Inferencia estadística. Intervalo de confianza y contraste de hipótesis

Transcripción

1 UNIDAD 0 Iferecia estadística. Itervalo de cofiaa y cotraste de hiótesis e royecta crear u cetro comercial e ua S ciudad, como el de la foto, y se quiere saber el oder adquisitivo de los habitates de la ciudad, dato que ifluirá e el tamaño del cetro comercial. Se establece ua variable aleatoria X que idica el salario mesual de las ersoas mayores de edad e la ciudad. Se suoe que X sigue ua distribució ormal, ero se igora cuál es su media, μ, y su desviació tíica,, ara disoer de u modelo comletamete determiado de la distribució de X co el que oder hacer cálculos de robabilidad del oder adquisitivo, rediccioes de cosumo, etc. El modo de coocer, o mejor dicho, de ajustar los arámetros, μ y, de la distribució de la variable aleatoria X es extrayedo ua muestra. Estimar u arámetro cosiste e obteer ua aroximació de su valor basádose e los datos de la muestra. Vista geeral de la oa cubierta del barrio Chiatow de Sigaur (ISFTIC. Baco de imágees) Hay tres cosas que se uede hacer ara ajustar el valor del arámetro de ua oblació: a) estimar el arámetro descoocido or u úmero que se obtiee e fució de los datos de la muestra (esto se llama estimació or uto o utual); b) determiar u itervalo al cual es muy robable que erteeca el arámetro (esto se llama estimació or itervalo de cofiaa); c) aveturar, a modo de hiótesis, u úmero como valor del arámetro buscado y cotrastar co datos de la muestra si éstos aoya o rechaa la hiótesis formulada. Esta Uidad didáctica tiee como objetivos los siguietes:. Costruir itervalos de cofiaa ara la media y la roorció.. Calcular el tamaño de la muestra ara que el marge de error sea meor que ua catidad refijada. 3. Cotrastar las hiótesis sobre los valores de la media. 4. Cotrastar hiótesis sobre los valores de la roorció. 00

2 ÍNDICE DE CONTENIDOS. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Tamaño de la muestra Itervalo de cofiaa ara la media de ua distribució ormal co descoocida INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA Cotraste bilateral Cotraste uilateral or la iquierda Cotraste uilateral or la derecha Cotraste de hiótesis ara la media co descoocida CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS COMPARACIONES DE DOS PROPORCIONES

3 UNIDAD 0 INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS. Itervalo de cofiaa ara la media Es muy imrobable que la media oblacioal, μ, coicida co el valor medio de ua muestra (estimació utual); si embargo, es más iteresate determiar u itervalo cetrado e la media muestral, de modo que el valor descoocido de μ se ecuetre e dicho itervalo co ua robabilidad ta grade como deseemos. A esta robabilidad la llamamos ivel de cofiaa, y la simboliamos or, mietras que a la deomiamos ivel de sigificació o ivel de riesgo. Cocretado, teemos que buscar u úmero c, de modo que μ erteeca al itervalo ( -- c, c) co robabilidad ; es decir, que cumla que: P X c < μ < X c =. Desejado c e las desigualdades del corchete aterior, X c < μ X μ < c, μ < X c c < X μ, odemos escribir la robabilidad así: P c < X μ < c =, y emleado el valor absoluto queda: P X μ < c =. Suoiedo que coocemos, dado que se distribuye segú ua N μ,, al dividir la desigualdad or /AG tiificamos la variable, X μ c c P < =P Z < = dode Z es la N(0,). Buscamos e las tablas el valor de mamos a ese valor = c c= c, desejado c obteemos corresodiete a la robabilidad y lla- Qué es /? Es el valor de ua abscisa de la N(0, ) que deja a su derecha u área de robabilidad /. E cosecuecia, el itervalo buscado es, X X 0

4 que obviamete deede de la robabilidad elegida. Se trata, or tato, de u itervalo cetrado e la media de la muestra tomada,, y de radio. Este radio del itervalo de cofiaa se deomia error máximo, y es la máxima diferecia que uede existir etre μ y la media de la muestra elegida,, ara u ivel de cofiaa. Se simbolia or E = y de la simle observació de esta fórmula vemos que al aumetar el tamaño de la muestra,, dismiuye el error E; mietras que al aumetar el ivel de cofiaa, aumeta / y or tato el error cometido. Ejemlo. E u laboratorio se obtuviero 6 estimacioes de PH de ua solució co los resultados siguietes: 7,9 7,94 7,90 7,93 7,89 7,9 Se suoe que la oblació de todas las determiacioes del PH de la solució tiee ua distribució ormal de media descoocida y desviació tíica 0,0. a) Determíese u itervalo de cofiaa al 98% ara la media de todas las determiacioes del PH de la misma solució obteidas co el mismo método. b) Co el mismo ivel de cofiaa aterior, cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra ara que la amlitud del itervalo de cofiaa sea a lo sumo 0,0? Solució: La variable aleatoria X es el PH de la solució que se distribuye ormalmete segú la N(μ; 0,0). a) Determiamos el itervalo de cofiaa al 98% ara la media. Sabemos que ivel de cofiaa = = 98% = 0,98. Teemos que hallar c tal que P [ µ < c] = 0,98. Además coocemos que se distribuye segú ua ormal N(μ; 0,0/AG6 ). Tiificamos X μ c P c < P Z = < = 098, 00, 6 00, 6 00, 6 c Llamamos = y buscamos e las tablas de la N(0,) el valor de /, que corresode a la abscisa, de la N(0,) que vemos e la figura y que calculamos de la misma figura sabiedo que P Z < = = 00, 098, 099,. 03

