tato El itervalo será ( ).65 ;( ) O sea ; i se cooce las desviacioes estádar y los tamaños de las muestras so iguales (es decir ) etoces uede determiarse el tamaño requerido de la muestra de maera tal que la logitud del itervalo sea meor que l l l ( ) L i las muestras aleatorias se toma de ua distribució ormal dode y so descoocidos 30 y 30 etoces se uede robar que al reemlaar or y or el estadístico ( ) N(0). aroximadamete y uedo costruir el itervalo ara como ates: (8.4) ero su ivel es aroximadamete ara muestras tomadas de dos oblacioes ormales o ara muestras de tamaño 30 y 30 de dos oblacioes cualesquiera el itervalo de cofiaa dado ateriormete e (8.3) roorcioa bueos resultados. E el caso de que la oblació de la que se extrae la muestra o sea ormal ero 30 y 30 el ivel de cofiaa del itervalo (8.3) es aroximadamete. Ejemlo: De ua muestra de 50 lámaras del fabricate A se obtuvo ua vida media de 400 hs y ua desviació tíica de 0 hs. Mietras que de ua muestra de 00 lámaras del fabricate B se obtuvo ua vida media de 00 hs. y ua desviació tíica de 80 hs. Halla los límites de cofiaa del 95% ara la diferecia las vidas medias de las oblacioes A y B. 65

14 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli olució: ea las variables aleatorias: : duració e horas de ua lámara del fabricate A : duració e horas de ua lámara del fabricate B No se dice cuál es la distribució de estas variables ero como 50 y 00 odemos usar el itervalo dado e (8.4) Teemos que x 400 x 00 s 0 y s 80. Además Etoces el itervalo es ; ; Observació: como este itervalo o cotiee al cero odemos iferir que hay diferecia etre las medias co robabilidad 0.95 es más odemos iferir que la media del tiemo de duració de las lámaras del fabricate A es mayor que la media del tiemo de duració de las lámaras del fabricate B co robabilidad Itervalo de cofiaa ara la diferecia de dos medias variaas descoocidas Nuevamete suogamos que teemos dos variables aleatorias ideedietes ormalmete distribuidas: ~ N ~ N ( ) ( ) y suoemos que las variaas y so descoocidas. ea además (... ) ua muestra aleatoria de tamaño de (... ) ua muestra aleatoria de tamaño de. ero ahora o o so mayores que 30 uogamos que es raoable suoer que las variaas descoocidas so iguales es decir Deseamos costruir u itervalo al ivel de cofiaa ara la diferecia de eseraas ea y las medias muestrales y los estimadores de la variaa comú Este estimador es y las variaas muestrales. Como y etoces costruimos u estimador combiado de ( ) ( ) e uede comrobar que es u estimador isesgado de. e uede robar que el estadístico so. 66

15 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli 67 ( ) T r tiee distribució tudet co grados de libertad or lo tato se latea la ecuació t T t o ( ) t t r Desejamos y queda la exresió t t Etoces Ejemlo: e iesa que la cocetració del igrediete activo de u detergete líquido ara roa es afectada or el tio de cataliador utiliado e el roceso de fabricació. e sabe que la desviació estádar de la cocetració activa es de 3 g/l si imortar el tio de cataliador utiliado. e realia 0 observacioes co cada cataliador y se obtiee los datos siguietes: Cataliador : Cataliador : a) Ecuetre u itervalo de cofiaa del 95% ara la diferecia etre las medias de las cocetracioes activas ara los dos cataliadores. Asumir que ambas muestras fuero extraídas de oblacioes ormales co variaas iguales. b) Existe algua evidecia que idique que las cocetracioes activas medias deede del cataliador utiliado? i y so dos variables aleatorias ideedietes ormalmete distribuidas: ( ) N ~ ( ) N ~ y suoemos que las variaas y so descoocidas e iguales es decir U itervalo de cofiaa ara la diferecia de ivel es t t / / ; (8.5)

16 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli olució: ea las variables aleatorias : cocetració del igrediete activo co cataliador : cocetració del igrediete activo co cataliador Asumimos que ambas variables tiee distribució ormal co variaas iguales Estamos e3 las codicioes ara usar (8.5) Teemos que x 65. x s s. 4 0 ( ) ( ) Calculamos or lo tato Buscamos e la tabla de la tudet t t Etoces el itervalo es ; [ ] 0 ; b) Existe algua evidecia que idique que las cocetracioes activas medias deede del cataliador utiliado ues el 0 o erteece al itervalo. E muchas ocasioes o es raoable suoer que las variaas so iguales. i o odemos garatiar que las variaas so iguales ara costruir u itervalo de cofiaa de ivel ara utiliamos es estadístico * T tiee aroximadamete ua distribució tudet co ν grados de liber- e uede robar que tad dode T * ( ) ( ) ( ) ( ) ν si ν o es etero se toma el etero más róximo a ν or lo tato lateamos la ecuació Y desejado el itervalo es * t T t ν ν 68

