E.U.I.T.I. Bilbao. Asignatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA

Transcripción

1 E.U.I.T.I. Bilbao Asigatura MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA

2 E.U.I.T.I. Bilbao Asigatura MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA TEMA 7 CONTRASTES DE IPÓTESIS

3 Todos aredemos de la exeriecia y la lecció, e esta ocasió, es que uca se debe erder de vista la alterativa Sherlock olmes Las aveturas de Black Peter Sir Arthur Coa Doyle Actor Basil Rathboe htt//

4 La gra tragedia de la ciecia la destrucció de ua bella hiótesis or u atiestético cojuto de datos Thomas ery uxley Biólogo iglés (85-895) htt//es.wikiedia.org/wiki/thomas_ery_uxley

5 . RESUMEN Se exlica qué se etiede or cotraste de hiótesis estadística y se arede a realizar cotrastes de este tio, a artir de datos muestrales referidos a algú arámetro oblacioal descoocido Palabras clave cotraste de hiótesis errores tio I y tio II hiótesis ula e hiótesis alterativa estadístico de cotraste y -valor ivel de cofiaza y ivel de sigificació

6 . ÍNDICE DEL TEMA 7.. Itroducció 7... hiótesis estadística 7... cotraste de hiótesis 7.. Cocetos básicos 7... hiótesis ula e hiótesis alterativa 7... estadístico del cotraste y regió crítica hiótesis ula vs. hiótesis alterativa ivel de sigificació ivel de sigificació y regió crítica decisioes e u cotraste de hiótesis ejemlos

7 . ÍNDICE DEL TEMA 7.3. Etaas de u cotraste de hiótesis 7.4. Errores de u cotraste de hiótesis valor de u cotraste de hiótesis 7.6. distitos cotrastes de hiótesis ara la media de ua oblació ara la diferecia de medias de dos oblacioes ara la variaza de ua oblació ara el cociete de dos variazas ara el arámetro de ua oblació biomial y ara la diferecia de arámetros de dos oblacioes biomiales

8 3. INTRODUCCIÓN como ya se idicó, los métodos más utilizados ara realizar iferecias sobre el valor de arámetros de ua oblació so estimació de dichos arámetros utual o co itervalos de cofiaza cotraste de hiótesis tomado ua decisió sobre u valor hiotético del arámetro e ambos casos se usa la iformació roorcioada or ua muestra sigificativa de la oblació iótesis estadística setecia sobre la aturaleza de ua oblació geeralmete, se formula e térmios de u cierto arámetro de la oblació

9 3. INTRODUCCIÓN Cotraste de hiótesis es ua técica de Estadística iferecial que ermite comrobar si la iformació que roorcioa ua muestra observada cocuerda (o o) co la hiótesis estadística formulada or lo geeral, las hiótesis establece que u cierto arámetro oblacioal tiee u valor que cae detro de ua determiada regió se trata de decidir si la hiótesis es cosistete co los datos observados e la muestra itervalos de cofiaza y cotrastes de hiótesis se relacioa etre sí y uede servir ara decidir sobre los arámetros oblacioales

10 3. INTRODUCCIÓN Cotraste de hiótesis es obvio que ara decidir si ua hiótesis estadística es cierta ó o se debería estudiar toda la oblació como uede ser imosible ó oco ráctico se toma ua muestra aleatoria reresetativa de la oblació ara decidir si se aceta o o la hiótesis estadística lateada si la iformació muestral es cosistete co la hiótesis estadística etoces se aceta dicha hiótesis; e caso cotrario se rechaza (o se idica si es falsa ó verdadera sio si se aceta o se rechaza)

11 4. CONCEPTOS BÁSICOS iótesis ula setecia acerca de u arámetro de la oblació otació es la hiótesis que se somete a cotraste las observacioes so resultado de la casualidad iótesis alterativa hiótesis cotraria a la ula otació a hay u efecto real, es decir, las observacioes so el resultado de ese efecto real

12 4. CONCEPTOS BÁSICOS Estadístico del cotraste estadístico cuyo valor se determia a artir de los datos de la muestra deediedo del valor que tome, la hiótesis ula es rechazada ó o Regió crítica (ó regió de rechazo) es el cojuto de valores del estadístico de cotraste ara los que se rechaza la hiótesis ula el cotraste estadístico de queda comletamete esecificado al determiar el estadístico de cotraste (EC) y la regió crítica (RC) EC RC EC RC rechazar o rechazar

