9- Test o prueba de hipótesis

Transcripción

1 arte Estadística rof. María B. itarelli 9- Test o rueba de hiótes 9. Itroducció asta ahora hemos estudiado el roblema de estimar u arámetro descoocido a artir de ua muestra aleatoria. E muchos roblemas se requiere tomar ua deció etre acetar o rechaar ua rooció sobre algú arámetro. Esta rooció recibe el ombre de hiótes estadística, y el rocedimieto de toma de deció sobre la hiótes se cooce como rueba o test de hiótes. Como se emlea distribucioes de robabilidad ara reresetar oblacioes, tambié odemos decir que ua hiótes estadística es ua rooció sobre la distribució de robabilidad de ua variable aleatoria, dode la hiótes ivolucra a uo más arámetros de esta distribució. or ejemlo, suogamos que cierto tio de motor de automóvil emite ua media de mg de óxidos de itrógeo (NO x or segudo co caballos de fuera. e ha rouesto ua modificació al diseño del motor ara reducir las emioes de NO x. El uevo diseño se roducirá se demuestra que la media de su tasa de emioes es meor de mg/s. e costruye y se rueba ua muestra de 5 motores modificados. La media muestral de emioes de NO x es de 9 mg/s, y la desviació estádar muestral es de mg/s. La variable aleatoria de iterés e este caso es : tasa de emió de u motor modificado tomado al aar. La reocuació de los fabricates coste e que los motores modificados o ueda reducir todas la emioes; es decir que la media oblacioal udiera ser o mayor que. Etoces, la reguta es: es factible que esta muestra ueda roveir de ua v.a. co media o mayor? Éste es el tio de regutas que las ruebas de hiótes está diseñadas ara resoder. Veremos cómo costruir ua rueba de hiótes, ero odemos decir que e geeral se basa e costruir a artir de la muestra aleatoria u estadístico, y segú el valor que tome este estadístico de rueba se acetará o se rechaará la hiótes. e ha observado ua muestra co media 9. ay dos iterretacioes obles de esta observació: - La media oblacioal es realmete mayor o igual que, y la media muestral es meor que debido a la variabilidad roia de la variable aleatoria - La media oblacioal es e realidad meor que, y la media muestral refleja este hecho. Estas dos exlicacioes tiee ombres: la rimera se llama hiótes ula; la seguda es la hiótes alterativa. E la mayoría de las tuacioes la hiótes ula dice que el efecto que idica la muestra es atribuible solamete a la variació aleatoria del estadístico de rueba. La hiótes alterativa establece que el efecto que idica la muestra es verdadero. ara hacer las cosas más recisas, todo se exresa mediate símbolos. La hiótes ula se deota or, la hiótes alterativa se deota co. Como es usual la media oblacioal se aota. or lo tato se tiee : cotra : (hiótes alterativa uilateral < Esecialmete, ara realiar ua rueba de hiótes se oe la hiótes ula e juicio. e asume que es verdadera, de la misma maera como se emiea e u juicio bajo el suuesto de que u acusado es iocete. La muestra aleatoria roorcioa la evidecia. 7

2 arte Estadística rof. María B. itarelli Las hiótes so emre roocioes sobre los arámetros de la oblació o distribució bajo estudio, o roocioes sobre la muestra. Otros tios de hiótes que odría formularse so o : cotra : (hiótes alterativa uilateral > : cotra : (hiótes alterativa bilateral E el ejemlo teemos,,..., 5 muestra aleatoria de la v.a. defiida ateriormete. Como estamos haciedo ua hiótes sobre la media oblacioal es raoable tomar como estadístico de rueba a. El valor observado de la media muestral es 9. i el valor de es muy meor que etoces se codera que hay evidecia e cotra y se la rechaa, acetado la hiótes alterativa. i el valor de o es muy meor que etoces se codera que o hay evidecia e cotra y se rechaa la hiótes alterativa. Ya veremos como costruir ua regla de deció, suogamos ahora que teemos la guiete regla: se se rechaa aceta < El itervalo 95, es la oa de acetació. La regió ; 95 es la oa de rechao o regió crítica. Mietras que 95 es el uto crítico. Como estamos tomado ua deció basados e el valor de u estadístico odemos cometer dos tios de errores: rechaar cuado ésta es verdadera, es decir el estadístico toma valores e la oa de rechao cuado es verdadera; o acetar cuado ésta es falsa, es decir que el estadístico tome valores e la oa de acetació cuado es falsa. El rimero se cooce como error de tio I, y el segudo como error de tio II. Debido a que la deció se basa e variables aleatorias es oble asociar robabilidades a los errores de tio I y II, esecíficamete aotamos ( error de tio I ( error de tio II A ( error de tio I se lo cooce como ivel de gificacia del test. ara calcular estas robabilidades debemos coocer la distribució del estadístico de rueba e el caso de ser verdadera, es decir debemos coocer la distribució del estadístico de rueba bajo. 7

3 arte Estadística rof. María B. itarelli E el ejemlo aterior la muestra es grade, ya sabemos que or T.C.L. el estadístico Z N(, es verdadera, o sea Z N(, s 5 Etoces ara calcular lateamos: ( error de tio I rechaar / es V ( < 95/ < Φ Φ( Esto gifica que el 4.64% de las muestras aleatorias coducirá al rechao de la hiótes : cuado el verdadero sea mayor o igual que. E este caso el gráfico de la oa de rechao es.4648 N, 5 Del gráfico aterior vemos que odemos reducir al aumetar la oa de acetació. or ejemlo suogamos que ahora la regla de deció es se se rechaa aceta < Etoces ( error de tio I rechaar / es V ( < 93/ < Φ Φ(

