Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias Sociales

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1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA VARIABLES ALEATORIAS TEORÍA DE MUESTRAS INTERVALOS DE CONFIANZA TEST DE HIPÓTESIS Matemáticas º de Bachillerato Ciecias Sociales Profesor: Jorge Escribao Colegio Imaculada Niña Graada

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3 TEMA 1.- INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1.- CONCEPTOS BÁSICOS La estadística descriptiva es ua ciecia que aaliza series de datos (por ejemplo, edad de ua població, altura de los estudiates de ua escuela, temperatura e los meses de verao, etc.) y trata de extraer coclusioes sobre el comportamieto de estas variables. Las variables puede ser de dos tipos: Variables cualitativas o atributos: o se puede medir uméricamete (por ejemplo: acioalidad, color de la piel, sexo). Variables cuatitativas: tiee valor umérico (edad, precio de u producto, igresos auales). Por su parte, las variables cuatitativas se puede clasificar e discretas y cotiuas: Discretas: sólo puede tomar valores eteros (1,, 8, -4, etc.). Por ejemplo: úmero de hermaos (puede ser 1,, 3...,etc., pero, por ejemplo, uca podrá ser 3,45). Cotiuas: puede tomar cualquier valor real detro de u itervalo. Por ejemplo, la velocidad de u vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc. Cuado se estudia el comportamieto de ua variable hay que distiguir los siguietes coceptos: Idividuo: cualquier elemeto que porte iformació sobre el feómeo que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los iños de ua clase, cada alumo es u idividuo; si estudiamos el precio de la vivieda, cada vivieda es u idividuo. Població: cojuto de todos los idividuos (persoas, objetos, aimales, etc.) que porte iformació sobre el feómeo que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos el precio de la vivieda e ua ciudad, la població será el total de las viviedas de dicha ciudad. Muestra: subcojuto que seleccioamos de la població. Así, si se estudia el precio de la vivieda de ua ciudad, lo ormal será o recoger iformació sobre todas las viviedas de la ciudad (sería ua labor muy compleja), sio que se suele seleccioar u subgrupo (muestra) que se etieda que es suficietemete represetativo Estadística Descriptiva

4 .- TABLAS DE FRECUENCIAS La distribució o tabla de frecuecias es la represetació estructurada, e forma de tabla, de toda la iformació que se ha recogido sobre la variable que se estudia. Variable Frecuecias absolutas Frecuecias relativas Valor(X i ) Simple( i ) Acumulada(N i ) Simple(f i ) Acumulada(F i ) x x x x x X f1 = 1 / f1 X 1 + f = / f1 + f X FN-1 = -1 / f1 + f +...+f- 1 X S f = / S f Siedo X los distitos valores que puede tomar la variable. Siedo el úmero de veces que se repite cada valor. Siedo f el porcetaje que la repetició de cada valor supoe sobre el total Veamos u ejemplo: Medimos el úmero de hermaos (variable discreta) de 5 alumos de ua clase, obteiedo: Variable Frecuecias absolutas Frecuecias relativas X i ( i ) (N i ) (f i ) (F i ) x x x x x % 40% % 7% 4 16% 88% 3 4 8% 94% % 100% Si la variable es cotiua o toma muchos y diversos valores, coviee agruparlos por itervalos. Por ejemplo: Se ha recabado iformació sobre la paga semaal que recibe 40 jóvees de u istituto, obteiedo: - - Estadística Descriptiva

5 Itervalos Variable Frecuecias absolutas Frecuecias relativas (marca de clase) ( i ) (N i ) (f i ) (F i ) X i [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 0) [0, 5) [5, 30) [30, 35) [35, 40) MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN So medidas (valores) que iforma sobre los valores medios de la serie de datos. La más habitual es la media aritmética: La media aritmética es el valor obteido al sumar todos los datos y dividir el resultado etre el úmero total de datos: x xii 1 x11 x1 x33... x N N i 1 Los x i so los valores de la variable e las discretas o las marcas de clase e las cotiuas agrupadas por itervalos. Ejemplo: E u test realizado a u grupo de 4 persoas se ha obteido las putuacioes que muestra la tabla. Calcula la putuació media Estadística Descriptiva

6 Putuació x i i x i i [10, 0) [0, 30) [30,40) [40, 50) [50, [60,70) [70, 80) x i1 x N i i MEDIDAS DE DISPERSIÓN Estudia la distribució de los valores de la variable, aalizado si éstos se ecuetra más o meos cocetrados, o más o meos dispersos. La más habitual es la variaza. Mide la distacia existete etre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las diferecias al cuadrado etre cada valor y la media, multiplicadas por el úmero de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio obteido se divide por el tamaño de la muestra: S i 1 x i x N i Para simplificar el cálculo de la variaza, se usa la fórmula: S i1 x i N i x Calculamos la variaza de la tabla aterior: Estadística Descriptiva

7 Putuació x i i x i i x i i [10, 0) [0, 30) [30,40) [40, 50) [50, [60,70) [70, 80) S i1 x i N i x La variaza siempre será mayor que cero. Mietras más se aproxima a cero, más cocetrados está los valores de la serie alrededor de la media. Por el cotrario, mietras mayor sea la variaza, más dispersos está. El problema de la variaza es que o viee expresada e las mismas uidades de la variable, sio e cuadrados. Así, la variaza del ejemplo aterior sería putos cuadrados, lo cual o tiee mucho setido Para solucioarlo, se defie la desviació típica como la raíz cuadrada positiva de la desviació típica, es decir: S S E el caso aterior: S S putos Cuata más pequeña sea la desviació típica mayor será la cocetració de datos alrededor de la media Además, se puede ver que e ua distribució simétrica, la mayoría de los datos (aproximadamete el 68%) está e el itervalo x s, x s Es decir, si vemos el ejemplo aterior: x ; s Estadística Descriptiva

8 Lo que sigifica que la mayoría de las persoas a las que se les ha hecho el test ha obteido ua putuació compredida e el itervalo ( , ) = (8.54, 58.1) Es decir, lo ormal es obteer e ese test ua putuació detro de ese itervalo, siedo raro ua persoa que obtega por ejemplo u 65, o ua que obtega u 0. EJERCICIOS 1.- E ua població de 5 familias se ha observado el úmero de vehículos que tiee obteiédose los siguietes datos: 0, 1,, 3, 1, 0, 1, 1, 1, 4, 3,,, 1, 1,,, 1, 1, 1,, 1, 3,, 1 a) Obté la tabla de frecuecias correspodiete b) Calcula e iterpreta su media y su desviació típica.- La siguiete tabla represeta la duració (e horas) de u determiado úmero de pilas eléctricas: Duració [0,10) [10,0) [0,30) [30,40) [40,50] Nº pilas a 4 a) Calcular el valor de a sabiedo que la duració media de las pilas es de 1 horas b) Calcular e iterpretar la desviació típica 3.- Dada la siguiete distribució referida a los beeficios auales de u cojuto de empresas. a) Calcula el beeficio medio de dicho cojuto de empresas b) Ua empresa que gaa , etra detro de lo ormal? Y ua que gaa ? Estadística Descriptiva

9 4.- a) Completar los datos que falta e la siguiete tabla estadística: x i i N i f i 1 4 0, , , b) Calcula la media y la distribució típica de esta distribució 5.- Los pacietes que acude a ua cosulta médica se distribuye, segú la edad, e ua tabla: X(edad) [0, 10) [10, 0) [0,30) [30, 40) [40, 50) [50,60) N (frecuecia) Cuál es el itervalo de edad e el que se ecuetra la mayoría de los pacietes de la cosulta? Estadística Descriptiva

10 - 8 - Estadística Descriptiva

11 1.- DEFINICIÓN TEMA.- VARIABLES ALEATORIAS Cosideremos u experimeto aleatorio y sea E el espacio muestral asociado. Llamamos variable aleatoria o variable estocástica, X, a toda aplicació que asocia a cada elemeto del espacio muestral, E, u úmero real: Ejemplo 1. Si lazamos tres moedas al aire y X es el úmero de caras que sale, los valores que toma X so 0, 1, y 3. Ejemplo. Si de ua camada de 6 cachorros se cueta el º de hembras que se obtiee la variable aleatoria toma los valores x =0, x=1,...x =6 Ejemplo 3. Al extraer ua bombilla de ua població y observar si es o o defectuosa, X tomaría los valores 1 y 0 segú sea o o defectuosa. E los ejemplos ateriores se habla de variable aleatoria discreta (toma valores discretos) Ejemplo 4. Si se toma como X la estatura de los alumos de u determiado curso puede tomar todos los valores (detro de uos límites, es decir, detro de u itervalo) Ejemplo 5. Si se toma como variable la duració de las bombillas de ua determiada marca puede tomar todos los valores de u itervalo. E estos casos últimos se hablará de variable aleatoria cotiua. Estudiaremos dos modelos de variable aleatoria: uo discreto la biomial otro cotiuo la ormal.- VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Es aquella que sólo puede tomar determiados valores aislados. Por ejemplo: X = suma de las caras superiores e el lazamieto de dos dados Se llama fució de probabilidad de ua v.a. discreta a la aplicació que asocia a cada valor x de la v.a. X su probabilidad p: f ( xi ) PX x i Los valores que toma ua v.a. discreta X y sus correspodietes probabilidades suele dispoerse e ua tabla co dos filas o dos columas llamada tabla de distribució de probabilidad: X x1 x x 3 x P( X xi ) p1 p p3 p E toda fució de probabilidad se verifica que p 1 p p3 p Variables Aleatorias

12 Ejemplo 1: La v.a. úmero de caras e el lazamieto de tres moedas tiee la siguiete fució de probabilidad: X = Nº de caras f ( xi ) PX x i Ejemplo : La v.a. putuació obteida al lazar u dado tiee la siguiete fució de probabilidad: X = Putuació f ( xi ) PX x i Ejercicio: Calcular la fució de probabilidad de la variable X = suma de las caras superiores e el lazamieto de dos dados La represetació de ua distribució discreta de probabilidad es u diagrama de barras. E el caso del lazamieto de u dado sería: Se llama fució de distribució de la v.a. discreta X a la fució que asocia a cada valor de la v.a. la probabilidad acumulada hasta ese valor, es decir, F x ) p( X x ) ( i i Ejemplo 1: La v.a. úmero de caras e el lazamieto de tres moedas tiee la siguiete fució de distribució: X = Nº de caras F( xi ) p( X xi ) Variables Aleatorias

13 Ejemplo : La v.a. putuació obteida al lazar u dado tiee la siguiete fució de probabilidad: X = Putuació F( xi ) p( X xi ) La represetació de ua fució de distribució es ua gráfica escaloada: Se llama media o esperaza matemática de ua v.a. discreta X, que toma los valores x 1, x, x3... x p p p p co probabilidades 1,, al valor de la siguiete expresió: E ( X ) x i. pi La variaza viee dada por la siguiete fórmula: ( x ). p, o bie x i. p i i La desviació típica,, es la raíz cuadrada de la variaza. i Variables Aleatorias

