PROBABILIDAD Selectividad 2002

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1 MATEMÁTICAS º BACH_CCSS PROBABILIDAD Selectividad 00. E ua clase hay alumos y 6 alumas. El profesor saca cosecutivamete a 4, diferetes, a la pizarra. Se Pide hallar: a) Cuál es la probabilidad de que todos sea alumas? b) Siedo la primera aluma, cuál es la probabilidad de que sea alterativamete ua aluma y u alumo? c) Cuál es la probabilidad de que sea dos alumos y dos alumas? Catabria. Juio, 00. E ua uiversidad se toma al azar ua muestra de 00 alumos y se ecuetra que ha aprobado todas las asigaturas 6. Se pide hallar: a) Co ivel de cofiaza del 9%, u itervalo para estimar el porcetaje de alumos que aprueba todas las asigaturas. b) A la vista del resultado aterior se pretede repetir la experiecia para coseguir ua cota de error de 0,0, co el mismo ivel de cofiaza del 9%. Cuátos idividuos ha de teer la muestra? Catabria. Juio, 00. Se tiee dos moedas, ua si trucar y otra trucada. Sabiedo que co la moeda trucada la probabilidad de obteer cruz es triple que la probabilidad de obteer cara, calcular la probabilidad de que al lazar las dos moedas: a) Se obtega dos caras. b) No se obtega igua cara. c) Se obtega ua cara y ua cruz. d) Se obtega dos caras o dos cruces. Zaragoza. Juio, La desviació típica del úmero de horas diarias que duerme los alumos de ua uiversidad es horas. Se cosidera ua muestra aleatoria de 40 estudiates que revela ua media de sueño de 7 horas. Hallar u itervalo de cofiaza de 9% para la media de horas de sueño de los estudiates de esa uiversidad. Explicar los pasos seguidos para obteer la respuesta. Zaragoza. Juio, 00. Se quiere comprobar si ua máquia destiada al lleado de evases de agua mieral ha sufrido u desajuste. Ua muestra aleatoria de diez evases de esta máquia ha proporcioado los siguietes resultados: 0,49 0, 0, 0,48 0, 0, 0,49 0,0 0, 0,49 Supoiedo que la catidad de agua mieral que este tipo de máquias deposita e cada evase sigue ua distribució de media 0, litros y desviació típica 0,0 litros, se desea cotrastar si el coteido medio de los evases de esta máquia es de 0, litros, co u ivel de sigificació del %. a) Platear la hipótesis ula y la alterativa del cotraste. b) Determiar la regió critica del cotraste. c) Realizar el cotraste. Madrid. Juio, Se tiee tres cajas iguales. La primera cotiee bolas blacas y 4 egras; la seguda cotiee bolas egras y, la tercera, 4 blacas y egras. a) Si se elige ua caja al azar y luego se extrae ua bola, cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea egra? b) Si se extrae ua bola egra de ua de las cajas, cuál es la probabilidad de que proceda de la seguda caja? Madrid. Juio, 00

2 MATEMÁTICAS º BACH_CCSS 7. Se laza dos dados equilibrados de seis caras tres veces cosecutivas: a) Calcular la probabilidad de que e los tres lazamietos salga el seis doble. c) Calcular la probabilidad de que e los tres lazamietos salga u doble diferete del seis doble. Madrid. Juio, La duració de las llamadas de teléfoo, e ua oficia comercial sigue ua distribució ormal co desviació típica 0 segudos. Se hace ua ecuesta etre 0 llamadas y la media de duració obteida e esa muestra es segudos. Calcular el itervalo de cofiaza al 99% para la duració media de las llamadas. Madrid. Juio, Los alumos de bachillerato de u I.E.S. procede localidades, A, B y C, siedo u 0% de A, u 0% de B y el resto de C. El 80% de los alumos de A cursa º de bachillerato y el resto º. El 0% de los alumos de B cursa º de bachillerato y el resto º. El 60% de los alumos de C cursa º de bachillerato y el resto º. a) Seleccioado, al azar, u alumo de bachillerato de ese I.E.S., cuál es la probabilidad de que sea de º? b) Si elegimos, al azar, u alumo de bachillerato de ese I.E.S. y este es u alumo de º, cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B? Adalucía. Juio, Se sabe que la estatura de los idividuos de ua població es ua variable aleatoria que sigue ua distribució ormal co desviació típica 6 cm. Se toma ua muestra aleatoria de idividuos que da ua media de 76 cm. a) Obtega u itervalo, co u 99% de cofiaza, para la media de la estatura de la població. b) Calcule el míimo tamaño