17 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli Etoces t ν t ν i y so dos variables aleatorias ideedietes ormalmete distribuidas: ~ N( ) ~ N( ) Ejemlo: Ua muestra de 6 soldaduras de u tio teía romedio de rueba fial de resistecia de 83. ksi y desviació estádar de 5.. Y ua muestra de 0 soldaduras de otro tio teía resistecia romedio de 7.3 ksi y desviació estádar de 3.. suogamos que ambos cojutos de soldaduras so muestras aleatorias de oblacioes ormales. e desea ecotrar u itervalo de cofiaa de 95% ara la diferecia etre las medias de las resistecias de los dos tios de soldaduras. olució: Ambos tamaños muestrales so equeños y las muestras roviee de oblacioes ormales. No odemos asumir igualdad de variaas. Etoces alicamos (8.6) Teemos que x 83. x 7. 3 s 5. s 3. 6; 0 Como etoces Además ν ( ) 5. 6 ( ) ( ) ( 5. ) ( 3. ) Etoces buscamos e la tabla de la tudet t. 365 or lo tato el itervalo es y suoemos que las variaas y distitas U itervalo de cofiaa ara la diferecia Dode y so descoocidas de ivel aroximadamete es t t (8.6) ν ν ν ( ) ( ) ( ) t ν t ν ;

18 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli 9.6 Itervalo de cofiaa ara ara datos areados Hasta ahora se obtuviero itervalos de cofiaa ara la diferecia de medias dode se tomaba dos muestras aleatorias ideedietes de dos oblacioes de iterés. E ese caso se tomaba observacioes de ua oblació y observacioes de la otra oblació. E muchas situacioes exerimetales existe solo uidades exerimetales diferetes y los datos está recoilados or ares esto es cada uidad exerimetal está formada or dos observacioes. or ejemlo suogamos que se mide el tiemo e segudos que u idividuo tarda e hacer ua maiobra de estacioamieto co dos automóviles diferetes e cuato al tamaño de la llata y la relació de vueltas del volate. Notar que cada idividuo es la uidad exerimetal y de esa uidad exerimetal se toma dos observacioes que o será ideedietes. e desea obteer u itervalo de cofiaa ara la diferecia etre el tiemo medio ara estacioar los dos automóviles. ; ;...;. E geeral suogamos que teemos los siguietes datos ( )( ) ( ) Las variables aleatorias y tiee medias y resectivamete. ea co j.... D j j j Etoces y V E ( D j) E( j j) E( j) E( j) ( D ) V( ) V( ) V( ) Cov( ) Cov( ) j j j j j j j Estimamos E ( D j ) co D D j ( j j) j E lugar de tratar de estimar la covariaa estimamos la V ( D j ) co D ( D j D) j D y D V( D j ) Aotamos Asumimos que D N( ) j ~ D D co j... Las variables aleatorias e ares diferetes so ideedietes o lo so detro de u mismo ar. ara costruir el itervalo de cofiaa otar que j T D D t D / etoces al latear la ecuació ( t T t) - deducimos que t t or lo tato el itervalo de cofiaa ara D de ivel se obtedrá al sustituir T e la ecuació aterior y desejar D El itervalo resultate es 70

19 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli Etoces D t D ; D t D Ejemlo: Cosideramos el ejemlo lateado al comieo. Deseamos u itervalo de ivel 0.90 ea las variables aleatorias : tiemo e segudos que tarda el idividuo j e estacioar automóvil co j... j : tiemo e segudos que tarda el idividuo j e estacioar automóvil co j... j Medimos estas variables de maera que teemos las siguietes observacioes Automóvil Automóvil diferecia sujeto (observació x j ) (observació x j ) D j A artir de la columa de diferecias observadas se calcula D. y. 68 Además t t etoces el itervalo ara la diferecia D de ivel 0.90 es Cuado las observacioes se da de a ares ( )( ; );...;( ) y las diferecias so tales que D N( ) D j j j j ~ D D ; ; ara j... u itervalo de cofiaa de ivel ara D es D D D t ; D t (8.7) D 7