5 UNIDAD0 INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS c E las tablas de la N(0, ) leemos / =,33, etoces 33, =, 00, 6 33, 00, desejado c obteemos c = = 0, 09 6 Como la media de la muestra es 79, 794, 790, 793, 789, 79, = = 79,, 6 odemos escribir el itervalo buscado X X, = ( 7, 9 0, 09; 7, 9 0, 09) = ( 7, 89; 7, 99 ). Esto sigifica que el 98% de las muestras de tamaño 6 tiee ua media muestral que difiere o dista de la media oblacioal meos que 0,09. b) Este aartado lo resolveremos e el rimer ejemlo del eígrafe siguiete. Actividades. La desviació tíica de ua variable aleatoria es = 6. Para estimar la media de dicha variable se extrae ua muestra de tamaño 00 y se obtiee ua media muestral = 00. Costruir u itervalo de cofiaa del 95% ara estimar la media μ de la oblació.. La duració de las llamadas de teléfoo, e ua oficia comercial, sigue ua distribució ormal co desviació tíica 0 segudos. Se toma ua muestra de 50 llamadas y la duració media de las llamadas de esa muestra es 35 segudos. Calcular el itervalo de cofiaa al 99% ara la duració media de las llamadas. 3. Se suoe que los gastos corrietes or emleado de los distitos deartametos de ua emresa sigue ua distribució ormal co desviació tíica 450 euros. De los datos disoibles ara 6 deartametos se ha obteido u gasto medio de 650 euros. Determíese u itervalo de cofiaa al 99% ara el gasto corriete medio or emleado e la emresa. 4. Se robaro 0 automóviles, escogidos aleatoriamete de ua misma marca y modelo, or coductores co la misma forma de coducir y e carreteras similares. Se obtuvo que el cosumo medio de gasolia, e litros, or cada 00 kilómetros fue de 6,5. Estudios revios idica que el cosumo de gasolia tiee ua distribució ormal de desviació tíica litros. Determiar u itervalo de cofiaa al 95% ara la media del cosumo de gasolia de estos automóviles... Tamaño de la muestra Otro roblema relacioado co el itervalo de cofiaa es: cuál debe ser el tamaño de la muestra ara que co u ivel de cofiaa determiado 90%, 95%, 99% u otro, la diferecia etre la media muestral y la media oblacioal sea meor que u valor fijo? O, lo que es lo mismo, cuál debe ser el tamaño de la muestra ara que co u ivel de cofiaa establecido el error máximo cometido sea meor que ua catidad dada? 04

6 E los roblemas del itervalo de cofiaa os da el ivel de cofiaa, el tamaño de la muestra y os ide hallar la diferecia (el error) etre la media oblacioal y la media muestral. E los roblemas de tamaño de la muestra os da el ivel de cofiaa, la diferecia máxima etre y μ, es decir, el error máximo admitido, y teemos que hallar el tamaño de la muestra. E la ráctica, úicamete teemos que desejar e la fórmula del error máximo E = = = E E Ejemlos. Ahora resolvemos el aartado b) del roblema del ejemlo, que había quedado ediete. b) Co el mismo ivel de cofiaa, cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra ara que la amlitud del itervalo de cofiaa o radio o error máximo sea a lo sumo 0,0? Solució: E la fórmula del error máximo desejamos : Recordamos que = 0,0 y que = 98% = 0,98 or lo que / =,33, como hemos visto e el aartado a), y además queremos hallar el tamaño de la muestra,, ara que a lo sumo el error sea E = 0,0, es decir,. Sustituyedo e la fórmula, =. E = 33, 00,, resulta =, 75 00, Como ha de ser >, etoces el tamaño míimo de la muestra es =. 3. El tiemo de vida de ua clase de deuradoras de agua utiliadas e ua lata idustrial se distribuye ormalmete, co ua desviació tíica de 000 horas. E u esayo realiado co ua muestra aleatoria de 9 deuradoras, se obtuviero los siguietes tiemos de vida e miles de horas 9,5 0 7,5 0,5 6, a) Hállese u itervalo de cofiaa al 99% ara la vida media de las deuradoras. b) Calcúlese el tamaño míimo que debería teer la muestra, e el caso de admitir u error máximo de 500 horas, co u grado de cofiaa del 95%. Solució: < 00, > 00, E = = = E E. La variable X es el tiemo de vida de las deuradoras que se distribuye segú ua N(μ, 000). Vamos a resolver este roblema de ua maera más directa que e el ejemlo. a) El itervalo de cofiaa ara la media viee dado or la exresió: X X, 05

7 UNIDAD0 INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS Vamos a calcular cada uo de igredietes de la exresió aterior. Como = 99% = 0,99, etoces de P [ Z < / ] = 0,005 0,99 = 0,995 y obteemos e las tablas que / =,575; además, = 000 horas, el tamaño de la muestra = 9 y 9, 5 0 7, 5 0, 5 6, X = = 4, 9 e miles de horas, = 4000 horas. Sustituyedo e la exresió del itervalo de cofiaa queda X X, , , = 4000, 4000 = ( , 67, , 67) = 9 9 = ( 83, 33, 576, 67 ). Esto sigifica que el 99% de las muestras de tamaño 9 tiee ua media muestral que difiere o dista de la media oblacioal meos que 76,66 horas. b) E la fórmula del error máximo desejamos : E = = = E E. Recordamos que = 000 horas, ahora el grado de cofiaa o ivel de cofiaa es = 95% = 0,95 or lo que de P [ Z < / ] = 0,05 0,95 = 0,975, obteemos que / =,96. Queremos hallar el tamaño de la muestra,, ara que el error máximo admitido sea E = 500 horas. Sustituyedo e la última fórmula, = E =, 96000, resulta = 6, El tamaño míimo de la muestra es = 6. Actividades 5. Se estima que el tiemo de reacció de u coductor ate u obstáculo imrevisto tiee ua distribució ormal co desviació tíica 0,05 segudos. Si se quiere coseguir que el error de estimació de la media o suere los 0,0 segudos co u ivel de cofiaa del 99%, qué tamaño míimo ha de teer la muestra de tiemos de reacció? 6. Se sabe que la estatura de los idividuos de ua oblació es ua variable aleatoria que sigue ua distribució ormal co desviació tíica 6 cm. Se toma ua muestra de 5 idividuos que da ua media de 76 cm. a) Obtégase u itervalo co 99% de cofiaa ara la estatura media de la oblació. b) Calcule el tamaño míimo de la muestra ara estimar la estatura media de la oblació co u error iferior a cm y u ivel de cofiaa del 95%. 06

8 7. El recio de ciertos electrodomésticos uede cosiderarse ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació tíica 00 euros. Los recios e euros corresodietes a ua muestra de 9 de estos electrodomésticos so: a) Costruir u itervalo de cofiaa al 98% ara la media oblacioal. b) Hallar el tamaño míimo que debe teer la muestra, ara que co u ivel de cofiaa del 99%, el error de estimació del recio medio o suere los 50 euros. 8. El eso de los erros adultos de ua cierta raa es ua variable aleatoria que se distribuye ormalmete co desviació tíica 0,6 kg. Ua muestra aleatoria de 30 aimales ha dado u eso medio de 7,4 kg. a) Hállese u itervalo de cofiaa al 99% ara el eso medio de los erros adultos de esta raa. b) Qué tamaño míimo debe teer la muestra ara teer ua cofiaa del 95% de que la media muestral o se diferecie e más de 0,3 kg de la media de la oblació? 9. Se sabe que los estudiates de cierta uiversidad duerme u úmero de horas diarias que se distribuye segú ua ley Normal de media μ y desviació tíica = horas. a) A artir de ua muestra de 64 alumos se ha obteido el itervalo de cofiaa (7,6; 8,4) ara la media de horas de sueño. Determiar el ivel de cofiaa co que se ha costruido dicho itervalo. b) Determiar el tamaño muestral míimo ecesario ara que el error que se cometa al estimar la media de la oblació or u itervalo de cofiaa sea, como máximo, de 0,75 horas co u ivel de cofiaa del 98%... Itervalo de cofiaa ara la media de ua distribució ormal co descoocida E el desarrollo aterior hemos suuesto que la desviació tíica es coocida, claro que alguie uede esar, cómo es osible coocer si coocer μ? Cuado se descooce el valor de la desviació tíica oblacioal,, ésta se uede estimar or la cuasi desviació tíica muestral cuya fórmula es S = (X i X ) i = y que a veces se llama simlemete desviació tíica muestral, y que e alguas calculadoras se halla co la tecla -. Cuado hacemos ua estimació utual de la descoocida or la cuasi desviació tíica muestral, S, el tamaño de la muestra ha de ser grade ( 30) orque si es meor que 30 al tiificar la variable obteemos X μ S Esta variable tiificada o sigue ua distribució ormal N(0,) sio ua distribució t de Studet que o es objetivo de este curso. Resumiedo: cuado es grade y descoocemos, odemos estimar la desviació tíica oblacioal or la cuasi desviació tíica muestral (o simlemete desviació tíica muestral), S, como se muestra e el siguiete ejemlo. 07