de muestra que se ha de tomar para estimar la estatura media de los idividuos de la població co u error iferior a cm y u ivel de cofiaza del 9%. Adalucía. Juio, 00. Segú la estadística de los resultados e las Pruebas de Acceso e ua provicia adaluza, e septiembre de 00, el úmero de alumas presetadas es 840, de las que ha aprobado el 70%, mietras que el úmero de alumos presetados es de 668, habiedo aprobado el 7% de estos. a) Elegida, al azar, ua persoa presetada a las Pruebas, cuál es la probabilidad de que haya aprobado? b) Sabiedo que ua persoa ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea varó? Adalucía. Juio, 00. Se sabe que los estudiates de ua provicia duerme u úmero de horas diarias que se distribuye segú ua ley ormal de media μ y desviació típica horas. a) A partir de ua muestra se 64 alumos se ha obteido el siguiete itervalo de cofiaza (7,6; 8,4) para la media de la població. Determie el ivel de cofiaza co que se ha costruido dicho itervalo. b) Determie el tamaño muestral míimo ecesario para que el error que se cometa al estimar la media de la població por u itervalo de cofiaza sea, como máximo, de 0,7 horas, co u ivel de cofiaza del 98%. Adalucía. Juio, 00. E u cierto cetro de eseñaza el 6% de los alumos aprobaro Matemáticas. Por otro lado, etre quiees aprobaro Matemáticas, el 80% aprobó tambié física. Se sabe igualmete que sólo el,% de quiees o aprobaro matemáticas, aprobaro Física. a) Qué porcetaje cosiguió aprobar ambas asigaturas a la vez? b) Cuál fue el porcetaje de aprobados e la asigatura de Física? c) Si u estudiate o aprobó Física, qué probabilidad hay de que aprobara Matemáticas? Oviedo. Juio, 00

3 MATEMÁTICAS º BACH_CCSS 4. E u hospital se observó que los pacietes abusaba del servicio de urgecias, de forma que u 0% de las cosultas podía perfectamete haber esperado a cocertar ua cita co el médico de cabecera, porque o era realmete urgecias. Puesto que esta situació reletizaba el servicio, se realizó ua campaña itesiva de cocieciació. Trascurridos uos meses se ha recogido iformació de 60 cosultas al servicio, de las cuáles sólo o era realmete urgecias. a) Hay persoal del hospital que defiede que la campaña o ha mejorado la situació. Platea u test para cotrastar esta hipótesis frete a que sí la mejoró. Si se cocluye que la situació o ha mejorado y realmete sí lo hizo, Cómo se llama el error cometido? b) A qué coclusió se llega e el test empleado e el apartado aterior co u ivel de sigificació del %? (Alguos valores de la fució de distribució Normal de media 0 y desviació típica : F(0) 0,; F(0,0) 0,; F(0,8) 0,80; F(,) 0,99; F(60) ) Oviedo. Juio, 00. U estudio de u fabricate de televisores idica que la duració media de u televisor es de 0 años, co ua desviació típica de 0,7 años. Supoiedo que la duració media de los televisores sigue ua distribució ormal: a) Calcula la probabilidad de que u televisor dure más de 9 años. b) Calcula la probabilidad de que dure etre 9 y años. Castilla y Leó. Juio, Sea A y B dos sucesos idepedietes tales que la probabilidad de que ocurra simultáeamete es /6 y la de que o ocurra iguo es /. Determia las probabilidades p(a) y p(b). Castilla y Leó. Juio, La probabilidad de que u esquiador debutate se caiga e la pista es 0,4. Si lo iteta veces, calcula la probabilidad de que se caiga al meos veces. Castilla y Leó. Juio, Se tira ua moeda y si sale cara se tira ua vez u dado y se aota lo que sale, y si sale cruz se tira dos veces y se aota la suma del resultado de ambas tiradas. a) Calcula la probabilidad de que se haya aotado u y la probabilidad de que se haya aotado u 6. b) Si el resultado aotado es u 6, cuál es la probabilidad de que haya salido cara al tirar ua moeda? Castilla y Leó. Juio, E ua cierta prueba, el % de la població examiada obtuvo ua ota superior a 6, el %, etre 4 y 6, y el 40% iferior a 4. supoiedo que las otas sigue ua distribució ormal, hállese la ota media y la desviació típica. Qué porcetaje de la població tiee ua ota que se diferecia de la media e meos de uidades? Galicia. Juio, E ua ciudad, el 0% de los hogares está asegurados cotra icedios. Co objeto de establecer ua ecuesta e el área, ua compañía de seguros seleccioa hogares al azar. Se pide: a) Número de hogares que se espera que esté asegurados. b) Probabilidad de que dos hogares esté asegurados. c) Probabilidad de que iguo esté asegurado. d) Probabilidad de que alguo esté asegurado Galicia. Juio, 00. Se sabe que el peso de los recié acidos e ua determiada població sigue ua distribució ormal de media 600 g y desviació típica 80 g. Se toma ua muestra al azar de 96 de estos recié acidos y se calcula la media. Cuál es la probabilidad de que esta media esté etre 80 y 60 g? Islas Baleares. Juio, 00