20 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli 9.7 Itervalo de cofiaa ara la variaa de ua distribució ormal uogamos que se quiere hallar u itervalo de cofiaa ara la variaa de ua distribució ormal. ea (... ) ua muestra aleatoria de ua v.a. dode ~ N( ). Tomamos como estimador utual de a ( ) i ( ) Luego a artir de este estimador utual costruimos el estadístico Este estadístico cotiee al arámetro descoocido a estimar y tiee ua distribució coocida se uede robar que tiee ua distribució llamada ji-cuadrado co - grados de libertad Observació: i es ua v.a. cotiua se dice que tiee distribució ji-cuadrado co k grados de libertad si su f.d.. es f x) ( k ) x k Γ x ( e k x> 0 k Notació: ~ χ La distribució ji-cuadrdo es asimétrica. E la figura siguiete se grafica la desidad ara diferetes valores de k k k 5 k Aotaremos χ k al cuatil de la ji-cuadrado co k grados de libertad que deja bajo la fd a derecha u área de y a su iquierda u área de. roiedades: - e uede robar que si... so variables aleatorias ideedietes co distribució N (0) etoces Z... tiee distribució ji-cuadrado co grados de libertad. 7

21 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli - i... so variables aleatorias ideedietes tal que i tiee distribució jicuadrado co k i grados de libertad etoces Z... tiee distribució ji-cuadrado co k grados de libertad dode k k k... k 3- i ~ χ k etoces ara k grade ~ N k aroximadamete. ara desarrollar el itervalo de cofiaa lateamos hallar dos úmeros a y b tales que ( ) ( ) a b es decir a b e uede robar que la mejor elecció de a y b es: a χ y b χ k 5 χ χ or lo tato y desejado Etoces se llega a χ ( ) χ ( ) ( ) χ χ 73

22 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli... es ua muestra aleatoria de ua v.a. dode ~ N( ) u itervalo de cofiaa ara de ivel es ( ) ( ) ; (8.8) χ χ i ( ) Observació: u itervalo de cofiaa ara de ivel es ( ) ( ) ; χ χ Ejemlo: U fabricate de detergete líquido está iteresado e la uiformidad de la máquia utiliada ara llear las botellas. De maera esecífica es deseable que la desviació estádar del roceso de lleado sea meor que 0.5 oas de líquido; de otro modo existe u orcetaje mayor del deseable de botellas co u coteido meor de detergete. uogamos que la distribució del volume de lleado es aroximadamete ormal. Al tomar ua muestra aleatoria de 0 botellas se obtiee ua variaa muestral Hallar u itervalo de cofiaa de ivel 0.95 ara la verdadera variaa del volume de lleado. olució: La v.a. de iterés es : volume de lleado de ua botella e asume que ~ N( ) co descoocido. Estamos e las codicioes ara alicar (8.8) Teemos que χ χ 8. 9 y χ Además or lo tato el itervalo es ( ) ( ) ( 0) ( 0) ; χ χ ; Y u itervalo ara es ( ; 0.036) ( 0.09; 0.805) χ ( ; 0.036) or lo tato co u ivel de 0.95 los datos o aoya la afirmació que < Itervalo de cofiaa ara el cociete de variaas de dos distribucioes ormales 74

23 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli uogamos que se tiee dos oblacioes ormales e ideedietes co variaas descoocidas y resectivamete. e desea ecotrar u itervalo de ivel ara el cociete de las dos variaas. e toma ua muestra aleatoria de tamaño de ua de las oblacioes y ua muestra de tamaño de la otra oblació. ea y las dos variaas muestrales. Cosideramos el estadístico F Notar que F cotiee al arámetro de iterés ues F e uede robar que F tiee ua distribució llamada Fisher co y grados de libertad. Observació: ea ua variable aleatoria cotiua se dice que tiee distribució Fisher co u grados de libertad e el umerador y v grados de libertad e el deomiador si su fd es de la forma f ( x) u v u Γ v u u u v u v u Γ Γ x v x 0< x< E articular si W e Y so variables aleatorias ideedietes ji-cuadrado co u y v grados de libertad resectivamete etoces el cociete W F u Y v Tiee ua distribució Fisher co u grados de libertad e el umerador y v grados de libertad e el deomiador. Notació: ~ F F u v La gráfica de ua distribució Fisher es similar a la de ua ji-cuadrado es asimétrica. Aotamos f al cuatil que deja a su derecha u área de bajo la curva de desidad. u v u 5 ; v 0 75 f u v