13 4. CONCEPTOS BÁSICOS iótesis ula vs. hiótesis alterativa hiótesis ula es la hiótesis que se cotrasta los datos uede refutarla, uca robarla o debería ser rechazada si ua buea razó el rechazo de es ua setecia fuerte e el setido de que la hiótesis o arece ser cosistete co los datos observados o rechazar la hiótesis ula es ua setecia débil que se debería iterretar e el setido de que es cosistete co los datos si se iteta desacreditar ua hiótesis ésta deberá ser la ula

14 4. CONCEPTOS BÁSICOS iótesis ula vs. hiótesis alterativa hiótesis alterativa a es la hiótesis comlemetaria de la ula los datos uede mostrar evidecias a favor o debería ser acetada si ua gra evidecia a favor si se iteta robar ua cierta hiótesis deberá desigarse como alterativa

15 4. CONCEPTOS BÁSICOS iótesis ula vs. hiótesis alterativa hiótesis ula suele exresarse como ua igualdad del tio, θθ θ es u arámetro de ua oblació θ es u valor hiotético ara ese arámetro hiótesis alterativa a aθ θ cotraste bilateral ó de dos colas ó de dos extremos aθ>θ cotraste uilateral a la derecha ó de ua cola a la derecha ó de u extremo a la derecha aθ<θ cotraste uilateral a la izquierda ó de ua cola a la izquierda ó de u extremo a la izquierda

16 4. CONCEPTOS BÁSICOS iótesis ula vs. hiótesis alterativa hiótesis ula tambié, es frecuete exresar como egació exacta de a e cuyo caso sí uede ser ua desigualdad o estricta el ombre de ula roviee de que rereseta la hiótesis que se matiee a o ser que los datos muestrales idique su falsedad; debe etederse e el setido de eutra Nota. Ambas hiótesis debe formularse ates de recoger y aalizar la muestra que se va a utilizar ara realizar el cotraste de hiótesis Nota. La decisió de realizar u tio de cotraste uilateral o bilateral deede de la iformació que se osee teiedo e cueta que la hiótesis que se cree cierta es a

17 4. CONCEPTOS BÁSICOS Nivel de sigificació (α) valor que se fija ara el cotraste de ua hiótesis ula rocedimieto clásico ara cotrastar ua hiótesis ula rimero, fijar u ivel de sigificació α si es cierta, obligar a que la robabilidad de rechazar sea meor o igual que α regió crítica

18 4. CONCEPTOS BÁSICOS Regió crítica y ivel de sigificació regió crítica, RC coocida ates de realizar el exerimeto valores exerimetales que refutaría (valores imrobables del estimador segú las codicioes dadas) su amlitud deede del ivel de sigificació su osició deede de a ivel de sigificació, α valor equeño %, 5% fijado de atemao or el ivestigador es la robabilidad de rechazar cuado es cierta

19 4. CONCEPTOS BÁSICOS Regió crítica y ivel de sigificació regió de acetació de ivel de sigificació α regió crítica rechazo de

20 4. CONCEPTOS BÁSICOS Regió crítica y ivel de sigificació cotraste bilateral (dos colas) aθ θ ivel de sigificació α α/ α/ regió crítica

21 4. CONCEPTOS BÁSICOS Regió crítica y ivel de sigificació cotraste uilateral a la derecha (ua cola a la derecha) aθ>θ ivel de sigificació α α regió crítica

22 4. CONCEPTOS BÁSICOS Regió crítica y ivel de sigificació cotraste uilateral a la izquierda (ua cola a la izquierda) aθ<θ ivel de sigificació α α regió crítica

23 4. CONCEPTOS BÁSICOS Decisioes e u cotraste de hiótesis tios de decisioes que roorcioa u cotraste si el valor del estadístico de cotraste, ara la muestra dada, cae e la regió de rechazo se uede afirmar co cierto ivel de cofiaza que los datos de la muestra ermite rechazar la hiótesis ula a favor de la alterativa si el valor del estadístico de cotraste, ara la muestra dada, o cae e la regió de rechazo o se uede afirmar co el ivel de cofiaza exigido que los datos de la muestra ermite rechazar la hiótesis ula a favor de la alterativa Nota. La hiótesis ula carece de cofiaza, se asume como u uto de artida ero se abadoa cuado los datos emíricos muestra evidecias claras e su cotra y a favor de la hiótesis alterativa

24 4. CONCEPTOS BÁSICOS Ejemlo. El estadístico sir Roald A. Fisher exlicó el rocedimieto de u cotraste de hiótesis usado ua aécdota sobre ua señora y el té. Ua señora afirma que si rueba ua taza de té co leche sabe distiguir si se ha añadido rimero el té ó la leche. El exerimeto cosiste e rearar ocho tazas de té co leche (cuatro de u tio y cuatro de otro) y darlas a robar a la señora de forma aleatoria.