4 arte Estadística rof. María B. itarelli Tambié se uede reducir aumetado el tamaño de la muestra. uogamos que 85, etoces ( error de tio I rechaar / es V ( < 95/ < Φ Φ( Tambié es imortate examiar la robabilidad de cometer error de tio II, esto es ( error de tio II ( acetar / es falsa ero e este caso ara llegar a u valor umérico ecetamos teer ua alterativa esecífica ues e uestro ejemlo: ( error de tio II ( acetar / es Φ falsa ( 95/ Dode aotamos co a la verdadera media oblacioal descoocida. odemos etoces calcular ara u valor articular de, or ejemlo os uede iteresar como se comorta el test cuado la verdadera media es 94, etoces ( 94 Φ Φ( Gráficamete: bajo : 94 bajo : oa de rechao (

5 arte Estadística rof. María B. itarelli La robabilidad de cometer error de tio II crece a medida que el valor verdadero de se acerca al valor hiotético. or ejemlo el verdadero valor de fuera 94.7 etoces ( 94.7 Φ Φ( bajo : 94.7 bajo : ' ( oa de rechao Además, la robabilidad de cometer error de tio II dismiuye a medida que el valor verdadero de se aleja del valor hiotético. or ejemlo el verdadero valor de fuera 9 etoces ( 9 Φ Φ( bajo : 9 bajo : ( oa de rechao 75

6 arte Estadística rof. María B. itarelli Tambié se uede reducir la robabilidad de cometer error de tio II co el tamaño de la muestra. or ejemlo 85 etoces y ( 94 Φ Φ( Lo que se ha visto e los ejemlos ateriores se uede geeraliar. odemos recalcar los guietes utos imortates: - El tamaño de la regió crítica, y e cosecuecia la robabilidad de cometer error de tio I, emre uede reducirse mediate ua selecció aroiada de los valores críticos. - Los errores tio I y II está relacioados. Ua dismiució e la robabilidad e u tio de error emre da como resultado u aumeto e la robabilidad del otro, emre que el tamaño de la muestra o cambie. 3- E geeral, u aumeto e el tamaño de la muestra reduce tato a como a, emre que los valores críticos se matega costates. 4- Cuado la hiótes ula es falsa, aumeta a medida que el valor verdadero del arámetro tiede al valor hiotético rouesto or la hiótes ula. El valor de dismiuye a medida que aumeta la deferecia etre el verdadero valor medio y el rouesto. E geeral el ivestigador cotrola la robabilidad del error de tio I cuado seleccioa los valores críticos. or lo tato el rechao de la hiótes ula de maera erróea se uede fijar de atemao. Eso hace que rechaar la hiótes ula sea ua cocluó fuerte. La robabilidad de error de tio II o es costate, o que deede del valor verdadero del arámetro. Tambié deede del tamaño de la muestra que se haya seleccioado. Como está e fució del tamaño de la muestra y del valor verdadero del arámetro, la deció de acetar la hiótes ula se la codera ua cocluó débil, a meos que se sea que es acetablemete equeño. or lo tato cuado se aceta e realidad se es icaa de rechaar. No se uede rechaar ues o hay evidecia e cotra. U coceto imortate es el guiete: La otecia de u test es la robabilidad de rechaar la hiótes ula. La mboliamos π (. ara los valores de tal que la alterativa es verdadera se tiee π / falsa ( rechaar es ( Las ruebas estadísticas se comara mediate la comaració de sus roiedades de otecia. La otecia es ua medida de la sebilidad del test, dode or sebilidad se etiede la caacidad de ua rueba ara detectar diferecias. E el ejemlo aterior, la sebilidad de la rueba ara detectar la diferecia etre ua tasa de emió media de y otra de 94 es π ( 94 ( Es decir el valor verdadero de la tasa de emió media es 94, la rueba rechaará de maera correcta y detectará esta diferecia el 6.93% de las veces. i el ivestigador iesa que este valor es bajo etoces el ivestigador uede aumetar o el tamaño de la muestra. 76

7 arte Estadística rof. María B. itarelli 9. rueba de hiótes sobre la media, variaa coocida Veamos ahora cómo costruir ua regla de deció sobre la media de ua oblació. uogamos que la variable aleatoria de iterés tiee ua media y ua variaa coocida. Asumimos que tiee distribució ormal, es decir ~ N(,. Nuevamete, como e el ejemlo itroductorio, es raoable tomar como estadístico de rueba al romedio muestral. Bajo las suocioes hechas teemos que ~ N,. uogamos que teemos las hiótes : cotra : Dode es ua costate esecífica. e toma ua muestra aleatoria,,..., de la oblació. i : es verdadera, etoces ~ N,, or lo tato el estadístico Z tiee distribució N (, : es verdadera Tomamos a Z como estadístico de rueba i : es verdadera etoces Z N (, Zoa de acetació Es evidete que ua muestra que roduce u valor del estadístico de rueba que cae e las colas de la distribució de Z será iusual : es verdadera, or lo tato esto es u idicador que es falsa. Etoces la regla de deció es: rechaar acetar Z > Z 77

8 arte Estadística rof. María B. itarelli Notar que la robabilidad que la estadística de rueba tome u valor que caiga e la oa de rechao es verdadera es igual a, es decir la robabilidad de cometer error de tio I es ues ( error de tio I rechaar > < / es V > Ejemlo: El orcetaje deseado de io e cierto tio de cemeto alumioso es 5.5. ara robar el verdadero romedio de orcetaje es 5.5 ara ua lata de roducció e articular, se aaliaro 6 muestras obteidas de maera ideediete. uogamos que el orcetaje de io e ua muestra está ormalmete distribuido co. 3, y que x Idica esto de maera cocluyete que el verdadero romedio de orcetaje difiere de 5.5?. Utilice. olució: La v.a. de iterés es : orcetaje de io e cierto tio de cemeto alumioso Asumimos que ~ N(, 3 odemos latear las hiótes : 5.5 cotra : 5. 5 Teemos ua muestra de tamaño 6 que dio u romedio muestral x 5. 5 Como. etoces or lo tato la regla de deció es rechaar acetar > El estadístico toma el valor Como <.. se aceta Tambié odemos desarrollar tests o ruebas de hiótes ara el caso de que la hiótes alterativa es uilateral. 78