24 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli Existe la siguiete relació etre los cuatiles de ua F u v y de ua F v u f u v f v u lateamos la siguiete ecuació ( ) a y b es : b f a F b y se ede robar que la mejor elecció de a f y u 5 ; v 0 f f Etoces f f Desejado el cociete queda : f f or lo tato 76

25 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli i se tiee dos oblacioes ormales e ideedietes co variaas descoocidas y resectivamete etoces u itervalo de ivel ara el cociete de las dos variaas es Ejemlo: Ua comañía fabrica roulsores ara uso e motores de turbia. Ua de las oeracioes cosiste e esmerilar el termiado de ua suerficie articular co ua aleació de titaio. uede emlearse dos rocesos de esmerilado y ambos uede roducir artes que tiee la misma rugosidad suerficial romedio. Iteresaría seleccioar el roceso que tega la meor variabilidad e la rugosidad de la suerficie. ara esto se toma ua muestra de artes del rimer roceso la cual tiee ua desviació estádar muestral 5. microulgadas y ua muestra aleatoria de 5 artes del segudo roceso la cual tiee ua desviació estádar muestral 4. 7 microulgadas. e desea ecotrar u itervalo de cofiaa de ivel 90% ara el cociete de las dos variaas. uoer que los dos rocesos so ideedietes y que la rugosidad de la suerficie está distribuida de maera ormal. olució: Estamos e las codicioes ara alicar (8.9) Buscamos e la tabla de la Fisher f f f.58 y f f Etoces el itervalo es f ; f (8.9) ; [ 0.46; 3.3] Como este itervalo icluye al o odemos afirmar que las desviacioes estádar de los dos rocesos sea diferetes co ua cofiaa de 90%. 9.9 Itervalo de cofiaa ara ua roorció ea ua oblació de tamaño N (evetualmete uede ser ifiito) de cuyos idividuos os iteresa cierta roiedad A. uogamos que la robabilidad de que u idividuo de la oblació verifique A es ( A).El sigificado del arámetro es e cosecuecia el de roorció de idividuos de la oblació que verifica la roiedad A. odemos defiir ua variable aleatoria i que mide a los idividuos de la oblació la ocurrecia o o de la roiedad A. La variable aleatoria tedrá la distribució: 77

26 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli ( ) ( ) i ( x) ( 0) ( i 0) es decir i es ua v.a. que toma sólo dos valores: (si el idividuo verifica A) co robabilidad y 0 (cuado o verifica A) co robabilidad -. Esto es equivalete a decir que i tiee ua distribució biomial co arámetros y : i ~ B(). uogamos que cosideramos ua muestra aleatoria (... ) de tamaño. i formamos el estadístico... es evidete que esta v.a. mide el úmero de idividuos de la muestra de tamaño que verifica la roiedad A. or lo tato or su sigificado es ua v.a. cuya distribució es biomial co arámetros y : ~B(). De acuerdo co esto la variable aleatoria defiida: rereseta la roorció de idividuos de la muestra que verifica la roiedad A. Observemos que siedo i ~ B() es ( ) E E( ) es decir es u estimador isesgado de. Esto es de ese- E rar ues i. i E( i ). Y dado que ~B() tambié es ero además es fácil ver que es estimador cosistete de. E efecto teemos que ero tambié es ( ) ( ) ( ) V V. E ( ) Deseamos costruir u itervalo de cofiaa de. Es raoable basaros e el estimador isegado. Cosideramos como ivote a la variable aleatoria Z efecto: iedo ( ) or lo tato: cuya distribució es ara suficietemete grade aroximadamete N(0). E... i es E( i ) E y ( ) ( ) V V i i Z ~ N( 0) grade ( ) El ivote uede oerse e ua forma más coveiete si teemos e cueta que segú vimos recié es estimador cosistete de y e cosecuecia e el deomiador reemlaamos el arámetro descoocido or su estimador y se uede robar que : 78

