Tema IV. Estimación con intervalos de confianza

Transcripción

1 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Tema IV Estimació co itervalos de cofiaza 4.. Itroducció. Actualmete, las oblacioes so geeralmete demasiado grades como ara que se realice u estudio a cociecia de ellas. Debido a su tamaño es ecesario seleccioar muestras, las cuales se uede utilizar osteriormete ara hacer iferecias sobre las oblacioes. Si u gerete de ua tieda miorista desea saber sobre el gasto romedio de sus clietes durate el año aterior, uede hallar dificultad e calcular el romedio de los cietos o quizá miles de clietes que asaro or la tieda. Existe or lo meos dos tios de estimadores que se utiliza más comúmete ara este roósito: U estimador utual y u estimador or itervalo. U estimador utual usa u estadístico ara estimar el arámetro e u solo valor o uto. Por ejemlo, el gerete de la tieda uede seleccioar ua muestra de 50 clietes y hallar es gasto romedio de $ , este valor sirve como ua estimació utual ara la media de la oblació. Ua estimació or itervalo esecifica el rago detro del cual está el arámetro descoocido. Por ejemlo, el gerete de la tieda uede decidir que la media oblacioal es algú valor etre $500 y $600. Frecuetemete este itervalo, va acomañado co ua afirmació sobre el ivel de cofiaza que se da e su exactitud y recibe el ombre de itervalo de cofiaza. U estimador utual utiliza u úmero úico o valor ara localizar ua estimació del arámetro. U itervalo de cofiaza idica u rago detro del cual uede ecotrarse el arámetro, el ivel de cofiaza que el itervalo cotiee del arámetro. Las estimacioes or itervalos tiee ciertas vetajas sobre las estimacioes utuales, debido al error de muestreo, robablemete o sea igual a. Si embargo, o existe maera de saber qué ta grade es el error de muestreo. Por lo tato, los itervalos se usa ara exlicar esta discreacia descoocida. 4.. Proiedades deseables de u estimador. Sea ua variable aleatoria cuya fució de robabilidad (o fució de desidad de robabilidad si es cotiua) deede de uos arámetros,,, k descoocidos f x,,, ; k Uiversidad de Soora Deartameto de Matemáticas

2 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Reresetamos mediate,,, ua muestra aleatoria simle de la variable. Deotamos mediate f c a la fució de desidad cojuta de la muestra, que or estar formada or observacioes ideedietes, uede factorizarse del siguiete modo: f c x x,, x ;,,, f x ;,,, f x ;,,, f x ;,,,, k k k k Se deomia estimador de u arámetro i, a cualquier variable aleatoria i que se exrese e fució de la muestra aleatoria y que tega or objetivo aroximar el valor de i,,,, estimador de i. i Obsérvese que el estimador o es u valor cocreto sio ua variable aleatoria, ya que auque deede uívocamete de los valores de la muestra observados ( i = x i ), la elecció de la muestra es u roceso aleatorio. Ua vez que la muestra ha sido elegida, se deomia estimació el valor umérico que toma el estimador sobre esa muestra. Ituitivamete, las características que sería deseables ara esta ueva variable aleatoria (que usaremos ara estimar el arámetro descoocido) debe ser: Cosistecia. Cuado el tamaño de la muestra crece arbitrariamete, el valor estimado se aroxima al arámetro descoocido. Decimos que es u estimador cosistete co el arámetro si: o lo que es equivalete 0, lim P 0, 0, lim P, Este tio de roiedades defiidas cuado el úmero de observacioes, tiede a ifiito, es lo que se deomia roiedades asitóticas. Teorema 4.. Como cosecuecia de la desigualdad de TChebychev (Caitulo, secció.0.3 ) se uede demostrar el siguiete resultado: Si se verifica las codicioes lim E lim Var 0 etoces es cosistete. Uiversidad de Soora Deartameto de Matemáticas

3 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Carecia de sesgo. El valor medio que se obtiee de la estimació ara diferetes muestras debe ser el valor del arámetro. Se dice que u estimador de u arámetro es isesgado si: E La carecia de sesgo uede iterretarse del siguiete modo: Suogamos que se tiee u úmero idefiido de muestras de ua oblació, todas ellas del mismo tamaño. Sobre cada muestra el estimador os ofrece ua estimació cocreta del arámetro que buscamos. Pues bie, el estimador es isesgado, si sobre dicha catidad idefiida de estimacioes, el valor medio obteido e las estimacioes es (el valor que se desea coocer). Eficiecia. El estimador, al ser variable aleatoria, o uede exigírsele que ara ua muestra cualquiera se obtega como estimació el valor exacto del arámetro. Si embargo, odemos edirle que su disersió co resecto al valor cetral (variaza) sea ta equeña como sea osible. Dados dos estimadores isesgados y de u mismo arámetro, diremos que es más eficiete que si Var Var Suficiecia. El estimador debe arovechar toda la iformació existete e la muestra. Diremos que,, es u estimador suficiete del arámetro si P x, x, x o deede de., a ara todo osible valor de. Esta defiició así euciada, tal vez resulte u oco oscura, ero lo que exresa es que u estimador es suficiete, si agota toda la iformació existete e la muestra que sirva ara estimar el arámetro. Teorema 4.3. [Criterio de factorizació de Fisher--Neyma] Sea f,, ; ara las muestras de tamaño,,,. Etoces,, es u estimados suficiete sí y sólo sí f, la distribució cojuta, ; hx,, x r,, ; Uiversidad de Soora 3 Deartameto de Matemáticas

4 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. siedo h ua fució o egativa que o deede de y r ua fució que sólo deede del arámetro y de la muestra a través del estimador. A cotiuació vamos a euciar de modo más reciso y estudiar cada ua de esas características Estimadores de máxima verosimilitud. Sea ua variable aleatoria co fució de robabilidad f x;. Las muestras aleatorias simles de tamaño,,,, tiee or distribució de robabilidad cojuta f c x, x ; f x,, x ; f x ; f x ; f x ;, Esta fució que deede de + catidades odemos cosiderarla de dos maeras: Fijado, es ua fució de las catidades x i. Esto es la fució de robabilidad o desidad. Fijados los x i como cosecuecia de los resultados de elegir ua muestra mediate u exerimeto aleatorio, es úicamete fució de. A esta fució de la deomiamos fució de verosimilitud. E este uto, odemos latearos el hecho de que, dado ua muestra sobre la que se ha observado los valores x i, ua osible estimació del arámetro es aquella que maximiza la fució de verosimilitud. ( figura 4.) f x, x,, x ; x,, x fijados Verosimilitud V Figura 4.: Fució de verosimilitud. La fució de verosimilitud se obtiee a artir de la fució de desidad, itercambiado los aeles etre arámetro y estimador. E ua fució de verosimilitud cosideramos que las observacioes x,..., x,está fijadas, y se rereseta la Uiversidad de Soora 4 Deartameto de Matemáticas