4 MATEMÁTICAS º BACH_CCSS. E ua determiada ciudad, aparte de su propia legua, el 4% de los habitates habla iglés, el 0% fracés, y el % fracés e iglés. a) Calcular la probabilidad de que u habitate de esta ciudad elegido al azar de etre los que habla fracés, hable tambié iglés. b) Calcular la probabilidad de que u habitate de esta ciudad elegido al azar o hable iglés i fracés. Islas Baleares. Juio, 00. Se sabe que de cada 8 habitates de ua ciudad utiliza el trasporte público para ir a su trabajo. Se hace ua ecuesta a 40 de esos ciudadaos. Determiar: a) El úmero esperado de idividuos que o va a su trabajo e trasporte público. b) Probabilidad de que el úmero de idividuos que va al trabajo e trasporte público esté etre 0 y 4. Islas Caarias. Juio, E u exame al que se presetaro 000 estudiates, las putuacioes se distribuyero ormalmete, co media 7 y desviació típica 9. a) Cuátos estudiates obtuviero ua putuació etre 60 y 80? b) Si el 0% superior de los alumos recibió la calificació de sobresaliete, qué putuació míima había de teer para recibir tal calificació? País Vasco. Juio, 00. Co el fi de estimar la edad media de los habitates de ua gra ciudad, se tomó u muestra aleatoria de 00 habitates que arrojó ua edad media de años y ua desviació típica de 7 años. a) Hallar el itervalo del 9% de cofiaza e el que se ecotrará la edad media de la població. b) Qué ivel de cofiaza se debería usar para que el itervalo fuera de ±0,44 País Vasco. Juio, E u hospital se observó que los pacietes abusaba del servicio de urgecias, de forma que u 0% de las cosultas podía perfectamete haber esperado a cocertar ua cita co el médico de cabecera, porque o era realmete urgecias. Puesto que esta situació reletizaba el servicio, se realizó ua campaña itesiva de cocieciació. Trascurridos uos meses se ha recogido iformació de 60 cosultas al servicio, de las cuáles sólo o era realmete urgecias. a) Hay persoal del hospital que defiede que la campaña o ha mejorado la situació. Platea u test para cotrastar esta hipótesis frete a que sí la mejoró. Si se cocluye que la situació o ha mejorado y realmete sí lo hizo, Cómo se llama el error cometido? b) A qué coclusió se llega e el test empleado e el apartado aterior co u ivel de sigificació del %? (Alguos valores de la fució de distribució Normal de media 0 y desviació típica : F(0) 0,; F(0,0) 0,; F(0,8) 0,80; F(,) 0,99; F(60) )

5 Ejercicios comues para los cursos º y º de Bachillerato Matemáticas y Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales MATEMÁTICAS º BACH_CCSS. E ua clase hay alumos y 6 alumas. El profesor saca cosecutivamete a 4, diferetes, a la pizarra. Se Pide hallar: a) Cuál es la probabilidad de que todos sea alumas? b) Siedo la primera aluma, cuál es la probabilidad de que sea alterativamete ua aluma y u alumo? c) Cuál es la probabilidad de que sea dos alumos y dos alumas? Es ua extracció si emplazamieto pues o puede volver a sacar u alumo o aluma dos veces. a) El suceso todos so alumas lo podemos escribir AAAA. Si represetamos por A i el suceso la i-ésima persoa sacada es ua aluma, AAAA A A A A p(aaaa )p(a A A A 4 )p(a ) p(a /A ) p(a /A A ) p( A 4 / A A A ) b) Podemos ecotrar el euciado u poco cofuso, pudiedo dar dos iterpretacioes distitas. Si por sacar alterativamete ua aluma y u alumo etedemos tato el suceso AOAO como el suceso OAOA., el suceso sacar alterativamete ua aluma y u alumo, siedo el primero ua aluma podemos iterpretarlo por AOAO. Represetamos por O i el suceso el suceso la i-ésima persoa sacada es u alumo p(aoao)p(a O A O 4 ) p(a ) p(o /A ) p(a /A O ) p( O 4 /A O A ) Si por