9 arte Estadística rof. María B. itarelli uogamos las hiótes : cotra : > E este caso la regió crítica debe colocarse e la cola suerior de la distribució ormal estádar y el rechao de se hará cuado el valor calculado de sea muy grade, esto es la regla de deció será rechaar acetar > N (, oa de acetacio De maera milar ara las hiótes : cotra : < se calcula el valor del estadístico de rueba y se rechaa el valor de es muy equeño, es decir la regla de deció será rechaar acetar < 79

10 arte Estadística rof. María B. itarelli N (, oa de acetacio Ejemlo: e sabe que la duració, e horas, de u foco de 75 watts tiee ua distribució aroximadamete ormal, co ua desviació estádar de 5 horas. e toma ua muestra aleatoria de focos, la cual resulta teer ua duració romedio de x 4 horas Existe evidecia que aoye la afirmació de que la duració romedio del foco es mayor que horas?. Utilice. 5. olució: La v.a. de iterés es : duració e horas de u foco tomado al aar Asumimos ~ N(, 5 odemos latear las hiótes : cotra : > Teemos ua muestra de tamaño que dio u romedio muestral x 4 Como. 5 etoces rechaar > or lo tato la regla de deció es acetar El estadístico toma el valor 4 Z toma el valor Como 7.554> se rechaa - valor asta ahora se diero los resultados de ua rueba de hiótes estableciedo la hiótes ula fue o o rechaada co u valor esecificado de o ivel de gificacia. A meudo este lateamieto resulta iadecuado, ya que o roorcioa igua idea sobre el valor calculado del estadístico está aeas e la regió de rechao o bie ubicado detro de ella. Además, esta forma de establecer los resultados imoe a otros usuarios el ivel de gificacia redetermiado. 8

11 arte Estadística rof. María B. itarelli ara evitar estas dificultades, se adota el efoque del -valor. El valor o -valor es la robabilidad de que el estadístico de rueba tome u valor que sea al meos ta extremo como el valor observado del estadístico de rueba cuado la hiótes ula es verdadera. Es así como el -valor da mucha iformació sobre el eso de la evidecia cotra, de modo que el ivestigador ueda llegar a ua cocluó ara cualquier ivel de gificacia esecificado. La defiició formal del -valor es la guiete: El valor es el ivel de gificacia más equeño que coduce al rechao de la hiótes ula ara las ruebas de distribucioes ormales resetadas hasta el mometo, es secillo calcular el - valor. i es el valor calculado del estadístico de rueba Z, etoces el -valor es a las hiótes so : cotra : valor Z > Z < Φ Φ Φ Φ [ ] [ ] [ ] : cotra : > Z Φ : cotra : < b las hiótes so valor Z > c las hiótes so valor ( Z < Φ( U -valor muy chico gifica mucha evidecia e cotra de ; u -valor alto gifica que o hay evidecia e cotra Notar que: i < valor etoces se aceta co ivel de gificacia i > valor etoces se rechaa co ivel de gificacia Esto se ilustra e las guietes figuras: valor oa de rechao oa de rechao Ejemlos: - E el ejemlo ateúltimo referido al orcetaje deseado de io e cierto tio de cemeto alumioso las hiótes era: : 5. 5 cotra : 5. 5 ; y el estadístico de rueba tomó el valor <. 575 ; or lo tato se acetaba. 8

12 arte Estadística rof. María B. itarelli E esta caso valor ( Z > [ Φ( ] [ Φ( ] [.693]. 744 Como el -valor es muy alto o hay evidecia e cotra. e ecetaría tomar u valor de mayor a.744 ara rechaar. - E el último ejemlo, sobre la duració, e horas, de u foco de 75 watts, las hiótes era : cotra : > ; y el estadístico Z tomó el valor 7.554> ; or lo tato se rechaaba. E este caso ( > Φ Φ ( valor Z Como el -valor es ca cero hay mucha evidecia e cotra de. rácticamete ara igú valor de se aceta Error de tio II y selecció del tamaño de la muestra E la rueba de hiótes el ivestigador seleccioa directamete la robabilidad del error de tio I. i embargo, la robabilidad de cometer error de tio II deede del tamaño de la muestra y del valor verdadero del arámetro descoocido. uogamos las hiótes : cotra : Etoces aotamos co al valor verdadero del arámetro ( acetar es falsa Como la hiótes ula es falsa, etoces o tiee distribució N (, or lo tato hacemos lo guiete: ; y ahora como ~ N(, ues se estadarió a co el verdadero, etoces ( 8

13 arte Estadística rof. María B. itarelli 83 Φ Φ Φ Φ E cosecuecia ara u valor esecífico de y u valor de dado, odemos regutaros qué tamaño de muestra se eceta ara que sea meor que u valor dado e articular. or ejemlo > etoces odemos aroximar Φ, y lateamos que < Φ. Buscamos e la tabla de la (, N ara qué se cumle que Φ, lo aotamos, y etoces odemos escribir > < < E el caso de ser < etoces odemos aroximar Φ, y lateamos que < Φ. Es decir <Φ Buscamos e la tabla de la (, N ara qué se cumle que Φ, lo aotamos, y etoces odemos escribir { - > < > < E cosecuecia queda la misma fórmula que la aterior or lo tato i las hiótes so : cotra :, etoces Φ Φ i las hiótes so : cotra :, etoces >

14 arte Estadística rof. María B. itarelli 84 E forma aáloga se ude robar que las hiótes so : cotra : > Etoces falsa es acetar Φ Φ Etoces Y teemos las hiótes : cotra : < Φ falsa es acetar Etoces Y además co ua deducció aáloga al caso de alterativa bilateral: i las hiótes so : cotra : >, (o : > etoces > i las hiótes so : : cotra : > etoces Φ i las hiótes so : : cotra : < etoces Φ