5 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. gráfica co el valor de los valores que tomaría la fució de desidad ara todos los osibles valores del arámetro. El estimador máximo verosímil del arámetro buscado,, es aquél que maximiza su fució de verosimilitud V Como es lo mismo maximizar ua fució que su logaritmo (al ser este ua fució estrictamete creciete), este máximo uede calcularse derivado co resecto a la fució de verosimilitud ( bie su logaritmo) y tomado como estimador máximo verosímil al que haga la derivada ula: logv 0 De modo más reciso, se defie el estimador máximo verosímil como la variable aleatoria max f,,, ; R Los estimadores de máxima verosimilitud tiee ciertas roiedades e geeral que a cotiuació euciamos:. So cosistetes;. So ivariates frete a trasformacioes biuívocas, es decir, si y g es ua fució biuívoca de, etoces es el estimador máximo verosímil de g es el estimador máximo verosímil de 3. Si es u es u estimador suficiete de, su estimador máximo verosímil, es fució de la muestra a través de ; 4. So asitóticamete ormales; 5. So asitóticamete eficietes, es decir, etre todos los estimadores cosistetes de u arámetro, los de máxima verosimilitud so los de variaza míima. 6. No siemre so isesgados. g Alguos estimadores fudametales. E esta secció, vamos a estudiar las roiedades de ciertos estimadores que or su imortacia e las alicacioes resulta fudametales: estimadores de la eseraza matemática y variaza de ua distribució de robabilidad Estimador de la eseraza matemática. Cosideremos las muestras de tamaño,,,,, de u carácter sobre ua oblació que viee exresado a través de ua variable aleatoria que osee mometos de rimer y segudo orde, es decir, existe E Var y :,,, E Var i i Uiversidad de Soora 5 Deartameto de Matemáticas

6 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. El estimador media muestral que deotaremos ormalmete como (e lugar de ) es verifica que: E y Var Por tato es u estimador isesgado. Si además sabemos que se distribuye segú ua ley gaussiaa, es secillo comrobar que coicide co el estimador de máxima verosimilitud (figura 4.): f x f x f x f x Figura 4.: La distribució del estimador muestral del arámetro oblacioal, tiee or valor eserado al mismo (isesgado), y su disersió dismiuye a medida que aumeta el úmero de observacioes Proosició. i d N d, etoces N, Demostració: La fució de desidad de ua observació cualquiera de la muestra es: i, etoces f x, x,, x ;, x R d N ; Por tato la distribució cojuta de la muestra es f x, x,, x ;, f x ;, f x ;, f x ;, Uiversidad de Soora 6 Deartameto de Matemáticas

7 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Uiversidad de Soora Deartameto de Matemáticas 7 Para uos valores x x x,,, fijados, la fució de verosimilitud es i i x x x x x x x e e e e e e e x x f x f V,, ;, ;, ;, (e riciio escribimos tambié el otro arámetro descoocido,, auque o os iteresamos e su estimació or el mometo). La exresió de la fució de verosimilitud es algo egorrosa. Por ello es referible trabajar co su logaritmo: El máximo de la fució de verosimilitud se alcaza dode lo hace su logaritmo (mootoía), or tato derivado co resecto a e igualado a cero se llega a : Es decir, el estimador máximo verosímil de la media oblacioal,, coicide co la media muestral como se deseaba demostrar (ver figura 4.3.) *

8 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Figura 4.3: El estimador de máxima verosimilitud de ara ua variable gaussiaa es la media muestral Estimador de la variaza. A la hora de elegir u estimador de Var, odemos comezar co el estimador más atural: S i i Se uede comrobar que cuado el carácter que se estudia sobre la oblació es gaussiao, e realidad este es el estimador máximo verosímil ara la variaza. Si embargo, se comrueba tambié su falta de sesgo, lo que hace mas adecuado que se utilice como estimador de la variaza al siguiete coceto: cuasi variaza muestral Proosició. i N, etoces S Demostració: Recueramos el logaritmo de la fució de verosimilitud escrita e la relació (*) de la secció 4.4., dode e esta ocasió el rimer arámetro ya fue obteido or el método de máxima verosimilitud (y vimos que era la media muestral) y tratamos de maximizarla co resecto al segudo arámetro: Uiversidad de Soora 8 Deartameto de Matemáticas

9 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Derivado co resecto a e igualado a 0 se obtiee el estimador máximo verosímil: Desejado de esta ecuació se obtiee que el estimador máximo verosímil coicide co la variaza muestral, Proosició 3. El valor eserado del estimador S i i o es, y or tato el estimador máximo verosímil ara la variaza o es isesgado. Más aú, Demostració: Comezamos escribiedo Por otro lado Luego Uiversidad de Soora 9 Deartameto de Matemáticas

10 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Ejemlo 4.7. Cosideremos ua variable aleatoria de la que sólo coocemos que su ley de distribució es gaussiaa, N,,, descoocido, descoocido. Para muestras aleatorias de tamaño =5,,, 3, 4, 5 N, u osible estimador del arámetro es,, 3, 4, N, 5 5 Si al realizar u muestreo aleatorio simle obteemos laestimació de utilizado es , 5, 0,, x. Hemos dicho que el estimador sirve ara aroximar el valor de u arámetro descoocido, ero si el arámetro es descoocido cómo odemos decir que u estimador dado sirve ara aroximarlo? Así ues, es ecesario que defiamos e qué setido u estimador es bueo ara cierto arámetro. Ejercicio 4.. Se ha medido el volume de vetas de u cierta tieda de abarrotes durate 0 días. Los motos está exresados e miles de esos y so las siguietes: 0,98; 0,85; 0,77; 0,9;,;,06; 0,89;,0;,; 0,77. A cuáto equivale las vetas medias diarias, suoiedo que la muestra ha sido obteida or muestreo aleatorio simle sobre ua oblació ormal? 4.6. Estimació de itervalos de cofiaza. La estimació cofidecial cosiste e determiar u osible rago de valores o itervalo, e los que ueda recisarse - -co ua determiada robabilidad-- que el valor de u arámetro se ecuetra detro de esos límites. Este arámetro Uiversidad de Soora 0 Deartameto de Matemáticas