sacar alterativamete ua aluma y u alumo etedemos sólo el suceso AOAO, debemos iterpretar el suceso pedido e este apartado por sacar alterativamete ua aluma y u alumo, sabiedo que ha salido primero ua aluma. La probabilidad del suceso O A O 4 sabiedo que se ha verificado A es: P( O A O 4 /A ) p(o /A ) p(a /A O ) p( O 4 /A O A ) c) El suceso S, sacar dos alumos y dos alumas está formado por los resultados AAOO, AOAO, AOOA, OAAO, 6 88 OAOA y OOAA, todos de la misma probabilidad: p(aaoo ) p(aoao) p(aooa) p(oaao) p(oaoa)p( OOAA) p(s, ) Se tiee dos moedas, ua si trucar y otra trucada. Sabiedo que co la moeda trucada la probabilidad de obteer cruz es triple que la probabilidad de obteer cara, calcular la probabilidad de que al lazar las dos moedas: a) Se obtega dos caras. b) No se obtega igua cara. c) Se obtega ua cara y ua cruz. d) Se obtega dos caras o dos cruces. E la moeda si trucar, los resultados posibles, C y X, cumple p(c)p(x)/ E la moeda trucada, los resultados posibles, C t y X t, cumple p(x t )pc t ). Como p(x t )+p(c t ) pc t )+ p(c t ) p(c t )/4 y p(x t )/4. El espacio muestral del suceso tirar dos moedas distitas y observar el resultado es {CC t, CX t, XC t, XX t,} y las probabilidades de los posibles resultados: Los sucesos C y C t so idepedietes, por lo que resultados CC t, CX t, XC t, XX t p(cc t ) p(c) p(c t ). Tambié so idepedietes X y X t, C y X t, X y C t. probabilidades a) p( obteer dos caras ) p(cc t ) 4 8 b) p( o se obtega igua cara ) p(xx t, ) 4 8 c) p( se obtega ua cara y ua cruz ) p({cx t, XC t }) d) p( se obtega dos caras o dos cruces ) p({cc t, XX t })

6 MATEMÁTICAS º BACH_CCSS 6. Se tiee tres cajas iguales. La primera cotiee bolas blacas y 4 egras; la seguda cotiee bolas egras y, la tercera, 4 blacas y egras. a) Si se elige ua caja al azar y luego se extrae ua bola, cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea egra? b) Si se extrae ua bola egra de ua de las cajas, cuál es la probabilidad de que proceda de la seguda caja? / / / /7 B p(c B)p(C ) p(b/c ) / /7 / C 4/7 N p(c N)p(C ) p(n/c ) / 4/7 4/ 0 B p(c B)p(C ) p(b/c ) / 0 0 C N p(c N)p(C ) p(n/c ) / / 7/ C 4/7 B p(c B)p(C ) p(b/c ) / 4/7 4/ /7 N p(c N)p(C ) p(n/c ) / /7 / a) p(n) p(c B)+ p(c B)+ p(c B) p( C N ) b) p(c /N) p( N ) Se laza dos dados equilibrados de seis caras tres veces cosecutivas: a) Calcular la probabilidad de que e los tres lazamietos salga el seis doble. b) Calcular la probabilidad de que e los tres lazamietos salga u doble diferete del seis doble. Llamamos ii al suceso salir u i doble al lazar los dos dados a la vez. Como lo que salga e u dado es idepediete de lo que salga e el otro: p(66) p(6) p(6) p() p() p() p(44) p() Lo que sale e u lazamieto tambié es idepediete de lo que sale e otro lazamieto, por lo que: a) p( ) p(66) p(66) p(66) b) Cosideramos jj co j 6, p(jj) 6 c) p(jj jj jj) p(jj) p(jj) p(jj) Los alumos de bachillerato de u I.E.S. procede localidades, A, B y C, siedo u 0% de A, u 0% de B y el resto de C. El 80% de los alumos de A cursa º de bachillerato y el resto º. El 0% de los alumos de B cursa º de bachillerato y el resto º. El 60% de los alumos de C cursa º de bachillerato y el resto º. a) Seleccioado, al azar, u alumo de bachillerato de ese I.E.S., cuál es la probabilidad de que sea de º? b) Si elegimos, al azar, u alumo de bachillerato de ese I.E.S. y este es u alumo de º, cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B? 0, 0, 0, 0,8 º p(a º)p(C) p(º/a) 0, 0,8 0,6 A º 0, p(a º)p(A) p(º/a) 0, 0, 0,04 0, º p(b º)p(B) p(º/b)0, 0, 0,0 B º 0, p(b º)p(B) p(º/b) 0, 0, 0, 0,6 º p(c º)p(C) p(º/c) 0, 0,6 0,0 C 0,4 º p(c º)p(C) p(º/c) 0, 0,4 0,0 a) p(º) p(a º)+ p(b º)+ p(c º) 0,04+0,+0,0 0,9 p( B b) p(b/º) º) 0, 0, 8 p(º) 0,04+ 0,+ 0,0