15 arte Estadística rof. María B. itarelli Ejemlos: - E el ejemlo referido al orcetaje deseado de io e cierto tio de cemeto alumioso las hiótes era: : 5. 5 cotra : 5. 5 ; y el estadístico de rueba tomó el valor <.. ; or lo tato se acetaba 575. Teíamos 6 y 3 i el verdadero romedio de orcetaje es 5. 6 y se realia ua rueba de ivel. co base e 6, cuál es la robabilidad de detectar esta desviació? Qué valor de se requiere ara satisfacer. y ( 5.6.? olució: La robabilidad de detectar la desviació es la otecia del test cuado 5. 6, es decir π( 5.6 rechaar / es falsa ( 5.6 Como estamos co hiótes alterativa bilateral, calculamos ( 5.6 Φ Φ ( 5.6 ( 5.6 ( ( Φ 6Φ.575 6Φ ( π( (.44 Φ(.78 Ahora se quiere hallar tal que ( 5.6., como el test es bilateral odemos usar directamete la fórmula co. 33 (. 3 > ( ( E el último ejemlo, sobre la duració, e horas, de u foco de 75 watts, las hiótes era : cotra : > ; y el estadístico Z tomó el valor 7.554> ; or lo tato se rechaaba. E este caso 5 y i la verdadera duració romedio del foco es 5 horas, cuál es la robabilidad de error de tio II ara la rueba? Qué tamaño de muestra es ecesario ara asegurar que el error de tio II o es mayor que. la duració romedio verdadera del foco es 5 hs.? olució: Como las hiótes so : cotra : > etoces ( ( 5 Φ Φ.645 Φ( ara hallar tal que ( 5. alicamos la fórmula co

16 arte Estadística rof. María B. itarelli ( ( ( ( 5 5 > Relació etre test de hiótes e itervalos de cofiaa Existe ua estrecha relació etre la rueba de hiótes bilateral sobre u arámetro y el itervalo de cofiaa de ivel ara. Esecíficamete suogamos que teemos las hiótes La regla de deció es : cotra : rechaar acetar > Acetar es equivalete a: acetar su ve equivalete, desejado, a: ; y esto es a acetar ; es decir ; ero resulta que ; es el itervalo de cofiaa que se costruiría ara el verdadero arámetro de ivel. or lo tato la regla de deció queda: rechaar acetar ; ; Ejemlo: E el ejemlo referido al orcetaje deseado de io hiótes era: : 5. 5 cotra : 5. 5 ; y teíamos 6 ; 3 ; u romedio muestral x 5. 5 e cierto tio de cemeto alumioso las 86

17 arte Estadística rof. María B. itarelli Como. etoces Costruimos u itervalo de cofiaa de ivel.. 99 ; ; [ ; 7.85] Etoces la regla de deció es: rechaar acetar [ ; 7.85] [ ; 7.85] Como.5 [ ; 7.85] 5, etoces se aceta. 9.3 rueba de hiótes sobre la media, variaa descoocida ara muestras grades asta ahora se ha desarrollado el rocedimieto de test de hiótes ara la hiótes ula suoiedo que es coocida, ero e la mayoría de las tuacioes rácticas es : descoocida. E geeral 3, etoces la variaa muestral está róxima a e la mayor arte de las muestras, de modo que es oble sustituir or. Es decir el estadístico Z N(, aroximadamete, 3 : Además, o odemos decir que la muestra aleatoria roviee de ua oblació ormal, sea coocida o o, or T.C.L. los estadísticos Y Z N(, Z N(, aroximadamete, 3 : aroximadamete, 3 : Las ruebas de hiótes tedrá etoces u ivel de gificacia aroximadamete de Ejemlo: U isector midió el volume de lleado de ua muestra aleatoria de latas de jugo cuya etiqueta afirmaba que coteía o. La muestra teía ua media de volume de.98 o y desviació estádar de.9 o. ea la verdadera media del volume de lleado ara todas las latas de jugo recietemete lleadas co esta máquia. El isector robará : cotra : a Determiar el -valor b iesa que es factible que la media del volume de lleado es de o? 87

18 arte Estadística rof. María B. itarelli olució: La v.a. de iterés sería : volume de lleado de ua lata tomada al aar No se esecifica igua distribució ara. Aotamos E y V (, ambas descoocidas. e toma ua muestra de latas y se obtiee x. 98 y s. 9 Las hiótes so : cotra : El estadístico de rueba es Z y : es verdadera etoces Z N(,.98 El estadístico Z toma el valor Como la hiótes alterativa es bilateral etoces valor Z > Φ [ ] [ ]. 937 Como el -valor es mayor que.5 se codera que o hay evidecia e cotra de : or lo tato es factible que la media del volume de lleado sea de o 9.4 rueba de hiótes sobre la media de ua distribució ormal, variaa descoocida Cuado se rueba hiótes sobre la media de ua oblació cuado es descoocida es oble utiliar los rocedimietos de rueba dados ateriormete emre y cuado el tamaño de la muestra sea grade ( 3. Estos rocedimietos so aroximadamete válidos imortar la oblació de iterés es ormal o o. ero la muestra es equeña y es descoocida debe suoerse que la distribució de la variable de iterés es ormal. Esecíficamete, suogamos que la v.a. de iterés tiee distribució N (, dode y so descoocidas. uogamos las hiótes : cotra : ea ;,..., ua muestra aleatoria de tamaño de la v.a. y sea y la media y la variaa muestrales resectivamete. El rocedimieto se basa e el estadístico T / El cual, la hiótes ula es verdadera, tiee distribució tudet co - grados de libertad. Etoces, ara u ivel refijado, la regla de deció es rechaar acetar T > t T t,, es decir rechaar acetar > t t,, 88

