Inferencia estadística. Distribuciones muestrales

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1 UNIDAD 9 Iferecia estadística. Distribucioes muestrales la Estadística se distigue dos partes perfectamete difereciadas. Ua de ellas se cooce co E el ombre de Estadística Descriptiva y tiee como objetivo la recogida, orgaizació y aálisis de datos; y obteer a partir de ellos uos valores llamados parámetros, que los idetifica, y además permite hacer comparacioes co otros cojutos de datos y establecer relacioes etre ellos. Otra parte de la Estadística llamada Estadística Iferecial trata de elaborar coclusioes de ua població a partir de los datos recogidos de ua parte de la misma llamada muestra. La represetatividad de la muestra será de suma importacia para la fiabilidad de las coclusioes. Las muestras tomadas e ua població tiee ua media y ua desviació típica que está relacioadas co la media y desviació típica de Pierre Simo Laplace (Wikipedia.org.Domiio público) toda la població; y esta relació está basada e la distribució ormal estudiada e el curso pasado. Se debe al matemático fracés Pierre Simo Laplace (749-87) el descubrimieto del importate papel que juega la distribució ormal e la teoría de la probabilidad, y la primera demostració de u teorema fudametal e estadística: el teorema cetral del límite. Las aplicacioes de la Estadística Iferecial abarca campos muy diversos. E Medicia se emplea para ivestigar los resultados de tratamietos co uevos fármacos. E Sociología se usa para hacer ecuestas de opiió a los cotribuyetes. E Idustria, para mejorar la calidad de los productos co los métodos de cotrol de calidad y coocer el grado de aceptació de los cosumidores. Esta uidad didáctica tiee como objetivos los siguietes:. Estudiar los coceptos básicos de la Estadística Iferecial.. Aalizar los diferetes tipos de muestreos. 3. Establecer relacioes etre los parámetros de la població y los obteidos de la muestra. 8

2 ÍNDICE DE CONTENIDOS. VARIABLES ALEATORIAS Variables aleatorias discretas. Distribució biomial Variable aleatoria cotiua. La distribució ormal MUESTREO Tipos de muestreo Parámetros y estadísticos DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES DISTRIBUCIÓN DE PROPORCIONES MUESTRALES

3 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES. Variables aleatorias Ua variable cuyos valores se determia sobre los resultados de u experimeto aleatorio se llama ua variable aleatoria. Por ejemplo, e u colegio de 300 alumos, elegimos u alumo al azar (experimeto aleatorio), aotamos su edad (variable aleatoria discreta), medimos su estatura (variable aleatoria cotiua), registramos el úmero de hermaos que tiee (variable aleatoria discreta) y su peso (variable aleatoria cotiua). Los valores de ua variable aleatoria discreta so úmeros eteros positivos, los valores de ua variable aleatoria cotiua so úmeros reales compredidos e u itervalo real. Las variables aleatorias se simboliza por ua letra mayúscula como X o Y o Z... Variables aleatorias discretas. Distribució biomial E las variables aleatorias discretas a cada valor x de la variable X se le asocia la probabilidad de que x ocurra, P[X = x]; esta asociació se llama ley de probabilidad. Ua distribució de probabilidad de ua variable aleatoria discreta es semejate a ua distribució de frecuecias de ua variable estadística, sólo que e vez de frecuecias relativas teemos probabilidades. El curso pasado estudiamos las variables aleatorias discretas que sigue la distribució biomial. Supogamos u experimeto aleatorio que se pueda repetir idefiidamete y que e cada prueba sólo tega dos resultados: éxito (E) y fallo (F). Experimetos de este tipo so: tirar ua moeda, dode úicamete sale cara o cruz; tirar u dado y observar si sale 5 o o, etc. Supodremos que p es la probabilidad de éxito e cada prueba y, por tato, -p será la probabilidad de fallo e cada prueba. Si el experimeto se repite veces, al aotar los resultados, obteemos ua palabra de logitud formada por las letras E y F E E F F E F E E F E F F F E... Cuátas palabras de este tipo cotiee x veces la letra E? Esto es equivalete a decir: si teemos cajas, de cuátas maeras distitas podemos situar x letras E, ua por caja? O, de cuátas maeras podemos elegir x cajas etre dadas? Esta última preguta tiee ua respuesta coocida, y es el úmero C,x o. x Si ahora os pregutamos cuál es la probabilidad de obteer x éxitos e pruebas? O, cuál es la probabilidad del suceso xveces x veces A= E... E F... F...? Como las pruebas so idepedietes, la probabilidad o varía de ua a otra prueba, etoces: x veces x veces PA ( ) = PE ( )... PE ( ) PF ( )... PF ( ) x veces x veces PA ( ) = p... p ( p)... ( p) = p ( p) x x 84