11 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. será habitualmete ua roorció e el caso de variables dicotómicas, y la media o variaza ara distribucioes gaussiaas La técica de la estimació cofidecial cosiste e asociar a cada muestra u itervalo que se sosecha debe coteer al arámetro. A éste se le deomia itervalo de cofiaza Evidetemete esta técica o tiee orqué dar siemre u resultado correcto. A la robabilidad de que hayamos acertado al decir que el arámetro estaba coteido e dicho itervalo se la deomia ivel de cofiaza. Tambié se deomia ivel de sigificació a la robabilidad de equivocaros Itervalos de cofiaza ara la distribució ormal. Dada ua variable aleatoria de distribució gaussiaa, N d, calcular itervalos de cofiaza ara sus dos arámetros, y., os iteresamos e rimer lugar, e Itervalos de cofiaza ara la media si se cooce la variaza. Este o es u caso ráctico (o se uede coocer si coocer reviamete ), ero sirve ara itroduciros e el roblema de la estimació cofidecial de la media; Este caso que lateamos es más a ivel teórico que ráctico: difícilmete vamos a oder coocer co exactitud mietras que es descoocido. Si embargo os aroxima del modo más simle a la estimació cofidecial de medias. Para estimar, el estadístico que mejor os va a ayudar es, del que coocemos su ley de distribució: d, N dode es u arámetro descoocido Esa ley de distribució deede de (descoocida). Lo más coveiete es hacer que la ley de distribució o deeda de igú arámetro descoocido, ara ello tiificamos: Z arámetro descoocido estimador cosas coocidas d N 0, tabulada Uiversidad de Soora Deartameto de Matemáticas

12 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Este es el modo e que haremos siemre la estimació utual: buscaremos ua relació e la que itervega el arámetro descoocido juto co su estimador y de modo que estos se distribuya segú ua ley de robabilidad que es bie coocida y a ser osible tabulada. y tomamos u itervalo que cotega ua masa de robabilidad de. Este itervalo lo queremos ta equeño como sea osible. Por ello lo mejor es tomarlo simétrico co resecto a la media (que toma el valor de 0), ya que allí es dode se acumula más masa (véase la figura 4.4). Así las dos colas de la distribució (zoas más alejadas de la media) se reartirá a artes iguales el resto de la masa de robabilidad,. De este modo, fijado 0,, cosideramos la variable aleatoria Z N0, Si la distribució es 0, z / y z / sólo difiere e el sigo Figura 4.4. La distribució N 0, N y el itervalo más equeño osible cuya robabilidad es, or simetría, los cuatiles Vamos a recisar cómo calcular el itervalo de cofiaza: Regió de cofiaza Sea z / el ercetil 00 de Z, es decir, aquel valor de R que deja or debajo de la catidad de la masa de robabilidad de Z, es decir: Sea z / el ercetil 00, es decir, Es útil cosiderar e este uto la simetría de la distribució ormal, y observar que los ercetiles ateriores so los mismos auque co el sigo cambiado: Uiversidad de Soora Deartameto de Matemáticas

13 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. El itervalo alrededor del orige que cotiee la mayor arte de la masa ( ) es el itervalo siguiete (Figura 4.4). lo que habitualmete escribiremos como: De este modo, odemos afirmar que existe ua robabilidad de, de que al extraer ua muestra aleatoria de la variable e estudio, ésta ocurra: De este modo u itervalo de cofiaza al ivel ara la eseraza de ua ormal de variaza coocida es el comredido etre los valores La forma habitual de escribir este itervalo está isirada e la Figura 4.5. z / Uiversidad de Soora 3 Deartameto de Matemáticas

14 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Figura 4.5. Itervalo de cofiaza ara la media. Cuáto debe sumarse o restarse, deede e arte del ivel de cofiaza deseado, estiulado or el valor de Z. U ivel de cofiaza del 95% requiere u valor de Z de.96. Cosideremos el caso de u romotor imobiliario quie iteta costruir u cetro comercial. Puede estimar e el área el igreso mesual romedio or familia como idicador de las vetas eseradas. Ua muestra de 00 familias da ua media de $4, 500. Se asume que la desviació estádar oblacioal es $ 70. Se estima u itervalo del 95% como z / 70 4, Así, , Itervalos de cofiaza ara la media (caso geeral). Aquí se trata el caso más comú co verdadero iterés ráctico. Por ejemlo sirve ara estimar itervalos que cotega la media del igreso er cáita e ua oblació, el ahorro romedio, el cosumo romedio mesual, etc, cuado disoemos de ua muestra de la variable. Como hemos mecioado, los casos ateriores se resetará oco e la ráctica, ya que lo usual es que sobre ua oblació quizás odamos coocer si se distribuye ormalmete, ero el valor exacto de los arámetros y o so coocidos. De ahí uestro iterés e buscar itervalos de cofiaza ara ellos. El roblema que teemos e este caso es más comlicado que el de la secció aterior, ues o es ta secillo elimiar los dos arámetros a la vez. Para ello os vamos a ayudar de lo siguiete: Z N0, Uiversidad de Soora 4 Deartameto de Matemáticas

15 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Por el teorema de Cochra (Caítulo 3 secció 3.3.9) sabemos or otro lado que: i i y que además estas dos últimas distribucioes so ideedietes. A artir de estas relacioes se uede costruir ua distribució t de Studet co - grados de libertad ( ver figura 4.6.) Figura 4.6. La distribució de t de Studet La distribució se aroxima. t es algo diferete a 0, N cuado es equeño, ero coforme éste aumeta, ambas distribucioes Simlificado la exresió aterior teemos: Uiversidad de Soora 5 Deartameto de Matemáticas