14 Ejemplo: Calcular la esperaza matemática, la variaza, y la desviació típica, de la distribució de probabilidad de las putuacioes obteidas al lazar u dado. Solució: x i p i x i p i x i p i Ejercicios: 1.- La distribució de probabilidad de ua v.a. X viee dada por la siguiete tabla: x i p i 0,1 0,3 0, 0,3 Cuáto vale P(X=3)? Calcula la media y la variaza..- U jugador laza u dado corriete. Si sale úmero primo, gaa tatos cietos de euros como marca el dado, pero si o sale úmero primo, pierde tatos cietos de euros como marca el dado. Determiar la fució de probabilidad y la esperaza matemática del juego Variables Aleatorias

15 3.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL U experimeto sigue el modelo de la distribució biomial o de Berouilli si: 1. E cada prueba del experimeto sólo so posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su cotrario A.. La probabilidad del suceso A es costate, es decir, que o varía de ua prueba a otra. Se represeta por p. 3. El resultado obteido e cada prueba es idepediete de los resultados obteidos ateriormete. La variable aleatoria biomial, X, expresa el úmero de éxitos obteidos e cada prueba del experimeto. La variable biomial es ua variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1,, 3, 4,..., supoiedo que se ha realizado pruebas. Por ejemplo, la variable X = úmero de caras obteidas al lazar 6 moedas es ua variable biomial, dode = 6 y A = salir cara Cuado ua variable sigue ua distribució biomial se suele represetar por: X B(, p) Dode es el úmero de pruebas de que costa el experimeto y p es la probabilidad de éxito e cada prueba La probabilidad de A es, lógicamete, 1-p, y se represeta por q. La fució de probabilidad de la distribució biomial es: dode: es el úmero de pruebas. k es el úmero de éxitos. p es la probabilidad de éxito. q es la probabilidad de fracaso. El úmero combiatorio Nota:! se lee factorial y es:! Así: Variables Aleatorias

16 Ejemplo 1: Calcular la probabilidad de que ua familia que tiee 4 hijos, 3 de ellos sea varoes. Solució: Si llamamos éxito a A = ser varó, p = 0 5, = 4 y q = 0 5, la variable X = úmero de hijos varoes se distribuye segú ua biomial B(4,0 5). Etoces P(X=3)= , Ejemplo : La última ovela de u autor ha teido u gra éxito, hasta el puto de que el 80% de los lectores ya la ha leído. U grupo de 4 amigos so aficioados a la lectura: a) Cuál es la probabilidad de que del grupo haya leído la ovela dos persoas? b) Y de que lo haya leído como mucho dos persoas? Solució: Si llamamos éxito a A = haber leído la ovela, p = 0 8, = 4 y q = 0, la variable X = úmero de persoas que la ha leído se distribuye segú ua biomial B(4,0 8) a) P( X ) 0'8 0' 0'64 0'04 0' 1536 b) E ua distribució biomial B(,p) se puede demostrar que: Media:. p Variaza:. p. q Desviació típica:. p. q Así, e el ejemplo aterior, B(4,0 8):. p 4 0'8 3' ;. p. q 4 0'8 0' 0' 64 ;. p. q 0'64 0' Variables Aleatorias

17 Ejercicios: 1.- Se tiee ua moeda trucada de modo que la probabilidad de sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se laza 6 veces la moeda. Calcula las siguietes probabilidades: a) Obteer dos veces cruz. b) Obteer a lo sumo dos veces cruz..- La probabilidad de que u alumo de 1º de Bachillerato repita curso es de 0,3. Elegimos 0 alumos al azar. Cuál es la probabilidad de que haya exactamete 4 alumos repetidores? 3.- U jugador de teis tiee ua probabilidad de gaar ua partida de 0,5. Si juega 4 partidas, calcula la probabilidad de que gae más de la mitad 4.- Ua máquia fabrica torillos y se ha comprobado que el % de los mismos so defectuosos. Si se vede e paquetes de de 9, cuál es la probabilidad de que al comprar u paquete haya e el mismo dos defectuosos? 5.- Cuál es la probabilidad de obteer cuatro veces el úmero 3 al lazar u dado ocho veces? 6.- U agete de seguros vede pólizas a cico persoas de la misma edad y que disfruta de buea salud. Segú las tablas actuales, la probabilidad de que ua persoa e estas codicioes viva 30 años o más es /3. Hállese la probabilidad de que, trascurridos 30 años, viva: a) Las cico persoas b) Al meos tres persoas c) Exactamete dos persoas 4.- VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Es aquella que puede tomar ifiitos valores detro de u itervalo de la recta real. Por ejemplo, la duració de las bombillas de ua determiada marca y modelo. E el caso de variables aleatorias cotiuas o tiee setido platearse probabilidades de resultados aislados, por ejemplo, probabilidad de que ua bombilla dure 100 horas, miutos y 16 segudos. La probabilidad sería 0 (1 caso favorable etre ifiitos casos posibles) El iterés de estas probabilidades está e coocer la probabilidad correspodiete a u itervalo. Dicha probabilidad se cooce mediate ua curva llamada fució de desidad y supoiedo que bajo dicha curva hay u área de ua uidad. Coociedo esta curva, basta calcular el área correspodiete para coocer la probabilidad de u itervalo cualquiera Variables Aleatorias

18 La fució de desidad de ua v.a. cotiua es ua fució que cumple las siguietes codicioes: Sólo puede tomar valores compredidos etre 0 y 1: 0 f ( x) 1 El área ecerrada bajo la curva es igual a la uidad. Por ejemplo, la fució f ( x), x 0, 1, cuyo dibujo sería: correspode a ua fució de desidad puesto que es positiva y meor que 1 y es fácil ver que el área marcada es 1 (base x altura = x 0 5 = 1) Si X es ua v.a. cotiua que tiee a ésta como fució de desidad, para calcular probabilidades e itervalos basta co calcular el área correspodiete a dicho itervalo, es decir: Pa X b = Área etre la gráfica de f y el eje OX e el itervalo [a,b] E uestro ejemplo: P 0 X 1 0' 5 (pues es el área del rectágulo correspodiete a ese itervalo) P 1 X 1'5 0' (por el mismo motivo) 5 Como e el caso de la v.a. discreta, la fució de distribució de ua v.a. cotiua proporcioa la probabilidad acumulada hasta u determiado valor de la variable, es decir, F( x) p( X x) (Correspode al área acumulada hasta ese valor de la variable) Así, co la fució del ejemplo: F ( 1'5) p( X 1'5) área desde el 0 hasta el 1 5 = 0 75 Para calcular la media y la variaza de ua v.a. cotiua existe cierta correspodecia co la variable aleatoria discreta: Variables Aleatorias

19 Variable aleatoria discreta x. p x i p i i i Variable aleatoria cotiua b a b a x x. f ( x). dx f ( x) dx Lo que es pasa a ser y lo que es i p pasa a ser f (x) Como podemos ver, el cocepto de se escapa al temario de este curso, co lo que o calcularemos medias y variazas de v.a. cotiuas. 5.- DISTRIBUCIÓN NORMAL Es el modelo de distribució más utilizado e la práctica, ya que multitud de feómeos se comporta segú ua distribució ormal. Ejemplos: - La variable peso e ua població de persoas de la misma edad y sexo. - La variable altura de la població citada. - etc. Ua variable aleatoria cotiua, X, sigue ua distribució ormal de media μ y desviació típica σ, y se desiga por N(μ, σ), si se cumple las siguietes codicioes: - La variable puede tomar cualquier valor: (-, + ) - La fució de desidad, es la expresió e térmios de ecuació matemática de la curva de Gauss: Su gráfica es: El área del recito determiado por la fució y el eje de abscisas es igual a la uidad. Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja u área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha Variables Aleatorias

20 La probabilidad equivale al área ecerrada bajo la curva: La forma de la campaa de Gauss depede de los parámetros y. La media idica la posició de la campaa, de modo que para diferetes valores de la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizotal. Por otra parte, la desviació estádar determia el grado de aputamieto de la curva. Cuato mayor sea el valor de, más se dispersará los datos e toro a la media y la curva será más plaa. U valor pequeño de este parámetro idica, por tato, ua gra probabilidad de obteer datos cercaos al valor medio de la distribució Variables Aleatorias

21 Como se deduce de este último apartado, o existe ua úica distribució ormal, sio ua familia de distribucioes co ua forma comú, difereciadas por los valores de su media y su variaza. De etre todas ellas, la más utilizada es la distribució ormal estádar, reducida o tipificada, que correspode a ua distribució de media 0 y variaza 1, es decir, N (0,1). Su fució de desidad es: Cuado ua variable sigue ua distribució N (0,1) se le llama Z. Existe uas tablas que permite calcular probabilidades e distribucioes ormales reducidas. La tabla os da las probabilidades de P(z k), siedo z la variable tipificada. Uidades y décimas e la columa de la izquierda. Cetésimas e la fila de arriba Variables Aleatorias

22 N(0,1) Variables Aleatorias

23 Veamos cómo se calcula las distitas probabilidades e ua N(0,1) P(Z a) Ej: P(Z 1.47) = 0.99 P(Z > a) = 1 - P(Z a) Ej: P(Z > 1.47) = 1 P(Z 1.47) = = P(Z a) = P(Z > a) = 1 P(Z a) Ej: P(Z 1.47) = 1 P(Z 1.47) = = P(Z > a) = P(Z a) Ej: p(z > 1.47) = p(z 1.47) = Variables Aleatorias

24 P(a Z b) = P(Z b) P(Z a) Ej: P( 0.45 Z 1.47) = P(Z 1.47) P(Z 0.45) = = = Hay ocasioes e que queremos calcular el valor de la variable al que le correspode determiada probabilidad. Nos ecotramos co el caso iverso a los ateriores, coocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora teemos que buscar e la tabla el valor que más se aproxime a k. Ejercicios: Ej: P(Z k) = 0 87 buscado detro de la tabla k = 1 13 (aprox.) 1.- E ua N (0,1), calcular: a) p( Z 1,3) b) p( Z 1,4) c) p( Z 0,7) d) p( 0,5 Z 1,76) e) p( 1,5 Z 0'73).- Calcular k para que e ua N (0,1) se cumpla: a) P(Z k) = 0 67 b) P(Z > k) = 0 05 c) P(Z k) = 0 3 Tipificació de ua Distribució Normal Obviamete o existe tablas para todas las distribucioes ormales N(μ, σ), por lo que habrá que trasformarla e ua N (0,1) para poder usar la tabla. Al proceso de trasformar ua variable ormal cualquiera N(μ, σ) e ua N (0,1) se le llama tipificació de la variable. El cambio de variable que hay que hacer es el siguiete: X Si X N, Z N0, Variables Aleatorias