4 Como hay palabras de logitud co x letras E y cada palabra tiee ua probabilidad de p x (-p) -x, defiimos x ua fució de probabilidad para la variable aleatoria X, que cueta el úmero de éxitos e pruebas, así: PX [ = x] = p ( p) x x x Esta fució recibe el ombre de fució de probabilidad de ua distribució biomial de pruebas co probabilidad de éxito p, simbólicamete B (,p). Ejemplo. E ua ciudad, el 40% del alumado que promocioa a bachillerato tiee suspesa algua asigatura de 4º de ESO. Se elige 6 alumos-as de º de Bachillerato al azar, cuál es le probabilidad de que la mitad de seleccioados-as tega algua asigatura suspesa de ESO? Solució: Se trata de distribució biomial: º) e cada prueba hay dos úicos resultados: teer algua suspesa o o, º) el resultado de cada prueba es idepediete del aterior, 3º) la probabilidad de ecotrar u-a alumo-a co algú suspeso es costate p = 0,4. Es, por tato, ua distribució biomial de parámetros = 6 y p = 0,4, B(6; 0,4). La mitad de 6 es 3, la probabilidad buscada es P[ X = ]= , 4 0, 6 = 0, Actividades. La probabilidad de que u jugador de balocesto haga caasta e los tiros libres es /4. Si laza 6 tiros libres, cuál es la probabilidad de que haga al meos 3 caastas?. La probabilidad de que u misil alcace su objetivo es 0,8. Si se laza 4 misiles, cuál es le probabilidad de que como máximo dos de ellos de e el blaco? 3. Cico persoas de 30 años suscribe ua póliza de vida co ua compañía de seguros. Segú las previsioes de esa compañía, la probabilidad de que ua persoa saa de 30 años esté viva detro de 35 años es 0,88. Calcula la probabilidad de que detro de 35 años viva: a) las 5 persoas que ha suscrito la póliza; b) sólo 3 de esas persoas; c) al meos de esas persoas... Variable aleatoria cotiua. La distribució ormal Las variables aleatorias cotiuas se caracteriza por que la probabilidad atribuida a cada valor x de la variable aleatoria X es cero. Cómo se atribuye etoces probabilidades? Pues, e vez de asigar probabilidades a cada valor determiado de X, se hace a itervalos de valores de la variable, así: [ ]= ( ). P a X b f x b a 85

5 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES De este modo, calcular probabilidades equivale a calcular áreas como la de la regió sombreada de la figura. Ua variable aleatoria cotiua, X, se dice que está ormalmete distribuida o que sigue ua distribució ormal de media µ y desviació típica σ, y se simboliza por N (µ, σ), si la fució f(x) de la itegral es: f( x) = e σ π ( x ) μ σ Si X está ormalmete distribuida, la probabilidad de que X tome u valor meor o igual que x, P [ Xa x ], es el área de la regió sombreada e la figura, sabiedo que el área bajo toda la curva es. El cálculo de esa área se hace mediate ua itegral defiida, pero estas itegrales está tabuladas para N(0,). Etoces para hallar P [ X x ], co X, N (µ, σ), trasformamos la variable X e otra, que simbolizamos por Z, que sea N(0,). E realidad, cosiste e cambiar la variable X por Z, dode X μ Z = σ Esta trasformació se llama tipificació de la variable, y se cumple que P X x P X x x [ ]= μ μ P Z = μ σ σ σ E los ejemplos recordamos alguos casos que se puede presetar e el maejo de las tablas de la N(0,), que aparece al fial de la uidad. Ejemplos. E ua distribució ormal N(0,), hallar: a) P[Z,58]; b) P[Z 0,46]; c) P[Z,79]; d) P[Z,79]; e) P[ 0,89 Z,98]. Solució: a) P[Z,58] = 0,949. El úmero 0,949 aparece e la tabla e la itersecció de la fila que empieza por,5 y la columa que ecabeza 0,08; y sigifica que el 94,9% de los valores de Z está compredidos etre - y,58. b) P[Z 0,46] = P[Z 0,46] = 0,677 = 0,38. E la gráfica vemos que la probabilidad buscada correspode al área sombreada y es igual al área total,, meos el área de P [ Z 0,46 ]. 86