7 MATEMÁTICAS º BACH_CCSS. Segú la estadística de los resultados e las Pruebas de Acceso e ua provicia adaluza, e septiembre de 00, el úmero de alumas presetadas es 840, de las que ha aprobado el 70%, mietras que el úmero de alumos presetados es de 668, habiedo aprobado el 7% de estos. a) Elegida, al azar, ua persoa presetada a las Pruebas, cuál es la probabilidad de que haya aprobado? b) Sabiedo que ua persoa ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea varó? El 70% de 840 es 0, El 7% de 668 es 0, Completamos el cuadro de la derecha y a partir de él hallamos las probabilidades pedidas aplicado la Ley de Laplace: Aprueba Suspede Total Alumas Alumos Total a) p(aprobado) 0, 7 08 º varoesa probados 0 b) p(varó/aprobado) 0, 46 º aprobados 089. U estudio de u fabricate de televisores idica que la duració media de u televisor es de 0 años, co ua desviació típica de 0,7 años. Supoiedo que la duració media de los televisores sigue ua distribució ormal: a) Calcula la probabilidad de que u televisor dure más de 9 años. b) Calcula la probabilidad de que dure etre 9 y años. La duració media de los televisores sigue ua distribució XN(0; 0,7) p x 0,7 0 > 9 0,7 0 a) p(x>9) ( ) p ( z >,4 ) p ( z <,4 ) 0, 9 p 9 0,7 0 x 0,7 0 0,7 0 z 4 p ( z <,4 ) p( z <,4 ) 0,9 ( 0,9) 0,9 0,8444 b) p(9<x<) ( < < ) p (,4 < <, ) 6. Sea A y B dos sucesos idepedietes tales que la probabilidad de que ocurra simultáeamete es /6 y la de que o ocurra iguo es /. Determia las probabilidades p(a) y p(b). Por ser A y B idepedietes p(a B)p(A) p(b). Como A B A B p( A p( A B) Tambié so idepedietes los cotrarios de A y B, por lo que p( A B) p( A B) p( A) p( B) p( A) p( B) / 6 p( A) p( B) / 6 Teiedo e cuetas los datos del euciado: p( B ) / ( p( A)) ( p( B)) / Para facilitar la resolució del sistema llamamos ap(a) y bp(b) a b / 6 b / 6a b / 6a ( a)( b) / b a + ab / / 6a a + a / 6b / a / y b / Resolviedo el sistema obteemos ó a / y b / Solució: p(a)/ y p(b)/ ó p(a)/ y p(b)/

8 MATEMÁTICAS º BACH_CCSS 7. La probabilidad de que u esquiador debutate se caiga e la pista es 0,4. Si lo iteta veces, calcula la probabilidad de que se caiga al meos veces. El úmero de veces que se cae el esquiador e los itetos sigue ua distribució XB(; 0,4) i i la probabilidad deque caiga i veces viee dada por: p[xi] i (0,4) (0,6) La probabilidad de que caiga al meos tres veces es: 4 p[x ] p[x]+ p[x4]+ p[x] (0,4) (0,6) + + 0,04+0,0768+0,00 0,74 (0,4) (0,6) 4 (0,4) 8. Se tira ua moeda y si sale cara se tira ua vez u dado y se aota lo que sale, y si sale cruz se tira dos veces y se aota la suma del resultado de ambas tiradas. a) Calcula la probabilidad de que se haya aotado u y la probabilidad de que se haya aotado u 6. b) Si el resultado aotado es u 6, cuál es la probabilidad de que haya salido cara al tirar ua moeda? / / C X /6 6 p(c 6)p(C) p(6) /6 - - /6 / p(x 6)p(X) p(6) p(x )p(x) p() a) p() p(x ) /6 p(6) p(c 6)+ p(x 6) / +/7 /7 p( C 6) c) p(c/6) p(6) / / 6/ 7 E el experimeto tirar dos veces u dado y aotar la suma de los resultados de ambas tiradas los posibles resultados so,, 4,, 6, 7, 8, 9 0,,. Para hallar las probabilidades de cada resultado, basta teer e cueta las sumas favorables a cada resultado e la tabla de la derecha. Así, favorables a 6 so las sumas +, +4, +,4+ y + Como hay 6 posibles sumas, todas equiprobables, la probabilidad de sumar 6 es /6 9. E ua cierta prueba, el % de la població examiada obtuvo ua ota superior a 6, el %, etre 4 y 6, y el 40% iferior a 4. supoiedo que las otas sigue ua distribució ormal, hállese la ota media y la desviació típica. Qué porcetaje de la població tiee ua ota que se diferecia de la media e meos de uidades? Llamamos X ota N (μ, ) Coocemos p[x>6]0,, p[4<x<6]0, y p[x<4]0,40. Además p[x 6] - P[X>6] - 0, 0,6 x μ 6 μ 6 μ Llamado ZN(0, ), p[x 6] p p z 0, 6 6 μ Mirado las tablas de la distribució N(0, ): p(z 0,8)0,6480 y p(z 0,9)0,67 0, 8 x μ 4 μ 4 μ p[x 4] p[x<4] p p z 0, 4 Teiedo e cueta la figura de la derecha y mirado las tablas: 4 μ P(z z )0,6 z 0, -z -0, 0, 6 μ 0, 8 Resolviedo el sistema 4 μ 0, μ 4,7874,