25 Es decir, tipificar ua variable ormal cualquiera cosiste e restarle su media y dividirla por su desviació típica, co lo que se covierte e ua N (0,1). Ejemplo 1: Sea X ua variable N(8,). Calcular: X 6'5 P 7' X 8'3 a) P b) Solució: X 8 6'5 8 a) P X 6'5 = tipificado = P PZ 0'75 (Z ya es ua N (0,1) ) = P Z 0'75 1 PZ 0' 75 buscado e la tabla = = ' 8 X 8 P Z 0' 15 P Z 0' 4 (*) 8'3 8 b) P7' X 8'3 P P 0'4 Z 0' 15 Calculamos aparte: P Z 0'4 P Z 0'4 1 P Z 0'4 1 0'6554 0' 3446 Luego: (*) = = 0 15 Ejemplo : La duració media de u lavavajillas es de 15 años y su desviació típica 0,5. Sabiedo que su vida útil se distribuye ormalmete, halla la probabilidad de que al adquirir u lavavajillas dure más de 16 años. Solució: Es ua distribució ormal de media 15 y desviació típica 0,5, es decir, N(15; 0,5). X p( X 16) p( ) p( Z ) 1 p( Z ) 0'5 0,5 1 0'977 0'08 Nota: eso sigifica que u 8% de los lavavajillas de ese modelo dura más de 16 años Ejercicios: 1.- La ota media de las pruebas de acceso correspodietes a los estudiates que quería igresar e ua facultad era 5,8 y la desviació típica 1,75. Fuero admitidos los de ota superior a 6. Cuál fue el porcetaje de admitidos si la distribució es ormal?.- E las etiquetas de las cajas de uos determiados torillos está idicado que tiee u diámetro compredido etre 1 09 y 1 11 mm. Si dicho diámetro es ua variable ormal co media 1 10 y desviació típica mm, qué porcetaje de torillos o cumple co la especificació de las etiquetas? Variables Aleatorias

26 Aproximació de la distribució biomial mediate la ormal Cuado es grade y p está próximo a 0,5 el comportamieto de ua distribució biomial B(, p) es aproximadamete igual a ua distribució ormal, N( p, pq) Esto permite sustituir el estudio de ua B (, p) por el de ua N ( p, pq). Suele cosiderarse que la aproximació es buea cuado p>5 y q>5 Ejemplo E ua ciudad ua de cada tres familias posee teléfoo. Si se elige al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que etre ellas haya por lo meos 30 tipos se ha teléfoo. Solució: Ejercicios: 1.- Se laza ua moeda correcta al aire 400 veces. Calcula la probabilidad de obteer u úmero de caras compredido etre 180 y 10, ambos iclusive..- El 35% de ua població está afectada por la gripe. Si se elige 30 persoas al azar, Cuál es la probabilidad de que más de 10 tega gripe? Variables Aleatorias

27 EJERCICIOS: 1.- Cosidera ua variable aleatoria discreta X cuya distribució de probabilidad es la siguiete: x i 1 3 P(X = x i ) k 0,45 k a) Calcula el valor de k b) Halla la fució de probabilidad c) Calcula su media y su desviació típica Sol: k = 0 75 ; ; 0' 74.- La probabilidad de que u estudiate obtega el título de arquitecto es 0,3. Calcula la probabilidad de que u grupo de 7 estudiates matriculados e primer curso: a) Niguo de los 7 fialice la carrera. b) Fialice los 7. c) Al meos acabe la carrera. d) Sólo fialice uo la carrera. Sol: 0,08; 0,0001; 0,671; 0, Ua determiada raza de perros tiee 4 cachorros e cada camada. Si la probabilidad de que u cachorro sea macho es de 0,55, se pide: a) La probabilidad de que e ua camada dos exactamete sea hembras b) Probabilidad de que e ua camada al meos dos sea hembras. Sol: 0,3675; 0, Si de seis a siete de la tarde se admite que u úmero de teléfoo de cada cico está comuicado, cuál es la probabilidad de que, cuado se marque 10 úmeros de teléfoo elegidos al azar, sólo comuique dos? Sol: La probabilidad de que u hombre acierte e el blaco es 1/4. Si dispara 10 veces cuál es la probabilidad de que acierte exactamete e tres ocasioes? Cuál es la probabilidad de que acierte por lo meos e ua ocasió? Sol: 0 5 ; E ua ura hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blacas. Se elige ua bola al azar y se aota si es roja; el proceso se repite, devolviedo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviació típica. Sol: 3 33; Variables Aleatorias

28 7.- Si Z es la distribució ormal tipificada, hállese: a) P(Z>-0 65<Z<0,65) c) P(1<Z Sol: a) 0,643; b) 0,5156; c) 0, Si Z es la ormal tipificada, hállese k e los siguietes casos: a) P(Z<k) = 0,783; b) P(Z>k) = 0,0838; c) P(Z<K) = 0,9948; d) P(Z<K) = 0,06. Sol: a) k=0,78; b) k=1,38; c) k=,56; d) k=-0, E ua fica agrícola dedicada a la producció de mazaas se ha comprobado que el peso de las mazaas sigue ua distribució ormal co media 100 g y desviació 10. A la hora de comercializarlas se toma para la clase A las compredidas etre 80 y 10 gr. Hallar la probabilidad de que escogida ua mazaa al azar: a) correspoda a la clase A b) pese meos de 70 g c) pese más de 10 g Sol: a) 0'9544; b) 0'0013; c) 0' Ua patrulla de tráfico realiza u cotrol de alcoholemia e ua carretera y llega a la coclusió de que el ivel de alcohol e sagre de los coductores sigue ua distribució N(0'5,0'1). Si el ivel de alcoholemia permitido es de 0'5 para los coductores expertos y 0'3 para los coductores ovatos. a) Cuál es la probabilidad de que u coductor al azar tega más de 0'5? b) Cuál es la probabilidad de que tega más de 0'3? c) Cuál es la probabilidad de que u coductor diese positivo e la de 0'3 pero o e la de 0'5? Sol: a) 0'006; b) 0'3085; c) 0' Ua empresa lleva a cabo ua prueba para seleccioar uevos empleados. Por la experiecia de pruebas ateriores, se sabe que las putuacioes sigue ua distribució ormal de media 80 y desviació típica 5. Qué porcetaje de cadidatos obtedrá etre 75 y 100 putos? (Sol. 36,74% ) 1.- U profesor de matemáticas ha observado que las otas obteidas por sus alumos e los exámees de Estadística sigue ua distribució N(6;,5). Se ha presetado al último exame 3 alumos, cuátos sacaro al meos u 7?. ( Sol. 11 ) Variables Aleatorias

29 13.- La ota media de u exame tipo test fue de 40'3 y su desviació típica 3'3. Si las calificacioes sigue ua distribució ormal y se cosidera aprobado a los que supere 37 putos. a) Cuál es el porcetaje de aprobados? b) Si a ese exame se presetaro 400 persoas cuátas aprobaro? c) Si quisiésemos que sólo aprobase 50 persoas cuál tedría que ser la ota de corte? Sol: a) 84'13%; b) 336; c) 44' Las alturas de 00 estudiates se distribuye ormalmete, co ua media de 175 cm y ua desviació típica de 10 cm. Cuátos de estos estudiates tiee altura: a) mayor de 180 cm. b) meor de 165 cm. b) c) etre 160 cm y 180 cm. d) igual a 18 cm. Sol: a) 61,7; b) 31,74; c) 14,94; d) La catidad de azúcar depositada e cada bolsa por ua máquia evasadora automática sigue ua distribució ormal co media μ=1050 grs y desviació típica σ=50 grs. a) Calcula el porcetaje de bolsas co u peso mayor a 1 Kg b) Calcula el tato por cieto de paquetes co u coteido que tiee u peso compredido etre 900 y 1000 grs. Sol: a) 84'13%; b) 15'74% 16.- Se ha elegido ua muestra de 500 torillos fabricados por ua máquia. La media de los diámetros de dichos torillos es de,9 mm y la desviació típica, de 1 mm. U cliete cosidera que u torillo es iservible si su diámetro es iferior a,85 mm o superior a 3,1 mm. a) Sabiedo que los diámetros se distribuye ormalmete, hállese qué porcetaje de torillos so defectuosos. b) Si para otro cliete so válidos desde,75 hasta 3,15, qué porcetaje so iservibles? Sol: a) 90%; b) 84,17% 17.- El coeficiete de iteligecia de ua població es ua v.a. cuya distribució sigue ua ley ormal del tipo N(100,10). Calcúlese, segú esos datos, qué porcetaje de persoas cabe esperar que tega coeficiete de iteligecia: a) superior a 10 b) etre 90 y 10 c) iferior a 80; d) Si se escoge 5000 persoas al azar, cuátas tedrá u coeficiete de iteligecia mayor de 15? Sol: a),8%; b) 81,85%; c),8%; d) Variables Aleatorias

30 18.- Los gastos diarios de ua familia sigue ua distribució ormal, co media de 50 euros y desviació típica de 5 euros. a) Calcular el porcetaje de días e los que los gastos so iferiores a 55 euros. b) Calcular el porcetaje de días e que los gastos supera los 60 euros. c) Calcular el porcetaje de días e los gastos so superiores a 50 euros e iferiores a 60 euros. Sol: a) 84,13%; b),8%; c) 47,7% 19.- Ua empresa de trasporte de viajeros afirma que el tiempo de retraso de sus viajes sigue ua distribució ormal, co u retraso medio de 5 miutos y desviació típica de miutos. Calcular: a) Probabilidad de que u viaje o tega retraso b) Probabilidad de que el próximo llegue co más de 5 miutos de retraso. c) Probabilidad de que el próximo llegue co más de 10 miutos de retraso. Sol: a) 0,006; b) 0,5; c) 0, Ua de las pruebas de acceso a la Uiversidad para mayores de 5 años cosiste e u test co 100 pregutas, cada ua de las cuales tiee 4 posibles respuestas y sólo ua correcta. Para superar esta prueba debe obteerse, al meos, 30 respuestas correctas. Si ua persoa cotesta al azar, Qué probabilidad tedrá de superar la prueba? (Sol. Utilizado la aproximació a través de la ormal: p= 0,149) Variables Aleatorias