9 UNIDAD0 INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS Ejemlos 4. Se ha registrado la edad de ua muestra de 00 ersoas que hacía la comra e u suermercado, y se ha ecotrado que la media de edad es 45,3 años, co ua desviació tíica muestral de 6,8 años. Determiar u itervalo de cofiaa, co u ivel de sigificació del 5%, ara la edad media de las ersoas que hace sus comras e ese suermercado. Solució: Como es descoocida, y = 00, la estimamos or la desviació tíica muestral S = 6,8 años. El itervalo de cofiaa ara la media viee dado or la exresió: X X, Dode = 0,05 y = 95%, de P obteemos e las tablas que / =,96. Z < = = 0, 05 0, 95 0, 975 Además, como X = 45,3, sustituyedo e la exresió del itervalo de cofiaa resulta: X X 96, 68, 96, 68,, = 45, 3, 45, 3 = (4,97; 47,68) Actividades 0. El salario medio mesual de ua muestra de 00 ersoas de u determiado barrio ha resultado ser 080 euros, co ua desviació tíica muestral de 60 euros. Determiar u itervalo de cofiaa ara el salario de los habitates del barrio co u ivel de cofiaa del 99%.. Se ha registrado el eso de 00 ersoas mayores de edad, residetes e ua determiada villa, y el eso medio ha resultado ser 85 kg, co ua desviació tíica muestral de 9 kg. Determiar u itervalo de cofiaa ara el eso de los habitates de esa villa co u ivel de cofiaa del 95%. 08

10 . Itervalo de cofiaa ara la roorció Sabemos que si ua oblació tiee ua roorció oblacioal de ua determiada característica, etoces la variable aleatoria, de las roorcioes muestrales, cuado es grade, tiede a ua distribució ormal de ( ) ( ) media μ = y desviació tíica = ; es decir, la distribució de se aroxima mucho a ua N(, ). Se cosidera grade cuado 30. Coocido el valor de la roorció de ua muestra, odemos determiar u itervalo ara, la roorció oblacioal de la característica, del mismo modo que hicimos e el caso del itervalo de cofiaa ara la media. Buscamos u itervalo e el que el valor descoocido de se ecuetre co ua robabilidad o ivel de cofiaa, dode idica el ivel de sigificació. Si embargo, e ve de seguir el mismo camio que e la deducció del itervalo de cofiaa ara la media vamos a hacer otra cosa. Se uede demostrar que si, tamaño de la muestra, es grade, el cociete ( ) sigue aroximadamete ua distribució ormal N(0,); es decir, que P Z < = P < = ( ) De la desigualdad del segudo corchete < ( ) obteemos ( ) ( ) < o < ( ) < Multilicado or las desigualdades ateriores cambia de setido ( ) > ( ) > y sumado a todas las desigualdades se llega a ( ) > > ( ), que, cambiado el orde, tambié se uede escribir Luego el itervalo de cofiaa ara la roorció cuado es grade es aroximadamete ( ) ( ), ( ) < < ( ). 09

11 UNIDAD0 INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS Dode /, como e el caso del itervalo de cofiaa ara la media, es el valor de ua abscisa de la N(0,) que deja a su derecha u área de robabilidad /. ( ) Se trata de u itervalo cetrado e la roorció de la muestra elegida,, y de radio. A este radio, como e el caso del itervalo ara la media, se deomia error máximo; y es el error que se comete al estimar mediate, y tambié se simbolia or E = ( ) Como e el aartado aterior, ahora estamos e codicioes de hallar el tamaño de la muestra ara la roorció. Coocemos el ivel de cofiaa, la diferecia máxima etre y, es decir, el error máximo admitido, y queremos determiar el tamaño de la muestra. Esto se cosigue desejado e la fórmula: Ejemlo E = ( ) ( ) ( ) E = ( ) = ( ) E 5. E ua comuidad autóoma se hace ua ecuesta ara coocer si los cotribuyetes está a favor de la imlatació de u uevo imuesto. Se iterroga a ua muestra de 600 cotribuyetes y el resultado es favorable sólo e 5 casos. a) Co u ivel de sigificació del 5% establecer u itervalo de cofiaa ara la roorció de cotribuyetes favorables al imuesto. b) Cuál ha de ser el tamaño de la muestra ara que la diferecia etre la roorció oblacioal y la roorció muestral sea meor que 0,0, co el mismo ivel de cofiaa? Solució: a) itervalo de cofiaa ara la roorció oblacioal es ( ) ( ), Calculamos los igredietes del itervalo de cofiaa: = 5% = 0,05, = 0,95; además = , = 5/600 = 0,375 y / lo calculamos de las tablas, sabiedo que P [ Z < / ] = 0,95 0,05 = 0,975, y resulta / =,96. El itervalo buscado será: ( 0, 375, 96 0, 3750, 65 ; 0, 375, , 3750, 65 ) = ( 03, 75 0, 039; 0, 375 0, 039) = ( 0, 336; 0, 44)