16 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Dado el ivel de sigificació buscamos e ua tabla de la distribució t co grados de libertad, el ercetil 00, t, /, el cual deja a su izquierda / de la masa de robabilidad ( ver figura 4.7). Por simetría de la distribució de Studet se tiee que t, / t, /, luego Figura 4.7. La distribució de Studet. La distribució de Studet tiee las mismas roiedades de simetría que la ormal tiificada. El itervalo de cofiaza se obtiee a artir del siguiete cálculo: T t, / imlica que etoces t S / t, /, / S / Es decir, el itervalo de cofiaza al ivel ara la eseraza de ua distribució gaussiaa cuado sus arámetros so descoocidos es: Uiversidad de Soora 6 Deartameto de Matemáticas

17 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. t, / S Figura 4.8. Itervalo de cofiaza ara cuado es descoocido (caso geeral). Al igual que e el caso del cálculo del itervalo de cofiaza ara cuado es coocido, odemos e el caso descoocido, utilizar la fució de verosimilitud (figura 4.8) ara reresetarlo geométricamete. E este caso se usa la otació: Ejemlo 4.8. Se quiere estimar u itervalo de cofiaza al ivel de sigificació ara el moto medio de las comras realizadas or los idividuos de Hermosillo e las tiedas VH. E riciio sólo sabemos que la distribució de los motos de las comras realizadas es ua variable aleatoria que sigue ua distribució ormal. Para ello se tomó ua muestra de = 5 ersoas y se obtuvo x 350 S 00 esos esos Solució: E rimer lugar, e estadística iferecial, los estadísticos ara medir la disersió más coveietes so los isesgados. Por ello vamos a dejar de lado la desviació tíica muestral, ara utilizar la cuasidesviació tíica: 00 5 S S S Si queremos estimar u itervalo de cofiaza ara, es coveiete utilizar el estadístico Uiversidad de Soora 7 Deartameto de Matemáticas

18 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. T ~ S t ~ y tomar como itervalo de cofiaza aquella regió e la que T t, / es decir, 350 t , , etoces Por lo tato, u itervalo al 95% de cofiaza ara es o dicho de forma más recisa: Co u ivel de cofiaza del 95% eseramos que el itervalo cotega a. (véase la figura 4.9) x / x x / Figura 4.9. Cálculo del itervalo de cofiaza ara la media usado la distribució de Studet Podemos observar que la fució de verosimilitud asociada, tiee su máximo e x, esto se debe a que esta estimació utual de es la máximo verosímil. Ejercicio 4.. La catidad de tiemo de esera requerida ara que u cliete fuera atedido e u baco local, fue e romedio de 5.8 miutos, co ua desviació tíica de 0, miutos, e ua muestra de 60 clietes. Obtega u itervalo de cofiaza ara la media al 99%, suoiedo que la muestra fue extraída mediate muestreo aleatorio simle sobre ua oblació ormal. Uiversidad de Soora 8 Deartameto de Matemáticas

19 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Ejercicio 4.3. U gerete de ua emresa, se ecuetra iteresado e ecotrar límites de cofiaza al 90%, ara las catidades semaales de artículos roducidos or la emresa sobre edido. Obtega estos límites si e 50 semaas, se obtuvo x 3, 53 y S 3, 000, suoiedo que el comortamieto de la variable aleatoria es ormal Itervalo de cofiaza ara la variaza. Éste es otro caso de iterés e las alicacioes. El objetivo es calcular u itervalo de cofiaza ara, cuado sólo se disoe de ua muestra. Para estimar u itervalo de cofiaza ara la variaza, os ayudaremos de la siguiete roiedad de la distribució : i ~ i - Cosideremos dos cuatiles de esta distribució que os deje ua robabilidad e la ``zoa cetral'' de la distribució ( Figura 4.0): Regió de cofiaza Figura 4.0. Cuatiles de la distribució. Etoces u itervalo de cofiaza al ivel ara la variaza de ua distribució gaussiaa (cuyos arámetros descoocemos) lo obteemos teiedo e cueta que existe ua robabilidad de que: Uiversidad de Soora 9 Deartameto de Matemáticas

20 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0., /, /, / S, / S, / S, / Por tato el itervalo que buscamos es E este itervalo de cofiaza al ivel S, /, S, / se esera que se ecuetre la variaza de la oblació.. Ejemlo 4.9. E el ejemlo 4.8 se tiee que e la muestra realizada a 5 idividuos, el moto medio x de las comras realizadas or los idividuos de Hermosillo e las tiedas VH y la desviació estádar so resectivamete x 350 S 00 esos esos Calcular u itervalo de cofiaza co ara la variaza de los motos de las comras realizadas or los idividuos e las tiedas mecioadas, suoiedo que estos motos se distribuye ormalmete. Solució: Para estimar u itervalo de cofiaza ara (variaza oblacioal) el estadístico que os resulta útil es: S ~ - Etoces el itervalo de cofiaza que buscamos lo obteemos mediate (ver figura 4.3), /, ; ,33., 0,38.3 4; Por tato, u itervalo aroximado ara el valor oblacioal de la desviació tíica es: co ua cofiaza del 95%, que or suuesto cotiee a las estimacioes utuales S 00 y S calculados sobre la muestra. Ejercicio 4.4. U fabricate de roa, desea realizar ua estimació cofidecial de la variaza de la estatura de los iños varoes de 0 años de Hermosillo co ua cofiaza del 95%. Suoiedo que las estaturas de los iños se distribuye de maera ormal, Cuál debe ser ese itervalo si se toma ua muestra de 0 iños al azar, etre todos los Uiversidad de Soora 0 Deartameto de Matemáticas