31 1.- POBLACIÓN Y MUESTRA TEMA 3.- TEORÍA DE MUESTRAS Etedemos por població u cojuto de elemetos que posee ua característica o propiedad comú, y que costituye la totalidad de los idividuos de iterés para uestro estudio. E particular, os iteresa obteer iformació acerca de algú valor que caracteriza a la població, como ua media, ua variaza, ua mediaa, etc. A estos valores que se refiere a la totalidad de la població se les deomia parámetros poblacioales y e su otació es comú utilizar el alfabeto griego: (media poblacioal), (variaza poblacioal), (desviació típica poblacioal), etc. Como las poblacioes e las que se pretede estudiar ua determiada variable aleatoria so grades, es muy caro o imposible estudiar a todos sus idividuos; lo que se hace, es estudiar ua muestra (ua parte) de la població: Ua muestra es cualquier subcojuto de la població sobre el que se realiza estudios para obteer coclusioes acerca de las características de la població. Cualquier valor obteido a partir de los datos de la muestra se deomia estadístico muestral. Ejemplos de estadísticos muestrales so: x (media muestral), S (variaza muestral), S (desviació típica muestral), etc. La teoría del muestreo tiee por objetivo, el estudio de las relacioes existetes etre la distribució de u carácter e dicha població y las distribucioes de dicho carácter e todas sus muestras. Las vetajas de estudiar ua població a partir de sus muestras so pricipalmete: Coste reducido: Si los datos que buscamos los podemos obteer a partir de ua pequeña parte del total de la població, los gastos de recogida y tratamieto de los datos será meores. Por ejemplo, cuado se realiza ecuestas previas a u referédum, es más barato pregutar a persoas su iteció de voto, que a ; Mayor rapidez: Estamos acostumbrados a ver cómo co los resultados del escrutiio de las primeras mesas electorales, se obtiee ua aproximació bastate buea del resultado fial de uas eleccioes, muchas horas ates de que el recueto fial de votos haya fializado; Más posibilidades: Para hacer cierto tipo de estudios, por ejemplo el de duració de cierto tipo de bombillas, o es posible e la práctica destruirlas todas para coocer su vida media, ya que o quedaría ada que veder. Es mejor destruir sólo ua pequeña parte de ellas y sacar coclusioes sobre las demás. De este modo se ve que al hacer estadística iferecial debemos efretaros co dos problemas: Teoría de Muestras

32 Elecció de la muestra (muestreo), que es a lo que os dedicaremos e este capítulo. Extrapolació de las coclusioes obteidas sobre la muestra, al resto de la població (iferecia). Es decir, el pricipal objetivo de la mayoría de los estudios, aálisis o ivestigacioes, es hacer geeralizacioes acertadas co base e muestras de poblacioes de las que se deriva tales muestras. Obsérvese la palabra acertadas porque o es fácil respoder cuádo y e que codicioes las muestras permite tales geeralizacioes. Por ejemplo si queremos calcular la catidad de diero que se gasta ua persoa e vacacioes, tomaríamos como muestra lo que gasta los viajeros que lo hace e primera clase? Es obvio que o, pero saber a que tipo de persoas debemos icluir e uestra muestra o es algo ituitivo i evidete. Sobre las muestras hay dos aspectos que resulta fudametales: el tamaño (º de elemetos de la muestra) y la forma e que se realiza la selecció de los idividuos que la forma. La elecció de la muestra ifluirá de maera determiate e los resultados, por lo que hay que evitar muestras sesgadas (parciales y subjetivas) que produzca errores icotrolables (aparte de los errores propios de sustituir el estudio de ua població por el de ua muestra). El tipo de muestreo más importate es el muestreo aleatorio, e el que todos los elemetos de la població tiee la misma probabilidad de ser extraídos; Auque depediedo del problema y co el objetivo de reducir los costes o aumetar la precisió, otros tipos de muestreo puede ser cosiderados como veremos a cotiuació..- TIPOS DE MUESTREO 1.- Muestreo Aleatorio Simple Cosiste e seleccioar elemetos si reemplazamieto de etre los N que compoe la població, de tal modo que todas las muestras tega la misma probabilidad de ser elegidas. E la práctica, se eumera los idividuos y se sortea cuáles de ellos se elegirá. Si los idividuos so, por ejemplo, torillos que se ecuetra e ua caja, se elige al azar por simple extracció..- Muestreo Aleatorio Sistemático Se elige u idividuo al azar y a partir de él, a itervalos costates, se elige los demás hasta completar la muestra. Por ejemplo si teemos ua població formada por 100 elemetos y queremos extraer ua muestra de 5 elemetos, e primer lugar debemos establecer el itervalo de - - Teoría de Muestras

33 selecció que será igual a 100/5=4. A cotiuació elegimos el elemeto de arraque, tomado aleatoriamete u úmero etre el 1 y el 4, y a partir de él obteemos los restates elemetos de la muestra:, 6, 10, 14,, Muestreo Aleatorio Estratificado Si coocemos que la població puede dividirse e partes o estratos, e relació co variables que puede ser de iterés e uestro estudio, de modo que e cada uo de los estratos los elemetos posea ua gra homogeeidad respecto al carácter que se estudia (sexo, grupos de edad, ivel de estudios, ), se puede aumetar la precisió si muestreamos los estratos por separado. La forma de repartir los elemetos de la muestra, determiado cuatos debe correspoder a cada estrato se deomia afijació, y puede ser de varios tipos: Afijació uiforme: Si se toma el mismo úmero de elemetos e cada estrato. Afijació Proporcioal: si el úmero de elemetos que se toma e cada estrato es proporcioal al tamaño del estrato. Se utiliza cuado las variazas de los estratos o difiere mucho etre si. Los elemetos de cada estrato se toma mediate muestreo aleatorio simple. Ejemplo: E ua ciudad se quiere hacer u estudio para coocer qué tipo de actividades se realiza e el tiempo dedicado al ocio. Para ello va a ser ecuestadas 300 persoas elegidas al azar mediate muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal. Teiedo e cueta que de u total de habitates, so adultos, aciaos y iños, defiir los estratos y el tamaño muestral correspodiete a cada estrato. Solució: Basta co hacer ua simple regla de 3 para determiar el tamaño muestral de cada estrato: Niños: x 4.500*300 x 90 iños *300 Adultos: x 150 adultos *300 Aciaos: x 60 aciaos Teoría de Muestras

34 4.- Muestreo Por Coglomerados E este tipo de muestreo, llamado muestreo por coglomerados, se divide la població total e u úmero determiado de subdivisioes relativamete pequeñas y se seleccioa al azar alguas de estas subdivisioes o coglomerados, para icluirlos e la muestra total. Si estos coglomerados coicide co áreas geográficas, este muestreo se llama tambié muestreo por áreas. Por ejemplo, supogamos que ua gra empresa quiere estudiar los patroes variables de los gastos familiares de ua ciudad como Graada. Al itetar elaborar los programas de gastos de ua muestra de 100 familias, os ecotramos co la dificultad de realizar u muestreo aleatorio simple, (es complicado teer ua lista actualizada de todos los habitates de ua ciudad). Ua maera de tomar ua muestra e esta situació es dividir el área total (Graada e este caso) e áreas más pequeñas que o se solape (Por ejemplo Distritos postales, mazaas etc...) E este caso seleccioaríamos alguas áreas al azar y todas las familias (o muestras de éstas) que reside e estos distritos postales o mazaas, costituiría la muestra defiitiva. Auque las estimacioes basadas e el muestreo por coglomerados, por lo geeral o so ta fiables como las obteidas por muestreos aleatorios simples del mismo tamaño, so más baratas. Volviedo al ejemplo aterior, es mucho más ecoómico visitar a familias que vive e el mismo vecidario, que ir visitado a familias que vive e u área muy extesa. E la práctica se puede combiar el uso de varios de los métodos de muestreo que hemos aalizados para u mismo estudio. Ejercicios: 1.- Cosideremos la població formada por 5 bolas coteidas e ua ura y umeradas del 1 al 5. Obteer todas las muestras de tamaño extraídas mediate muestreo aleatorio simple..- E u istituto de eseñaza secudaria e que se oferta los siguietes tipos de eseñaza: Ciclos de grado superior: 110 alumos. Bachillerato: 16 alumos. Ciclos de grado medio : 10 alumos º ciclo de eseñaza secudaria obligatoria: 338 alumos. Se pretede valorar las faltas de ortografía que comete los alumos del cetro mediate ua prueba-dictado de u texto de 0 líeas; la prueba se pasará a ua muestra de 50 alumos, para miimizar el costo e tiempo y medios. Cómo se obtiee ua muestra adecuada a esta població? Teoría de Muestras

35 3.- DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES La idea de distribució muestral es la siguiete: Partimos de ua població de tamaño N. Obteemos k muestras (todas las posibles de tamaño ) y de cada ua de ellas se calcula ua medida (me dia, mediaa, variaza, desviació típica,..) obteiedo k valores: e e, e,... e 1, 3 k. Estos valores puede represetarse mediate u histograma para observar su distribució: Se puede observar que este histograma va adquiriedo forma de campaa de Gauss, y a medida que k aumeta, se va pareciedo cada vez más a la forma de ua distribució Normal. Lo vemos co u ejemplo: Elaboraremos la distribució muestral de la media de ua muestra aleatoria de tamaño = tomada si reemplazo de la població fiita de tamaño N = 5, cuyos elemetos so: 3,5,7,9,11. 3 La media de esta població es: y su desviació típica es: Ahora si tomamos ua muestra aleatoria de tamaño = de esta població hay 0 posibilidades: Teoría de Muestras

36 º muestra Muestras X (media de la muestra) Si hacemos la fució de probabilidad de la variable X de las medias muestrales: Media Probabilidad 4 /0 5 /0 6 4/0 7 4/0 8 4/0 9 /0 10 /0 Cuyo histograma sería: Teoría de Muestras

37 Si calculamos la media y la desviació típica de la distribució de las medias obteemos que: x = 7 y x = 3, luego la media x coicide co la media de la població y la desviació típica ha dismiuido. Este ejemplo puede geeralizarse para cualquier distribució segú el siguiete teorema: Teorema Cetral del Límite Si ua població tiee media μ y desviació típica σ, y tomamos muestras de tamaño (>30, ó cualquier tamaño si la població es "ormal"), las medias de estas muestras sigue aproximadamete la distribució: X N, Destacar que si la població de la que se obtiee las muestras es ormal, las medias muestrales tambié se distribuye segú ua distribució ormal, idepedietemete del tamaño de la muestra. Al saber cómo fucioa las medias muestrales, podemos obteer probabilidades relacioadas co ellas. Ejemplo 1: Se sabe que las bolsas de azúcar producidas por ua máquia tiee ua media de 500 g. y ua desviació típica de 35 g. Dichas bolsas se empaqueta e cajas de 100 uidades. a) Cómo se distribuye las medias de los pesos de las bolsas de cada caja? b) Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de u paquete sea iferior a 495 g. Solució: a) Teemos 500, 35, 100 Por el Teorema Cetral del Límite (auque la variable peso o sea ormal, teemos > 30), la variable X = media de los pesos de la muestra se distribuye segú ua ormal: 35 X N, N500, N500,3'5 100 X 500 3'5 b) PX 495 tipificado P PZ 1'43 P Z 1'43 1 PZ 1'43 0' '5 Lo que vedría a sigificar que e el 7 6 % de las cajas el peso medio de las bolsas es iferior a 495 g Teoría de Muestras