9 MATEMÁTICAS º BACH_CCSS μ μ x μ μ+ μ,496,496 p[z < 0,6] - p[z < -0,6] p[z < 0,6] - p[z > 0,6] p[z < 0,6] (- p[z < 0,6]) p[z < 0,6] - 0,77,4746 0, 4746 El porcetaje de la població que se diferecia de la media e meos de uidades es el 47%. b) p[μ - < x < μ+] p < < p[ < z < ] p < z < p[-0,6<z<0,6] 0. E ua ciudad, el 0% de los hogares está asegurados cotra icedios. Co objeto de establecer ua ecuesta e el área, ua compañía de seguros seleccioa hogares al azar. Se pide: (a) Número de hogares que se espera que esté asegurados. (b) Probabilidad de que dos hogares esté asegurados. (c) Probabilidad de que iguo esté asegurado. (d) Probabilidad de que alguo esté asegurado El úmero de hogares asegurados etre los elegidos sigue ua distribució biomial XB(; 0,), p0,, q0,8 (a) La esperaza de la distribució es μ p 0, Se espera hogar asegurado (b) p[x] (0,) (0,8) 0 0,04 0, 0,048 (c) p[x0] 0 (0,) (0,8) 0,768 0,768 0 (d) p[x ] - p[x0] 0,768 0,67. Se sabe que el peso de los recié acidos e ua determiada població sigue ua distribució ormal de media 600 g y desviació típica 80 g. Se toma ua muestra al azar de 96 de estos recié acidos y se calcula la media. Cuál es la probabilidad de que esta media esté etre 80 y 60 g? La distribució del peso es XN(600; 80). 96 La distribució del peso medio de las muestras de tamaño 96 viee dada por X N 600; 80 N( 600; 0) ) p ~ [ 80 ~ x 60] p [ ] [ ] [ ] 0, x p z p < z < 0 ~. E ua determiada ciudad, aparte de su propia legua, el 4% de los habitates habla iglés, el 0% fracés, y el % fracés e iglés. a) Calcular la probabilidad de que u habitate de esta ciudad elegido al azar de etre los que habla fracés, hable tambié iglés. b) Calcular la probabilidad de que u habitate de esta ciudad elegido al azar o hable iglés i fracés. Llamamos I al suceso habla iglés y F al suceso habla fracés. p I F p( F) 0, 0,0 a) p(i/f) ( ) 0, I I F F b) p I F) p( I F ) ( p(i F) - [ p(i)+p(f) p(i F)] I F - [0,4+0,0-0,] 0,60 0,40 Como e la tabla de la distribució ormal tipificada teemos p[z<0,6]0,77 y p[z<0,64]0,789, tomamos p[z<6] 0,77]

10 MATEMÁTICAS º BACH_CCSS. Se sabe que de cada 8 habitates de ua ciudad utiliza el trasporte público para ir a su trabajo. Se hace ua ecuesta a 40 de esos ciudadaos. Determiar: a) El úmero esperado de idividuos que o va a su trabajo e trasporte público. b) Probabilidad de que el úmero de idividuos que va al trabajo e trasporte público esté etre 0 y 4. El úmero de habitates que va al trabajo e T.P. sigue ua distribució XB(40; /8) B(40; 0,) 40, p0,, q0,7 a) μ p 40 0, úmero de habitates que se espera vaya al trabajo e T.P habitates se espera que o vaya al trabajo e T.P. b) Debemos hallar p[0 x 4 ]. Como >0, p > y q 0>, podemos aproximar la distribució biomial XB(40; 0,) por la distribució ormal de media la media de X, μ, y desviació típica la de X, p q 40 0, 0,7,4. Es decir, X YN(;,) 9, 4,,, p[z<,0] p[z>,07] p[z<,0] (- p[z<,07]) p[z<,0] + p[z<,07] 0, ,877 0,87 p[0 x 4 ] p[9,<y<4,] p < z < p[,07 < z <,0] p[ z <,0] p[ z <,07]. E u exame al que se presetaro 000 estudiates, las putuacioes se distribuyero ormalmete, co media 7 y desviació típica 9. a) Cuátos estudiates obtuviero ua putuació etre 60 y 80? b) Si el 0% superior de los alumos recibió la calificació de sobresaliete, qué putuació míima había que teer para recibir tal calificació? Putuacioes e el exame XN(7; 9) p x z p[z<0,89] - p[z< -,] p[z<0,89]- p[z>,] 9 p[z<0,89]- (- p[z<,]) 0,8 (- 0,908) 0<x<80) 0,7 El 7,% de 000 es 0, estudiates obtuviero ua putuació etre 60 y 80. a) p[6 [ < < ] p[ < < ] b) 0,90 p[x<x 0 ] 7 < 9 7 x p x 0 p[z<λ] 9 Debemos hallar el valor λ tal que p[z<λ] 0,90 E las tablas leemos: p[z<,8] 0,8997 y p[z<,9] 0,90 x 7 0 Tomamos λ,8 y deshaciedo el cambio:,8 x 9 0 8, Si las putuacioes so eteras o de medio e medio puto, la míima para obteer sobresaliete es Co el fi de estimar la edad media de los habitates de ua gra ciudad, se tomó u muestra aleatoria de 00 habitates que arrojó ua edad media de años y ua desviació típica de 7 años. a) Hallar el itervalo del 9% de cofiaza e el que se ecotrará la edad media de la població. b) Qué ivel de cofiaza se debería usar para que el itervalo fuera de ±0,44 Las edades medias de las muestras de tamaño 00 se distribuye segú ua 7 X N ; N(; 0,404) 00 a) Para u ivel de cofiaza p0,9 el ivel de sigificació es 0,0 y / 0,0 z /,96 y E / z /,96 0,404 0,79 E El itervalo de cofiaza es I(μ- E / ; μ- E / ) ( 0,79; + 0, 79) (4,;,79) b) z / 0,4040,44 z /,09 / p(z>,09) - p(z<,09)-0,860,79 0,78 p- 0,74 Se debería usar u ivel de cofiaza del 7,4% Para aproximar ua distribució discreta, la biomial e este caso, por ua cotiua, la ormal, se debe realizar la correcció de Yepes.