21 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. que reúe las características deseadas, y medimos sus estaturas, y se obtiee las siguietes estimacioes utuales: x 38.6 cm. y S 9. 6 cm? Ejercicio 4.5. E ua muestra de bolsas de care seca, e las cuales se observó su eso e gramos, se obtuvo: 9; 3; 8; ; 7; 7; 5; 4; 9; 0 Suoiedo la ormalidad ara esta distribució de esos, determiar u itervalo al 80% de cofiaza ara la variaza Cálculo del tamaño de la muestra. A la hora de determiar el tamaño que debe alcazar ua muestra hay que tomar e cueta varios factores: el tio de muestreo, el arámetro a estimar, el error muestral admisible, la variaza oblacioal y el ivel de cofiaza. Por ello ates de resetar alguos casos secillos de cálculo del tamaño de la muestra, delimitemos estos factores. Parámetro. So las medidas o datos que se obtiee sobre la oblació. Estadístico. Los datos o medidas que se obtiee sobre ua muestra y or lo tato ua estimació de los arámetros. Error Muestral, de estimació o estádar. Es la diferecia etre u estadístico y su arámetro corresodiete. Es ua medida de la variabilidad de las estimacioes de muestras reetidas e toro al valor de la oblació, os da ua oció clara de hasta dóde y co qué robabilidad ua estimació basada e ua muestra se aleja del valor que se hubiera obteido or medio de u ceso comleto. Siemre se comete u error, ero la aturaleza de la ivestigació os idicará hasta qué medida odemos cometerlo (los resultados se somete a error muestral e itervalos de cofiaza que varía muestra a muestra.) Varía segú se calcule al riciio o al fial. U estadístico será más reciso e cuato y tato su error es más equeño. Podríamos decir que es la desviació de la distribució muestral de u estadístico y su fiabilidad. Nivel de Cofiaza. Probabilidad de que la estimació efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier iformació que queremos recoger está distribuida segú ua ley de robabilidad así, llamamos ivel de cofiaza a la robabilidad de que el itervalo costruido e toro a u estadístico cate el verdadero valor del arámetro. Variaza Poblacioal. Cuado ua oblació es más homogéea la variaza es meor y el úmero de etrevistas ecesarias ara costruir u modelo reducido del uiverso, o de la oblació, será más equeño. Geeralmete es u valor descoocido y hay que estimarlo a artir de datos de estudios revios Tamaño de muestra ara estimar la media de la oblació. La utilidad de estas estimacioes, cosiste e decidir cuál deberá ser el tamaño ecesario de ua muestra, ara obteer itervalos de cofiaza ara ua media, co recisió y sigificació dadas de atemao. Para que esto sea osible, es ecesario oseer cierta iformació revia, que se obtiee a artir de las deomiadas muestras iloto. Ates de realizar u estudio de iferecia estadística sobre ua variable, lo rimero es decidir el úmero de elemetos, N, a elegir e la muestra aleatoria. Para ello cosideremos que el estudio se basará e ua variable de distribució ormal, y os iteresa obteer ara u ivel de sigificació dado, ua recisió (error) e. De la secció 4.6.., recordemos que u itervalo de cofiaza ara ua media e el caso geeral se escribe como Uiversidad de Soora Deartameto de Matemáticas

22 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. S t N, / N cofiabilidad e Si, la distribució t de Studet se aroxima a la distribució ormal. Luego ua maera de obteer la recisió buscada cosiste e elegir co el siguiete criterio: z e / Ŝ Dode Ŝ es ua estimació utual a riori de la variaza de la muestra. Para obteerla os odemos basar e ua cota suerior coocida or uestra exeriecia revia, o simlemete, tomado ua muestra iloto que sirve ara dar ua idea revia de los arámetros que describe ua oblació. Ahora, veamos los asos ecesarios ara determiar el tamaño de ua muestra emleado el muestreo aleatorio simle. Para ello es ecesario artir de dos suuestos: e rimer lugar el ivel de cofiaza al que queremos trabajar; e segudo lugar, cual es el error máximo que estamos disuestos a admitir e uestra estimació. Así ues los asos a seguir so:. Obteer el tamaño muestral imagiado que e úmero de la oblació N : 0 z / e dode: z / es el valor de z corresodiete al ivel de cofiaza elegido, es la variaza oblacioal y e es error máximo que se está disuesto a tolerar.. Comrobar si se cumle que N 0 0 tamaño adecuado que debemos muestrear. Si o se cumle, asamos a ua tercera fase: 3. Obteer el tamaño de la muestra segú la siguiete fórmula:. Si esta codició se cumle el roceso termia aquí, y ese es el 0 0 N Ejemlo 4.0. E los ejemlos 4.8 y 4.9 se ha estudiado la variable el moto de las comras realizadas or los idividuos de Hermosillo e las tiedas VH, cosiderado que ésta es ua variable que se distribuye de maera gaussiaa. Para ello se tomó ua muestra de = 5 idividuos (la cual odemos cosiderar iloto), que arrojó los siguietes resultados: Uiversidad de Soora Deartameto de Matemáticas

23 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de S 00 esos esos S S 0.06 esos Calcular el tamaño que debe teer ua muestra ara obteer u itervalo de cofiaza ara la media oblacioal co u ivel de sigificació Es decir, al 99% de cofiaza y co ua recisió de e =5 esos. Solució: Observemos que sobre la muestra iloto, el error cometido al estimar el itervalo al 95% de cofiaza, fue aroximadamete de 0.4 esos, or lo que si buscamos u itervalo de cofiaza más reciso, el tamaño de la muestra,, deberá ser bastate mayor. E este caso, sólo alicamos el aso. z ,774 motos Por tato, si queremos realizar u estudio co la recisió requerida e el euciado, se deberá tomar ua muestra de,774 motos e vetas realizadas. Esto es ua idicació de gra utilidad ates de iiciar el estudio. Ua vez que el muestreo haya sido realizado, debemos cofirmar que el error ara el ivel de sigificació dado es iferior o igual a 5 esos, utilizado la muestra obteida. Ejemlo 4.. El Istituto de la Mujer de Hermosillo, laea u estudio co el roósito de coocer el romedio de horas semaales trabajadas or las mujeres del servicio doméstico. La muestra será extraída de ua oblació de 0,000 mujeres que figura e los registros locales del Istituto de la Mujer y de las cuales se cooce a través de u estudio iloto que su variaza es de Trabajado co u ivel de cofiaza de 0.95 y estado disuestos a admitir u error máximo de 0., cuál debe ser el tamaño muestral que emlearemos?. Buscamos e las tablas de la curva ormal el valor de Z / que corresode co el ivel de cofiaza elegido: Z. 96 y seguimos los asos siguietes: / ,706. Se verifica que o se cumle N, ues e este caso 3,7063,706 ;0,000 3, 730, 730 0,000 3, , 704 3, 706 0, 000 Uiversidad de Soora 3 Deartameto de Matemáticas