38 Ejemplo : Las estaturas, e cetímetros, de u grupo de soldados se distribuye ormalmete co media 173 y desviació típica 6. a) Elegido u soldado al azar, cuál es la probabilidad de que mida meos de 175 cm.? b) Si se toma ua muestra de 1 soldados, cuál es la probabilidad de que su estatura media supere el 1 76? Solució: a) Cuidado, e este apartado o hay muestra, i por tato medias muestrales, sio u simple ejercicio de la ormal. Si X = altura, sabemos que sigue ua N(173,6) Luego X PX 175 tipificado P 6 6 P( Z 0'33) 0'693 b) Aquí si teemos ua muestra co = 1 Auque sea < 30, como la població de partida es ormal, podemos tambié aplicar el Teorema Cetral del Límite: 6 X N, N173, N173,1'73 1 Luego: X PX 176 tipificado) P PZ 1'73 1'73 1'73 1 P( Z 1'73) 1 0'958 0'0418 Ejercicios: 1.- Se supoe que la distribució de la temperatura del cuerpo humao e la població tiee de media 37º y de desviació típica 0 85º. Se elige ua muestra de 105 persoas. Hallar las probabilidades de que: a) La media sea meor que 36 9º b) La media esté compredida etre 36 5º y 37 º.- Las otas de cierto exame se distribuye segú ua ormal de media 5,8 y desviació típica,4. Hallar la probabilidad de que la media de ua muestra tomada al azar de 16 estudiates esté compredida etre 5 y Cosideremos la població formada por los cuatro elemetos 0, 3, 4, 6. Hallar: a) Todas las muestras posibles de tamaño extraídas mediate muestreo aleatorio simple b) La media y la desviació típica poblacioales c) La media y la desviació típica de las medias muestrales Teoría de Muestras

39 4.- DISTRIBUCIÓN DE LAS PROPORCIONES MUESTRALES E lugar de calcular medias de las muestras, ahora vamos a trabajar co proporcioes. E ua població, la proporció de idividuos que posee ua determiada característica es p. (Llamaremos q = 1 p) Extraemos todas las posibles muestras de tamaño que podemos extraer de esa població. La proporció de idividuos de cada ua de esas muestras co esa característica ser pˆ. Llamaremos Pˆ a la variable aleatoria que toma los distitos valores de esas proporcioes muestrales. Si es lo suficietemete grade ( > 30), se puede demostrar que la variable Pˆ sigue ua distribució ormal de parámetros: P ˆ N p, pq (Esta fórmula proviee de la aproximació de ua biomial por ua ormal) Ejemplo 1: Ua ueva droga ha curado al 85% de los efermos a los que se les ha aplicado. Si se toma muestras de 30 persoas, Cuál es la distribució de las proporcioes muestrales? Y si las muestras so de 100 persoas? Y si so de 1000? Solució: Teemos p = 0 85, por lo que q = 0 15 Si = 30: Pˆ N p, pq Pˆ N 0'85, 0'85 0' Pˆ N 0'85,0'065 Si = 100: Pˆ N p, pq Pˆ N 0'85, 0'85 0' Pˆ N 0'85,0'036 Si = 1000: ˆ pq P N p, Pˆ N 0'85, 0'85 0' Pˆ N 0'85,0'011 Como ya vimos co las medias muestrales, al aumetar el tamaño de las muestras dismiuye la variaza de las distribucioes muestrales Teoría de Muestras

40 Ejemplo : Ejercicios: Se sabe que el 15 % de los jóvees etre 18 y 5 años so miopes. a) Cómo se distribuye la proporció de jóvees miopes e muestras de 40 idividuos? b) Cuál es la probabilidad de que e dicha muestra la proporció de miopes esté etre el 8 y el %? Solució: a) Teemos p = 0 15, por lo que q = Además = 40. Por tato: ˆ pq ˆ 0' 15 0'85 P N p, P N0' 15, Pˆ N0' 15,0' b) Usado el apartado aterior: ˆ 0'08 0' 15 ˆ 0' 0' 15 P 0'08 P 0' tipificado P P 0'0565 0'0565 P 1'4 Pˆ 1'4 P Pˆ 1'4 P Pˆ 1'4 (*) Calculamos P Pˆ 1'4 PPˆ 1'4 1 PPˆ 1'4 1 0'895 0' 1075 Y por tato: (*) = = Esto sigificaría que e el 78 5 % de las muestras que extrajésemos de tamaño 40, la proporció de idividuos miopes estaría etre el 8 y el %. 1.- Ua máquia fabrica piezas de precisió y e su producció habitual tiee u 3% de piezas defectuosas. Se empaqueta e cajas de 00, cuál es la probabilidad de ecotrar etre 5 y 7 piezas defectuosas e ua caja?.- Si tiramos ua moeda o trucada 100 veces, cuál es la probabilidad de que obtegamos más de 55 caras? 3.- Se ha realizado ua ecuesta a uiversitarios sobre su actitud ate el botelló. De ellos, so partidarios y el resto o. Se toma 100 muestras de 30 uiversitarios cada ua. Hallar: a) La distribució de la proporció muestral de partidarios del botelló b) La probabilidad de que e ua de estas muestras se maifieste favorables al botelló más de 1 alumos c) E cuátas muestras cabe esperar que más de 15 y meos de 19 estudiates se muestre partidarios del botelló? Teoría de Muestras

41 EJERCICIOS 1.- E el istituto de cierta localidad se imparte 4 iveles diferetes: 1º, º, 3º y 4º ESO, estado matriculados u total de 800 alumos. E 1º hay 160 alumos, e º hay 40 y e 3º hay 08. Explica cómo obteer ua muestra de 50 alumos mediate: a) Muestreo aleatorio sistemático b) Muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal.- E u barrio hay 4000 habitates, distribuidos e cuatro urbaizacioes: el 1% vive e A, el 0% e B, el 36% e C y el 3% e D. Además, los porcetajes de mujeres e cada urbaizació so: 50, 60, 66 y 75 % respectivamete. Se desea obteer ua muestra de 50 habitates que sea represetativa e cuato al sexo y a las urbaizacioes mediate muestreo aleatorio estratificado proporcioal. Cuátas persoas (hombres y mujeres) de cada urbaizació habrá que seleccioar? 3.- Dada la població {, 4, 6, 8}: a) Escribir todas las muestras posibles de tamaño mediate muestreo aleatorio simple b) Calcular la media y la variaza de las medias muestrales c) Hacer lo mismo co todas las muestras posibles de tamaño La media de edad de los lectores de ua determiada revista es de 17 años y la desviació típica de 3 años. Si elegimos muestras de 100 lectores: a) Cuál es la distribució de las medias muestrales? b) Cuál es la probabilidad de que la media de edad de la muestra esté compredida etre 16 7 y 17 5 años? 5.- E ua determiada població, los pesos se distribuye segú ua ormal de media 65 kg. y variaza 49. Si extraemos muestras de tamaño 64, cuál es la probabilidad de que la media de los pesos de ua de esas muestras sea mayor que 66 5 kg? 6.- La edad de los miembros de ua determiada asociació se distribuye ormalmete co media 5 años y desviació típica 3 años. a) Cuál es la probabilidad de que u miembro elegido al azar sea mayor de 60 años? b) Si se toma muestras de tamaño 36, Cuál es la probabilidad de que la edad media de dichas muestras sea superior a los 60 años? 7.- La edad de los alumos de º Bachillerato de cierto istituto sigue ua distribució N(17 6, 0 5). Los agrupamos al azar de 10 e 10 para ua competició. Cuál es la probabilidad de que e uo de esos grupos la edad media esté compredida e el itervalo (17,18)? Teoría de Muestras

42 8.- La duració (e horas) de u determiado tipo de pilas sigue ua distribució ormal co 50 y 5. Empaquetamos las pilas e cajas de 16. Cuál es la probabilidad de que la duració media de las pilas de ua de las cajas sea iferior a 48 horas? 9.- E u istituto A las pruebas de acceso a la Uiversidad ha obteido ua media de 5 8 co ua desviació típica de 1 5, mietras que e otro istituto B la media ha sido de 5 6 co ua desviació típica de 1 5. Si se toma al azar muestras de 100 persoas de cada istituto, e cuál de ellos es más probable que la ota media sea superior al 5 7? 10.- El peso de las truchas de ua piscifactoría sigue ua ley N(00,50). Se toma muestras de 60 truchas y se calcula su peso medio. Hallar las probabilidades de que la media muestral: a) Sea mayor que 10g b) Sea meor que 185g c) Esté etre 10 y 5g 11.- Ua máquia produce el 5% de torillos defectuosos. Si se empaqueta e cajas de 400 torillos: a) Cuál es la distribució de la proporció de torillos defectuosos e las cajas? b) Cuál es la probabilidad de que dicha proporció supere el 3%? c) Y de que esté etre el 3 y el 6%? 1.- E ua població el 35% so fumadores. Se toma muestras de 60, 100 y 00 persoas. Cuál será la distribució de la proporció de fumadores e cada ua de esas muestras? 13.- E el 77% de los hogares españoles hay teléfoo móvil. Si se extrae ua muestra de 500 viviedas, Cuál es la probabilidad de que e más del 80% haya teléfoo móvil? Y si la muestra se toma de 1000 viviedas? 14.- Tras uas eleccioes, se sabe que el cadidato elegido obtuvo el 4% de los votos. Hallar la probabilidad de que de 1000 idividuos elegidos al azar de etre los votates hubiese obteido dicho cadidato más de 450 votos 15.- El 17% de familias de ua determiada població tiee 3 o más hijos. Ecuestadas 150 familias, Cuál es la probabilidad de que más de 5 de ellas tega 3 o más hijos? 16.- La duració de las baterías de determiados coches eléctricos se distribuye ormalmete co media 5 y desviació típica 4 miutos. Si se elige al azar 10 baterías, Cuál es la probabilidad de que su duració media esté etre 0 y 35 miutos? Teoría de Muestras

43 17.- Se ha determiado que 60% de los estudiates de ua uiversidad grade fuma cigarrillos. Se toma ua muestra aleatoria de 800 estudiates. Calcule la probabilidad de que la proporció de la muestra de la gete que fuma cigarrillos sea meor que Se sabe que la verdadera proporció de los compoetes defectuosos fabricados por ua firma es de 4%, y ecuetre la probabilidad de que ua muestra aleatoria de tamaño 60 tega: a) Meos del 3% de los compoetes defectuosos. b) Más del 1% pero meos del 5% de partes defectuosas Las estaturas de 1000 estudiates está distribuidas aproximadamete e forma ormal co ua media de cetímetros y ua desviació estádar de 6.9 cetímetros. Si se extrae 00 muestras aleatorias de tamaño 5 si reemplazo de esta població, determie: a) El úmero de medias muestrales que cae etre 17 5 y cm. b) El úmero de medias muestrales que cae por debajo de 17 cm. 0.- U medicameto para malestar estomacal tiee la advertecia de que alguos usuarios puede presetar ua reacció adversa a él, más aú, se piesa que alrededor del 3% de los usuarios tiee tal reacció. Si ua muestra aleatoria de 150 persoas co malestar estomacal usa el medicameto, ecuetre la probabilidad de que la proporció de la muestra de los usuarios que realmete preseta ua reacció adversa exceda el 4% Teoría de Muestras