12 Esto sigifica que el itervalo de cofiaa e el 95% de las muestras de tamaño 600 cotiee a la roorció oblacioal buscada; ta solo el 5% restate o cotiee a dicha roorció. A la vista del itervalo obteido o arece que los ciudadaos esté muy etusiasmados co el imuesto. b) Debemos calcular e la fórmula E = ( ), dode E = 0,0, / =,96, lo hemos calculado ates, orque el ivel de cofiaa = 0,95, es el mismo y = 0,375. Sustituyedo y desejado, obteemos 0, 0 =, 96 0, 375 0, 65 0, 375 0, 65 0, 375 0, 65 = 50, 94. 0, 0 =, 96 =, 96 0, 0 Como ha de ser > 50,94 el tamaño míimo de la muestra es = 5. Actividades. E ua comarca gaadera se quiere estimar la roorció de ovejas que sufre ua efermedad edémica. Calcular el tamaño de la muestra ecesario ara determiar esta roorció co error meor que 0,04 ara u ivel de cofiaa del 95%, sabiedo que e ua muestra de 30 ovejas de la comarca resultaro dos efermas. 3. Tomada al aar ua muestra de 60 estudiates de ua Uiversidad se ecotró que u tercio hablaba iglés. a) Hallar, co u ivel de cofiaa del 90%, u itervalo ara estimar la roorció de estudiates que habla el idioma iglés etre los estudiates de esa Uiversidad. b) A la vista del resultado aterior se retede reetir la exeriecia ara coseguir ua cota de error del 0,0 co el mismo ivel de cofiaa del 90%. Cuátos idividuos ha de teer la muestra? 4. E u Istituto se toma al aar ua muestra de 00 estudiates y se ecuetra que sólo ha arobado todas las asigaturas e la última evaluació. Se ide hallar: a) Co u ivel de cofiaa del 95%, u itervalo ara estimar el orcetaje de estudiates que arueba todas las asigaturas. b) A la vista del resultado aterior se decide reetir la exeriecia ara coseguir ua cota de error del 0,03, co el mismo ivel de cofiaa del 95%. Cuátos idividuos ha de teer la muestra? 5. A artir de la iformació roorcioada or ua muestra aleatoria de 500 familias de cierta ciudad se ha determiado el itervalo de cofiaa (0,58; 0,64) co u ivel de cofiaa del 95% ara la roorció de familias de la ciudad que disoe de ordeador e casa. Se ide determiar: a) La estimació utual que daríamos, a artir de la iformació recogida, ara la roorció de familias e la ciudad que disoe de ordeador e casa. b) El úmero míimo de familias que tedríamos que seleccioar ara coseguir, co u ivel de cofiaa del 95%, que el error máximo e la estimació de dicha roorció sea iferior a 0,0.

13 UNIDAD0 INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS 3. Cotraste de hiótesis ara la media Otra forma de abordar el roblema de estimar la media de ua oblació cosiste e formular ua hiótesis sobre la media y desués usar la iformació que roorcioa ua muestra ara cofirmar o rechaar dicha hiótesis. Esta técica de iferecia estadística se cooce co el ombre de cotraste de hiótesis o test de hiótesis. Y, or suuesto, suodremos que estamos ate ua variable aleatoria X que sigue ua distribució ormal de desviació tíica,, coocida. El roceso del cotraste de hiótesis se realia e los 4 asos que idicamos a cotiuació.. Establecer la hiótesis que rovisioalmete se cosidera verdadera. Simboliamos esta hiótesis or H 0, y cosiste e que μ, media oblacioal, tega u valor μ 0 ; es decir, H 0 : μ = μ 0 Esta H 0 se deomia hiótesis ula orque se arte del suuesto de que la diferecia etre el valor verdadero de la media y su valor hiotético es cero. La hiótesis alterativa, simboliada or H, odrá ser de tres tios diferetes e fució de la aturalea del roblema: H : μ μ 0 (cotraste bilateral) H : μ > μ 0 (cotraste uilateral or la derecha) H : μ < μ 0 (cotraste uilateral or la iquierda). Fijar el ivel de sigificació, que idica la robabilidad de rechaar H 0 au siedo verdadera, o establecer el ivel de cofiaa, que idica la robabilidad de acetar H 0 cuado es cierta. Los valores de más comues so 5%, % y 0% (o 0,05, 0,0 y 0,) y los de, 95%, 99% y 90% (o 0,95, 0,99 y 0,90). 3. Determiar la regió de acetació ara el ivel de sigificació o ivel de cofiaa, de tal maera que la robabilidad de acetar H 0 cuado sea cierta coicida co. Luego la regió de acetació será el itervalo (μ 0 c, μ 0 c) e el que el úmero c verifica que: P X μ < c = 0 Gráficamete la regió de acetació y la regió de rechao sería las de la figura. 4. Se extrae ua muestra y se calcula la media muestral, ; a cotiuació se comrueba si cae detro o fuera de la regió de acetació. Si cae detro se aceta H 0 y si o, se rechaa. 3.. Cotraste bilateral Aarece cuado la hiótesis alterativa es simlemete distita de la hiótesis ula. Paso. E este caso la hiótesis ula y alterativa so: H 0 : μ = μ 0 H : μ μ 0

14 Paso. Fijamos u ivel de sigificació o u ivel de cofiaa. Paso 3. Determiació de la regió de acetació (μ 0 c, μ 0 c). El valor de c e la regió de acetació, ara u ivel de sigificació o u ivel de cofiaa, se calcula de la robabilidad: P X μ < c = 0 Dividiedo la desigualdad del corchete or /AG tiificamos, Buscamos e las tablas u valor, /, de la N(0,) tal que Como P X μ0 P Z P Z < c =, etoces c = μ0 c < =, c < =. =, y la regió de acetació será: μ Paso 4. Se extrae ua muestra, se calcula su media y se comrueba si cae detro o fuera de la regió aterior, si cae detro acetamos H 0 y si o, se rechaa. Ejemlos 0 6. Los diámetros de uas ieas cilídricas roducidas or ua máquia sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació tíica = mm. Se toma ua muestra de 5 ieas y se obtiee u diámetro medio de 36 mm. Se uede afirmar co u ivel de sigificació de 0,0 que la media del diámetro de estas ieas es 40 mm? Solució: Paso. La hiótesis ula es H 0 : μ = 40 y la hiótesis alterativa, H : μ 40. Estamos ate u cotraste bilateral. Paso. Fijamos u ivel de sigificació = 0,0 o u ivel de cofiaa = 0,99. Paso 3. Determiamos la regió de acetació: μ0, μ0 Como = 0,0, / = 0,005 y el tamaño de la muestra = 5, segú el gráfico y las fórmulas P [ Z < / ] =, P [ Z < / ] = 0,99 0,005 = 0,995; 3