24 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Ejercicio 4.6. E ua muestra de 5 trabajadores de ua emresa soorese, se obtuvo u salario medio mesual de 5,900 esos y ua desviació tíica de 940 esos. a) Obtega u itervalo al 95% de cofiaza, ara el salario medio oblacioal. b) Cuátos trabajadores habría que tomar como muestra, ara estimar dicha media co ua recisió de 00 esos? Ejercicio 4.7. Se desea estimar el volume medio de igresos auales e ua cadea acioal de suermercados, co ua recisió de 50 mil esos. Ate la ausecia de cualquier iformació acerca de la variabilidad del volume de igresos e los cetros comerciales, se tomó ua muestra relimiar de 5 cetros, e los que se obtuviero los siguietes motos (e milloes de esos): 97, 80, 67, 9, 73. Determie el tamaño míimo de muestra, al 95%, ara cumlir el objetivo aterior Diferecia de medias. Se realiza el cálculo del itervalo de cofiaza suoiedo que ambas variables tiee la misma variaza, es decir so homocedáticas. E la ráctica se usa este cálculo, cuado ambas variables tiee arecida disersió. Para observar e se realiza rimero ua rueba de variaza usado el estdístico F. Cosideremos el caso e que defiitiva si teemos dos oblacioes de modo que el carácter que estudiamos e ambas ( y ) so variable aleatoria distribuidas segú leyes gaussiaas ~ N, ~ N, E cada ua de estas oblacioes se extrae mediate muestreo aleatorio simle, muestras que o tiee or que ser ecesariamete del mismo tamaño (resectivamete y ),,,,,, Podemos latearos a artir de las muestras el saber qué diferecias existe etre las medias de ambas oblacioes, o or ejemlo estudiar las relació existete etre sus disersioes resectivas. A ello vamos a dedicar los siguietes utos Itervalo ara la diferecia de medias. Suogamos que dos oblacioes tega variazas idéticas (homocedasticidad, ver figura 4.),.. Es decir, Uiversidad de Soora 4 Deartameto de Matemáticas

25 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Uiversidad de Soora Deartameto de Matemáticas 5 Figura 4.. Poblacioes ormales co igual variaza y medias distitas Por razoes aálogas a las exuestas e el caso de ua oblació, se tiee que ~ ~ ~ rerod. S S Sea Z la variable aleatoria defiida como N 0, ~ Z El siguiete cociete se distribuye etoces como ua t de Studet co + - grados de libertad t ~ S Z dode se ha defiido a Ŝ como la cuasivariaza muestral oderada de Ŝ y Ŝ

26 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Si es el ivel de sigificació co el que deseamos establecer el itervalo ara la diferecia de las dos medias, calculamos el valor t, / que deja or ecima de si / de la masa de robabilidad de T Reitiedo u roceso que ya hemos realizado e ocasioes ateriores, teemos ua robabilidad de de que a extraer ua muestra aleatoria simle ocurra: T t, / S t, / t, / S Luego el itervalo de cofiaza al ivel ara la diferecia de eserazas de dos oblacioes co la misma variaza (auque esta sea descoocida) es: t, / S Ejemlo 4.. Queremos estudiar la ifluecia que uede teer el tabaco co el eso de los iños al acer. Para ello se cosidera dos gruos de mujeres embarazadas (uas que fuma u aquete al día y otras que o) y se obtiee los siguietes datos sobre el eso, de sus hijos: Madres o fumadoras Madres fumadoras 35 mujeres, x 7 mujeres, x 3.6 Kg. 3. Kg. S S 0.5 Kg. 0.8 Kg. E ambos gruos los esos de los recié acidos roviee de sedas distribucioes ormales de medias descoocidas, y co variazas que si bie so descoocidas, odemos suoer que so las mismas. Calcular e cuáto ifluye el que la madre sea fumadora e el eso de su hijo. Solució: Si es la variable aleatoria que describe el eso de u iño que ace de madre o fumadora, y el de u hijo de madre fumadora, se tiee or hiótesis que,,, tales que ~ N, ~ N, Uiversidad de Soora 6 Deartameto de Matemáticas

27 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Si queremos estimar e cuato ifluye el que la madre sea fumadora e el eso de su hijo, odemos estimar u itervalo de cofiaza ara, lo que os dará la diferecia de eso eserado etre u iño del rimer gruo y otro del segudo. El estadístico que se ha de alicar ara esta cuestió es: dode S ~ t t 357 t 60 S S S or lo tato, S Cosideramos u ivel de sigificació que os arezca acetable, or ejemlo 0. 05, y el itervalo buscado se obtiee a artir de: (ver la figura 4.) Esto idica que t 60;0.05/ t 60; lo que imlica que co lo cual se uede decir que u itervalo de cofiaza ara el eso eserado e que suera u hijo de madre o fumadora al de otro de madre fumadora está comredido co u ivel de cofiaza del 95% etre los 0,068 Kg y los 0,73 Kg. Figura 4.. Regió que se utiliza ara calcular el itervalo de cofiaza. Uiversidad de Soora 7 Deartameto de Matemáticas

28 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de Diferecia de medias (caso geeral). El caso e el que se disoe de dos gruos de observacioes ideedietes co diferetes variazas, la distribució de los datos e cada gruo o uede comararse úicamete e térmios de su valor medio (ver figura 4.3). Figura 4.3. Poblacioes ormales co medias iguales y diferetes variazas. El cotraste estadístico existete requiere de algua modificació que tega e cueta la variabilidad de los datos e cada oblació. Obviamete, el rimer roblema a resolver es el de ecotrar u método estadístico que os ermita decidir si la variaza e ambos gruos es o o la misma. El F test o test de la razó de variazas viee a resolver este roblema. Bajo la suosició de que las dos oblacioes sigue ua distribució ormal y tiee igual variaza se esera que la razó de variazas: F m i m i i Y Y i S S siga ua distribució F de Fisher co arámetros ( -) y (m-). Ejemlo 4.3. Cosideremos los datos que se muestra e la Tabla 4. corresodietes a 75 idividuos co sobreeso sometidos a dos dietas alimeticias distitas, de modo que se desea comarar el eso e Kgs. de los idividuos que iiciaro cada ua de las dietas y se desea comarar la érdida de eso e los sujetos sometidos a cada ua de las dos dietas. TABLA 4.. DATOS EN KGS. DE 75 PACIENTES CON SOBREPESO SOMETIDOS A DOS DIETAS ALIMENTICIAS. Dieta Peso iicial Peso fial Dieta Peso iicial Peso fial Dieta Peso iicial Peso fial Dieta Peso iicial Peso fial A 94,07 86,59 B 88,0 84, A 89,4 85,45 B 85,6 8,36 A 96,79 93,08 B 88, 86,3 A 85,3 84,59 B 89,4 86,64 A 9,5 87,85 B 03,45 0, A 89,5 84,89 B 9,4 88,99 A 9,30 86,83 B 8,94 79,08 A 93,0 93,0 B 93,3 89,73 Uiversidad de Soora 8 Deartameto de Matemáticas

29 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. A 96,50 9,70 B 89,7 86,9 A 89,7 86,87 B 80,86 77,8 A 83, 76,80 B 94,83 9,93 A 93,5 86,36 B 88,75 85,93 Dieta Peso iicial Peso fial Dieta Peso iicial Peso fial Dieta Peso iicial Peso fial Dieta Peso iicial Peso fial A 9,6 83,40 B 8,93 78,97 A 88,85 83,4 B 95,0 9,90 A 90,8 86,74 B 83,4 78,89 A 88,40 8,0 B 9,9 9,8 A 8,37 77,67 B 73,59 69,76 A 8,45 77,8 B 89,43 87, A 89,8 85,70 B 08,47 04,0 A 96,47 88,6 B 93,3 89,77 A 84,9 79,96 B 7,67 70,0 A 99,48 94,67 B 9,88 89,38 A 84,43 79,80 B 96,84 93,66 A 99,95 93,87 B 89,88 88,00 A 86,33 8,5 B 88,48 87,00 A 00,05 94,5 B 8,5 80,8 A 87,60 8,9 B 89,57 87,4 A 87,33 8,7 B 88,99 86,87 A 8,08 76,3 B 85, 8,09 A 87,6 86,0 B 8,07 79,74 A 9,07 90,0 B 03,76 0,4 A 89,8 83,78 A 8,4 73,34 B 87,84 84,66 A 89,7 83,56 A 96,87 93,58 B 9,50 88,95 A 95,57 89,58 A 99,59 9,36 B 93,04 88,73 A 97,7 9,35 A 83,90 77,3 B 9,4 88,07 A 98,73 97,8 Solució. Las medias ara cada ua de las dietas A y B so resectivamete: i i Kg. y Y m m i Y i Kg. y las cuasivariazas muestrales corresodietes so: S m i i m i i 3.4 y S Y Y La alicació del método del roblema 4. o es factible, ya que las variazas e ambos gruos so sustacialmete distitas. E este tio de situacioes, dode las variazas o se uede cosiderar idéticas, odemos utilizar ua modificació del t test ara el caso de variazas desiguales, coocido como el test de Welch basada e el estadístico: t Y S S m el cual sigue ua distribució t de Studet co u úmero f de grados de libertad que deederá de las variazas muestrales segú la exresió: Y f S S m S S m m Uiversidad de Soora 9 Deartameto de Matemáticas

30 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. La técica ara realizar el cotraste es aáloga a cuado las variazas so descoocidas e iguales. Por ejemlo, la érdida media de eso ara los idividuos e cada ua de las dietas es de y Y. 94 co las variabilidades ateriormete exresadas. Esto coduce a u valor del estadístico de t =5.58 a relacioar co ua distribució t de Studet co aroximadamete 56 grados de libertad. Ahora ya se uede calcular el corresodiete itervalo de cofiaza del 95% ara la diferecia de medias dado or: Y t f, S S m or lo tato, el itervalo de cofiaza del 95% ara la diferecia etre las medias oblacioales es co el que se uede deducir que el media oblacioal de la dieta A uede suerar al romedio oblacioal de la dieta B hasta or 0.5 Kg. mietras que la media oblacioal de la dieta B uede suerar hasta or 6.6 Kg. al romedio oblacioal de la dieta A 4.9. Itervalos de cofiaza ara variables dicotómicas. Cuado teemos ua variable dicotómica (o de Beroulli) a meudo iteresa saber e qué roorció de casos,, ocurre el éxito e la realizació de u exerimeto. Tambié os uede iteresar el comarar la diferecia existete etre las roorcioes e distitas oblacioes. Tambié es de iterés calcular ara u ivel de sigificació dado, el tamaño muestral ecesario ara calcular u itervalo de cofiaza de cuyo radio sea meor que cierta catidad Itervalo ara ua roorció. Sea,, Ber ( ). Si queremos estimar el arámetro, la maera más atural de hacerlo cosiste e defiir la suma de estas --lo que os roorcioa ua Distribució biomial. Bi (, ) y tomar como estimador suyo la variable aleatoria Es decir, tomamos como estimació de la roorció de éxitos obteidos e las ruebas,. La distribució del úmero de éxitos es biomial, y uede ser aroximada a la ormal cuado el tamaño de la muestra es grade, y o es ua catidad muy cercaa a cero o uo. ( 5 ), N q Bi, dode q Uiversidad de Soora 30 Deartameto de Matemáticas

31 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. El estimador o es más que u cambio de escala de, or tato ~ N, q q Z ~ N 0, Esta exresió reseta dificultades ara el cálculo, siedo más cómodo sustituirla or la siguiete aroximació: q Z ~ N 0, Para ecotrar el itervalo de cofiaza al ivel de sigificació ara se cosidera el itervalo que hace que la distribució de Z ~ N0, deje la robabilidad fuera del mismo. Es decir, se cosidera el itervalo cuyos extremos so los cuatiles Z /, Z /. Así se uede afirmar co ua cofiaza de que: z / z / Z z / Z z / z q z / / q Esto se resume e la siguiete exresió: z / q co ua cofiaza de (ver Figura 4.4.) Uiversidad de Soora 3 Deartameto de Matemáticas

32 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Figura 4.4. Itervalo de cofiaza ara ua roorció. Ejemlo 4.3 Se desea estimar la roorció de amas de casa, resecto a la referecia de u uevo roducto de limieza, mediate u sodeo. Para ello se realizó u muestreo aleatorio simle co =00 amas de casa y se obtuvo que 35 usa el roducto y 65 o lo usa, (se elimió a las idecisas ara simlificar el roblema a ua variable dicotómica.) Calcule u itervalo de cofiaza ara el verdadero resultado de la referecia de las cosumidoras, co u ivel de sigificació del 5%. Solució: Dada ua ersoa cualquiera (i) de la oblació, el resultado de su voto es ua variable dicotómica: El arámetro a estimar e u itervalo de cofiaza co es, y teemos sobre ua muestra de tamaño =00, la siguiete estimació utual de : Sabemos que q 0.65 q ~ N 0, E la ráctica el error que se comete o es muy grade si tomamos algo más simle como Z q ~ N 0, Uiversidad de Soora 3 Deartameto de Matemáticas

33 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Así el itervalo de cofiaza buscado lo calculamos como se idica e la Figura Z z / z , Por tato, teemos co esa muestra u error aroximado de 9,3 utos orcetuales, al ivel de cofiaza del 95%. Figura 4.5: Regió a artir de la cual se realiza ua estimació cofidecial ara ua roorció, co ua cofiaza del 95%. Ejercicio 4.8. U ivestigador de mercado, está iteresado e estimar la roorció de comras realizadas e u cierto cetro deartametal e relació, al úmero de clietes que visita la tieda. Su exeriecia le idica que sería sorredete que tal roorció suere el valor de /3. Qué tamaño de muestra debe tomar ara estimar la aterior roorció, co ua cofiaza del 99%, ara que el valor estimado o difiera del valor real e más de 0,03?. Ejercicio 4.9. E u determiado servicio de comida ráida, se sabe que el % de los clietes lleva cosigo ua ració de ostre. E cierto año, de,366 clietes, 498 llevaro ostre. Etra e cotradicció las cifras de ese año co el orcetaje establecido de siemre? Elecció del tamaño de la muestra ara ua roorció. E el ejercicio 4.9, co ua muestra de 00 amas de casa se realizó ua estimació cofidecial, co u 95% de cofiaza, del orcetaje de amas de casa que usa u uevo roducto de limieza, obteiédose u marge de error de 9,3 utos. Uiversidad de Soora 33 Deartameto de Matemáticas

34 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Si retedemos reducir el error a uto, y queremos aumetar el ivel de cofiaza hasta el 97% ( ), debemos de tomar ua muestra lógicamete de mayor tamaño,. La técica ara aroximar dicha catidad cosiste e observar que el error cometido e ua estimació es de la forma: error z / q dode es ua estimació utual de. Por tato u valor de que satisfaga uestros requerimietos co resecto al error sería: z / q error Si e u riciio o teemos ua idea sobre qué valores uede tomar, debemos cosiderar el eor caso osible, que es e el que se ha de estimar el tamaño muestral cuado =q =/. Así: z / 4 error cuado o se tiee estimació de Si se tiee u atecedete de la roorció de la oblació y se cooce el tamaño de la oblació N, etoces la fórmula que os ermitirá determiar el tamaño muestral es la siguiete: N z / P P N e z P P dode z / es el valor corresodiete al ivel de cofiaza elegido, P es la roorció de ua categoría de la variable, e es el error máximo que se está disuesto a tolerar y N es el tamaño de la oblació. /. Ejemlo 4.3. Cotiuemos el caso del ejemlo 4.9. Se desea estimar la roorció de amas de casa que usa u uevo roducto de limieza mediate u sodeo, y si teer ua idea sobre el osible resultado del mismo, se desea coocer el tamaño de muestra que se ha de tomar ara obteer u itervalo del 97% de cofiaza, co u error del % Solució: Como o se tiee ua idea revia del osible resultado del estudio, hay que tomar u tamaño de muestra,, que se calcula mediate: 4 z , 773 Así ara teer u resultado ta fiable, el úmero de amas de casa a etrevistar debe ser muy elevado --lo que uede volver excesivamete costoso el sodeo. Uiversidad de Soora 34 Deartameto de Matemáticas

35 Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Abril de 0. Ejemlo 4.4. Suoga que se trata de estimar la roorció de mujeres que trabaja diariamete 0 horas o más, de ua oblació de N = 0,000 mujeres. De u estudio iloto se dedujo que P = 0.30, fijamos el ivel de cofiaza e 0.95 y el error máximo , , ,678 Ejercicio 4.0. Sólo ua arte de los clietes que realiza la comra de u curso de iglés, queda comletamete satisfechos desués de teerlo a rueba durate u mes; Si de 64 clietes ha quedado satisfechos 4 co el curso, realice ua estimació utual y dé u itervalo de la roorció de los clietes que queda satisfechos Qué úmero de clietes habrá que observar ara estimar la roorció de clietes satisfechos co u error iferior a 0,05 y ua cofiaza del 95%? Ejercicio 4.. E ua determiada regió de Hermosillo, se tomó ua muestra aleatoria de 5 hogares, de los cuales cotaba co dos o más televisores. a) Estime la roorció de hogares que cuetas co dos o más televisores e dicha regió de Hermosillo. b) Si se desea estimar dicha roorció co u error máximo del 4%, ara ua cofiaza del 95%, qué tamaño de muestra se debe tomar? Ejercicio 4.. Se quiere estimar la referecia de los jóvees varoes hacia determiado desodorate. Cuátos jóvees teemos que observar ara que, co ua cofiaza del 95%, estimar dicha referecia co u error del % e los siguietes casos: a) Sabiedo que u sodeo revio se ha observado ua referecia del 9% de los jóvees b) Si igua iformació revia Itervalo ara la diferecia etre dos roorcioes. Vamos a cosiderar que teemos dos oblacioes de modo que e cada ua de ellas estudiamos ua variable aleatoria dicotómica (Beroulli) de arámetros resectivos y. De cada oblació vamos a extraer muestras de tamaño y,,,,,, Etoces i i i i ~ Bi, ~ Bi, Uiversidad de Soora 35 Deartameto de Matemáticas