44 Teoría de Muestras

45 TEMA 4.- INTERVALOS DE CONFIANZA 1.- INTRODUCCIÓN E ua població cuya distribució es coocida pero descoocemos algú parámetro, podemos estimar dicho parámetro a partir de ua muestra represetativa. U estimador es u valor que puede calcularse a partir de los datos muestrales y que proporcioa iformació sobre el valor del parámetro. Por ejemplo la media muestral es u estimador de la media poblacioal, la proporció observada e la muestra es u estimador de la proporció e la població, Ua estimació es putual cuado se obtiee u sólo valor para el parámetro. Los estimadores más probables e este caso so los estadísticos obteidos e la muestra, auque es ecesario cuatificar el riesgo que se asume al cosiderarlos. Por ejemplo, es obviamete iútil cocluir que si el sueldo medio de ua muestra de ua ciudad es de 1.40 etoces el sueldo medio de los habitates de dicha ciudad tambié será ése. Lógicamete la posibilidad de equivocaros es demasiado grade. Más útil es la estimació mediate itervalos de cofiaza, que cosiste e determiar u posible rago de valores o itervalo, e los que pueda precisarse, co ua determiada probabilidad, que el valor de u parámetro de la població se ecuetra detro de esos límites. Este parámetro será habitualmete ua proporció e el caso de variables dicotómicas, y la media para distribucioes ormales. Evidetemete esta técica o tiee porqué dar u resultado correcto. A la probabilidad de que hayamos acertado al decir que el parámetro estaba coteido e dicho itervalo se la deomia ivel de cofiaza: Nivel de cofiaza es la "probabilidad" de que el itervalo calculado cotega al verdadero valor del parámetro. Se idica por 1 y habitualmete se da e porcetaje ( 1 )100% (Hablaremos de u ivel de cofiaza del 90%, del 95%, del 99%, ). Hablamos de ivel de cofiaza y o de probabilidad ya que ua vez extraída la muestra, el itervalo de cofiaza cotedrá al verdadero valor del parámetro o o, lo que sabemos es que si repitiésemos el proceso co muchas muestras podríamos afirmar que el ( 1 )% de los itervalos así costruidos cotedría al verdadero valor del parámetro. A la probabilidad de equivocaros se le deomia ivel de sigificació, y lo represetamos por. Lógicamete, cuato más pequeño sea (es decir, cuato más grade sea el ivel de cofiaza), la probabilidad de equivocaros será meor, pero el itervalo que calcularemos será más grade y por tato la precisió de la estimació será meor Itervalos de Cofiaza

46 Se trata pues de ecotrar u equilibrio etre que la probabilidad de equivocaros o sea muy grade y que el itervalo tampoco para obteer mayor precisió. Se suele para ello prefijar iveles de cofiaza superiores al 90%. Dado u ivel de cofiaza, cumple que: Es decir: 1, se llama valor crítico P z Z z 1 z al valor que e ua N(0,1) Para calcular el valor crítico teemos e cueta que si P z Z z 1, etoces P Z z (Ver dibujo) y por tato P Z z 1 y eso lo podemos buscar e la tabla de la N(0,1). Vemos u ejemplo práctico de cómo calcular el valor crítico: Ejemplo: Calcular el valor crítico correspodiete a u ivel de cofiaza del 99%. Como 1 0'99 0'01 0' ' 995 Y buscamos ahora e la tabla el valor de z que deja a la izquierda ua probabilidad de 0 995, obteiedo: '575 z Ejercicio: Calcular los valores críticos para iveles de cofiaza del 90, 9, 95, 98 y 99 5%. - - Itervalos de Cofiaza

47 - 3 - Itervalos de Cofiaza.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Supogamos que la població de partida es, N, y queremos estimar mediate u itervalo la media de la població,, que es descoocida. Para ello escogemos ua muestra aleatoria de tamaño y calculamos la media muestral, x. Como vimos e el tema aterior, la media muestral tiee ua distribució coocida: N X, Y por tato, tipificado: 0,1 N X Z Fijado u ivel de cofiaza, 1, queremos dos valores tales que la probabilidad de que la media de la població,, se ecuetre etre ellos sea precisamete 1. Si os fijamos e la defiició de valor crítico: 1 z Z z P De dode 1 z X z P Despejado: 1 z X z P Y por tato: 1 z X z X P Es decir: El itervalo de cofiaza para el parámetro de ua població, N al ivel de cofiaza 1 viee dado por: z X z X, Si es descoocida, se sustituye por la desviació típica de la muestra, s.

48 Nota: teemos que teer e cueta que, o bie 30, o bie la distribució de partida es ormal, pues sólo así coocemos la distribució de las medias muestrales que es e lo que os basamos para calcular el itervalo de cofiaza. Ejemplo 1: Se sabe que la desviació típica de las tallas de los alumos de ua uiversidad es de 5cm. Se desea estimar la talla media de dichos alumos, para lo que se escoge ua muestra de 100 estudiates y se obtiee que la media muestral es de 17cm. Hallar el itervalo de cofiaza para la talla media de la uiversidad para los iveles de cofiaza del 90 y del 95%. Solució: Teemos 5, = 100 y x 17 Calculamos el valor crítico para el ivel de cofiaza del 90%: 1 0'90 01' 0'05 1 0'95 Y buscamos ahora e la tabla el valor de z que deja a la izquierda ua probabilidad de 0 95, obteiedo (aprox.): 1'64 z Sustituyedo e la fórmula del itervalo de cofiaza: X z X z, 17 1' ' '8 171' '8 17'8 Luego el itervalo de cofiaza para el 90% será: IC ' 18,17'8 Hacemos lo mismo para el ivel de cofiaza del 90%: 1 0'99 0'01 0' '995 Y buscamos ahora e la tabla el valor de z que deja a la izquierda ua probabilidad de 0 95, obteiedo (aprox.): '58 z Sustituyedo e la fórmula del itervalo de cofiaza: X z X z, Itervalos de Cofiaza

49 17 '58 17 ' '9 170' '9 173'9 Luego el itervalo de cofiaza para el 99% será: IC '71,173'9 Obsérvese que a mayor ivel de cofiaza mayor es el itervalo, co lo que la precisió de la estimació es meor. Ejemplo : U psicólogo escolar quiere estimar la media de tiempo de reacció a u determiado estímulo de los alumos de 1º de Primaria. Para ello ha elegido ua muestra de 35 iños obteiedo u tiempo medio de 1 1 miutos y ua desviació típica de 0 1 miutos. Hallar el itervalo de cofiaza para el tiempo medio de reacció co u ivel de sigificació del 8%. Solució: Como es grade, podemos usar la fórmula del itervalo de cofiaza usado la desviació típica muestral pues descoocemos la de la població: X z s s, X z Teemos s 0' 1, = 35 y x 1' 1 Calculamos el valor crítico para el ivel de cofiaza del 9% (pues 0' 08 ): 1 0'9 0'08 0'04 1 0'96 Y buscamos ahora e la tabla el valor de z que deja a la izquierda ua probabilidad de 0 96, obteiedo (aprox.): 1'75 Luego: 1' 1 1' 1 z 0'1 1'75 1' 1 0'06 1' '1 1'75 1' 1 0'06 1' Y por tato el itervalo de cofiaza será: IC 9 1'06,1' Itervalos de Cofiaza

50 Error Máximo Admisible y Tamaño de la Muestra Si observamos la fórmula obteida para el itervalo de cofiaza: X z X z, la media muestral siempre será el cetro de dicho itervalo, mietras que su amplitud depede del valor E z. Co u ivel de cofiaza del ( 1 )100% admitimos que la diferecia etre la estimació para la media de la població a partir de la muestra y su valor real es meor que E, que llamaremos error máximo admisible. El tamaño de la muestra depede del ivel de cofiaza que se desee para los resultados y de la amplitud de itervalo de cofiaza, es decir, del error máximo que se esté dispuesto a admitir. Fijados 1 y E, podemos calcular el tamaño míimo de la muestra que emplearemos despejado de la expresió de E: E z z z E E Notas: - A mayor tamaño de la muestra, meor es el error - A mayor ivel de cofiaza, mayor es el error - A mayor ivel de cofiaza, mayor tamaño de la muestra (co u error fijo) Ejemplo: Se quiere estimar el peso medio de las truchas de ua piscifactoría. Por estudios previos, se sabe que la desviació típica del peso de las truchas es de 45 gramos. Se quiere costruir u itervalo de cofiaza al 99% si que el error de la estimació supere los 4 1 gramos. Cómo deberá ser de grade la muestra? Solució: Los datos so: E = 4 1, 45, 1 0' 99 Calculado el valor crítico correspodiete (hacerlo): ' 58 Sustituyedo e la fórmula del error (o merece la pea aprederse la fórmula del tamaño ya despejado): z E z z E ' ' 8' '85 Por lo que debemos tomar ua muestra de 80 truchas (si tomásemos 801, el error sería superior al permitido. Esta aproximació siempre se hace por ecima, auque hubiera dado ) Itervalos de Cofiaza

51 Ejercicios: 1.- La media de las estaturas de ua muestra aleatoria de 400 persoas de ua ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las persoas de esa ciudad es ua variable aleatoria que sigue ua distribució ormal co variaza σ = 0,16 m. a) Costruye u itervalo, de u 95% de cofiaza, para la media de las estaturas de la població. b) Cuál sería el míimo tamaño muestral ecesario para que pueda decirse que la verdadera media de las estaturas está a meos de cm de la media muestral, co u ivel de cofiaza del 90%?.- U sociólogo está estudiado la duració del oviazgo e ua extesa área rural. Se tomó ua muestra aleatoria formada por 56 familias y se obtuvo que la duració media de su oviazgo fue 3 4 años, co ua desviació típica de 1 años. a) Hallar u itervalo de cofiaza para la duració media del oviazgo para la població de familias e dicha área rural al ivel de cofiaza del 85%. b) Repetir el apartado aterior para iveles del 95 y del 99% y comparar los itervalos obteidos. c) Cuál debería ser el tamaño de la muestra para estar seguro al ivel del 90% de que error máximo cometido es de 0 05? 3.- Las vetas mesuales de ua tieda de electrodomésticos se distribuye segú ua ley ormal, co desviació típica 900. E u estudio estadístico de las vetas realizadas e los últimos ueve meses, se ha ecotrado u itervalo de cofiaza para la media mesual de las vetas, cuyos extremos so y a) Cuál ha sido la media de las vetas e estos ueve meses? b) Cuál es el ivel de cofiaza para este itervalo? 3.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN Deseamos ahora estimar la proporció p co la que ua determiada característica se da e ua població. Para ello extraemos ua muestra de tamaño y obteemos la proporció muestral, es decir, pˆ úmero de idividuos que cumplela característica tamaño de la muestra Como vimos e el tema aterior, la distribució de las proporcioes muestrales es: pq P ˆ N p, dode q=1 p Itervalos de Cofiaza