15 UNIDAD0 INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS obteemos el valor de / e las tablas; resultado / =,575; e cosecuecia, la regió de acetació será: 40, 575, 575 ; = (38,97; 4,03). Paso 4. Para ua muestra de tamaño = 5 ha resultado que = 36 mm. Es evidete que 36 o erteece al itervalo (38,97; 4,03), luego rechaamos H 0, la media de la oblació o es 40 mm. 7. Se quiere comrobar si ua máquia destiada al lleado de botellas de agua mieral ha sufrido u desajuste. Ua muestra aleatoria de 0 botellas salidas de esa máquia roorcioa los siguietes datos: 0,49 0,5 0,5 0,48 0,53 0,55 0,49 0,50 0,5 0,49 Suoiedo que la catidad de líquido que la máquia deosita e cada evase sigue ua distribució ormal de media 0,5 l y ua desviació tíica de 0,0 l, se desea cotrastar si el coteido medio de las botellas salidas de esa máquia es 0,5 l co u ivel de sigificació de 5%. Se ide: a) Platear la hiótesis ula y alterativa. b) Determiar la regió crítica del cotraste. c) Realiar el cotraste. Solució: a) Paso. La hiótesis ula y la alterativa so: H 0 : μ = 0,5 l H : μ 0,5 l b) Paso. Fijamos el ivel de sigificació =5% = 0,05 y, or cosiguiete, el ivel de cofiaa = 0,05= 0,95. Paso 3. Determiació de la regió de acetació cuado = 0,0 l y el tamaño de la muestra = 0, 05, ; 05, = 05, Como = 5% = 0,05, / = 0,05, segú el gráfico vemos que P [ Z < / ] = 0,05 = 0,95. P [ Z < / ] = 0,95 0,05 = 0,975 Buscado e las tablas el valor de / obteemos que / =,96; e cosecuecia, la regió de acetació será: 96, 00, 96, 00, 05, ; 05, = 05, ; 05, = (,, ;,, ) = (, ;, ). La regió crítica o regió de rechao está formada or el comlemetario de la regió de acetació, es decir, los itervalos (, 0,488) y (0,5, ). 049, 05, , d) Paso 4. Calculamos, X = = 0, 508. Como 0,508 está detro del itervalo (0,488; 0,5), 0 acetamos la hiótesis ula. 00, ; 05, 0 00,. 0 4

16 Actividades 6. E ua comuidad autóoma se estudia el úmero medio de hijos or mujer a artir de los datos disoibles e cada muiciio. Se suoe que este úmero sigue ua distribució ormal co desviació tíica igual a 0,08. El valor medio de estos datos ara 36 muiciios resulta ser igual a,7 hijos or mujer. Se desea cotrastar, co u ivel de sigificació de 0,0, si el úmero medio de hijos or mujer e la comuidad es de,5. 7. U fabricate garatia a u laboratorio farmacéutico que sus máquias roduce comrimidos co u diámetro medio de 5 mm. Ua muestra de 00 comrimidos dio como media de los diámetros 5,8 mm. Suoiedo que el diámetro de los comrimidos es ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació tíica 0,89 mm, se desea cotrastar co u ivel de sigificació del 5%, si el diámetro medio que afirma el fabricate es correcto. Para ello: a) Platéese la hiótesis ula y la hiótesis alterativa del cotraste. b) Realícese el cotraste al ivel de sigificació idicado. 8. U establecimieto vede aquetes de carbó ara barbacoa de eso teórico 0 Kg. Se suoe que el eso de los aquetes sigue ua distribució ormal co desviació tíica Kg. Para cotrastar la citada hiótesis, frete a que el eso teórico sea distito de 0 Kg, se escoge al aar 4 aquetes que esa e Kg, resectivamete: 8, 0, 9, 8. Se desea que la robabilidad de acetar la hiótesis ula, si ésta es cierta, sea 0,95. Se ide: a) La regió crítica del cotraste. b) Se debe rechaar la hiótesis ula? 9. El eso medio de ua muestra aleatoria de 8 ersoas de ua determiada oblació es 63,5. Se sabe que la desviació tíica oblacioal es de 6 Kg. Co u ivel de sigificació del 0,05, hay suficietes evidecias ara rechaar la afirmació de que el eso medio oblacioal es de 65 Kg.? 3.. Cotraste uilateral or la iquierda Hay roblemas e que os iteresa decidir si la hiótesis alterativa es meor que el valor de la hiótesis ula. Estamos etoces ate u cotraste uilateral or la iquierda cuyas hiótesis so: H0 : μ μ0 H : μ < μ0 E este caso la regió de acetació es el itervalo (μ0 c, ) y la regió crítica o regió de rechao (, μ0 c) está situada a la iquierda de la distribució de las medias muestrales Para calcular c artimos de P [ > µ0 c] =. Restado μ0 y dividiedo or /AG tiificamos : X μ0 μ0 c μ0 P > =, c P Z > = ó P [ Z > ] =. 5

17 UNIDAD 0 INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS Buscamos e las tablas u valor, --, de la N(0,) tal que P [ Z > -- ] = P [ Z < ] =. Etoces, como = c c =, la regió de acetació es: μ0,. Ejemlo 8. La vida media de las bombillas de 60 W de ua determiada marca está garatiada or el fabricate e 800 horas, co ua desviació tíica de 0 horas. Se escoge ua muestra de 50 bombillas desués de dejarlas ecedidas iiterrumidamete se ecuetra que tiee ua vida media de 750 horas. Habrá que rechaar la afirmació del fabricate co u ivel de cofiaa del 95%? Solució: Seguiremos el mismo rocedimieto de resolució que e el cotraste bilateral. Paso. Las hiótesis so: H0 : μ 800 H : μ < 800 Se trata de u cotraste uilateral or la iquierda. Paso. Fijamos el ivel de sigificació = 95% = 0,95, = 0,05. Paso 3. Determiamos la regió de acetació. De la robabilidad P [ Z > -- ] = P [ Z < ] = 0,95, obteemos e las tablas =,645. Etoces la regió de acetació es: 0 ; = 800, 645 ; = (800 7, 9; ) = (77, 08; ). μ0 50 Paso 4. Para acetar H0 tiee que ocurrir que caiga e el itervalo (77,08; ). Evidetemete = 750 o erteece al itervalo (77,08; ). Luego se rechaa la hiótesis ula. No es cierto que las bombillas tega ua vida media de 800 horas. Actividades 0. E ua ciudad se sabe que la edad e que los hijos se ideedia de sus adres es ua variable de distribució ormal co media 9 años y desviació tíica 3 años. Se sosecha que la media aterior ha descedido debido a medidas liberaliadoras del mercado de trabajo, mietras que la desviació tíica se matiee. U ecuesta reciete a 00 jóvees que se acaba de ideediar revela ua media de edad de 8, años. Co u ivel de cofiaa del 99% uede mateerse que la edad media de ideedecia de los jóvees sigue siedo de 9 años? Platear el cotraste de hiótesis y resolverlo.. El coeficiete itelectual de ua uiversidad sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació tíica 4. Si e ua muestra de 64 alumos se observó u coeficiete itelectual medio de 06 utos, se uede acetar, co u ivel de sigificació de 0,0, que el coeficiete itelectual medio de la oblació de esa uiversidad es μ = 0 utos? 6