19 arte Estadística rof. María B. itarelli La lógica gue edo la misma, el estadístico de rueba toma u valor iusual, etoces se codera que hay evidecia e cotra y se rechaa la hiótes ula. Como ahora la distribució del estadístico es tudet, os fijamos T toma u valor t e las colas de la distribució tudet co - grados de libertad. rechaar i la alterativa es : > etoces la regla de deció es acetar T > t T t,, rechaar i la alterativa es : < etoces la regla de deció es acetar T <t T t,, Ejemlo: Ates de que ua sustacia se ueda coderar segura ara eterrarse como reduo se debe caracteriar sus roiedades químicas. e toma 6 muestras de lodo de ua lata de tratamieto de agua redual e ua regió y se les mide el obteiédose ua media muestral de 6.68 y ua desviació estádar muestral de.. e uede cocluir que la media del es meor que 7.? Utiliar.5 y suoer que la muestra fue tomada de ua oblació ormal. olució: La v.a. de iterés es : de ua muestra de lodo tomada al aar Asumimos que tiee distribució N (, Las hiótes sería 7. cotra : 7. : < El estadístico de rueba es T y toma el valor t / 6./ 6 Buscamos e la tabla de la distribució tudet t t. 5,.5,5 3.99<t, t.5, 5. Etoces como t 5 se rechaa, or lo tato hay evidecia que < 7. -valor de u test t E este caso el cálculo del - valor se realia coderado: i t es el valor calculado del estadístico de rueba T, etoces el -valor es a las hiótes so : cotra : valor T > t T t T t b las hiótes so : cotra : > valor ( T > t ( T t c las hiótes so : cotra : < valor T t ara calcular el -valor e ua rueba t os ecotramos co la dificultad que las tablas de la tudet o so comletas, or lo tato e alguas ocaoes se deberá acotar el -valor E el ejemlo aterior ara calcular el -valor de la rueba como es u test co alterativa uilateral valor ( T t ( T

20 arte Estadística rof. María B. itarelli Buscamos e la tabla de la distribució tudet la fila dode figura ν 5 grados de libertad y vemos que el valor 3.99 o está tabulado. ero 3.365< 3.99< 4. 3, y ( T > y ( T > or lo tato.5< ( T5 > 3.99 <..5< valor ( T5 <3.99 <., es decir 5 odemos deducir que existe evidecia de que la media del es meor que rueba de hiótes sobre la diferecia de dos medias, variaas coocidas uogamos que teemos dos variables aleatorias ideedietes ormalmete distribuidas: ~ N(, y suoemos que las variaas y so coocidas. ~ N(, ea además (,,..., ua muestra aleatoria de tamaño de (,,..., ua muestra aleatoria de tamaño de. El iterés recae e robar que dode es u valor fijado, or ejemlo etoces se querrá robar que es decir que las medias so iguales. Ya sabemos que bajo las suocioes ateriores ~ N, ~ N, i i i i Y además or lo tato ~ N,. ( Z ~ N(,, es decir, tiee distribució ormal estadariada. i coderamos las hiótes : cotra : 9

21 arte Estadística rof. María B. itarelli Etoces usamos como estadístico de rueba a Z Y Z ~ N(, : or lo tato la regla de deció será es verdadera rechaar acetar Z > Z dode Z rechaar i : > etoces la regla de deció es acetar Z > Z rechaar i : < etoces la regla de deció es acetar Z < Z Ejemlos: - U diseñador de roductos está iteresado e reducir el tiemo de secado de ua itura taaoros. e rueba dos fórmulas de itura. La fórmula tiee el coteido químico estádar, y la fórmula tiee u uevo igrediete secate que debe reducir el tiemo de secado. De la exeriecia se sabe que la desviació estádar del tiemo de secado es 8 miutos, y esta variabilidad o debe verse afectada or la adició del uevo igrediete. e ita esecímees co la fórmula y otros co la fórmula. los tiemos romedio de secado muestrales fuero x miutos y x miutos resectivamete. A qué cocluoes debe llegar el diseñador del roducto sobre la eficacia del uevo igrediete utiliado. 5? olució: Aquí las hiótes so cotra : : > El estadístico de rueba es Z y toma el valor Buscamos e la tabla de la ormal estádar

22 arte Estadística rof. María B. itarelli Como.5> se rechaa al ivel.5 y se cocluye que el uevo igrediete dismiuye el tiemo de secado. El cálculo del -valor y la deducció de la robabilidad de cometer error de tio II se obtiee de maera aáloga a los casos ateriores. or ejemlo ara la alterativa bilateral la exreó ara es la guiete dode aotamos δ ( acetar es falsa Φ δ Φ δ valor Z > Z > Φ E el ejemlo aterior el (.5 (.5 59 Tambié es oble obteer fórmulas ara el tamaño de la muestra ecesario ara obteer ua esecífica ara ua diferecia dada e las medias δ y. i asumimos que etoces es > ara : ara : > o : < δ es > δ 9.6 rueba de hiótes sobre la diferecia de dos medias, variaas descoocidas Caso : uogamos que teemos dos variables aleatorias ideedietes ormalmete distribuidas: ~ N ~ N y además (, (, (,,..., (,,..., y las variaas y so descoocidas. es ua muestra aleatoria de tamaño de es ua muestra aleatoria de tamaño de. 9

23 arte Estadística rof. María B. itarelli i las muestras aleatorias se toma de ua distribució ormal, dode y so descoocidos, 3 y 3, etoces se uede robar que al reemlaar or y or, el estadístico ( N(,. aroximadamete or lo tato aotamos Z vale las reglas de deció vistas e la secció aterior, co la diferecia que el ivel de gificacia del test será aroximadamete i ahora o o so mayores que 3, etoces * T tiee distribució aroximadamete tudet co ν grados de libertad bajo la hiótes : dode ( ( ( ν ν o es etero, se toma el etero más róximo a ν or lo tato, las hiótes so : etoces la regla de deció es cotra : rechaar acetar T T * * > t t, ν, ν rechaar i : > etoces la regla de deció es acetar T T * * > t t, ν, ν rechaar i : < etoces la regla de deció es acetar T T * * <t t, ν, ν Ejemlo: U fabricate de moitores rueba dos diseños de microcircuitos ara determiar roduce u flujo de corriete equivalete. El deartameto de igeiería ha obteido los datos guietes: 93