6 c) P[Z,79] = P[Z,79] = P[Z,79] = 0,9633 = 0,0367. E la gráfica observamos que por simetría el área P [ Z,79 ] es igual que P [ Z,79]. d) P[Z,79] =P[Z,79] = 0,9633. Por simetría el área de P [ Z,79 ] es igual que P [ Z,79]. e) P[ 0,89 Z,98] = P[Z,98] P[Z 0,89] = = P[Z,98] ( P[Z 0,89]) = 0,976 ( 0,833) = 0, E ua distribució N(0,) calcula el valor de c que cumple la igualdad P[ c Z c] = P[ Z c] = 0,95. Solució: Segú la figura el área sombreada a la derecha de c es 0, , = = 0, 05. Luego de la igualdad P[Z c] = 0,95 + 0,05 = 0,975 obteemos e las tablas que el valor de c que correspode a 0,975 y es,9 e la columa 0,06, es decir, c =, Si X es ua variable aleatoria que sigue ua distribució N(60,), calcula P [ X <65]. Solució: P [ X < 65 ] = P X = 5 P Z = P [ Z 04, ]= 0, Sabiedo que X es ua variable aleatoria que sigue ua distribució N(0,3) halla el valor de x e P [ X < x ]= 0,976. Solució: Como P [ X < x ] = 0,976= P X 0 < x 0 P Z z ; 3 3 = [ < ] de P [ Z < z ]= 0,976, averiguamos el valor de z co ayuda de las tablas y resulta que a 0,976 le correspode x,98, luego z =,98. Dado que z = 0 = 98, despejado x obteemos x = 3, = 5, Las estaturas de 500 estudiates de u colegio se distribuye ormalmete co media 48 cm y desviació típica cm. Calcular cuátos estudiates o alcaza los 60 cm y cuátos hay cuya talla está compredida etre los 40 y los 60 cm. Solució: Las estaturas se distribuye segú ua N(48, ). E primer lugar, os pide P [ X < 60 ] y P [ X < 60 ] = P X < P Z,, es decir, = [ < ]=

7 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES el 84,3% de los estudiates o llega a los 60 cm. Como el 84,3% de 500 es 0, = 40,65, trucado la parte decimal, podemos decir que 40 estudiates o llega a los 60 cm de altura X E segudo lugar, P 40 X 60 P [ ]= = = P[- 0,66 Z ] = = PZ [ ] - ( - P[ Z 0, 66] ) = 0,843 - ( - 0,7454) = 0,5867. Es decir, el 58,67% tiee ua altura e el itervalo [40, 60] y como 0, = 93,35 hay 93 estudiates cuya talla está compredida etre los 40 y los 60 cm. 7. El 45% de los habitates de u muicipio so cotrarios a u proyecto de la alcaldía y el resto so partidarios. Se toma ua muestra de 64 habitates, cuál es la probabilidad de que más de la mitad de los idividuos de la muestra sea cotrarios al proyecto del alcalde? Solució: El úmero x de los habitates cotrarios al proyecto e muestras de 64 idividuos se distribuye segú ua biomial B (64; 0,45); es decir, teemos que calcular P [X > 3]. Este cálculo os obliga a determiar 3 úmeros 64 combiatorios del tipo, pero este moumetal trabajo puede abreviarse recordado que ua biomial, X, x puede aproximarse por ua ormal, Y, cuado es grade o p > 5 y ( p) > 5. E este caso la biomial B(,p) puede aproximarse por la ormal N( p, p ( p) ). Luego la biomial B(64; 0,45) es muy parecida a la or- mal N(64 0,45; , ( 045, ) ) = N(8,8; 3,98). Por tato, recordado que al pasar de ua distribució discreta a ua cotiua añadimos y restamos u factor de correcció de 0,5, P[a X b] = P[a 0,5 Y b + 0,5], 3, 5 8, 8 resulta P[ X> 3] PY [ > 3 0, 5] = PY [ > 3, 5] = PZ [ > = PZ [ > 068, ] = PZ [ < 0, 68] = 0, , Actividades 4. La duració e años de la placa base de los ordeadores de ua determiada marca sigue ua distribució ormal de parámetros μ = 0 años y σ = años. Calcular la probabilidad de que la placa base dure más de años. 5. E ua N(0,) calcular los valores de z correspodietes a: a) P [ Z z] = 0,9; b) P [ Z z] = 0, El 0% de las persoas que cocurre a ua oposició puede coseguir u puesto de trabajo e la Admiistració. Las otas medias fiales de los exámees de la oposició se distribuye segú ua N(5,8; ). Cuál es la ota media míima que se debe obteer para coseguir u puesto de trabajo? 7. Si la presió saguíea sistólica de los idividuos de ua població A sigue ua distribució ormal N(7, 4), calcula: a) Qué porcetaje de idividuos de A supera el valor 79? b) Qué porcetaje de idividuos de A está por debajo del valor 7,? 8. La duració de cierto tipo de motor es ua variable ormal, co media de 0 años y desviació típica de dos años. El fabricate garatiza el bue fucioamieto de los motores por u período de 3 años. Qué porcetaje de motores se espera que cumpla la garatía? 88

8 . Muestreo Cuado se quiere estudiar ua característica de ua població, e muchas ocasioes, resulta imposible aalizar todos los idividuos de la població. Hay muchas causas de esta imposibilidad: ua població muy umerosa, que haría costoso e itermiable el estudio, o muy dispersa; tambié es importate la aturaleza de los idividuos porque el estudio puede supoer su destrucció. Por estas razoes resulta idicado elegir u subcojuto de idividuos de la població para hacer el estudio. A este subcojuto se llama muestra y deomiamos tamaño de la muestra al úmero de idividuos que la compoe. Para exteder los resultados obteidos de la muestra al total de la població, es ecesario que ésta sea represetativa. Ahora, la represetatividad de la muestra depede del tipo de muestreo empleado. Vamos a describir alguos tipos de muestreo... Tipos de muestreo Mecioaremos los tipos de muestreo más habituales. Muestreo aleatorio simple. Se realiza este tipo de muestreo cuado cada miembro de la població tiee la misma probabilidad de ser escogido e la muestra. Muestreo aleatorio sistemático. Cosiste e ordear uméricamete todos los idividuos de la població y elegir, al azar, uo de ellos; y a partir de él escoger sistemáticamete de k e k los restates idividuos, hasta completar la muestra. Muestreo aleatorio estratificado. Cosiste e dividir previamete la població e grupos homogéeos o estratos, e los que los idividuos comparte algua característica comú, y elegir muestras aleatorias simples e cada estrato. Cuado hay k estratos cada uo co diferetes poblacioes: N, N,, N k, etoces para coformar ua muestra de tamaño tomamos,,, k idividuos e cada estrato de modo que = k, y además cada uo de los úmeros,,, k ha de ser proporcioal a los tamaños de los estratos: N, N,, N k. Aú hay otro tipo de muestreo; el muestreo aleatorio por coglomerados, cosiste e dividir previamete la població e subcojutos o coglomerados. Se elige a cotiuació al azar alguos de estos coglomerados. La muestra se coforma eligiedo muestras aleatorias simples e los coglomerados escogidos. 89

9 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Ejemplo 8. E u colegio hay 500 estudiates: 600 e Primaria, 500 e la ESO y 400 e Bachillerato. Se quiere extraer ua muestra de 50 estudiates para realizar u estudio, cómo se seleccioará dicha muestra? Solució: Hay tres estratos co poblacioes diferetes etre todos los estudiates del colegio: N = Primaria, N = ESO y N 3 = Bachillerato, N + N + N 3 = = 500 Extraemos tres muestras, y 3, ua e cada estrato, de maera que = 50, y además,, y 3 sea proporcioales a 600, 500, y 400 respectivamete. Es decir, = = = ; = = = 6, 6, redodeado, 7 ; = = = 3, 3, redodeado, La muestra estaría formada por 0 de primaria, 7 de ESO y 3 de Bachillerato. Actividades 9. Ua sociedad recreativa quiere extraer ua muestra de 00 idividuos etre sus socios para programar futuras actividades. Se sabe que los socios se reparte e tres estratos: 800 iños y jóvees, 3500 adultos e edad laboral y 800 jubilados. Cómo se seleccioará dicha muestra?.. Parámetros y estadísticos Llamamos estimació al procedimieto por el cual los resultados de la muestra permite deducir resultados relativos al total de la població. El valor descoocido de ua població, que estimamos a partir de ua muestra, se llama parámetro poblacioal. Los parámetros que se suele estimar so la media, la proporció o porcetaje, la desviació típica, la variaza, etc. Por ejemplo, el salario medio de los madrileños es u parámetro de toda la població de Madrid, mietras que el salario medio de ua muestra de los madrileños, que es u parámetro de la muestra, se llama u estadístico. Los símbolos de los parámetros de la població so: la media, μ (se lee mu), la desviació típica, σ (se lee sigma), la proporció o porcetaje, p, mietras que para los parámetros de la muestra o estadísticos se utiliza los símbolos: μ, media muestral, y para la proporció o porcetaje. Cuado tomamos los parámetros de la població por los estadísticos correspodietes a las muestras estamos haciedo ua estimació por puto del parámetro de la població; e estas estimacioes el marge de error puede ser grade y por tato el grado de fiabilidad, pequeño. E la uidad didáctica próxima veremos que resulta más fiable establecer u itervalo e el que se ecuetre el parámetro poblacioal buscado. Este tipo de estimació se llama estimació por itervalos. 90

10 3. Distribució de las medias muestrales Estamos iteresados, por ejemplo, e coocer la media de los gastos mesuales e alimetació de los hogares de u barrio de Madrid. Teemos, pues, ua població: los hogares de u barrio particular, y ua variable aleatoria, X, que asiga a cada hogar la catidad de diero dedicada mesualmete a la alimetació. Queremos hallar μ, valor medio de esta variable aleatoria. Podemos hacer ua estimació de μ a partir de la media obteida de ua muestra aleatoria de la població,gx. Es evidete que este valor μ puede variar si tomamos otra muestra. Algo os dice que la media μ, de ua muestra determiada, o correspode exactamete co la media μ de la població. Existe algua relació etre la media de las muestras μ y la media de la població μ? Sí existe. Si tomamos ua muestra de tamaño de la població y calculamos la media muestral, μ, a cotiuació elegimos otra muestra de tamaño y calculamos su media obteemos otro úmero, μ ; procediedo de la misma maera hasta elegir k muestras diferetes obteemos ua serie de k medias muestrales μ, μ, μ 3,..., μ k Cosiderado los valores de las medias muestrales como ua variable aleatoria que simbolizaremos por GX, vamos a estudiar esta variable y su relació co la variable X de los gastos mesuales e alimetació de uestra població. A esta ueva variable aleatoria se llama variable de las medias muestrales y a la distribució de los valores de sobre el cojuto de las muestras de tamaño se llama distribució de las medias muestrales. Esta variable tiee ua media μ y ua desviació típica que simbolizamos por σ. Qué relació existe etre μ GX y σ co μ y σ, media y desviació típica de toda la població? Se puede demostrar las afirmacioes que sigue. ª) Si la variable X sigue ua distribució ormal, N(μ,σ), etoces la variable aleatoria de la medias σ muestrales,, sigue tambié ua distribució ormal N(μ, ). Es decir, tiee la misma media que σ X, μ =μ, y su desviació típica es meor, σ =. ª) Si la variable X sigue ua distribució descoocida o o es ormal, y el tamaño de la muestra 30, etoces sigue tambié ua distribució ormal N(μ, σ ). E la demostració de la seguda afirmació se emplea el llamado Teorema Cetral del Límite, uo de los resultados más importates e estadística. Este teorema, cuyo coteido escapa de este Curso, poe de relieve la importacia de la distribució ormal, que aparece asociada a cualquier distribució, tato si es ormal como si o lo es, dado que la distribució de las medias muestrales se aproxima siempre a ua distribució ormal. Las dos afirmacioes ateriores se puede resumir de la forma siguiete: SiXesN( μσ, ) XesN( μ, σ ). Si X o es ormal o es descoocida σ X es N( μ, ), cuado 30. Qué ocurre cuado < 30? Bueo, cuado las muestras so pequeñas, las cosas se complica u poco más, o mucho, pero o es u objetivo de este curso. 9

11 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Ejemplos 9. E u servicio de ateció al cliete, el tiempo de espera hasta recibir ateció es ua variable aleatoria ormal de media 0 miutos y desviació típica miutos. Se toma muestras aleatorias del tiempo de espera de los clietes que llega u día cocreto. Se pide: a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de ua muestra de 5 clietes o supere los 9 miutos? b) Cuál es la distribució de la media muestral, al tomar muestras aleatorias de 64 clietes? Especificar sus parámetros. Solució: a) Las muestras de cualquier tamaño, mayor o meor que 30, de ua població N(μ,σ) se distribuye segú la ormal N(μ, ). E este caso, = 5 y X es ua ormal N(0,); por lo que la distribució de σ de las medias muestrales es ua ormal N(0, /AGG5) o N(0, /5). E cosecuecia, teemos que calcular: b) Si = 64 la variable aleatoria de las medias muestrales se distribuye segú la ormal N(0; /AG6G4 ) o N(0; 0,5), es decir, co μ = 0 y σ = 0,5. 0. Se admite que el perímetro craeal de ua cierta especie aimal sigue ua distribució ormal co σ =,8 cm. Se toma ua muestra de 0 idividuos al azar, cuál es la probabilidad de que la media de la muestra, μ, difiera de μ, media poblacioal, 4,5 cm? Solució: P X < 9 = P X 0 9 < 0 P Z P Z = [ < 5, ]= 5 5 [ < 5, ]= 09, 938 = 0, 006. / / Como X se distribuye segú ua ormal N(μ;,8), se distribuye segú la ormal N(μ;,8/AGG0 ), idepedietemete del tamaño de la muestra. Teemos que calcular P[I μi] 4,5. Dividiedo por tipificamos la variable y teemos X μ 45, 45, P > = P Z > = P Z >, = PZ [ <, ] = [ 0, 8865] = = 0, 67., 8 0, 8 0, 8 0. Se ha registrado el peso de los recié acidos de ua materidad durate u año y se ha observado que se distribuye co media μ = 350 g y desviació típica σ = 50 g. Cuál es la probabilidad de que la media de ua muestra de 00 recié acidos sea superior a 3300 g? Solució: Descoocemos la aturaleza de la distribució de la variable X, que os da los pesos de los recié acidos, pero como el tamaño de la muestra es = 00, mayor que 30, etoces la variable sigue ua distribució 50 ormal N(350, ) = N(350, 5). Teemos que calcular 00 P X > 3300 = P X > P Z 5 = [ > 5 ]= 0, 08. σ =, 8 0 9

12 . E u exame tipo test de 00 pregutas, calificado a puto por preguta correcta, las calificacioes se distribuye co media μ = 65 putos y desviació típica σ = 4 putos. Calcula la probabilidad de que ua muestra de 50 exámees elegidos al azar tega ota media superior a 70 putos. Solució: Descoocemos la aturaleza de la distribució de la variable X, que os da las calificacioes de los exámees, pero como el tamaño de la muestra es = 50, mayor que 30, etoces la variable sigue ua distribució ormal N(65; 4/AG5G0 ) = N(65;,97). Teemos que calcular P X > 70 = P X > P Z P Z = [ > 53, 97 ]= 97 [ < 53,,, ]= 0, Actividades 0. Se supoe que la vida de las bombillas de u determiado tipo sigue ua distribució ormal de media 000 horas y desviació típica 60 horas. Se toma ua muestra al azar de 5 bombillas y se calcula la media. Cuál es la probabilidad de que esta media sea meor que 996 horas?. Las calificacioes del alumado de ua prueba de acceso a la uiversidad se distribuye co media μ = 5,6 y desviació típica σ =,8. Si se elige ua muestra de 40 idividuos presetados a la prueba, cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea meor que 5?. Calcula la probabilidad de que al extraer ua muestra de tamaño 60 de ua població que se distribuye ormalmete segú N(, 5) la media de la muestra esté compredida etre 0 y El coeficiete itelectual de los alumos de ua determiada uiversidad sigue ua ormal N(95, 8). a) Calcula la probabilidad de que ua muestra de 64 alumos tega u coeficiete itelectual medio iferior a 9. b) Calcula la probabilidad de que la misma muestra tega u coeficiete itelectual superior a 00. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS Supogamos que queremos estudiar ua característica e dos poblacioes diferetes, digamos la altura del alumado e dos colegios. E el primer colegio, la variable aleatoria X, asiga u valor a la altura de cada alumo-a, tiee media μ y desviació típica σ. E el segudo colegio, la variable aleatoria X, que os da la estatura del alumado, tiee media μ y desviació típica σ, o ecesariamete iguales a la aterior. Sabemos que la variable X de las medias muestrales de X, de tamaño, si es suficiete grade o X es σ ormal, sigue ua distribució ormal de media μ y desviació típica σ. Es decir, X es ua N(μ, ). Del mismo modo, la variable de la medias muestrales X, de tamaño, de la variable X, si es grade o X σ es ormal, es ua N(μ, ). 93

13 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Imagiemos que tomamos ua muestra del primer colegio y otra e el segudo colegio y calculamos la diferecia de las dos medias muestrales. Si repetimos la operació varias veces, obteemos ua serie de úmeros que correspode a los valores de ua ueva variable aleatoria que simbolizamos por X -- X. Cómo se distribuye X -- X? Pues ocurre que X -- X se distribuye como ua ormal de media μ -- μ y σ σ σ σ desviació típica + ; e ua palabra, X -- X es ua N(μ -- μ, + ). Esto es lo que se cooce como la distribució de la diferecia de dos medias muestrales. E la Uidad 0 emplearemos la variable X -- X y su distribució para comparar medias de dos poblacioes idepedietes. Ejemplo 3. Se sabe que el peso de todos los iños de 5º curso e u colegio de primaria sigue ua distribució ormal de media μ = 45 kg. y σ = 7,5 kg., mietras que el peso de las iñas, del mismo ivel educativo, se distribuye tambié ormalmete co media μ = 40 kg. y σ = 6,9 kg. Si la variable X os da las medias muestrales del peso de las muestras de 0 iños y X las medias muestrales de muestras de 8 iñas, hallar la probabilidad de que el peso medio de ua muestra de iños supere e 5 kg. o más al peso medio de ua muestra de las iñas. Solució: Sabemos que μ = 45 kg. y σ = 7,5 kg., y que μ = 40 kg. y σ = 6,9 kg. Además, = 0 y = 8 y queremos calcular la probabilidad siguiete: PX [ X 5] σ σ Sabemos que X X es ua N( μ μ, + ). E este caso es ua N( 5;, 3). Por tato: PX [ X 5] P X X = > [ 0] [ 0] 0, 5, 3, 3, = PZ = PZ < = es decir, el 50%. Actividades 4. Las lámparas de bajo cosumo de la marca A tiee ua vida media de 000 horas y ua desviació típica de 450 horas, mietras que las lámparas del mismo tipo de la marca B tiee ua vida media de 00 horas co ua desviació de 650 horas. Hallar la probabilidad de que ua muestra de 36 lámparas de la marca A tega ua vida media superior e más de 500 horas a la vida media de ua muestra de 40 lámparas de la marca B. 94

14 4. Distribució de proporcioes muestrales Si al hacer el estudio de ua característica de ua població os ecotramos que la variable úicamete puede tomar dos valores: éxito o fracaso, la població que tratamos de estudiar sigue ua distribució biomial, pero cuado el úmero de pruebas es grade esta biomial se puede aproximar por ua ormal. Cosideremos etoces ua població umerosa de N idividuos; por ejemplo, todos los profesores de matemáticas de la Comuidad de Madrid y ua característica: ser seguidor del Atlético de Madrid ; e iterroguemos a cada profesor si es,o o, seguidor del Atlético. Sea A el úmero de respuestas afirmativas, etoces el cociete os da la proporció poblacioal o porcetaje poblacioal de seguidores del Atlético etre los profesores de matemáticas madrileños. Imagiemos que de la mecioada població tomamos ua muestra de tamaño, llamémosle M, y calculemos la proporció de atléticos: p =. Si a cotiuació obteemos todas las muestras posibles, de tamaño, M, M 3, M 4,, etoces veremos que las proporcioes de atléticos p muestra a otra. p A = N variará de ua p 3 p 4 =, 3 =, 4 =,... Todas estas proporcioes p, p, p 3, so valores de ua ueva variable aleatoria que llamaremos proporció muestral y simbolizaremos por. Esta variable a su vez tedrá ua media µ y ua desviació típica σ. Qué relació tiee la media y la desviació típica de la proporció muestral co la proporció poblacioal p? Bueo, pues se puede demostrar la siguiete afirmació para la distribució de las proporcioes muestrales: Si ua població umerosa tiee ua proporció poblacioal p de ua determiada característica, etoces la variable aleatoria, de las proporcioes muestrales extraídas de esa població, cuado el tamaño de la muestra es suficietemete grade 30, se aproxima a ua distribució ormal de media p( p) µ = p y desviació típica σ p = ; es decir, se distribuye casi segú ua N p, p( p). Ejemplos 4. E ua empresa fuma el 40% de sus trabajadores. Si elegimos ua muestra de 30 persoas, cuál es la probabilidad de que la proporció de fumadores e la muestra sea mayor que el 50%? Solució: La muestra es de tamaño = 30 y la proporció poblacioal de fumadores es p = 0,4, luego es ua ormal N 04, ; 04, 06, N( 0, 4; 0, 089). 30 = 95

15 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Teemos que calcular: P p P p > P Z = 04, 05, 04, , > =,, > , 089 0, , 9 = P[ Z>, ]= - P[ Z<, ] =,. 5. E uas eleccioes muicipales la lista del alcalde salió co el 35% de los votos. Si ates de las eleccioes se hubiese hecho u sodeo co ua muestra de 400 vecios, cuál hubiera sido, de mateerse la misma iteció de voto, la probabilidad de obteer meos del 30% de los votos para la citada lista? Solució: Tamaño de la muestra = 400 y p = 0,35, luego sigue ua distribució ormal N 035, ; 035, 065, N(0,35; 0,03). 400 = Teemos que calcular: P p P p < P Z = 035, 03, 035, < = < ,, , 03 0, 03 00, 3 = P[ Z<, ]= P[ Z<, ] =, =,. Sólo e el,5% de las muestras se obtedría meos del 30% de los votos. Actividades 5. E ua determiada població el 0% de sus habitates usa gafas graduadas. Tomamos ua muestra de 56 persoas, cuál es la probabilidad de que el porcetaje de persoas de la muestra que usa gafas graduadas esté etre el 5% y el 5%? 6. Ua vacua cotra cierta efermedad imuiza al 95% de las persoas que se la poe. Si elegimos ua muestra de 64 persoas, cuál es la probabilidad de que la proporció de gete imuizada al poerse la vacua sea meor que el 9%? 7. Se sabe que el 30% de los estudiates de ua uiversidad o hace uca botelló. Se toma ua muestra de 00 estudiates de esa uiversidad y se pide calcular la probabilidad de que más de las tres cuartas partes de los estudiates de la muestra haga algua vez botelló. Distribució de la diferecia de proporcioes Supogamos que e u colegio el porcetaje de alumado co miopía es p y e otro colegio es p. Simbolizamos por la variable aleatoria de las proporcioes muestrales e el primer colegio y la variable aleatoria de las proporcioes muestrales e el segudo. Sabemos que si el tamaño de las muestras, digamos y, so grades p( p) p( p) etoces es ua N( p, ) y es ua N( p, ). 96