18 3.3. Cotraste uilateral or la derecha E otros casos debemos cotrastar si la hiótesis alterativa es mayor que la hiótesis ula. Estamos etoces H0 : μ μ0 ate u cotraste uilateral or la derecha cuyas hiótesis so: H : μ > μ0 E este caso la regió acetació es el itervalo (, μ 0 c) y la regió crítica o regió de rechao (μ 0 c, ) está situada a la derecha de la distribució de las medias muestrales. Para calcular c artimos de P [ < µ 0 c] = Restado μ 0 y dividiedo or /AG tiificamos : P X μ μ c μ < =, c P Z < = o P[ Z< ]=. Buscamos e las tablas u valor,, de la N(0, ) tal que P [ Z < ] =. Etoces, como c = c =, la regió de acetació es:, μ0. Ejemlos 9. U servicio telefóico de ateció al cliete asegura que el tiemo medio de esera ates de ser atedidos es de 5 miutos y desviació tíica 0,6 miutos. Se toma ua muestra de 36 llamadas y arroja ua media de esera de 5, miutos. Existe raoes ara creer, co u ivel de sigificació de 0,05, que el tiemo de esera es mayor que 5 miutos? Solució: Paso. Las hiótesis so: H 0 : μ 5 Se trata de u cotraste lateral or la derecha. H : μ > 5 Paso. Fijamos el ivel de sigificació = 0,05. Paso 3. Determiamos de P [ Z ] = 0,95, la regió de acetació y e las tablas obteemos =,645. Etoces la regió de acetació es: ; = ;,, μ = ( ; 5,645). 36 Paso 4. Para acetar H 0 tiee que ocurrir que la media de la muestra,, caiga e el itervalo ( ; 5,645). Como = 5, o erteece al itervalo ( ; 5,645), etoces se rechaa la hiótesis ula. No es cierto que el tiemo medio de esera sea 5 miutos. 7

19 UNIDAD0 INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS Actividades. Ua muestra de 64 soldados de u regimieto ha dado ua altura media de 74 cm Se uede acetar co u ivel de sigificació de 0,0 que la talla media de los soldados del regimieto sigue siedo los 7 cm y o ha aumetado co los últimos alistamietos? Se suoe que la desviació tíica oblacioal sigue siedo de 8 cm. 3. U estudio etre la oblació de deortistas de élite idica que su eso se distribuye ormalmete co media 70 Kg y desviació tíica 0 kg. Se elige al aar ua muestra de 64 deortistas de ua determiada discilia y ha dado u eso medio de 75 kg. Co u ivel de sigificació de 0,05, uede decirse que los deortistas que ractica este discilia deortiva esa más que el resto de deortistas de élite? 3.4. Cotraste de hiótesis ara la media co descoocida Si de la variable X descoocemos, desviació tíica oblacioal, ero el tamaño de la muestra es suficietemete ( Xi X) grade ( 30), la cuasi desviació tíica i = S = que e muchas ocasioes se llama simlemete desviació tíica muestral es u bue estimador de la desviació tíica oblacioal. Ejemlos 0. E u servicio telefóico de ateció al cliete se asegura que el tiemo medio de esera ates de ser atedidos es igual o iferior a miutos. Se toma ua muestra de 300 llamadas y arroja ua media de esera de 4 miutos y ua desviació tíica muestral de 5 miutos. Existe raoes ara creer, co u ivel de sigificació de 0,05, que el tiemo de esera es mayor que miutos? Solució: Paso. Las hiótesis so: H 0 : μ y H : μ >. Se trata de u cotraste lateral or la derecha. Paso. Fijamos el ivel de sigificació = 0,05. Paso 3. De P[Z < ], determiamos =,645. Si tomamos = S = 5, etoces la regió de acetació es: ; μ = ;, 5 = ( ;, ) Paso 4. Como = 4 o erteece al itervalo (-- ;,474), etoces se rechaa la hiótesis ula. No es cierto que el tiemo medio de esera sea como mucho miutos. 8

20 4. Cotraste de hiótesis ara la roorció El cotraste de hiótesis ara ua roorció o orcetaje se basa e los mismos riciios del cotraste de hiótesis ara la media; ta solo teemos que recordar que si ua oblació tiee ua roorció oblacioal de ua determiada característica, etoces la variable aleatoria, de las roorcioes muestrales, cuado ( ) 30, se aroxima a ua distribució ormal N,. Si oemos e ve de, roorció oblacioal, el valor de 0, hiótesis que queremos cotrastar, etoces debe aroximarse a ua ormal N 0, El roceso se realia e los 4 asos que formulamos e el cotraste de la media.. Establecer la hiótesis que rovisioalmete se cosidera verdadera, H 0, que, media oblacioal, tega u valor 0 ; es decir, H 0 : = 0 La hiótesis comlemetaria de la hiótesis ula es la hiótesis alterativa, H, y que uede ser de tres tios diferetes: H : 0 (cotraste bilateral) H : < 0 (cotraste uilateral or la iquierda) H : > 0 (cotraste uilateral or la derecha). Fijar el ivel de sigificació, que idica la robabilidad de rechaar H 0 au siedo verdadera, o establecer el ivel de cofiaa, que idica la robabilidad de acetar H 0 cuado es cierta. 3. Determiar la regió de acetació ara el ivel de sigificació suoe determiar u itervalo ( 0 c, 0 c) al que erteeca la roorció muestral co robabilidad. Luego c es u úmero que cumle que: P [ 0 < c] =. Dividiedo la desigualdad or 0( 0) c, tiificamos ; y llamado = os queda o ( 0 ), 0 P < =. De la desigualdad del corchete obteemos < 0( 0) 0 0( 0) que coduce, cuado el cotraste es bilateral, a la regió de acetació buscada: 0( 0) 0( 0) 0 0,. E los cotrastes uilaterales las regioes de acetació so: 0( 0) or la iquierda 0, ; or la derecha, 0 0( 0). 0( 0). 9

