Desigualdad de Tchebyshev

Transcripción

1 Desigualdad de Tchebyshev Si la Esperaza y la variaza de la variable X so fiitas, para cualquier úmero positivo k, la probabilidad de que la variable aleatoria X esté e el itervalo La probabilidad de que X asuma u valor que está detro de las k dispersioes de su esperaza, es por lo meos 1 ; es mayor o igual que 1- es decir k k k 1 P x k; k 1- ó k 1 P x k 1- k 1 1 k 0 k la Px k 1 k O tambié por ser sucesos cotrarios

2 1) Si k 1 Cosideracioes y k k 1 Etoces la desigualdad de Tchebyshev es trivial para valores de k < 1, ya que 0< p < 1 ) El sigificado de esta desigualdad reside e su completa uiversalidad, ya que puede ser aplicada a cualquier variable aleatoria 3) Si coocemos la distribució de probabilidades de ua variable aleatoria discreta o cotiua, podemos calcular, si existe, E(x) y V(x). La recíproca o es cierta, es decir, coociedo E(x) y V(x), o podemos recostruir la distribució de probabilidades, por lo que o podemos calcular la probabilidad de la desigualdad, pero si podemos dar ua cota superior o iferior de dicha probabilidad

3 Ejemplo Cuál es la probabilidad que se asocia co valores de x alrededor de su media hasta σ? P x? P x,15.1,0136 P x,15,07 P 0,18 x 4,177 P x x P(x) 0,05 0, 0,4 0,5 0,1 P( x 1) P( x ) P( x 3) P( x 4) 0, + 0,4 + 0,5 + 0,1 = 0,95 Supogamos o coocer la distribució de X, pero si su esperaza y variaza. Podemos aplicar Tchebysheff 1 k 1 P x 1 3 P x,15.1, ,75 4

4 Ley de los grades úmeros Teorema de Beroulli Cuado el úmero de repeticioes de u experimeto aleatorio aumeta, la frecuecia relativa del suceso A coverge e setido probabilístico a la probabilidad teórica P(A) La probabilidad de que la frecuecia relativa del éxito e pruebas, difiera de la probabilidad p e ua catidad meor que, tiede a uo cuado la catidad de pruebas tiede a ifiito. f P( A) para A E ua sucesió de pruebas de Beroulli Dado u úmero positivo arbitrario, lim lím P f A p 1 0 P f A p 0 0 E toda sucesió de pruebas de Beroulli, la frecuecia relativa coverge e setido probabilístico a la probabilidad

5 Demostració Dado u experimeto y u suceso A asociado a dicho experimeto, cosideramos repeticioes idepedietes del experimeto, x f A es el úmero de veces que ocurre A e las repeticioes, además P(A) = P e cada repetició. x Es ua variable aleatoria biomial 1 E x p y V x p p x 1 1 E fa E E x. p p x 1 1 V fa V V x. p 1 p p 1 p

6 Aplicado la desigualdad de Tchebyshev a la variable aleatoria f A 1 k A 1 P f p k Como cosideramos P fa lím 0 p 1 P f A 1 1 p p p p k k k p 1 p p 1 1 p p 1 p p lím 1 1 p 1 p 1 P fa p k 1 k P f p 1 A p 1 p límp f A p 1

7 Població y Muestra Ua variable aleatoria X co E(x) = µ y V(x) =σ puede pesarse como cualquier característica medible de los idividuos de ua població. El cojuto de todas las medicioes de dicha variable es la Població o Uiverso. x1, x, x3,... x N Muestra es u subcojuto de la població al que teemos acceso y sobre el que realmete hacemos las medicioes Cada ua de estas medicioes so valores que toma las variables aleatorias X1, X, X3,... X x1, x, x3,... x Estas variables forma ua muestra aleatoria de tamaño si: Las Xi so variables aleatorias idepedietes. Cada variable Xi tiee la misma distribució de probabilidad que la distribució de la població co su misma esperaza µ y variaza σ., es decir E(xi) = µ y V(xi) = σ

8 TEOREMA DE BERNOULLI GENERALIZADO Dada ua muestra aleatoria, es decir: ua sucesió de v.a. x 1, x, x 3, x 4,.. x dos a dos idepedietes, co ua misma distribució de probabilidad y co esperaza μ y variaza σ, etoces 0 lím P x 1 ó lím P x 0 El límite, e probabilidad, de la media muestral para es igual a la media de la població de la que se extrajo la muestra

9 Demostració x1, x, x3,... x So variables aleatorias idepedietes co esperaza y variaza de la població de dode fuero extraídas E( x ) y V( x ) x i 1 x i i Es ua fució de 1 3 i x, x, x,... x Por lo tato es otra variable aleatoria. xi 1 1 E x E E xi.. i1 i1 xi 1 1 V x V V xi.. i1 i1

10 Aplicado la desigualdad de Tchebyshev Cosideramos. k k 1 P x k. 1- k 1 P x k. 1- P x k. 1- < ó P x

11 Aplicado Límite para tediedo a ifiito límpx lím 1 límpx 1 ó 0 límp x 0 El teorema se puede geeralizar a variables aleatorias co distitas esperazas y variazas.