25 4. CONCEPTOS BÁSICOS establecer hiótesis se asume que la señora o sabe distiguir, realmete, si la leche se añade ates ó desués del té, es decir, decide de forma aleatoria la señora o sabe distiguir realmete si se ha añadido rimero la leche ó el té a la señora sabe distiguir realmete si se ha añadido rimero la leche ó el té toma de ua muestra la señora rueba ocho tazas de té co leche se cotabiliza el úmero de veces que acierta ivel de sigificacia si la señora distigue correctamete, al meos, siete de las 8 tazas de té co leche se rechaza la hiótesis ula

26 4. CONCEPTOS BÁSICOS estadístico del cotraste si la señora decide de forma aleatoria X úmero de aciertos X~B(8;.5) aálisis de datos regió de rechazo (ó crítica) X 7 regió de acetació cojuto de valores del estadístico del cotraste que imlica o rechazar regió crítica

27 4. CONCEPTOS BÁSICOS Ejemlo. Suógase que u ivestigador de la EPA (Agecia de Protecció Ambietal) quiere determiar si el ivel medio,, de cierto tio de cotamiate liberado a la atmósfera or ua comañía química cumle co las autas de la EPA. Si el límite suerior establecido or la EPA es de tres artes de milló el ivestigador querrá utilizar ua muestra (medicioes diarias de la cotamiació) ara decidir si la comañía está violado la ley ó o, es decir, decidir si >3

28 4. CONCEPTOS BÁSICOS establecer hiótesis se asume que la comañía o viola la ley 3 a >3 toma de ua muestra la decisió se basará e ua muestra de tamaño 3 lecturas de cotamiació diarias se calcula la media muestral del cotamiate vertido ivel de sigificacia si la EPA observa, e ua muestra de tamaño 3, que etoces se rechaza la hiótesis ula x 3.

29 4. CONCEPTOS BÁSICOS estadístico del cotraste la distribució muestral de la media muestral aálisis de datos regió de rechazo (ó crítica) x 3. regió de acetació cojuto de valores del estadístico del cotraste que imlica o rechazar x regió crítica 3.

30 4. CONCEPTOS BÁSICOS Ejemlo 3. Similitud co u juicio eal. establecer hiótesis se asume la iocecia del acusado el acusado es o culable a el acusado es culable toma de ua muestra y aálisis de datos se recoge ruebas o evidecias huellas digitales, testimoios de testigos, muestras de ADN, etc. ivel de sigificacia si hay evidecias, más allá de toda duda razoable, se rechaza la hiótesis ula y se declara culable al acusado e caso cotrario, se aceta la hiótesis ula (o culable)

31 5. ETAPAS DE UN CONTRASTE. suosicioes elemetales establecer el arámetro oblacioal que se va a cosiderar cocretar el modelo de robabilidad que se va a usar e la descrició. formular ua hiótesis ula,, que se desea robar (cotrastar) 3. formular ua hiótesis alterativa, a, cotra la cual se va a robar la hiótesis ula (geeralmete, la comlemetaria) 4. escoger el estadístico ara la rueba 5. elegir u ivel de sigificació, α, aroiado

32 5. ETAPAS DE UN CONTRASTE 6. determiar la distribució de robabilidad de la rueba estadística 7. calcular el valor del estadístico a artir de ua muestra aleatoria de datos (roceso de estimació) 8. establecer la regió crítica, RC, ara el cotraste de hiótesis (zoa de rechazo/acetació) 9. acetar ó rechazar la hiótesis ula comarado el valor calculado ara el estadístico de la rueba co los valores que defie la RC (ormalmete imlica ua estimació or itervalo)

33 6. ERRORES EN UN CONTRASTE el cotraste de ua hiótesis estadística imlica ua toma de decisió a favor de e cotra de (a favor de a) como el cotraste de ua hiótesis sólo uede teer dos resultados etoces, al tomar la decisió, sólo uede haber dos tios de error las robabilidades de cometer estos dos tios de error mide el riesgo de tomar ua decisió icorrecta al realizar u cotraste de hiótesis y, or tato, ermite medir la bodad de dicho cotraste

34 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Tios de error error tio I (ó falso egativo) se rechaza la hiótesis ula,, siedo cierta ivel de sigificació, α robabilidad de cometer u error del tio I (rechazar cuado es es cierta) ivel de cofiaza, -α robabilidad de acetar la hiótesis ula,, cuado es cierta error tio II (ó falso ositivo) se aceta la hiótesis ula,, siedo falsa β robabilidad de cometer u error del tio II otecia, -β robabilidad de rechazar la hiótesis ula,, cuado es falsa