21 UNIDAD0 INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS 4. Se extrae ua muestra y se calcula la roorció muestral, ; a cotiuació se comrueba si cae detro o fuera de la regió de acetació. Si cae detro se aceta H 0 y si o, como es muy imrobable que la roorció muestral obteida siga la distribució ormal de las roorcioes muestrales, se rechaa. Ejemlos. U comerciate de roductos iformáticos asegura que el 45% de los hogares de cierta ciudad osee ordeador. Se extrae ua muestra de 300 hogares y resulta que 0 osee ordeador. Se uede rechaar la afirmació del comerciate co u ivel de sigificació del 5%? Solució: Paso. Las hiótesis del cotraste so: H 0 : = 0,45 y H : 0,45 (cotraste bilateral). Paso. El ivel de sigificació es = 0,05 y = 0,95. Paso 3. Determiamos la regió de acetació: 0 0( 0) 0( 0), 0 Como = 5% = 0,05, / = 0,05, segú el gráfico vemos que P Z < P Z < = 0, 05 = 0, 95. = 0, 95 0, 05 = 0, 975. Buscado e las tablas el valor de / obteemos que / =,96; e cosecuecia, como = 300 y 0 = 0,45, la regió de acetació será: 045, 96, 045, 055, ; 045, 96, , 055, ( 0, = ; 0, 506). Paso 4. De la muestra = 0/300 = 0,4, y además cae detro del itervalo (0,393; 0,506); or tato, acetamos la afirmació del comerciate.. La exeriecia de ateriores eleccioes muestra que cierto artido obtiee el 5% de los votos e ua ciudad. Se uede acetar esta afirmació, ara u ivel de sigificació de 0,, si e la última ecuesta sólo 05 ersoas, etre 500, se mostraro favorables a dicho artido? Solució: Paso. Las hiótesis del cotraste so: H 0 : 0,5 y H : < 0,5 (cotraste uilateral or la iquierda). Paso. El ivel de sigificació es = 0, y = 0,9. Paso 3. Determiamos la regió de acetació: 0 ( 0 ) 0, de P Z> P Z 09 [ ]= [ < ]=,. 0

22 obteemos e las tablas =,8 y como 0 = 0,5 y = 500, la regió de acetació es (0,5, 8 0,5 0, 85 ; ) = (0,38; ). 500 Paso 4. De la muestra = 05/500 = 0,36, y como vemos o cae detro del itervalo (0,38; ). Por tato, rechaamos la hiótesis ula. 3. U fabricate de caletadores de gas afirma que como máximo el % de los caletadores de gas que comercialia tiee ua avería durate el eriodo de garatía. Si embargo, e ua muestra de 400 caletadores se ecotró que de ellos ha teido ua avería durate el rimer año de garatía, se uede acetar la afirmació del fabricate co u ivel de sigificació del 0,05? Solució: Paso. Las hiótesis del cotraste so: H0 : 0,0 y H : > 0,0 (cotraste uilateral or la derecha). Paso. El ivel de sigificació es = 0,05 y = 0,95. Paso 3. Determiamos la regió de acetació: De P [ Z < ] = 0,95, obteemos e las tablas =,645 y como 0 = 0,0 y = 400, la regió de acetació es 0, 0 0, 98 ( ; 0, 0, 645 ) = ( ; 0, 03). 400 Paso 4. E la muestra, = /400 = 0,03, y como vemos cae detro del itervalo ( ; 0,03). Por tato, acetamos la hiótesis ula. Actividades 4. U detista asegura que el 35% de los iños de 0 años reseta algú tio de caries detal. Ua muestra de 00 iños reveló que 3 resetaba algú tio de caries. Comrueba co u ivel de sigificació de 0,05 si el resultado de la muestra cofirma o o la afirmació del detista. 5. U ayutamieto asegura que el 40% de los hogares de la ciudad tiee calefacció de gas. La comañía sumiistradora de gas sosecha que o so tatos. Se toma ua muestra de 00 hogares y resulta que 76 tiee istalació de calefacció a gas. Co u ivel de sigificació del 0,05, cofirma el resultado de la muestra la afirmació del ayutamieto? 6. U vededor de eriódicos afirma que 3 de cada 0 habitates de ua determiada ciudad lee el diario LA NACIONCITA. Se elige ua muestra de 44 habitates de la citada ciudad y resulta que 3 admite leerlo. Co u ivel de sigificació del 5% cotrasta si la afirmació del vededor de eriódicos es exagerada.

23 UNIDAD0 INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS 5. Comaració de dos medias La comaració de dos medias es u caso articular del cotraste de hiótesis. Suogamos que estamos iteresados e coocer si el salario medio de los deedietes de comercio e ua ciudad A es igual, o diferete, al salario de los deedietes de comercio de otra ciudad B. Para resolver esta cuestió extraemos dos muestras aleatorias, de tamaños y, de los salarios de los deedietes, ua e cada ciudad, y comaramos las medias muestrales. Esta comaració se hace sometiedo a u cotraste la hiótesis de la igualdad de los dos salarios medios. Sabemos que los salarios de los deedietes de la ciudad A se distribuye segú ua N(μ, ) y que los de la ciudad B lo hace segú ua N(μ, ). Vimos e la Uidad didáctica 9, que la variable X -- X, que es la diferecia de las medias muestrales de dos distribucioes, se distribuye como ua N(μ -- μ, ); etoces los asos del cotraste so los siguietes: Paso. Como X -- X tiee media μ -- μ, etoces las hiótesis ula y alterativa so: H 0 : μ -- μ = 0 o μ = μ H : μ -- μ 0 o μ μ Paso. Fijamos u ivel de sigificació o u ivel de cofiaa. Paso 3. La regió de acetació, cuado la desviació tíica de X -- X es, viee dada or: μ-μ-, μ- μ = -, e dode / es ua abscisa de la N(0,) que deja a su derecha u área de robabilidad /. Paso 4. Se extrae las muestras y calculamos la diferecia muestral X -- X y se comrueba si cae detro o fuera de la regió de acetació. Si cae detro, acetamos que μ = μ y si o, se rechaa. Todo este roceso se uede abreviar cosiderablemete. Si X -,, odemos escribir: X - X - X < <. cae detro del itervalo Dividiedo las desigualdades ateriores or:. Se obtiee etoces - < X - X <. Luego, usado el valor absoluto, resulta: X X X X - - < o <.