52 Dado u ivel de cofiaza, 1, y haciedo lo mismo que e el caso de la media, se obtiee el siguiete itervalo de cofiaza para la proporció de la població: pˆ z pq ˆ ˆ, pˆ z pq ˆ ˆ Ejemplo: Tomado al azar ua muestra de 300 persoas mayores de 15 años e ua gra ciudad, se ecuetra que 104 de ellas leía el periódico habitualmete. Hallar, co u ivel de cofiaza del 90%, u itervalo para estimar la proporció de lectores de periódico etre los habitates de esa ciudad mayores de 15 años. Solució: 104 La proporció muestral es: pˆ 0' El valor crítico para u ivel de cofiaza del 90%: 1 0'90 01' 0'05 1 0'95 Luego 1' 64 z Luego sustituyedo e la fórmula: pˆ z pq ˆ ˆ, pˆ z pq ˆ ˆ 0'347 1'64 0'347 1'64 0'347 0' '347 0' '347 0'045 0'30 0'347 0'045 0'39 Luego el itervalo pedido es IC 90 0'30, 0'39 Error Máximo Admisible y Tamaño de la Muestra Los coceptos y otas ha teer e cueta so los mismos que e los itervalos de cofiaza para la media, co los cambios obvios e las fórmulas correspodietes. E cuato al error: E z pq ˆ ˆ Itervalos de Cofiaza

53 Y e cuato al tamaño de la muestra E z pq ˆ ˆ pq ˆ ˆ E z pq ˆ ˆ E z pq ˆ ˆ E z z pq ˆ ˆ E Ejemplo: Ua empresa dedicada a la veta de palomitas compra el maíz directamete a los agricultores. Ates de efectuar la compra, u agete de la compañía quiere estimar la probabilidad de que el grao de maíz se abra al freírlo. Ha realizado u estudio sobre ua pequeña muestra de 60 graos, de los que 48 sea abría. Cuátos graos deberá examiar para estar seguro al ivel del 90% de que el error que cometa o superará el 1%? Solució: Sabemos que 48 pˆ 0' 8 60 Además z 1' 64 (hecho e el ejemplo aterior) De la fórmula del error: pq ˆ ˆ E z 0'01 1'64 0' 16 0' ' 16 0' '8 0' 434'3 0'0061 0' 16 Luego para que el error o supere el 1% debería tomar ua muestra de 4.35 graos de maíz (siempre por exceso). Ejercicio: De qué tamaño habría que elegir ua muestra para estimar la proporció de alumos del istituto que le gusta el fútbol co u ivel de cofiaza del 95% y u error iferior a 0.05, si e ua muestra de 10 alumos, 6 de ellos respodiero que les gustaba el fútbol? Itervalos de Cofiaza

54 EJERCICIOS 1.- E ua població ua variable aleatoria sigue ua ley ormal de media descoocida y desviació típica. a) Observada ua muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obteido ua media muestra al igual a 50. Calcule u itervalo, co el 97 % de cofiaza, para la media de la població. b) Co el mismo ivel de cofiaza, qué tamaño míimo debe teer la muestra para qué la amplitud del itervalo que se obtega sea, como máximo, 1?.- El úmero de horas que duerme los estudiates de bachillerato de la comuidad autóoma de Adalucía sigue ua distribució ormal co variaza 9. a) A partir de ua muestra de tamaño 30, se ha obteido ua media muestral igual a 7 horas. Halla u itervalo de cofiaza al 96% para la media de horas de sueño de dicha població. b) Qué tamaño de muestra sería ecesario si el error de estimació deseamos que sea meor de 30 miutos co u ivel de sigificació de 0.05? 3.- Tomada al azar ua muestra de 10 estudiates de ua Uiversidad, se ecotró que 54 de ellos hablaba iglés. Halle, co u ivel de cofiaza del 90%, u itervalo para estimar la proporció de estudiates de esa Uiversidad que habla iglés. 4.- Se sabe que el coteido de fructosa de cierto alimeto sigue ua distribució ormal, cuya variaza es coocida, teiedo u valor de 0,5. Se desea estimar el valor de la media poblacioal mediate el valor de la media de ua muestra, admitiédose u error máximo de 0, co ua cofiaza del 95%. Cuál ha de ser el tamaño de la muestra? 5.- Los pesos e ua determiada població sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica igual a 5 kg. Pesado a l0 idividuos de dicha població, se obtuviero los siguietes resultados medidos e kilogramos: Halla u itervalo de cofiaza al 90% para el peso medio de la població 6.- E u determiado barrio se seleccioó al azar ua muestra de 100 persoas cuya media de igresos mesuales resultaba igual a co ua desviació típica de 00. a) Si se toma u ivel de cofiaza del 95%, cuál es el itervalo de cofiaza para la media de los igresos mesuales de toda la població? b) Si se toma u ivel de sigificació igual a 0,01, cuál es el tamaño muestral ecesario para estimar la media de igresos mesuales co u error meor de 30? Itervalos de Cofiaza

55 7.- Para estimar la estatura media de los jóvees etre 15 y 5 años de ua localidad se ha medido a 40 de ellos, obteiedo los siguietes resultados: Estima, co u ivel de cofiaza del 99%, el valor de la estatura media de los jóvees etre 15 y 5 años de dicha localidad 8.- Se desea estimar la proporció p de idividuos daltóicos de ua població a través del porcetaje observado e ua muestra aleatoria de idividuos de tamaño. a) Si el porcetaje de idividuos daltóicos e la muestra es igual al 30%, calcula el valor de para que, co u ivel de cofiaza de 0,95, el error cometido e la estimació sea iferior al 3,1%. b) Si el tamaño de la muestra es de 64 idividuos y el porcetaje de idividuos daltóicos e la muestra es del 35%, determia, usado u ivel de sigificació del 1%, el correspodiete itervalo de cofiaza para la proporció de daltóicos de la població. Qué error máximo cometeremos co esta estimació? 9.- A partir de la iformació sumiistrada por ua muestra aleatoria de 100 familias de cierta ciudad se ha determiado el itervalo de cofiaza al 99% para el gasto medio mesual por familia (e euros) e electricidad, obteiédose el itervalo (4,58). Determiar, justificado las respuestas: a) La media de gasto e la muestra y e error cometido e la estimació realizada. b) Qué úmero de familias tedríamos que seleccioar al azar como míimo para garatizaros, co ua cofiaza del 99%, ua estimació de dicho gasto medio co u error máximo o superior a 3 euros? 10.- Ua muestra de 100 votates, elegidos al azar etre todos los de u distrito, idicó que el 55% de ellos estaba a favor de u cadidato determiado. Halla el itervalo de cofiaza al 99 73% para la proporció de todos los votates del distrito que estaba a favor del cadidato La edad de los alumos que se preseta a las pruebas de acceso a la uiversidad sigue ua distribució ormal co variaza Deseamos estimar la edad media de dichos estudiates co u error meor de 0 años y co ua cofiaza del 99 5%. De qué tamaño, como míimo, debemos seleccioar la muestra? Y si o queremos que el error supere los 0 1 años? Cuál sería el error cometido si la muestra tuviera 40 idividuos? Itervalos de Cofiaza

56 1.- Sea X ua població ormal. Se sabe que, a partir de ua muestra de 40 uidades, se saca u media muestral igual a 100 y ua variaza muestral igual a 4. Calcular el itervalo de cofiaza para la media al 95% y 99%, sabiedo que la variaza de la població es igual a 36. Que pasaría e el cálculo precedete si o se supiera ada cerca de la distribució de X? 13.- E ua muestra de 300 uiversitarios 40 de ellos respodiero que asiste semaalmete al cie. Etre qué valores se ecuetra, co u ivel de cofiaza del 95%, la proporció de uiversitarios que acude semaalmete al cie. Cuáles so esos valores si el ivel de cofiaza es del 98%? 14.- El tiempo, e miutos, que espera los clietes de u determiado baco hasta que so atedidos sigue ua distribució ormal de media descoocida y variaza 9. Los tiempos que esperaro 10 clietes elegidos al azar fuero: 1 5,, 5, 3, 1, 5, 5 5, 4 5, 3, 3 Determiar el itervalo de cofiaza al 95% para el tiempo medio de espera E ua població ua variable aleatoria sigue ua ley ormal de media descoocida y desviació típica. Observada ua muestra de 400 tomada al azar, el itervalo de cofiaza obteido fue (49 78, 50 ) Obtega cuál fue la media muestral y el ivel de cofiaza al que se realizó el itervalo De 1500 persoas ecuestadas e u sodeo preelectoral, 800 maifiesta su iteció de votar. Etre qué valores puede estimarse, co u 95% de cofiaza, que se ecotrará el ivel de absteció del cojuto del ceso? 17.- La duració de u determiado proceso idustrial es ua variable aleatoria co distribució descoocida. Examiado dicho proceso e 00 ocasioes elegidas al azar, se observó ua duració media muestral de 1 5 horas y ua desviació típica muestral de 1 3 horas. Determiar el itervalo de cofiaza al 9% para la duració media de dicho proceso. Cuál es el error máximo cometido? Cuál tedría que ser el tamaño de la muestra para reducir ese error a la mitad? 18.- A través de ua ecuesta realizada a 800 persoas sobre la elecció de alcalde de ua ciudad, se estimó que la proporció de votates al cadidato A estaba etre el 54% y el 59%. Co qué ivel de cofiaza se realizó la estimació? Itervalos de Cofiaza

57 19.- Se pasa u test de aritmética a ua muestra de 50 mujeres etre 1 y 5 años, obteiedo ua putuació media de 75 putos. Se sabe que la desviació típica de la putuació del test es de 60 putos. a) Calcula los itervalos de cofiaza al 90, 95 y 99% para la media de los resultados e el test de toda la població de mujeres etre 1 y 5 años. Cómo afecta el ivel de cofiaza al error de estimació del itervalo? b) Supogamos que ahora la muestra es de 4000 mujeres, co la misma putuació media. Costruya u itervalo al 95% de ivel de cofiaza. Cómo afecta el tamaño muestral al error de estimació del itervalo? 0.- Mediate ua muestra aleatoria de tamaño 400 se estima la proporció de residetes e Sevilla que tiee iteció de asistir a u partido de fútbol etre el Betis y el C.F. Sevilla. Si para u ivel de cofiaza del 95% resulta u error máximo e la estimació del 3%, Cuál ha sido la proporció muestral de ecuestados que tiee iteció de asistir al partido? Itervalos de Cofiaza