35 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Tios de error or ejemlo,e u juicio error de tio I imlica declarar culable a u iocete error de tio II imlica declarar iocete a u culable cuál de los dos errores es más grave? deede de cada cotraste e geeral, se retede acotar el error de tio I y tratar de miimizar el error de tio II etoces, se trata de elegir cotrastes lo más otetes osible garatizado que la robabilidad del error de tio I es iferior a u determiado ivel

36 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Tios de error al realizar u cotraste de hiótesis se uede tomar dos decisioes correctas rechazar la hiótesis ula cuado es falsa o rechazar la hiótesis ula cuado es verdadera y se uede cometer dos tios de error rechazar la hiótesis ula cuado es verdadera o rechazar la hiótesis ula cuado es falsa

37 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Tios de error cuadro resume cierta falsa rechazar error de tio I (α) decisió correcta acetar decisió correcta error de tio II (β)

38 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Ejemlo ejercicio U examiador latea cuestioes del tio verdadero-falso. Para comrobar la hiótesis de que los estudiates cotesta al azar se adota la siguiete regla de decisió si, al meos, 7 resuestas so correctas el estudiate o ha cotestado al azar Calcular la robabilidad de cometer u error de tio I Solució error de tio I rechazar cuado es cierta hiótesis ula, el estudiate cotesta al azar hiótesis alterativa, a el estudiate NO cotesta al azar

39 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Ejemlo ejercicio Solució X úmero de resuestas correctas (si es cierta) X~B(;.5) si X 7 se asume que el estudiate NO cotesta al azar y, or tato, se rechaza la hiótesis ula, ( X 7 X B ( ;. 5 ) ) P ( X 6 X B ( ;. 5 ) ) P -DISTR.BINOM(6;;,5;) ivel de sigificació α

40 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Ejemlo ejercicio Solució X úmero de resuestas correctas (si es cierta) ( ) X~B(;.5) 5 X N 5; P ( X 7 X B ( ;. 5 ) ) P ( X 6 X B ( ;. 5 ) ) ( X 6. 5 X N ( 5; ) ) P P Z Z N.. 5 ( ; ) 739 tiificació correcció or cotiuidad -DISTR.NORM.ESTAND(,5/RAIZ(5/))

41 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Ejemlo ejercicio Para cotrastar la hiótesis de que ua moeda es buea (robabilidad de cara.5) se adota la siguiete regla de decisió acetarla si el úmero de caras obteidas e ua muestra de tiradas está etre 4 y 6, ambas iclusive rechazarla e caso cotrario. allar la robabilidad de rechazar la hiótesis.5 cuado sea correcta. Reresetar gráficamete la regla de decisió y el resultado del aartado aterior, es decir, α 3. Probabilidad de cometer u error del tio II, es decir, de acetar la hiótesis de que la moeda es buea cuado, realmete, la robabilidad de cara es.7 4. Probabilidad de obteer al meos 55 caras e tiradas si.5

42 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Ejemlo ejercicio Aartado solució hiótesis a estadístico del cotraste si la moeda es buea ( cierta) X úmero de caras obteidas e lazamietos X~B(;.5) X ~N(5;5) 5 q 5

43 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Ejemlo ejercicio Aartado solució ivel de sigificació, α α α ( error tio I ) P ( rechazar cierta ) P α α α P ( X [ 4, 6 ] X B ( ;. 5 ) ) P ( 4 X 6 X B ( ; 5 ) ). correcció or cotiuidad ( X 6. 5 X N ( 5 5 ) ) P ; tiificació (. Z. Z N ( ; ) ) 357 P.

44 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Ejemlo ejercicio Aartado solució ivel de sigificació, α α P (. Z. ) α [ Φ (. ) Φ (. ) ] ( Φ (. ) ) Φ (. ) Excel -*DISTR.NORM.ESTAND(,) si realizar la aroximació mediate la ormal Excel (DISTR.BINOM(6;;,5;) DISTR.BINOM(4;;,5;)).46447

45 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Ejemlo ejercicio Aartado solució X úmero de caras obteidas e lazamietos X~B(;.5) X ~N(5;5) X ~N(5;5)

46 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Ejemlo ejercicio Aartado 3 solució X úmero de caras obteidas e lazamietos (si.7) X~B(;.7) X ~N(7;4.586) 7 q β ( ) ( error tio II ) P acetar falsa ( 7) P β P. ( X [ 4, 6 ] X B ( ;. 7 ) )