27 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli 79 ( ) Z N(0). aroximadamete si es grade artiedo de este ivote odemos seguir los mismos asos de los casos ateriores ara llegar al siguiete itervalo de cofiaa al ivel de : ( ) ( ) co Φ. Etoces Observacioes: - Este rocedimieto deede de la aroximació ormal a la distribució biomial. or lo tato el itervalo (8.0) se uede utiliar si 0 > y 0 ) ( > es decir la muestra debe coteer u míimo de die éxitos y die fracasos. - La logitud del itervalo es ( ) L ero esta exresió está e fució de i os iteresa hallar u valor de de maera tal que la logitud L sea meor que u valor determiado odemos hacer dos cosas: a) tomar ua muestra relimiar co ella estimar co y de la exresió aterior desejar lo que lleva a ( ) ( ) l l L b) si o tomamos ua muestra relimiar etoces acotamos ( ) ( ) etoces ( ) ( ) l l L Ejemlo: i es la roorció de observacioes de ua muestra aleatoria de tamaño que verifica ua roiedad de iterés etoces u itervalo de cofiaa ara la roorció de la oblació que cumle dicha roiedad de ivel aroximadamete es ( ) ( ) (8.0)

28 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli U fabricate de comoetes comra u lote de disositivos de seguda mao y desea saber la roorció de la oblació que está fallados. Co ese fi exerimeta co 40 disositivos elegidos al aar y ecuetra que 35 de ellos está fallados. a) Calcular u itervalo de cofiaa del 99% ara la roorció oblacioal. b) De qué tamaño deberá extraerse la muestra a fi de que la roorció muestral o difiera de la roorció oblacioal e más de 0.03 co u 95% de cofiaa? olució: a) El tamaño de la muestra es 40 (muestra grade) 35 La roorció muestral es El ivel de cofiaa es De la tabla de la ormal estadariada vemos que. 58. Etoces el itervalo buscado es: ( 0.5) 0.5( 0.5) [ ] b) Buscamos el tamaño de la muestra tal que co u 95% de cofiaa la roorció muestral esté a ua distacia 0.03 de la roorció oblacioal es decir buscamos tal que si tomamos la muestra aterior como re- L 0.03 limiar : or lo tato como l (.96 ) 0.5( 0.5) or lo tato hay que tomar ua muestra de tamaño or lo meos 80. como ya se tomó ua muestra de tamaño 40 hay que tomar otra adicioal de tamaño uogamos que o tomamos ua muestra iicial etoces directamete lateamos l Etoces hay que tomar ua muestra de tamaño 068 or lo meos. 9.0 Itervalo de cofiaa ara la diferecia etre dos roorcioes uogamos que existe dos roorcioes de iterés y y es ecesario obteer u itervalo de cofiaa de ivel ara la diferecia. 80

29 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli 8 uogamos que se toma dos muestras ideedietes de tamaños y resectivamete de dos oblacioes. ea las variables aleatorias : úmero de observacioes e la rimera muestra que tiee la roiedad de iterés : úmero de observacioes e la seguda muestra que tiee la roiedad de iterés Etoces y so variables aleatorias ideedietes y ~B( ) ; ~B( ) Además y so estimadores utuales de y resectivamete. Vemos que ( ) E y ( ) ( ) ( ) V Alicado la aroximació ormal a la biomial odemos decir que ( ) ( ) ( ) (0) N Z y como e el caso de itervalo ara ua roorció estimamos ( ) ( ) co ( ) ( ) y etoces ( ) ( ) ( ) (0) N Z aroximadamete. lateamos la ecuació ( ) ( ) ( ) Z Φ Φ - lo que lleva a y co ua deducció aáloga a las ateriores se llega al itervalo ( ) ( ) ( ) ( ) ; Etoces Ejemlo: e lleva a cabo u estudio ara determiar la efectividad de ua ueva vacua cotra la grie. e admiistra la vacua a ua muestra aleatoria de 3000 sujetos y de ese gruo 3 cotrae grie. Como gruo de cotrol se seleccioa al aar 500 sujetos a los cuales o se les admiistra la vacua y de ese gruo 70 cotrae grie. Costruya u itervalo de cofiaa de ivel 0.95 ara la diferecia etre las verdaderas roorcioes de idividuos que cotrae grie. i y so las roorcioes muestrales de ua observació de dos muestras aleatorias ideedietes de tamaños y resectivamete que verifica la roiedad de iterés etoces u itervalo de cofiaa de ivel aroximadamete es ( ) ( ) ( ) ( ) ; (8.)

30 arte Itervalos de cofiaa rof. María B. itarelli olució: ea las variables aleatorias : úmero de ersoas que cotrae grie del gruo que recibió la vacua : úmero de ersoas que cotrae grie del gruo que o recibió la vacua Etoces ~B( ) ; ~B( ) dode 3000 ; Además ; Y Etoces ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ;