Estadística 1.-VARIABLES ALEATORIAS. 1. Conceptos previos. Dada una serie de números: x1,..xn se llama MEDIA ARITMÉTICA:

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1 Estadística 1.-VARIABLES ALEATORIAS 1. Cocetos revios Dada ua serie de úmeros: x1,..x se llama MEDIA ARITMÉTICA: x = x 1+ +x = 1=1 x i Se trata de ua medida de cetralizació, que rereseta el valor más característico de la serie. VARIANZA s = (x 1 x ) + + (x x ) = 1=1 (x i x ) Es ua medida de disersió, que muestra la agruació de los datos e toro a la media. DESVIACIÓN TÍPICA Es la raíz cuadrada de la variaza. s= s. Variables aleatorias DEF: Es ua fució defiida e el esacio muestral de u exerimeto aleatorio que asocia a cada elemeto del esacio, u º real. DEF: Ua variable aleatoria uede ser DISCRETA, si toma u º fiito de valores.p. ej: Biomial Autes estadística P á g i a 1

2 CONTINUA: si toma, al meos teóricamete u º ifiito de valores. P.ej : ormal NOTA: La robabilidad de ua variable aleatoria se calcula mediate Fució de robabilidad: E variables discretas.se asocia a valores Fució de desidad: E variables cotiuas.se asocia a itervalos. 3. Distribució Biomial Se asocia a exerimetos e los que: Sólo hay dos osibles resultados: éxito o fracaso El resultado obteido es ideediete de los ateriores. La robabilidad es costate e todas las ruebas Etoces, si : : robabilidad éxito, q : robabilidad fracaso, : º ruebas y r : º éxitos e ruebas,m la variable se llama biomial B(,) y la fució de robabilidad es : P( r éxitos ) = ( r ) r q r NOTA : La media de ua variable aleatoria es =, mietras que la variaza es =q=(1-) 4. Distribució ormal DEF: Se desiga or N( siedo su media y su desviació tíica. NOTA: Se desiga así orque se creía que todas las variables aleatorias cotiuas era de este tio. NOTA : La más imortate y la úica que se ecuetra tabulada es la N(0,1), que desiga or Z ( ormal estádar) NOTA : La robabilidad se calcula mediate la fució de desidad, que es : f(x) = 1 σ π e 1 (x μ σ b a )., de modo que (a<x<b)= f(x)dx Autes estadística P á g i a

3 NOTA: Como es imosible calcular la robabilidad e todos los casos osibles, obtedremos mediate u cambio de variable, el área equivalete e la ormal N(0,1).Este roceso se llama TIPIFICAR LA VARIABLE. El cambio a realizar es Z= X μ σ NOTA: Es muy imortate reseñar que la fució de desidad de la N(0,1), es ua gráfica simétrica resecto a OY, cuya área debajo de la curva de - a es Uso de la tabla de la ormal N(0,1) Ua vez tiificada la variable, ara averiguar la iformació deberemos, cosultar la tabla. Se debe domiar dos rocesos: BÚSQUEDA DIRECTA : E la que te da u valor de la Z ( e itervalo ) y debes calcular la robabilidad :Distiguimos tres casos : a) (Z a) i) si a>0 se busca e la tabla EJEMPLO:Hallar la robabilidad ( z 0,45 ) a. E la 1ª columa buscamos el valor de las uidades y las décimas. b. E la 1ª fila el valor de las cetésimas. c. Basta buscar 0,4 e la columa y 0,05 e la fila. Su itersecció os da la robabilidad. d. Leemos y os da 0,6736. La robabilidad ( z 0,45 ) = 0,6736 ii) si a<0 (Z a)= (Z>-a) =1-(Z -a) Autes estadística P á g i a 3

4 b) (Z>a) i) si a>0 (Z>a)=1-(Z a) ii) si a <0 (Z>a)=(Z -a) c) (a Z b)=(z b)-(z a) y se alica los casos ateriores deediedo del sigo de a y b BÚSQUEDA INVERSA : Esecialmete útil ara la obteció de itervalos de cofiaza e la que se te da u determiado valor de robabilidad y debes averiguar el valor de Z Autes estadística P á g i a 4

5 EJEMPLO : P(Z k)=0,7019 k=0,53 6. Aroximació de la biomial or la ormal Existe situacioes e los que, co valores altos de el cálculo de la robabilidad de u valor e ua distribució biomial resulta articularmete difícil. Por ello, el resultado obteido or De Moivre resulta esecialmete, útil. Cosiste que e ciertas codicioes y co u º de reeticioes alto, ua biomial (variable discreta) se uede aroximar mediate ua variable ormal ( variable cotiua) Teorema de De Moivre. Si 5,q 5, ua variable biomial B(,) se uede aroximar co u variable ormal N(, q) NOTA: Pero esto tiee u roblema, que es que la biomial es ua variable discreta e la que todos los valores tiee robabilidad ( auque sea oca ) y la ormal es ua variable cotiua, co lo que la robabilidad de u valor es 0. Esto se resuelve, haciedo la llamada correcció de Yates que se resume e estos tres utos ( X es biomial y X es ormal) P(X=a)=P(a-0,5 X a+0,5) P(X a)=p(x a+0,5) (ara que cotega al uto a) Autes estadística P á g i a 5

6 P(X<a)= P(X a-0,5) (ara que o cotega al uto a) EJERCICIOS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 1) Se sabe que la tercera arte de los iños varoes de º de ESO da ositivo e ua rueba de agresividad. Escogida al azar ua muestra de 10 chicos, halla las robabilidades de los siguietes sucesos: a) Ecotrar dos co ivetario de agresividad. b) Más de tres. c) A lo sumo, cico. d) Así mismo, halla la media y la desviació tíica de esta distribució. ) U exame costa de 10 regutas a las que hay que cotestar SI o NO. Suoiedo que a las ersoas que se les alica o sabe cotestar a igua de las regutas, y e cosecuecia cotesta al azar, halla: a) La robabilidad de obteer cico aciertos. b) La robabilidad de obteer algú acierto. c) La robabilidad de obteer al meos cico aciertos. 3) La robabilidad de que u estudiate obtega el título de liceciado e geografía e historia es 0 3. Halla la robabilidad de que u gruo de siete estudiates matriculados e rimer curso: a) Niguo de los siete fialice la carrera. b) La fialice todos. c) Al meos dos acabe la carrera. DISTRIBUCIÓN NORMAL Autes estadística P á g i a 6

7 4) Sea Z ua variable aleatoria N(0,1). Calcula: a) Z 1,3 d) Z 1,3 g) 0 Z 0,5 b) Z,17 e) Z,17 Z h) c) 1,5 Z,03 f,03 Z 1,5 i, 3 Z 1,15 5) Las tallas de los idividuos de ua oblació se distribuye ormalmete co media igual a 175 cm y desviació tíica igual a 8 cm. Calcula la robabilidad de que u idividuo tega ua talla: a) Mayor que 180 cm. b) Meor que 170 cm. c) Etre 170 y 180 cm. 6) Los oositores que se reseta a uas lazas de u orgaismo autoómico se distribuye ormalmete co ua utuació media igual a 70 5 y co ua desviació tíica igual a 9. Cuátas lazas se adjudicará e la oosició de este año, si el tribual ha decidido de atemao dejar si laza a todos aquellos que obtega ua utuació iferior a 80?. 7) E u exame de sicometría, la media de las calificacioes es 6 y la variaza 1,44. Calcula la robabilidad de que u alumo tega ua calificació: a) Mayor que 7. b) Meor que 5. c) Etre 5,5 y 7. 8) Las edades del rofesorado de Educació Esecial se distribuye ormalmete co media 38 años y desviació tíica 6. De u total de 500 rofesores, halla: Autes estadística P á g i a 7

8 a) Cuátos rofesores hay co edades meores o iguales a 35 años?. b) Cuátos mayores de 55 años?. 9) El eso teórico de ua tableta de asiria es de 34 mg. Si suoemos que los esos de las tabletas de asiria sigue ua ormal de desviació tíica 10 mg or tableta, calcula: a) Cuál será el orcetaje de tabletas co eso meor o igual a 310 mg?. b) Cuál será el orcetaje de tabletas co eso suerior a 330 mg?. 10) La duració media de u televisor es de ocho años co ua desviació tíica de medio año. Si la vida útil del televisor se distribuye ormalmete, halla la robabilidad de que u televisor dure más de 9 años. 11) Por estudios realizados sobre ua multitud de iñas al acer, se ha determiado que la talla se distribuye segú ua ormal de media 50 cm y desviació tíica 1 8 cm. a) Halla la robabilidad de que ua iña al acer tega ua talla suerior a 54 cm. b) Si durate u mes e ua materidad ace 100 iñas, cuátas tedrá al acer ua talla etre 48 y 51 8?. 1) E ua distribució N(163,1), a) Dóde se sitúa el P 10 y el P 90?. b) Halla el rimer y tercer cuartil. 13) E ua distribució, N(0,1) etre qué valores está el 94% de los valores cetrales?. Autes estadística P á g i a 8

9 14) Se ha alicado u test de fluidez verbal a 500 alumos de u cetro escolar. Se suoe que las utuacioes obteidas se distribuye segú ua ormal de media 80 y desviació tíica 1. a) Qué utuació seara el 5% de los alumos co meor fluidez verbal?. b) A artir de qué utuació se ecuetra el 5% de alumos co mayor fluidez verbal?. APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL POR LA NORMAL 15) El.5%. de los torillos fabricados or ua maquia reseta defectos. Si teemos u lote de 00 torillos, cual es la robabilidad de que haya más de 0 defectuosos? 16) Si lazamos u dado 1,000 veces, cuál es la robabilidad de que el úmero tres se haya obteido meos de 100 veces? 17) U saco que cotiee 400 moedas es vaciado sobre ua mesa. Calcula la robabilidad de que: 1. Aarezca más de 10 caras.. De que el úmero de caras sea meor que De que el úmero de caras este comredido etre 190 y 10 ambos iclusive. 18) Desués de realizar varios sodeos sobre ua oblació co escasa cultura, se ha coseguido averiguar que úicamete el 15 % de la misma es favorable a los tratamietos de sicoteraia. Elegida al azar ua muestra de 50 ersoas de dicha oblació, se desea saber: A) La robabilidad de que haya más de 5 ersoas favorables a dichos tratamietos. B) La robabilidad de que a lo sumo haya 6 ersoas favorables. Autes estadística P á g i a 9

10 .Teoría de muestras 1.- Primeras defiicioes DEF: Se llama POBLACIÖN al cojuto de elemetos que osee ua determiada característica. Suodremos que la oblació es muy grade DEF: Se llama MUESTRA a cualquier subcojuto de la oblació y MUERSTREO al roceso mediate el cual se escoge ua muestra. NOTA : Auque existe varios tios de muestreo, osotros suodremos que usamos u muestreo aleatorio simle, e el que todos los elemetos de la oblació tiee la misma robabilidad de ser elegidos..- Distribució e el muestreo de ua roorció La variable aleatoria P tiee como media y como desviació (1 ) siedo el orcetaje. A medida que crece la distribució de P se aroxima a la ormal siemre que o se acerque i a 0 i a 1 Ejemlo: El 3% de las iezas roducidas or ua máquia so defectuosas. Se toma ua muestra de 100 iezas. Hallar la robabilidad de que e la muestra haya meos de 8 iezas defectuosas. Como =0,03 P se aroxima a ua ormal N(0,03, 3.- Distribució e el muestreo de la media La variable aleatoria X tiee como media µ y como desviació A medida que crece la distribució de X se aroxima a la ormal. σ Autes estadística P á g i a 10

11 Si o se cooce y 30 se uede sustituir or s Ejemlo : Se suoe que la distribució de la temeratura del cuero humao e la oblació sigue ua ley ormal de media 37º y de desviació tíica 0,85. Se elige ua muestra de tamaño 105. Hallar la robabilidad de que la media sea meor o igual que 36,9º. 4.-Distribució de las sumas muestrales La variable aleatoria T tiee como media µ y como desviació σ A medida que crece la distribució de X se aroxima a la ormal 5.- Distribució e el muestreo de la diferecia de medias La variable aleatoria X 1 X tiee como media µ1-µ y como desviació tíica σ 1 σ 1 A medida que 1 y crece, la distribució de X 1 X se aroxima a ua ormal 6.- Teorema cetral del límite Toda variable que reresete u arámetro de las muestras, se uede aroximar or ua variable ormal sea la variable de artida ormal o o siemre que el tamaño de la muestra sea suficietemete grade ( cosideraremos 30) EJERCICIOS : 1)El cociete itelectual de uos uiversitarios se distribuye ormalmete co media 100 y desviació tíica 11. a) Se elige ua ersoa al azar. Halla la robabilidad de que si C.I esté etre 100 y 103. b) Se elige al azar ua muestra de 5 ersoas. Halla la robabilidad de que la media de sus cocietes itelectuales está etre 100 y 103. Autes estadística P á g i a 11

12 3.-INTERVALOS DE CONFIANZA NOTA PREVIA : E el eígrafe aterior, hemos obteido robabilidades asociadas a los elemetos muestrales ( como media,roorció...) a artir de datos de la oblació.esto, es oco habitual, siédolo mucho más la oeració iversa, es decir obteer datos oblacioales a artir de los arámetros muestrales. Como es lógico, cuato mayor sea el tamaño de la muestra, mejor será la iferecia. 1. Estimació utual DEF : Cosiste e usar el estadístico ara estimar el arámetro oblacioal. o P.ej : Usar X ( media muestral ) ara estimar µ ( media oblacioal ) ó P ( roorció muestral ) ara estimar ( roorció oblacioal).. Estimació or itervalo.defiicioes DEF: Cosiste e dar u itervalo e el que odemos asegurar que el arámetro oblacioal va a estar e u orcetaje alto de las veces. DEF: Se llama COEFICIENTE DE CONFIANZA a la robabilidad de que u estimador or itervalo cubra al verdadero valor del arámetro. ES 1-. DEF: Se llama NIVEL DE SIGNIFICACIÓN a la diferecia etre la certeza (1) y el coeficiete de cofiaza.( 1- ).Por tato. DEF: Se llama VALOR CRÍTICO al valor de la abscisa que deja a su derecha u área igual a α.se rereseta or Z α Autes estadística P á g i a 1

13 1-0,8 0,9 0,95 0,99 0, 0,1 0,05 0,01 α Zα 0,1 0,05 0,05 0,005 1,8 1,64 1,96,58 DEF : Se llama MARGEN DE ERROR o amlitud del itervalo a la diferecia etre el extremo suerior e iferior del itervalo de cofiaza. Es E. siedo E el error cometido. 3. Itervalo de cofiaza ara la media muestral.modo de cálculo. Sea ua oblació de distribució N(μ, σ) y queremos estimar mediate u itervalo el arámetro. Para ello, elegimos ua muestra de tamaño y calculamos la media muestral. Como ya se vio, X se distribuye como ua N(µ, σ ).Se sabe además que : ( Zα < Z Zα) = 1 α. Tiificado : Z= X μ σ, co lo que : ( Zα < X μ σ Zα) = 1 α. ( Zα σ < X μ Zα σ ) = 1 α,. si desejamos : ( X Zα σ < μ X + Zα σ ) = 1 α. Como x es u valor articular de X, obteemos que : El itervalo de cofiaza ara el arámetro de ua oblació N(μ, σ) al ivel de cofiaza 1- viee dado or: (x Zα σ, x + Z α σ ) siemre que sea coocida. Autes estadística P á g i a 13

14 (x Zα (x i x ) 1 s, x + Z α s ) si o es coocida siedo s =, la cuasi variaza muestral. 4. Itervalo de cofiaza ara la roorció oblacioal.modo de cálculo Sea ua oblació que se distribuye segú ua biomial B(,).Si el arámetro oblacioal ( robabilidad éxito), usaremos ua muestra aleatoria de tamaño. Sabemos que = x siedo x el º de éxitos e las ruebas de la muestra. Tambié sabemos que si es suficietemete grade P es ua variable aleatoria ormal N(. (1 ) ). Si rocedemos igual que e el aartado aterior se deduce que : Si es muy grade ( 5, q 5 ),el itervalo de cofiaza ara viee dado or :( Zα (1 ), +Zα (1 ) ) 5. Itervalo de cofiaza ara la diferecia de medias.modo de cálculo Sea dos oblacioes N( 1, 1), N(, ), se hace ua muestra de cada ua de tamaños 1 y Si x 1 es la media muestral de la rimera oblació y x la de la seguda el itervalo de cofiaza ara el arámetro 1- viee dado or (x 1 x ± Zα σ 1 σ 1 ) 6. Tamaño de la muestra Es evidete, que u rocedimieto ara aumetar la cofiaza del itervalo es aumetar el tamaño de la muestra Autes estadística P á g i a 14

15 Veamos co u ejemlo cómo roceder : El eso (e gramos) de las arajas de u agricultor es aleatorio, co distribució ormal de desviació tíica igual a 30 gramos. Queremos costruir u itervalo de cofiaza ara la media del eso de las arajas del agricultor. Determiar el tamaño de la muestra ara que el itervalo de cofiaza del 98% tega ua amlitud meor o igual que 10 gramos. Resuesta : La amlitud viee dada or E = Zα σ. Teemos que del euciado sabemos que : σ = 30,E = 10 y al 98% Zα=,33 Desejamos = (, ) = 48,86 or lo que el tamaño de la muestra debe ser 49 arajas. Autes estadística P á g i a 15