12 SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS

13 Teorema del límite cetral El teorema afirma que, co ciertas restriccioes leves, la distribució de la suma de u gra úmero de variables aleatorias, tiee aproximadamete ua distribució ormal. El valor de este teorema es que o requiere codicioes para las distribucioes de las variables aleatorias idividuales que se suma.

14 Euciado del TLC Si S es la suma de u gra úmero de variables aleatorias idepedietes x1, x, x3,... x etoces, bajo ciertas codicioes, la fució de desidad de probabilidad de la variable aleatoria S se distribuye ormalmete, para tediedo a ifiito. Es S i i 1 decir, z ~ N0,1 S x etoces i i1 i 1 i dode Es ( ) i 1 i ( S) i 1 i Esta geeralizació es válida cuado las variables aleatorias idividuales sólo hace ua cotribució relativamete pequeña a la suma total

15 E particular, si las xi está idéticamete distribuidas E x i E( S) E xi E xi. i1 i1 V x i V( S) V xi V xi. i1 i1 Por ser las xi idepedietes. Etoces el teorema afirma que la fdp de la variable S se distribuye ormalmete S z ~ N0,1 Luego.

16 Ejemplo 1 Supógase que u proceso de fabricació produce lavadoras de las cuales, alrededor del 5% so defectuosas. Si se ispeccioa 100 lavadoras Cuál es la probabilidad de que haya etre y 6 lavadoras defectuosas? P x 6 P x 3 P( x 4) P( x 5) ,05.0,95 0,05.0,95 0,05.0,95 0,4977 Comparemos el resultado del cálculo directo co el cálculo aproximado, es decir, aplicado el TCL:

17 Calculamos Aplicamos el TCL E(x)=p=100.0,05=5 V(x)= p(1-p)=100.0,05.0,95= 4, P x 6 0,46 1,38 4,75 4,75 0,677 0,0838 0,5934 Comparamos co el resultado exacto 0,4977. No es ua buea aproximació. Por ser x ua variable discreta, calculemos P(3 x 5) 4,75 4,75 0 0,9 0,5 0,1788 0,31 Tampoco es buea aproximació

18 Correcció por cotiuidad Para variables discretas, cosiste e ampliar el itervalo e ua uidad, es decir: 1 1 Si a x b a x b 5,5 5,5 5 P,5 x 5,5 4,75 4,75 0,3 1,15 0,591 0,151 0,4659 Es ua buea aproximació

19 La distribució Biomial coverge a la ormal cuado tiede a (teorema de de Moivre, caso particular del teorema cetral del límite) 1 1 Si a x b a x b p(x) a -0.5 a b b + 0.5

20 Calculamos las probabilidades pedidas 14,5 15 a) P C 14,5,15 0,0158 0,338 15,3 15 b) P C 15, ,9 0, ,9015 0,0985

21 Cosideracioes fiales El que se requiere para aplicar el teorema cetral del límite e gra parte depede de la forma de la distribució de las variables aleatorias idividuales que se suma Si los sumados está ormalmete distribuidos, al aplicar el teorema cetral del límite, las probabilidades obteidas so exactas. No importa. Si o se cooce la distribució de los sumados, para mayor o igual que 5, se obtiee bueas aproximacioes. Si las variables aleatorias se distribuye biomialmete, >10 si p 0,5 tambie si p 0 ó 1, debe ser bastate mayor.

22 Ejemplo Ua fábrica de productos alimeticios produce care elatada, co u peso medio de 50 grs y ua variaza de 900 grs cuadrados por lata. Si los pesos de las latas so estadísticamete idepedietes. Las cajas cotiee 60 latas. Se elige ua al azar, hallar la probabilidad de que: x i a) El peso de la caja sea a lo sumo 14,5 kg. b) El peso de la caja sea al meos 15,3 kg. : es el peso de cada lata C: es el peso de la caja E( xi) 50 grs. V( xi) 30 grs C xi E C E xi E( xi ) grs 15 kg. i 1 i 1 i V C V xi V( xi) grs i1 i1 ( C) ,38grs 0,338kg