16 Imagiemos que tomamos ua muestra e el primer colegio y otra e el segudo colegio y calculamos la diferecia etre las proporcioes muestrales. Repitiedo la operació ua serie de veces, obteemos u cojuto de úmeros que correspode a los valores de ua ueva variable que simbolizamos por --. Y, como e el apartado 3., os pregutamos cómo se distribuye esta ueva variable. Pues bie, sucede que --, distribució de la diferecia de dos proporcioes muestrales, se distribuye como ua ormal de media p -- p y desviació p( p) p( p) p( p) p( p) típica + ; es decir, -- es ua N(p -- p, + ). E la próxima uidad didáctica haremos uso de la variable -- para comparar la proporció de idividuos co ua determiada característica e dos poblacioes idepedietes. Ejemplos 6. E cierta uiversidad el porcetaje de mujeres matriculadas que supera las pruebas de acceso es el 85%, mietras que el de hombres es el 8%. Si tomamos ua muestra de 40 mujeres y otra de 35 hombres etre los matriculados e las pruebas de acceso, cuál es la probabilidad de que la proporció muestral de mujeres aprobadas supere como míimo e u 5% al de hombres aprobados? Solució: Sabemos que p = 85% = 0,85 y p = 8% = 0,8; además, = 40 y = 35 y queremos calcular la probabilidad siguiete: Pp [ p 005, ] Sabemos que p p es ua Np p (, p ( p) p( p) + ). E este caso es ua N(0,04; 0,3). Por tato Pp [ p, ] P p p 0, , 004, 00, > 005 = > = 08, 0, 3 0, 3 P > Z 0, 3 = P [ Z > ]= = P[ Z 08, ]= P[ Z < 08, ]= 009,. Actividades 8. Ua máquia produce artículos cada hora de los que 3 sale co algú defecto. E la misma fábrica dispoe de otra máquia que produce los mismos artículos, pero a u ritmo de 0 cada hora y de los que sólo preseta algú defecto. Se toma muestras de 40 artículos de cada máquia y se pide: a) Cuál es la probabilidad de que la proporció de artículos defectuosos de la primer máquia exceda e más del 0% a los defectuosos fabricados por la seguda? b) Cuál la probabilidad de que la proporció de artículos defectuosos de la seguda exceda e más del 5% a los de la primera? 97

17 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES RECUERDA Distribució biomial de pruebas co probabilidad de éxito p, simbólicamete se expresa así: B (, p), PX [ = x] = p ( p) x x x Distribució ormal de media μ y desviació típica σ, N¼ (, σ), es l a probabilidad de que X tome u valor meor o igual que x, P[ X x], y correspode al área de la regió sombreada e la figura. El cálculo de esa área se hace mediate ua itegral defiida y todas estas áreas X μ está tabuladas para N(0,). Hallamos P[ X x] cambiado la variable X por Z, que es N(0,), y dode Z = σ y, por tato: P[ X x]= P X μ x x μ P Z = μ. σ σ σ La variable aleatoria X de las medias muestrales de ua variable X sigue ua distribució ormal N( μ, σ ), tato si X es ormal como si o lo es, auque e este último caso es preciso que el tamaño de la muestra sea mayor o igual que 30. La variable aleatoria X X de la diferecia de las medias muestrales se distribuye como ua ormal de media σ σ σ σ μ μ y desviació típica + ; es decir, es ua N( μ μ, + ). La variable aleatoria p de las proporcioes muestrales extraídas de ua població, cuado el tamaño de la muestra es 30, se distribuye casi segú ua N( p, ). p( p) La variable aleatoria de la diferecia de proporcioes p p p( p) p( p) es ua N( p p, + ).. 98

18 Tabla de la distribució ormal, N(0,) Z 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,587 0,590 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0,3 0,679 0,67 0,655 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,86, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,905,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,95 0,93 0,947 0,96 0,977,4 0,99 0,907 0,9 0,936 0,95 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,939,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,948 0,949 0,944,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,955 0,955 0,9535 0,9545,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,965 0,9633,8 0,964 0,9649 0,9656 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706,9 0,973 0,979 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,98 0,987, 0,98 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,986 0,9864 0,9868 0,987 0,9875 0,9878 0,988 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,990 0,9904 0,9906 0,9909 0,99 0,993 0,996,4 0,998 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,993 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,994 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,995 0,995,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,996 0,996 0,9963 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,998,9 0,998 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3, 0,9990 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9993 0,9993 3, 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000 4,0,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,