47 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Ejemlo ejercicio Aartado 3 solució β P ( X [ 4, 6 ] X B ( ;. 7 ) ) si realizar la aroximació mediate la ormal Excel DISTR.BINOM(6;;,7;) DISTR.BINOM(4;;,7;) aroximació mediate la ormal β P ( X [ 4, 6 ] X B ( ;. 7 ) ) P ( 4 X 6 X B ( ;. 7 ) ) β β P ( X 6. 5 X N ( 7; )) ( Z. 7 ). 967 P Excel DISTR.NORM.ESTAND(-,7) DISTR.NORM.ESTAND(-6,66).967

48 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Ejemlo ejercicio Aartado 3 solució X ~N(7;4.586) otecia del cotraste -β.9877

49 6. ERRORES EN UN CONTRASTE Ejemlo ejercicio Aartado 4 solució P P ( X 55 X B ( ;. 5 ) ) si realizar la aroximació mediate la ormal Excel DISTR.BINOM(54;;,5;).848 aroximació mediate la ormal ( X 55 X B ( ;. 5 ) ) P ( X > X N ( 5; 5 ) ) P ( Z >.9 ) ( Z >. 9 ) Φ (. 9), 8463 P Excel DISTR.NORM.ESTAND(,9).8463

50 7. -valor DE UN CONTRASTE históricamete, la forma más comú de realizar u cotraste de hiótesis cosiste e elegir u ivel bajo de sigificació que determia u límite ara el error de tio I que se está disuesto a asumir el ivel de sigificació determia toda la regió de rechazo examiado si el valor del estadístico del cotraste cae e la regió de rechazo se cocluye si se aceta ó se rechaza la hiótesis ula a favor de la alterativa co el ivel de cofiaza requerido

51 7. -valor DE UN CONTRASTE si embargo, debido a la geeralizació del uso de los ordeadores, surge otra forma de actuar ate u cotraste de hiótesis se calcula el valor del estadístico del cotraste y se valora lo extremo que resulta bajo la distribució e el muestreo de la hiótesis ula si el valor es más extremo que el ivel de sigificació deseado se rechaza la hiótesis ula a favor de la alterativa la medida de cuá extremo es el valor del estadístico se llama -valor

52 7. -valor DE UN CONTRASTE suógase que se quiere cotrastar ua hiótesis estadística simle del tio θθ frete a algua hiótesis alterativa (aθ θ, aθ>θ ó aθ<θ) El -valor ó ivel crítico asociado al cotraste se defie como el míimo ivel de sigificació co el que la hiótesis ula será rechazada a favor de la alterativa. tambié, el -valor es la robabilidad de obteer ua discreacia etre los datos muestrales y la hiótesis ula,, mayor o igual que la observada e la muestra aalizada cuado es cierta

53 7. -valor DE UN CONTRASTE como, ormalmete, se elige como ivel de sigificació máximo α.5 la regla de decisió e u cotraste, dado el -valor sería si <.5, se rechaza co más de u 95% de cofiaza si.5, o se uede rechazar a favor de a co, al meos, u 95% de cofiaza esta es la regla de decisió más habitual ero resulta simlista ya que o se roorcioa el valor exacto del -valor o es lo mismo rechazar ua hiótesis co, al meos, u 95% de cofiaza ara diferetes valores del -valor debe roorcioarse siemre el -valor de u cotraste ara que el iteresado tome la decisió corresodiete

54 7. -valor DE UN CONTRASTE e resume, el -valor ermite utilizar cualquier otro ivel de sigificació ya que si se cosidera u cierto ivel α si < α, se rechaza co más de u (-α)% de cofiaza si α, o se uede rechazar e favor de a co, al meos, u (-α)% de cofiaza como coclusió, siemre que se realice u cotraste de hiótesis debe facilitarse el -valor asociado

55 7. -valor DE UN CONTRASTE cuato meor es el -valor mayores so las evidecias ara rechazar la hiótesis ula si <., hay muchísimas evidecias ara rechazar si. <.5, hay fuertes evidecias ara rechazar si.5 <., hay ocas evidecias ara rechazar si., o hay evidecias ara rechazar

56 7. -valor DE UN CONTRASTE Cálculo debe distiguirse etre cotrastes uilaterales (ua cola) y bilaterales (dos colas) cotrastes bilaterales θθ frete a aθ θ dos colas el rechazo de θ uede roducirse debido a que el estadístico del cotraste toma valores muy altos o muy bajos cotrastes uilaterales θθ a la derecha el rechazo de θ se roduce orque el estadístico del cotraste toma valores muy altos aθ>θ a la izquierda el rechazo de θ se roduce orque el estadístico del cotraste toma valores muy bajos aθ<θ

57 7. -valor DE UN CONTRASTE Cálculo suógase que se quiere cotrastar ua hiótesis estadística simle del tio θθ frete a algua hiótesis alterativa (aθ θ, aθ>θ ó aθ<θ) suógase, además, que el estadístico del cotraste es S y que el valor que toma ara la muestra es s co la defiició dada de -valor su cálculo es cotraste uilateral a la izquierda (aθ<θ) P ( S s ) cotraste uilateral a la derecha (aθ>θ) P ( S > s ) cotraste bilateral (aθ θ) { P ( S s ), P ( S s ) } mi >

58 DIFERENTES CONTRASTES DE IPÓTESIS

59 8. INTRODUCCIÓN se va a euciar diferetes cotrastes de hiótesis ara la media, la variaza ó la roorció de ua oblació y ara comarar las medias, las variazas y las roorcioes e dos oblacioes distitas o iteresa cómo se deduce sio cómo se utiliza e la ráctica aclaració cuado los datos rocede de ua distribució ormal es muy secillo obteer la distribució del estadístico del cotraste si los datos o rocede de variables ormales esta cuestió resulta mucho más difícil auque, si el tamaño de la muestra es grade, el teorema cetral del límite garatiza que los arámetros obteidos a artir de sumas basadas e las muestras sigue, aroximadamete, ua distribució ormal

60 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació Suuestos adicioales oblació ormal desviació tíica coocida. Formular las hiótesis ula y alterativa a Cotraste bilateral. Fijar u ivel de sigificació α 3. Calcular el estadístico del cotraste. Bajo los suuestos adicioales y suoiedo cierta la hiótesis ula X N ; ( )

61 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació Suuestos adicioales oblació ormal desviació tíica coocida 4. allar la regió crítica. Se sabe que P X > z α α α P ( error tio I ) regió crítica La regió crítica es X > z α α/ α/

62 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació Suuestos adicioales oblació ormal desviació tíica coocida 5. Se aaliza el valor del estadístico del cotraste si cae e la regió crítica se rechaza si o cae e la regió crítica o se uede rechazar 6. Se establece la coclusió Ross, M.S.; Itroducció a la Estadística; Ed. Reverté S.A. (5)

63 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació Suuestos adicioales oblació ormal desviació tíica coocida. Formular las hiótesis ula y alterativa a > Cotraste uilateral. Fijar u ivel de sigificació α 3. Calcular el estadístico del cotraste. Bajo los suuestos adicioales y suoiedo cierta la hiótesis ula X N ; ( )

64 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació Suuestos adicioales oblació ormal desviació tíica coocida 4. allar la regió crítica. Se sabe que P X > z α α α P ( error tio I ) Resulta razoable rechazar la hiótesis ula,, e favor de la alterativa, a, cuado el valor de la media muestral sea mayor que ; or tato, la regió crítica es X > z α

65 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació Suuestos adicioales oblació ormal desviació tíica coocida 5. Se aaliza el valor del estadístico del cotraste si cae e la regió crítica se rechaza si o cae e la regió crítica o se uede rechazar 6. Se establece la coclusió Ross, M.S.; Itroducció a la Estadística; Ed. Reverté S.A. (5)

66 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació Suuestos adicioales oblació ormal desviació tíica coocida a > a Cálculo del -valor < a Test bilateral uilateral -valor > x Z P valor < x Z P valor > x Z P valor

67 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació Suuestos adicioales oblació ormal ó 3 desviació tíica oblacioal coocida a > a < a iótesis bilateral uilateral Estadístico del cotraste Regió crítica ; N X α z x > α z x > α z x <

68 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació Suuestos adicioales oblació ormal co muestras equeñas ( 3) desviació tíica oblacioal descoocida a > a < a iótesis bilateral uilateral Estadístico del cotraste Regió crítica ˆ s t X ; ˆ α > s t x α ; ˆ > s t x α ; ˆ < s t x

69 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació Suuestos adicioales tamaño muestral 3 desviació tíica oblacioal descoocida a > a < a iótesis bilateral uilateral Estadístico del cotraste Regió crítica s N X ˆ ; ˆ α z x s > α z x s > ˆ α z x s < ˆ