11 MATEMÁTICAS º BACH_CCSS EJERCICIOS DE INFERENCIA ESTADÍSTICA: Matemáticas Aplicadas CCSS II (º de bachillerato). E ua uiversidad se toma al azar ua muestra de 00 alumos y se ecuetra que ha aprobado todas las asigaturas 6. Se pide hallar: c) Co ivel de cofiaza del 9%, u itervalo para estimar el porcetaje de alumos que aprueba todas las asigaturas. d) A la vista del resultado aterior se pretede repetir la experiecia para coseguir ua cota de error de 0,0, co el mismo ivel de cofiaza del 9%. Cuátos idividuos ha de teer la muestra? (a) Se trata de ecotrar u itervalo de cofiaza para la proporció pr de toda la població co u ivel de sigificació 0, 0 ; 0 0, 6 La proporció de la muestra es p ˆ 0, 6 ; q ˆ pˆ 0, 8 00 El itervalo de cofiaza la proporció pr, co u ivel de sigificació, viee dado por: pˆ qˆ pˆ qˆ pˆ z p + z ; ˆ E uestro caso 0,6 0,8 0,6 0,8 0,6 z 0,0 ; pˆ + z0,0 (0,6 z0,0 0,048 ; 0,6 + z0, 0 0,048) Hallamos el valor crítico del 9%, es decir, 0,0 ( 0,0 0, 0 z tal que p z > z 0 ) 0, 0 (, 0 p z > z ) 0,0 p( z < z ) 0,97 y mirado e las tablas resulta z 0, 96,0 El itervalo de cofiaza del 9% para la proporció de alumos que aprueba todas las asigaturas es: I ( 0,6,960,48 ; 0,6,960,48 ) ( 0,6 0,09 ; 0,6 + 0,09 ) (0,; 0,7) (0, ; 0,7) pˆ qˆ (b) La cota de error viee dada por E z y es meor cuato mayor es el tamaño de la muestra,. E el apartado (a), para 00, la cota de error es 0,048. Para que E0,0, tedrá que ser mucho mayor: pˆ qˆ 0,60,8 0,60,8 0,0 E z 0,0 ;,96 0, 0 ;,96 La muestra debe teer 00 alumos como míimo,96 0,60,8 ; 00,646 0,0 4. La desviació típica del úmero de horas diarias que duerme los alumos de ua uiversidad es horas. Se cosidera ua muestra aleatoria de 40 estudiates que revela ua media de sueño de 7 horas. Hallar u itervalo de cofiaza de 9% para la media de horas de sueño de los estudiates de esa uiversidad. Explicar los pasos seguidos para obteer la respuesta. Si el ivel de cofiaza es p0,9 p 0,0 0, 0 y el valor crítico () correspodiete es z 0,0, 96 El itervalo de cofiaza vedrá dado por: I x z ; x + z 7,96 ; 7 +, Simplificado resulta: I (6,070 ; 7,997) La media de la població estará etre 6,070 y 7,7997, co u ivel de cofiaza del 9%, () Ver ejercicio aterior.

12 MATEMÁTICAS º BACH_CCSS. Se quiere comprobar si ua máquia destiada al lleado de evases de agua mieral ha sufrido u desajuste. Ua muestra aleatoria de diez evases de esta máquia ha proporcioado los siguietes resultados: 0,49 0, 0, 0,48 0, 0, 0,49 0,0 0, 0,49 Supoiedo que la catidad de agua mieral que este tipo de máquias deposita e cada evase sigue ua distribució ormal de media 0, litros y desviació típica 0,0 litros, se desea cotrastar si el coteido medio de los evases de esta máquia es de 0, litros, co u ivel de sigificació del %. d) Platear la hipótesis ula y la alterativa del cotraste. e) Determiar la regió critica del cotraste. f) Realizar el cotraste. 0,48 + 0,49 + 0, + 0,+ 0, + 0, + 0,49 + 0,0 + 0, + 0,49 La media de la muestra es x 0, 08 0 (a) Hipótesis ula: H 0 0, Hipótesis alterativa: H 0, (b) 0, p 0, 9 El itervalo de cofiaza del 9% viee dado por I x z 0,0 E este caso: I,08 z,0 ; 0, y sustituyedo el valor crítico () z 0, z0, 0,0 0,0 0 ; x + z I (0,08-0,0 ; 0,08+0,0) (0,496 ; 0,0) La regió crítica viee dada por RC μ x > z { μ 0,08 > 0,0} 0 (c) Aceptamos la hipótesis ula si μ 0, perteece al itervalo de cofiaza. Como μ 0, I(0,496 ; 0,0) aceptamos que el coteido medio de los evases es de 0, litros, co u ivel de cofiaza del 9%. 8. La duració de las llamadas de teléfoo, e ua oficia comercial sigue ua distribució ormal co desviació típica 0 segudos. Se hace ua ecuesta etre 0 llamadas y la media de duració obteida e esa muestra es segudos. Calcular el itervalo de cofiaza al 99% para la duració media de las llamadas. Para p99% p 0,0 0, 00. El valor crítico correspodiete z z0, 00 cumple: p[ z > z0,00 ] 0,00 p[ z < z0, 00 ] 0,00 0, 99 y mirado e las tablas z 0,00, 7 Media de las llamadas μ ~ x media de las medias muestrales Desviació típica de las llamadas 0, desviació típica de las medias muestrales Media de la muestra x El itervalo de cofiaza de las medias muestrales viee dado por: I x z ~ 40 ; x + z 0 0 E este caso I,7 ; +,7 (,6 ;8,64) 0 0 Por tato, la media de las llamadas, μ, está compredida etre,6 y 8,64, co ua probabilidad del 99%.