24 arte Estadística rof. María B. itarelli Diseño 5 x 4. s Diseño x 3. 9 s Co. se desea determiar existe algua diferecia gificativa e el flujo de corriete medio etre los dos diseños, dode se suoe que las oblacioes so ormales. olució: Las variables aleatorias de iterés so : flujo de corriete e diseño : flujo de corriete e diseño Asumimos que ~ N( y ~ N(,, dode los arámetros so descoocidos Las hiótes sería : cotra : El estadístico de rueba es * * T que e este caso toma el valor t Debemos buscar e la tabla de la distribució tudet t t etoces calculamos ( ( ( ( 5 ( 5 (, ν., ν ν ν 5 5 or lo tato t t. 753, ν.5,5 *.5, 5 Como t.8< t. 753 etoces se aceta : No hay evidecia fuerte que las medias de los dos flujos de corriete sea diferetes. i calculamos el -valor * * * valor T > t T >.8 >. 4 Caso : uogamos que teemos dos variables aleatorias ideedietes ormalmete distribuidas: ~ N ~ N (, (, y las variaas y so descoocidas ero iguales. y además (,,..., es ua muestra aleatoria de tamaño de (,,..., es ua muestra aleatoria de tamaño de. 94

25 arte Estadística rof. María B. itarelli ea y las medias muestrales y estimadores de la variaa comú estimador es y las variaas muestrales. Como y, etoces costruimos u estimador combiado de ( ( e uede comrobar que es u estimador isesgado de. Ya vimos que se uede robar que el estadístico so los. Este T r tiee distribució tudet co grados de libertad or lo tato, las hiótes so : etoces la regla de deció es cotra : rechaar acetar T > t T t,, rechaar i : > etoces la regla de deció es acetar T > t T t,, rechaar i : < etoces la regla de deció es acetar T <t T t,, Ejemlo: e tiee las medicioes del ivel de hierro e la sagre de dos muestras de iños: u gruo de iños saos y el otro adece fibros quística. Los datos obteidos se da e la guiete tabla: saos efermos 3. 9 x s 5. 9 x s 6. 3 odemos asumir que las muestras roviee de oblacioes ormales ideedietes co iguales variaas. Es de iterés saber las dos medias del ivel de hierro e sagre so iguales o distitas. Utiliar.5 olució: Las variables de iterés so : ivel de hierro e sagre de u iño sao tomado al aar : ivel de hierro e sagre de u iño co fibros quística tomado al aar 95

26 arte Estadística rof. María B. itarelli Asumimos que ~ N( y ~ N(,, Coderamos las hiótes : cotra : ara calcular el valor del estadístico de rueba, rimero calculamos ( ( ( ( El estadístico de rueba es T r y toma el valor t Buscamos e la tabla de la distribució tudet t t. 86 Como t.63> t. 86 etoces se rechaa.5, i calculamos el -valor de la rueba.5,, : ( ( T < t ( ( T <.63 ( T.63 valor > Vemos de la tabla de la tudet que t. 58 y t. 845 or lo tato., ( >.63 <..5,.5< valor T es decir.< valor<. 9.7 rueba de hiótes sobre la diferecia de dos medias ara datos de a ares Ya se vio el caso, cuado se habló de itervalos de cofiaa ara ua diferecia de medias, de datos, ;, ;...;. dados de a ares, es decir, Las variables aleatorias y tiee medias y resectivamete. Coderamos co j,,...,. Etoces y V D j j j E ( D E( E( E( j j j j j ( D V( V( V( Cov(, Cov( j j j j j j j, Estimamos E ( D j co D D j ( j j j E lugar de tratar de estimar la covariaa, estimamos la V ( D j co D ( D j D j j 96

27 arte Estadística rof. María B. itarelli Aotamos D y D V( D j Asumimos que D N(, j ~ D D co j,,..., Las variables aleatorias e ares diferetes so ideedietes, o lo so detro de u mismo ar. ara costruir ua regla de deció uevamete, coderamos el estadístico i teemos las hiótes D D T co distribució t / D cotra : : Etoces el estadístico de rueba es D T y tiee distribució t : es verdadera D / or lo tato, la regla de deció es rechaar acetar T > t T t,, dode D T D / rechaar i : > etoces la regla de deció es acetar T > t T t,, rechaar i : < etoces la regla de deció es acetar T <t T t,, Ejemlo: e comara dos microrocesadores e ua muestra de 6 códigos de utos de referecia ara determiar hay ua diferecia e la raide. Los tiemos e segudos utiliados ara cada rocesador e cada código está dados e la guiete tabla: Código rocesador A rocesador B uede cocluir que las medias de la raide de ambos rocesadores so diferetes co ivel de gificacia.5? olució: Las variables aleatorias de iterés so : raide del rocesador A e u código tomado al aar : raide del rocesador B e u código tomado al aar Como ambas variables se mide sobre u mismo código o odemos asumir que so ideedietes. 97

28 arte Estadística rof. María B. itarelli Las hiótes so cotra : : Necetamos la muestra de las diferecias D : 3., -.;.4; -.4; -3.; -7.7 De esta muestra obteemos d y s Además. 5 t t. 57 El estadístico de rueba es,.5,5 D.996< t t.5, 5, j D D T y toma el valor t. 996 / / 6 Como t. 57 etoces se aceta la hiótes ula. No hay evidecia de que las medias de la raide de ambos rocesadores sea diferetes. 9.8 Tests de hiótes sobre la variaa uogamos que se desea robar la hiótes de que la variaa de ua oblació ormal es igual a u valor esecífico, or ejemlo. ea (,,..., ua muestra aleatoria de tamaño de ua v.a., dode ~ N(,. Tomamos como estimador utual de a i Luego a artir de este estimador utual costruimos el estadístico Este estadístico cotiee al arámetro descoocido a estimar y ya sabemos que tiee ua distribució llamada ji-cuadrado co - grados de libertad uogamos las hiótes Tomamos como estadístico de rueba a : cotra : y es verdadera, etoces : ~ χ Nuevamete, el raoamieto es: el estadístico que bajo : tiee distribució χ toma u valor iusual, se codera que hay evidecia e cotra Recordar que la distribució χ es amétrica. Etoces la regla de deció es recahar acetar > χ χ,, ó < χ χ,, dode 98