24 Esta última desigualdad la emlearemos como u criterio ráido ara decidir si debemos acetar o rechaar la hiótesis ula. Y el criterio ara la comaració de dos medias es el siguiete: Si X - X <, se aceta la hiótesis ula Si X - X >, se rechaa la hiótesis ula. Ejemlo 4. De u test de memoria que se alica a estudiates de bachillerato se sabe, orque se ha alicado muchas veces, que la desviació tíica de los alumos es 3, y 36 ara las alumas. Se escoge ua muestra de 40 alumos y 45 alumas y se obtiee uas utuacioes medias muestrales de 7 y 78 resectivamete. Co u ivel de sigificació del 5%, se uede asegurar que las utuacioes medias oblacioales de chicos y chicas so iguales? Solució: Se trata de u cotraste de diferecia de medias co desviacioes tíicas coocidas. Llamamos μ = utuació media de la oblació de alumos y μ = utuació media de la oblació de alumas. Las hiótesis ula y alterativa so: H0 : μ = μ o μ -- μ = 0 H : μ μ o μ -- μ 0 Si = 3, = 36, = 40, = 45, X = 7, X = 78, = 0,05 y / =,96, calculamos: X - X = = 0, 8 <, 96. Al ser el valor de la fracció meor que,96, se aceta la hiótesis ula. Las utuacioes medias de los alumos y de las alumas so iguales. Actividades 7. Se ha registrado los resultados de las ruebas de selectividad de 00 estudiates que ha asistido a clases articulares y ha obteido ua utuació media de 4,96 co ua desviació tíica muestral de 0,98. Otro gruo de 00 estudiates que o fuero a clases articulares obtuviero ua media de 4,77 co ua desviació tíica muestral de,0. Co u ivel de sigificació del 5%, se uede afirmar que o hay diferecia sigificativa etre las calificacioes de los estudiates que va a clases articulares y los que o va? (Nota: se descooce y, ero se uede estimar or las desviacioes tíicas muestrales). 8. Ua emresa multiacioal quiere comarar el ivel educativo de sus emleados e dos aíses diferetes, A y B. Se ha realiado u test idético a 40 emleados e cada aís y las utuacioes medias obteidas figura e la tabla siguiete: A B X = 78 X = 86 S=,5 S = 3 Sabiedo que S y S so las desviacioes tíicas muestrales, y so u bue estimador de las desviacioes tíica oblacioales, co ivel de sigificació del 5%, averiguar si so iguales o o las utuacioes medias registradas e los dos aíses. 3

25 UNIDAD0 INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS 6. Comaracioes de dos roorcioes Estamos iteresados e saber si la roorció de idividuos que osee ua cierta característica e ua oblació es igual a la roorció de idividuos co esa característica e otra oblació. Se trata, or tato, de comarar dos orcetajes y ara efectuar la comaració hacemos u cotraste de hiótesis ara determiar si la diferecia de orcetajes es sigificativa o se debe a aleatoriedad e la extracció de las muestras. Suogamos ua característica que tiee u orcetaje, e la rimera oblació y e la seguda oblació. Si tomamos dos muestras, y, resectivamete e cada oblació y co tamaño suficietemete grade, etoces la distribució de las diferecias de las roorcioes muestrales -- se distribuye ormalmete, segú vimos e la Uidad didáctica 9, como ua: ( ) ( ) N,. Para comarar las dos roorcioes e oblacioes diferetes cotrastamos la hiótesis de la igualdad de las dos roorcioes =. Es decir, efectuamos u cotraste de hiótesis Paso. Las hiótesis ula y alterativa so: H 0 : -- = 0 o = H : -- 0 o Paso. Fijamos u ivel de sigificació o u ivel de cofiaa. ( ) ( ) Paso 3. La regió de acetació, cuado la desviació tíica de -- es, viee dada or: ( ) ( ) ( ) ( (, ) = = ( ) ( ) ( ) ( ), ; - dode / es ua abscisa de la N(0, ) que deja a su derecha u área de robabilidad /. Paso 4. Se extrae las muestras, y, y se calcula la diferecia muestral -- y se comrueba si cae detro o fuera de la regió de acetació, e cuyo caso se aceta o se rechaa la hiótesis ula. Todo este roceso se uede abreviar cosiderablemete. Si -- cae e la regió de acetació se cumle que: ( ) ( ), < - ( ) ( ) < Dividiedo or ( ) ( ) - resulta: < ( ) ( ) <. 4

26 O dicho de otro modo, que - ( ) ( ) - < ó ( ) ( ) < dado que e la fórmula de la desviació tíica el radicado siemre es ositivo. Esta última desigualdad la emlearemos como criterio cómodo y ráido ara decidir si debemos acetar o rechaar la hiótesis ula. Y el criterio ara la comaració de dos roorcioes es el siguiete: Si Si Claro que ara emlear este criterio y utiliar la fórmula que e él aarece ecesitamos coocer y. Y si coocemos y, odemos comararlos si cotraste i otros requisitos. Por lo tato, estos valores será siemre descoocidos y debemos estimar la desviació tíica de la ( ) ( ) N or ( ) ( ),, que cuado las muestras so grades o difiere mucho. Co lo cual los criterios ateriores debemos escribirlos así: Si Si - < ( ) ( ) - > ( ) ( ) - < ( ) ( ) - > ( ) ( ) Ejemlos, se aceta la hiótesis ula., se rechaa la hiótesis ula., se aceta la hiótesis ula., se rechaa la hiótesis ula. 5. Se quiere saber si el orcetaje de estudiates de ua uiversidad A que ractica habitualmete deorte es el mismo que el orcetaje de los que hace deorte e otra uiversidad B. Se toma muestras de 50 alumos e cada uiversidad y se ecuetra que e A, 75 ractica deorte, mietras que e B sólo lo hace 65. Se uede afirmar, co u ivel de sigificació del 5%, que el orcetaje de alumos que ractica deorte es el mismo e ambas uiversidades? Solució: Se trata de cotrastar si la diferecia de orcetajes es cero o o. Las hiótesis ula y alterativa so: H 0 : = o -- = 0 H : o

27 UNIDAD0 INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS Si = 75/50 = 0,5, = 65/50 = 0,43, = 50, = 50, = 0,05 y / =,96, calculamos: - ( ) ( ) = 05, 043, 05, ( 05, ) 04, 3 ( 043, ) = 3, <,96 Se aceta la hiótesis ula, el orcetaje de alumos que ractica deorte es el mismo e ambas uiversidades. Actividades 9. Ua tieda de teléfoos móviles ha vedido 60 aaratos de la marca A de los que 4 de ellos ha resetados averías e el eriodo de garatía. Simultáeamete ha vedido 35 aaratos de la marca B de los que 5 ha resetado fallos durate el eriodo de garatía. Es cierta la afirmació del vededor de que el orcetaje de averías e ambas marcas es el mismo? 30. Ua fábrica de botellas de vidrio tiee dos sistemas distitos ara la fabricació de las botellas. Se tomó ua muestra de 300 botellas, de u sistema de roducció, y aareciero 5 defectuosas, mietras que e ua muestra de 00 botellas del otro sistema aareciero 3 defectuosas. Se uede afirmar que los orcetajes de botellas defectuosas or ambos sistemas de roducció so iguales? 6

28 7 Itervalo de cofiaa ara la media: Tamaño de la muestra ara la media: Itervalo de cofiaa ara la roorció: Tamaño de la muestra ara la roorció: Regió de acetació ara el cotraste bilateral de la media: Regió de acetació ara el cotraste bilateral de la roorció: Criterio ara la comaració de dos medias: Criterio ara la comaració de dos roorcioes: < Si se aceta la hi - ( ) ( ), ótesis ula. Si se > - ( ) ( ), rechaa la hiótesis ula. < Si se aceta la hiótesis ula. Si X X -, X X - >, se rechaa la hiótesis ula ( ), ( ) μ μ 0 0, E = ( ) ( ) ( ), ( ) E = X X, RECUERDA