58 Itervalos de Cofiaza

59 Departameto de Matemáticas TEMA 5.- TEST DE HIPÓTESIS 1.- INTRODUCCIÓN E el tema aterior vimos como, a partir de los datos de ua muestra, podíamos estimar u parámetro de la població (media o proporció) mediate u itervalo. E este tema abordaremos el importate aspecto de la toma de decisioes, es decir, platearemos determiadas hipótesis sobre los parámetros de ua població y a partir de los datos de ua muestra decidiremos si podemos o o aceptar la hipótesis iicial. Las hipótesis e estadística iferecial so afirmacioes que ivolucra al total de la població. Su verdad o falsedad podría establecerse co exactitud si dispusiéramos de la oportuidad de evaluar a todos los idividuos que la compoe. Como esto o es posible o o se lleva a cabo, el criterio para aceptar o rechazar ua hipótesis estadística se basa e u razoamieto de tipo probabilístico: a través del estudio de ua o varias muestras se determia la probabilidad de que los resultados obteidos sea compatibles co la hipótesis establecida. Si es altamete improbable que, de ser cierta la hipótesis, se haya producido dichos resultados la rechazaremos. Si o es así, lo más que podemos decir es que o existe razoes para pesar que tal hipótesis o sea cierta. Ejemplos: a) b) Hace alguos a os, la media de estatura de los espa oles adultos varoes era de 170 cm y su desviacio tı pica 9 cm. Pasado el tiempo, u muestreo realizado a 36 adultos da ua medida de 17 cm. Puede afirmarse que esa diferecia de cm es debida al azar o realmete la estatura media ha aumetado?. Supogamos que, respecto a ua determiada ley, el 5 % de los ciudadaos está e cotra. Pasado el tiempo, ua ecuesta realizada a 400 persoas idica que los ciudadaos e cotra ha descedido hasta el 49 %. Ha cambiado realmete la opiio pu blica o tal resultado es debido al azar?. -1- Test de Hipótesis

60 Departameto de Matemáticas.- ELEMENTOS DE UN TEST DE HIPÓTESIS.1 Hipótesis Trataremos de utilizar los datos obteidos e ua muestra para tomar decisioes sobre la poblacio. Para ello, debemos realizar ciertos supuestos o cojeturas sobre las poblacioes. Estos supuestos, que puede ser o o ciertos, se llama hipo tesis estadı sticas. Podemos, etoces, defiir el test de hipo tesis o cotraste de hipo tesis como el procedimieto estadı stico mediate el cua l se ivestiga la verdad o falsedad de ua hipo tesis acerca de ua poblacio o poblacioes. Dichas hipo tesis se formulara ormalmete sobre la media poblacioal µ o la proporcio poblacioal p. Llamaremos hipótesis ula, H0, a la hipótesis que se formula y por tato que se quiere cotrastar o rechazar, es decir, la que matedremos salvo que los datos muestres de forma evidete su falsedad. Llamaremos hipótesis alterativa, H1, a cualquier otra hipótesis que sea diferete de la ya formulada y que sea cotraria a H0, de forma que la aceptació de la hipótesis ula H0 implica el rechazo de la alterativa H1 y viceversa, el rechazo de H0 implica la aceptació de H1. Ejemplos: 1.- Decidir la iocecia o culpabilidad de ua persoa e u país e el que se sigue el pricipio de presució de iocecia: Como se quiere evitar codear a ua persoa iocete, sólo se hará cuado haya ua fuerte evidecia de su culpabilidad, cuado esté demostrada ésta. E caso de duda, se primará la iocecia frete a la culpabilidad. Por tato, e la termiología propuesta sería: H 0 : Iocete H 1 : Culpable.- Decidir si u alumo sabe o o la asigatura de Estadística, y por tato aprueba o suspede la asigatura: Desde el puto de vista del profesorado, u estudiate o sabe la asigatura mietras o demuestre lo cotrario; es decir, el exame ha de presetar pruebas suficietes de que cooce la asigatura. E geeral, e caso de duda o de falta de datos, se primará el suspeso frete al aprobado. Por tato, e la termiología propuesta sería: H 0 : El estudiate NO sabe la asigatura ( suspeso) H 1 : El estudiate SI sabe la asigatura (aprobado) -- Test de Hipótesis

61 Departameto de Matemáticas Observacioes: Sobre la metodología de los test de hipótesis hay que teer e cueta que: 1. No sirve para demostrar H 0. Sirve para decidir que, a partir de los datos de la muestra, o o puede rechazarse H 0, o es aceptable supoer que H 0 es cierta 3. Sirve para demostrar H 1 e el setido de que, a partir de los datos de la muestra, hay ua fuerte evidecia de que H 1 es cierta e comparació co H0. Errores Cuado trabajamos co el método del cotraste de hipótesis podemos cometer dos tipos de errores: H 0 cierta H 1 cierta Rechazar H 0 Error de tipo I Decisió correcta No rechazar H 0 Decisió correcta Error de tipo II E los ejemplos ateriores: 1.- Decidir la iocecia o culpabilidad de ua persoa e u estado e el que se sigue el pricipio de presució de iocecia: H0:Iocete Rechazar H0 No rechazar H0 H 0 cierta Error de tipo I: Se codea a ua persoa que es iocete Se absuelve a ua persoa que es iocete H 1 cierta Se codea a ua persoa que es culpable Error de tipo II: Se absuelve a ua persoa que es culpable H1:Culpable -3- Test de Hipótesis

62 Departameto de Matemáticas.- Decidir si u alumo sabe o o la asigatura de Estadística, y por tato aprueba o suspede la asigatura: Rechazar H0 No rechazar H0 H0 cierta Error de tipo I: Se aprueba a u estudiate que NO sabe la asigatura Se suspede a u estudiate que o sabe la asigatura H1 cierta Se aprueba a u estudiate que sí sabe la asigatura Error de tipo II: Se suspede a u estudiate que SÍ sabe la asigatura H0 :No sabe la asigatura H1:Sí sabela asigatura.3 Nivel de Sigificació y Potecia Llamaremos ivel de sigificació,, a la probabilidad de cometer u error de tipo I, es decir, P(Re chazar H 0 / H 0 es cierta). Llamaremos potecia del cotraste al valor de 1, siedo la probabilidad de cometer u error de tipo II, es decir, P( NO Re chazar H 0 / H 0 es falsa ) Lo ideal sería miimizar y, pero esto o puede hacerse simultáeamete pues si dismiuye uo aumeta el otro y viceversa. Así, si u exame es muy exigete se dismiuye, es decir, la probabilidad de aprobar a u estudiate que o sabe; si embargo, se aumeta, la probabilidad de suspeder a u estudiate que si sabe. Pero si el exame es poco exigete dismiuye la probabilidad de suspeder a u alumo que si sabe la asigatura ( ), pero aumeta la de aprobar a uo que o sabe lo suficiete ( ). La úica maera de dismiuir los dos tipos de errores a la vez es aumetado el tamaño de la muestra (pregutar muchas cosas, para teer más datos sobre lo que sabe o o el estudiate) E geeral, se fija de atemao u ivel de cofiaza (1- ), que asegure u error de tipo I admisible (haciedo míima la probabilidad de codear a u iocete ) y de etre todos los cotrastes co dicho ivel de cofiaza se elige el de mayor potecia. (El estudio de la potecia de u test se escapa al ivel de este curso, así que daremos por hecho que los cotrastes de este tema cumple esa codició) -4- Test de Hipótesis

63 Departameto de Matemáticas.4 Regió de Aceptació y Regió Crítica Sabemos ya formular la hipótesis ula y la hipótesis alterativa. Lo que ecesitamos ahora es u criterio para saber si debemos aceptar ua u otra, es decir, co cuál de las dos hipótesis os quedamos?. Al teer ya formulada la hipótesis ula, es ecesario que las evidecias sea muy fuertes para rechazarla; es decir, puede que haya cambios debidos al azar, e cuyo caso el cambio o es sigificativo, y o cambiamos, pero puede que los cambios sea debidos a otras causas. E este último caso es cuado el cambio es sigificativo y rechazaremos. Por lo tato, lo primero que debemos hacer es fijar u cierto itervalo detro del cual es ormal que haya cambios, es decir, ua regió tal que si el parámetro (e uestro caso media o proporció) se matiee e dicho itervalo, os seguimos quedado co H0, pues esas pequeñas variacioes so debidas al azar. Ese itervalo o regió se deomia regió de aceptació, y será mayor o meor depediedo del ivel de cofiaza que precisemos, 1. La regió que quede fuera de la regió de aceptació idica que e este caso los cambios o se puede atribuir al azar, y por tato hemos de rechazar H0 y aceptar H1. Tal regió se llama regió crítica o de rechazo. H : 40 Así, gráficamete, si uestro test de hipótesis viee plateado por: 0 H 1 : 40 y fijamos u ivel de cofiaza del 95 %: Llegados a este puto, hemos de distiguir etre dos tipos de cotraste o test, que determia la regió de aceptació y la regió de rechazo. -5- Test de Hipótesis

64 Departameto de Matemáticas a) Cotraste Bilateral (o de dos colas): E este caso la regió de rechazo o regió crítica está formada por los dos extremos fuera del itervalo. Dicho caso se preseta cuado la hipótesis ula es del tipo H0 : μ = k (o bie H0 : p = k) y la hipótesis alterativa, por tato, es del tipo H1 : k (o bie H1 : p k ). b) Cotraste Uilateral (o de ua cola): E este caso la regió de rechazo o regió crítica está formada por sólo uo de los extremos fuera del itervalo. Dicho caso se preseta cuado la hipótesis ula es del tipo H0 : μ k (o bie H0 : p k) y la hipótesis alterativa, por tato, es del tipo H1 : k (o bie H1 : p k ). (El setido de las desigualdades puede cambiar). Gráficamete: E el caso de distribucioes ormales (que so las que vemos e este tema), y para u cotraste bilateral, la regió de aceptació será: Dode z es el valor crítico cuyo cálculo ya se estudió e el tema aterior de itervalos de cofiaza, y la regió de aceptació o es más que dicho itervalo. -6- Test de Hipótesis

65 Departameto de Matemáticas E el caso uilateral cambia u poco: Uilateral por la derecha: ( H 1 : k ) Uilateral por la izquierda: ( H 1 : k ) Dode z será el valor que e ua N(0,1) deje por la izquierda ua probabilidad de METODOLOGÍA GENERAL DE UN TEST DE HIPÓTESIS Los procedimietos seguidos e las pruebas de hipótesis correspodietes a las situacioes de decisi o estadística se ecuetra totalmete prefijados y se lleva a cabo e ua serie de etapas que facilita su compresió, y que so: 1. Euciar la hipótesis ula H0 y la alterativa H1. Dichas hipótesis debe ser excluyetes y teer e cueta e su formulació todo lo explicado e la itroducció del tema. Ua vez euciadas, se aalizará si el cotraste es bilateral (la hipótesis alterativa es del tipo ) o si se trata de u cotraste uilateral (la hipótesis alterativa es del tipo > o <).. Se elige u estadístico cuya distribució muestral es coocida. E uestro caso será la media o la proporció muestral. Este estadístico se llama estadístico de cotraste. 3. Determiar, a partir del ivel de cofiaza, 1-, o del de sigificació,, el valor de z para cotrastes bilaterales o el de z para cotrastes uilaterales, y co dichos valores se costruye las regioes de aceptació correspodietes (y por tato tambié las regioes de rechazo): z, z para cotrastes bilaterales, z para cotrastes uilaterales a la derecha z, para cotrastes uilaterales a la izquierda -7- Test de Hipótesis

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