29 arte Estadística rof. María B. itarelli i recahar etoces la regla de deció es : > acetar > χ χ,, i recahar etoces la regla de deció es : < acetar < χ χ,, ara calcular el -valor, el estadístico tomó el valor x, y teiedo e cueta que o hay metría e la distribució ji-cuadrado, hacemos: i i i : > etoces valor > x < etoces valor ( < : : etoces valor mi < x, > x x Ejemlo: Coderemos uevamete el ejemlo visto e la secció de itervalos de cofiaa ara la variaa sobre la máquia de lleado de botellas. Al tomar ua muestra aleatoria de botellas se obtiee ua variaa muestral ara el volume de lleado de s. 53 o. i la variaa del volume de lleado es mayor que. o, etoces existe ua roorció iacetable de botellas que será lleadas co ua catidad meor de líquido. Existe evidecia e los datos muestrales que sugiera que el fabricate tiee u roblema co el lleado de las botellas? Utilice.5 olució: La variable de iterés es : volume de lleado de ua botella tomada al aar Asumimos ~ N(, Los datos so s. 53 de ua muestra de tamaño Las hiótes so :. cotra :..5 χ 3. 4 χ,.5,9 > El estadístico de rueba es x y toma el valor Como x 9. 7< χ 3. 4 etoces o hay evidecia fuerte de que la variaa del volume.5,9 de lleado sea meor que. ara calcular el -valor valor > x >

30 arte Estadística rof. María B. itarelli Buscamos e la tabla de la distribució ji-cuadrado y vemos que e la fila co ν 9 o figura 9.7, ero 7. < 9.7 < 3.4, y además ( > 7. ( > < valor<. E la figura guiete se ilustra la tuació 9.9 Tests de hiótes sobre la igualdad de dos variaas uogamos que teemos iterés e dos oblacioes ormales ideedietes, dode las medias y las variaas de la oblació so descoocidas. e desea robar la hiótes sobre la igualdad de las dos variaas, esecíficamete: uogamos que teemos dos variables aleatorias ideedietes ormalmete distribuidas: ~ N ~ N y además (, (, (,,..., (,,..., y ; ; y so descoocidos es ua muestra aleatoria de tamaño de es ua muestra aleatoria de tamaño de. ea y las variaas muestrales, Coderamos el estadístico y F so los estimadores de y resectivamete.

31 arte Estadística rof. María B. itarelli Notar que F cotiee al arámetro de iterés, ues F abemos que F tiee ua distribució llamada Fisher co y grados de libertad. ea las hiótes : cotra : Tomamos como estadístico de rueba a F Vemos que F ~ F, : es verdadera Recordado que la distribució Fisher es amétrica, la regla de deció es recahar acetar F > f,,,, f ó F < f F f,,,, recahar i : > etoces la regla de deció es acetar F > f F f,,,, recahar F < f,, i : < etoces la regla de deció es acetar F f,, ara calcular el -valor, el estadístico F tomó el valor f, y teiedo e cueta que o hay metría e la distribució Fisher, hacemos: i i i : > etoces valor ( F > f < etoces valor ( F < : etoces valor mi ( F < f ( F > f : f, Ejemlo: E ua serie de exerimetos ara determiar la tasa de absorció de ciertos esticidas e la iel se alicaro catidades medidas de dos esticidas a alguos esecímees de iel. Desués de u tiemo se midiero las catidades absorbidas (e g. ara el esticida A la variaa de las catidades absorbidas e 6 muestras fue de.3; mietras que ara el B la variaa de las catidades absorbidas e esecímees fue de.6. uoga que ara cada esticida las catidades absorbidas costituye ua muestra aleatoria de ua oblació ormal. e uede cocluir que la variaa e la catidad absorbida es mayor ara el esticida A que ara el B? Utiliar. 5 olució: Las variables aleatorias de iterés so

32 arte Estadística rof. María B. itarelli : catidad absorbida de esticida A e u esécime de iel tomado al aar : catidad absorbida de esticida B e u esécime de iel tomado al aar Asumimos que ~ N(, y ~ N(, Las hiótes so : cotra : < Los datos so s. 3 y s. 6 6 ;.3 El estadístico de rueba es F y toma el valor f Buscamos e la tabla de la distribució Fisher f ,5,9.3 Como f 3.83> f.5,5, 9 se rechaa :.6 ara saber cuáta evidecia hay cotra la hiótes ula, calculamos el -valor De la tabla de la Fisher vemos que f.48< 3.83< f 6. 6 or lo tato.< valor<. 5 E la figura guiete se ilustra la tuació.5,5,9 3.,5, 9 9. Tests de hiótes sobre ua roorció E muchos roblemas se tiee iterés e ua variable aleatoria que gue ua distribució biomial. or ejemlo, u roceso de roducció que fabrica artículos que so claficados como acetables o defectuosos. Lo más usual es modelar la ocurrecia de artículos defectuosos co la distribució biomial, dode el arámetro biomial rereseta la roorció de artículos defectuosos roducidos. E cosecuecia, muchos roblemas de deció icluye ua rueba de hiótes co resecto a. Coderemos las hiótes : cotra :