70 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació ejemlo Ejemlo ejercicio 4 Las tesioes de rotura de los cables fabricados e u roceso A se distribuye ormalmete co media 8 y desviació tíica. Se desea coocer si co u uevo roceso B se aumeta la tesió media ara lo que se toma 5 muestras observádose ua tesió media de 85.. Se uede afirmar la mejoría del uevo roceso B al ivel de sigificació.?. Calcular el ivel crítico ara x 85

71 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació ejercicio 4 Aartado solució ivel de sigificació α. 8 hiótesis > 8 a el roceso B o mejora el A (su media o es mayor que 8) estadístico del cotraste X N ; regió crítica x > z α x > + z α

72 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació ejercicio 4 Aartado solució z α { x R / x } x 85 RC >. 8 x rechazar > DISTR.NORM.ESTAND.INV(,99) X N ( 8; ) -α α

73 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la media de ua oblació ejercicio 4 Aartado solució cotraste uilateral ( X 85 X N ( 8; )) P ( Z ). 35 P valor muy equeño, lo que da mucha cofiaza (~99.978%) ara rechazar la hiótesis ula, X N ( 8; ) -α α

74 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la diferecia de medias de dos oblacioes Suuestos adicioales oblacioes ormales ó, 3 (muestras ideedietes) desviacioes tíicas oblacioales coocidas, iótesis bilateral uilateral Estadístico del cotraste Regió crítica a > a < a + ; N X X α z x x > + α z x x > + α z x x < +

75 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la diferecia de medias de dos oblacioes Suuestos adicioales oblacioes ormales (muestras ideedietes) desviacioes tíicas oblacioales descoocidas ero iguales iótesis bilateral uilateral Estadístico del cotraste Regió crítica a > a < a + + P t S X X ( ) ( ) ˆ ˆ + + s s S P ; α + > + P t S x x ; α + < + P t S x x ; α + > + P t S x x

76 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la diferecia de medias de dos oblacioes Suuestos adicioales, 3 (muestras ideedietes) desviacioes tíicas oblacioales descoocidas iótesis bilateral uilateral Estadístico del cotraste Regió crítica a > a < a + ˆ ˆ ; s s N X X ˆ ˆ z α s s x x > + z α s s x x > + ˆ ˆ z α s s x x < + ˆ ˆ

77 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la variaza de ua oblació Suuestos adicioales oblació ormal media oblacioal descoocida iótesis bilateral uilateral Estadístico del cotraste Regió crítica ( ) ŝ χ a > a < a ; α χ χ > ; ; α α χ χ χ χ > < ; α χ χ <

78 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la variaza de ua oblació Suuestos adicioales oblació ormal media oblacioal coocida iótesis bilateral uilateral Estadístico del cotraste Regió crítica a > a < a ( ) i i x i χ ; ; α α χ χ χ χ > < ; α χ χ > ; α χ χ <

79 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para el cociete de dos variazas Suuestos adicioales oblacioes ormales (muestras ideedietes) medias oblacioales descoocidas iótesis bilateral uilateral Estadístico del cotraste Regió crítica a > a < a ; ˆ ˆ F s s ; ; ; ; ; ; α α > < F F F F α ; ; ; > F F α < ; ; ; F F

80 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para el cociete de dos variazas Suuestos adicioales oblacioes ormales (muestras ideedietes) medias oblacioales coocidas, iótesis bilateral uilateral Estadístico del cotraste Regió crítica a > a < a ; F suma suma ( ) k i i k k i x suma k k ( ), k ; ; ; ; ; ; α α F F F F > < α ; ; ; F F > < α ; ; ; F F

81 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Suuestos adicioales tamaño muestral grade 3 ( 5, (-) 5) ara <3 el roceso se basa e la distribució biomial Para la roorció e ua oblació a > a < a iótesis bilateral uilateral Estadístico del cotraste Regió crítica ( ) N ; ˆ ( ) ˆ z α > ( ) z α > ˆ ( ) z α < ˆ éxitos º ˆ

82 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Para la diferecia de roorcioes, y, e dos oblacioes dos oblacioes e las que hay roorcioes y de idividuos co la característica éxito se comara las roorcioes mediate la toma de muestras de tamaño y roorcioes de éxito e las muestras ˆ y ˆ º éxitos muestra i ˆ i i i (, )

83 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Suuestos adicioales (tamaños muestrales grades) 3 ( 5, (-) 5) 3 ( 5, (-) 5) Para la diferecia de roorcioes, y, e dos oblacioes iótesis bilateral uilateral Estadístico del cotraste Regió crítica a > a < a ( ) + ˆ ˆ ; ˆ ˆ N ˆ ˆ ˆ + + ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ z α > + ( ) z α > + ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) z α < + ˆ ˆ ˆ ˆ