13 MATEMÁTICAS º BACH_CCSS 0. Se sabe que la estatura de los idividuos de ua població es ua variable aleatoria que sigue ua distribució ormal co desviació típica 6 cm. Se toma ua muestra aleatoria de idividuos que da ua media de 76 cm. c) Obtega u itervalo, co u 99% de cofiaza, para la media de la estatura de la població. d) Calcule el míimo tamaño de muestra que se ha de tomar para estimar la estatura media de los idividuos de la població co u error iferior a cm y u ivel de cofiaza del 9%. Distribució X N(μ ;6) estatura de los idividuos de la població. ~ 6 Distribució X N μ ; distribució de las medias muestrales de tamaño. (a) Para p99% p 0,0 0, 00. El valor crítico correspodiete () z z0, 00,7 Media de la muestra x 76 El itervalo de cofiaza para la media de la població será: 6 6 I x z ; x + z 76,7 ;76 +,7 (76-,0 ; 76+,0) (74,97 ; 77,0) La media de la població μ (74,97 ; 77,0) co ua probabilidad del 99%. (b) La cota de error viee dada por E z E este caso 0,9 0, 0, 0 y el valor crítico correspodiete z z0, 0,96 E z < ;,96 6 < ; >,966 ; > (,966) 8, Habrá que etrevistar como míimo a 9 idividuos.. Se sabe que los estudiates de ua provicia duerme u úmero de horas diarias que se distribuye segú ua ley ormal de media μ y desviació típica horas. c) A partir de ua muestra se 64 alumos se ha obteido el siguiete itervalo de cofiaza (7,6; 8,4) para la media de la població. Determie el ivel de cofiaza co que se ha costruido dicho itervalo. d) Determie el tamaño muestral míimo ecesario para que el error que se cometa al estimar la media de la població por u itervalo de cofiaza sea, como máximo, de 0,7 horas, co u ivel de cofiaza del 98%. Número de horas que duerme X N(μ ; ) a) 64; p?, p 7,6 + 8,4,40 x 7,70 ; E8,4-7,700,44 I x z ; x + z 7,70 z ; 7,70 + z 64 E z z 0,44 z Mirado la tabla: p z < z p [ z <,76] 0,0784 p 0,96 0,44 4,76 0,9608 El ivel de cofiaza co el que se ha costruido el itervalo es del 9,6% / / 7,6 p 0,99 0,96º8 X / x 8,4 p 0,99 -z / z / z / Z / () Ver ejercicio aterior

14 MATEMÁTICAS º BACH_CCSS b)?, p0,98; 0,0 ; 0, 0 E z z0,0 z0,0 ; z0,0 0, 7 ; 0,7 0,7 p z > z,0 p z < z 0,99 z El valor crítico z 0,0 cumple [ ] [ ], 0,0 0 0,0 0, 0, Sustituyedo: 8, 44 0,7 El tamaño míimo de la muestra debe ser de 9 estudiates. 6. E u hospital se observó que los pacietes abusaba del servicio de urgecias, de forma que u 0% de las cosultas podía perfectamete haber esperado a cocertar ua cita co el médico de cabecera, porque o era realmete urgecias. Puesto que esta situació reletizaba el servicio, se realizó ua campaña itesiva de cocieciació. Trascurridos uos meses se ha recogido iformació de 60 cosultas al servicio, de las cuáles sólo o era realmete urgecias. a) Hay persoal del hospital que defiede que la campaña o ha mejorado la situació. Platea u test para cotrastar esta hipótesis frete a que sí la mejoró. Si se cocluye que la situació o ha mejorado y realmete sí lo hizo, Cómo se llama el error cometido? b) A qué coclusió se llega e el test empleado e el apartado aterior co u ivel de sigificació del %? (Alguos valores de la fució de distribució Normal de media 0 y desviació típica : F(0) 0,; F(0,0) 0,; F(0,8) 0,80; F(,) 0,99; F(60) ) i. Plateamieto del test: Hipótesis ula H 0: p 0, o ha mejorado Hipótesis alterativa: H : p< 0, si ha mejorado Si llegamos a la coclusió H 0 (o ha mejorado) y es H (si ha mejorado) cometemos u error de tipo II ii. Nivel de sigificació 0,0 p 0, 99 ivel de cofiaza. () p o 0, proporció; pr 0, proporció de la muestra 60 Test uilateral. La zoa de aceptació viee dada por: Z.A. po qo p ; + o z p z z,0 p z < z 0, Hallamos el valor crítico z 0,0 tal que [ ] [ ] 99 Mirado e las tablas z 0,0, Sustituyedo los valores correspodietes: : 0,0 0 0, 0 p- p- z Z Pr Z. A. de H o Z.A. 0, 0,7 0,, ; + ( 0,6 ; + ) p o- z p q o o 60 Como pr0, ( 0,6 ; + ) o se rechaza la hipótesis ula. Es decir, aceptamos, como el persoal del hospital, que la campaña o ha mejorado la situació. () Error de Tipo I: se comete cuado la hipótesis ula es verdadera y, como cosecuecia del cotraste, se rechaza. Error de Tipo II: se comete cuado la hipótesis ula es falsa y como cosecuecia del cotraste, se acepta.