33 arte Estadística rof. María B. itarelli uogamos que coderamos ua muestra aleatoria (...,, de tamaño, dode i tiee ua distribució biomial co arámetros y : i ~ B(,. Ya sabemos que..., es ua v.a. cuya distribució es biomial co arámetros y : ~B(,. De acuerdo co esto, la variable aleatoria ˆ defiida: ˆ rereseta la roorció de idividuos de la muestra que verifica la roiedad de iterés. Además ( ˆ E E, y V( ˆ V ( E Coderamos el estadístico de rueba ( Z ˆ ( i : es verdadera etoces ( or lo tato la regla de deció es ˆ Z N(, aroximadamete or T.C.L. rechaar acetar Z > Z dode Z ˆ ( rechaar i : > etoces la regla de deció es acetar Z > Z rechaar i : < etoces la regla de deció es acetar Z < Z Observacioes: - La rueba descrita ateriormete requiere que la roorció muestral esté ormalmete distribuida. Esta suoció estará justificada emre que > y ( >, dode es la roorció oblacioal que se esecificó e la hiótes ula. - Tambié se odía haber tomado como estadístico de rueba a Z dode ~B(, ( Ejemlo: U fabricate de semicoductores roduce cotroladores que se emlea e alicacioes de motores automovilísticos. El cliete requiere que la fracció de cotroladores defectuosos e uo de los asos de maufactura críticos o sea mayor que.5, y que el fabricate demuestre esta característica del roceso de fabricació co este ivel de calidad, utiliado. 5. E fabricate de semicoductores 3

34 arte Estadística rof. María B. itarelli toma ua muestra aleatoria de disotivos y ecuetra que 4 de ellos so defectuosos. El fabricate uede demostrar al cliete la calidad del roceso? olució: ea la v.a. : úmero de cotroladores defectuosos e la muestra Etoces ~ B(, dode es la roorció de cotroladores defectuosos e el roceso Las hiótes so :. 5 cotra :. 5 < Como. 5 etoces ˆ ˆ.5 El estadístico de rueba es Z y toma el valor. 95 (.5(.5 Como. 95< etoces se rechaa, y se cocluye que la fracció de cotroladores defectuosos es meor que.5. Calculamos el -valor valor Z < Z <.95 Φ Valor de y selecció del tamaño de la muestra odemos obteer exreoes aroximadas ara la robabilidad de cometer error de tio II de maera aáloga a las obteidas ara los test ara la media i : etoces Φ acetar ( i : < etoces ( es falsa ( Φ ( acetar es falsa Φ ( ( i : > etoces acetar es falsa Φ ( ( 4

35 arte Estadística rof. María B. itarelli Estas ecuacioes uede resolverse ara ecotrar el tamaño aroximado de la muestra ara que co u ivel de gificacia de la robabilidad de cometer error de tio II sea meor o igual que u valor esecífico. Las ecuacioes se deduce como e casos ateriores y so etoces i : i : < ó : > etoces Ejemlo: Volviedo al ejemlo aterior, suogamos que la verdadera roorció de comoetes defectuosos e el roceso es. 3, cuál es el valor de y. 5? olució: Ya que la alterativa es : < alicamos la fórmula acetar es falsa Φ ( Φ.3(.3 (.5 Φ ( Como la robabilidad de acetar que el roceso tiee la calidad deseada cuado e realidad. 3 es bastate alta, odemos regutar qué tamaño de muestra se eceta ara que e el test aterior sea <. la verdadera roorció de defectuosos es. 3. E este caso alicamos la fórmula dode. 8. ( (.645.5(.5.8.3( La muestra requerida es muy grade, ero la diferecia a detectar.3. 5 es bastate equeña. 5

36 arte Estadística rof. María B. itarelli 9. Tests de hiótes sobre dos roorcioes Las ruebas de hiótes sobre diferecia de medias uede adatarse al caso dode teemos dos arámetros biomiales y de iterés. Esecíficamete, suogamos que se toma dos muestras aleatorias (,,..., es ua muestra aleatoria de tamaño de (,,..., es ua muestra aleatoria de tamaño de Dode ~ B(, ; ~ B(, y y ideedietes. Ya sabemos que ˆ i y ˆ i so estimadores isesgados de y i i resectivamete, co variaas ( ˆ ( V y ( ˆ ( V uogamos las hiótes : cotra : Notar que la hiótes ula es verdadera etoces, dode es descoocido. ˆ ˆ El estadístico Z tiee distribució aroximadamete N(, or T.C.L. : es verdadera. Tomamos como estimador de a ˆ reemlaamos e Z Etoces el estadístico de rueba es robar que tiee distribució aroximadamete N (, ˆ i y lo i i i ˆ ˆ Z que bajo : ˆ se uede Etoces la regla de deció es rechaar acetar Z > Z dode Z ˆ ˆ ˆ ˆ i etoces la regla de deció es : > rechaar acetar Z > Z i etoces la regla de deció es : < rechaar acetar Z < Z 6

37 arte Estadística rof. María B. itarelli Ejemlo: E ua muestra de lotes de u roducto químico comrado al distribuidor A, 7 satisface ua esecificació de urea. E ua muestra de 7 lotes comrada al distribuidor B, 6 satisface la esecificació. ude cocluir que ua roorció mayor de los lotes del distribuidor B satisface la esecificació? olució: Los arámetros de iterés so y las verdaderas roorcioes de lotes que cumle las esecificacioes de urea. 7 Teemos ua muestra aleatoria (,,..., de tamaño dode ˆ i. 7 Y otra muestra (,,..., de tamaño 7 dode Las hiótes so cotra : : < ˆ i i 6 7 i El estadístico de rueba es E este caso ˆ i i i ˆ ˆ Z dode ˆ i ˆ ˆ i i i i 7 6 El estadístico toma el valor ara saber cuáta evidecia hay cotra valor ( Z < Φ( : calculamos el -valor Como el -valor es meor que.5, se codera que hay mucha evidecia cotra : se rechaa la hiótes ula. y Valor de Cuado : es falsa, la variaa de ˆ ˆ es ˆ ˆ ˆ ˆ V V V ( 7

38 arte Estadística rof. María B. itarelli 8 Aotamos ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ V V V Etoces i : Φ Φ ˆ ˆ ˆ ˆ q q Dode y q i : > etoces Φ ˆ ˆ q ε i : < etoces Φ ˆ ˆ q odemos deducir fórmulas ara el tamaño de la muestra, uevamete asumiedo que