84 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 5 La duració media de ua muestra de bombillas es de 5 h. co ua cuasidesviació tíica muestral de 5 h. Se cambia el material del filameto or otro uevo y se obtiee ua muestra de 3 bombillas e la que la media es de 34 h. co ua cuasidesviació tíica muestral de 6 h.. Co u ivel de cofiaza del 95%, uede acetarse que las variazas, ates y desués del cambio, so iguales?. a aumetado la duració media de las bombillas? allar el ivel crítico ó -valor del cotraste. Datos muestra x ŝ 5 5 muestra x ŝ

85 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 5 Aartado solució ivel de sigificació 5. α hiótesis estadístico del cotraste regió crítica las variazas so iguales (ates y desués del cambio) a, F ŝ ŝ α α < > ;, ;, F ŝ ŝ F ŝ ŝ

86 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 5 Aartado solució 5 valor del estadístico del cotraste. 773 regió crítica, RC ŝ ŝ 6 límite suerior α F F, ; 9, ;. 5 DISTR.F.INV(,5;9;) límite iferior F α, ; F9, ; F α, ; F α, ; F, 9; DISTR.F.INV(,975;9;) tablas

87 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 5 Aartado solució decisió el estadístico del cotraste o erteece a la regió crítica ŝ ŝ RC o se uede rechazar la hiótesis ula, or tato, se asume que las variazas so iguales

88 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 5 Aartado solució decisió o se uede rechazar la hiótesis ula ŝ ŝ RC

89 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 5 Aartado solució las medias so iguales ivel de sigificació 5. α hiótesis estadístico del cotraste regió crítica (ates y desués del cambio) < a + + P t S X X ( ) ( ) + + ŝ ŝ S P α ; P t S x x + < +

90 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 5 Aartado solució valor del estadístico del cotraste x x S x x P S P regió crítica, RC límite t + ; α t ; DISTR.T.INV(*,5;) ua cola

91 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 5 Aartado solució regió crítica, RC límite t. 774 t + ; α ;. 5. TABLAS t. ;

92 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 5 Aartado solució decisió el estadístico del cotraste erteece a la regió crítica S P x x < t ; se rechaza la hiótesis ula; se asume que la duració media de las bombillas es mayor tras el cambio de filameto

93 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 5 Aartado solució decisió se rechaza la hiótesis ula S x x P + RC

94 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 5 Aartado solució cálculo del -valor (cotraste uilateral a la izquierda) P ( S s ) P S P x x + x x <. 946 t SP DISTR.T(,946;;)

95 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 5 Aartado solució cálculo del -valor (cotraste uilateral a la izquierda) ( ) s S P ( ) s S P + < t S x x. S x x P P P TABLAS + > t S x x. S x x P P P

96 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 5 Aartado solució cálculo del -valor (INTERPOLACIÓN)

97 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 6 Co objeto de estudiar los esos de u cierto tio de frutos se ha tomado ua muestra de tamaño uidades obteiédose ua cuasivariaza muestral de 4gr. Suoiedo que el eso de los frutos se distribuye ormalmete,. uede rechazarse, co u ivel de sigificació α.5, la hiótesis de que la variaza oblacioal es gr.?. calcular el ivel crítico Datos muestra ŝ 4

98 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 6 Aartado solució ivel de sigificació 5. α hiótesis estadístico del cotraste regió crítica la variaza es gr. a ( ) ŝ χ ( ) ( ) α α χ χ ; ; ŝ ŝ > <

99 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 6 Aartado solució valor del estadístico del cotraste ( ) regió crítica, RC ŝ límite suerior χ ; α χ ;. PRUEBA.CI.INV(,5;9) límite iferior χ α χ ; 9 ; PRUEBA.CI.INV(,975;9)

100 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 6 Aartado solució regió crítica, RC 9 ;. 5. ; límite suerior χ α χ TABLAS límite iferior χ α χ ; 9 ;

101 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 6 Aartado solució decisió el estadístico del cotraste o erteece a la regió crítica. 739 < < 9. 8 ( ) RC o se uede rechazar la hiótesis ula, or tato, se asume que la variaza es igual a ŝ

102 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 6 Aartado solució decisió o se uede rechazar ( ) ŝ RC

103 9. CONTRASTES DE IPÓTESIS Ejemlo ejercicio 6 Aartado solució cálculo del -valor (cotraste bilateral) mi { P ( S s ), P ( S s ) } > ( ) ŝ ( ) ŝ P > χ 9 ( ) ŝ ( ) ŝ P χ DISTR.CI(3,68;9) -DISTR.CI(3,68;9)

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