TEMA 4. Algunos modelos de probabilidad de tipo continuo

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1 TEMA 4. Alguos modelos de probabilidad de tipo cotiuo Vamos a abordar e este capítulo el estudio de aquellas distribucioes de probabilidad de tipo cotiuo, que se os preseta co bastate frecuecia e el mudo real, y que tiee por tato bastate utilidad práctica. Se trata de distribucioes co ombre propio. Su estudio o ecierra igua dificultad añadida, pues se trata de aplicar a modelos cocretos toda la teoría geeral estudiada e las fucioes de probabilidad de las variables aleatorias. Comezaremos aalizado las distribucioes uiformes, o rectagulares, como el caso más secillo de distribucioes cotiuas. A cotiuació se eplicita la distribució ormal (que e realidad es ua «familia» de distribucioes ormales, pues su fució de probabilidad está caracterizada por dos parámetros). De ella debe el alumo coocer co detalle cuáles so las causas que permite su aparició, así como todas sus características, y coclusioes que ecierra. A la distribució ormal debe dedicársele tiempo suficiete, hasta su total compresió pues el papel que desempeña es de vital importacia, o sólo per se sio por las cosecuecias que implica el llamado TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE que posibilita -co ciertas codicioes- el sustituir e pla límite gra úmero de distribucioes por ua distribució de tipo ormal. Tambié deberá el alumo coocer otras importates distribucioes cotiuas que puede cosiderarse como derivadas de la ormal. Así: La distribució (chi-cuadrado) de Pearso. La distribució «t» de Studet. La distribució «F» de Sedecor. 4. Al fializar el tema el alumo debe coocer... La distribució uiforme cotiua. Importacia de la distribució ormal, así como sus propiedades y - -

2 características. Relació etre la distribució N, y la distribució 0, Utilizació de tablas estadísticas de la 0, probabilidades. N. N para el cálculo de Relació que eiste etre la distribució biomial, Poisso y ormal. El Teorema Cetral del Límite. Distribucioes asociadas a la ormal y utilizació de sus tablas estadísticas para el cálculo de probabilidades. 4. Itroducció. Los modelos cotiuos se caracteriza porque el cojuto de valores que puede tomar la variable aleatoria es u cojuto ifiito o umerable. Detro de estos modelos cotiuos vamos a dar ua especial importacia a la distribució Normal, que es de muchas maeras, la piedra agular de la estadística modera. Modelos de distribucioes de probabilidad de variables cotiuas.. Uiforme. Es la distribució dode todos resultados posibles tiee la misma probabilidad, e este caso la variable aleatoria al ser de tipo cotiuo toma todos los posibles valores e u itervalo fiito.. Epoecial. Se utiliza para estudiar el tiempo etre dos sucesos. 3. Beta. Sirve para el estudio de variacioes, a través de varias muestras, de u porcetaje que represeta algú feómeo. 4. Gamma. Se utiliza para estudiar variables cuya distribució puede ser asimétrica. 5. Normal. Es la distribució más utilizada porque la mayoría de las variables utilizadas e feómeos sociales se distribuye aproimadamete siguiedo este modelo. La estudiaremos más detalladamete a cotiuació y se le llama comúmete distribució ormal. - -

3 4.3 Distribució uiforme cotiua. Es la más secilla de las distribucioes cotiuas, surge al cosiderar ua variable aleatoria que toma valores equiprobables e u itervalo fiito. Su ombre se debe al hecho de que la desidad de probabilidad de esta variable aleatoria es uiforme sobre todo su itervalo de defiició. La distribució uiforme es aquella que puede tomar cualquier valor detro de u itervalo, todos ellos co la misma probabilidad. Diremos que ua variable aleatoria sigue ua distribució uiforme e u itervalo a, b si la probabilidad de que la variable aleatoria tome u valor e cualquier subitervalo es proporcioal a la logitud del subitervalo. La fució de desidad es: a b f b a, dode a b y a, b dos 0 e el resto Abreviadamete esta distribució la idicaremos por: Ua, b parámetros Características de ésta distribució:. Fució de distribució: F PX f a 0 a d b a si si si a a b b. Media : Se calcula como vimos ateriormete e el valor esperado de ua variable E d b a aleatoria de tipo cotiuo: d f cálculos llegamos al siguiete resultado E b a. Realizado los b a. Como podemos observar es el cetro del itervalo de defiició y coicide co la mediaa. 3. Variaza: Se calcula como vimos ateriormete e el caso de ua variable aleatoria de tipo cotiuo: Var E E - 3 -

4 Si calculamos el mometo de segudo orde: E f b d d b a 3 a Luego: Var E E b a 3 3 b a b a Los parámetros de esta distribució so: Distribució Uiforme Media Parámetros a b Variaza b a Desviació típica b a 4.4 Distribució ormal. Esta distribució resulta útil o sólo porque u gra úmero de distribucioes de frecuecias preseta formas aproimadamete ormales, sio tambié por su gra sigificado teórico e el campo de la estadística iferecial. E resume, la importacia de la distribució ormal se debe pricipalmete a que hay muchas variables asociadas a feómeos aturales que sigue el modelo de la ormal: - Caracteres morfológicos de idividuos: talla, peso,.. - Caracteres sociológicos: cosumo de u cierto producto por u grupo de idividuos, putuacioes de eame - Caracteres psicológicos: cociete itelectual, grado de adaptació a u medio,.. - Valores estadísticos muestrales: la media. - Otras distribucioes como la biomial o la de Poisso so aproimacioes ormales

5 No obstate, hay que teer cuidado al supoer que u determiado cojuto de observacioes se puede aproimar por ua distribució ormal. La distribució ormal la obtuvo iicialmete De Moivre e 733 como límite o aproimació de la distribució p B, cuado. Posteriormete Gauss e 809 y Laplace e 8 llegaro a obteerla empíricamete al estudiar la distribució de errores accidetales e Astroomía y Geodesia. Ua justificació de la frecuete aparició de la distribució ormal es el teorema cetral del limite, que veremos más tarde, que establece que cuado los resultados de u eperimeto so debidos a u cojuto muy grade de causas idepedietes, que actúa sumado sus efectos, siedo cada efecto idividual de poca importacia respecto al cojuto, es esperable que los resultados siga ua distribució ormal La curva ormal respode al tipo de curva perfectamete simétrica, y uimodal basada e u úmero ifiito de casos, por lo que sólo puede ser tratada de forma aproimada cuado se opera co datos reales. Por tratarse de ua curva simétrica coicide la media, la moda y la mediaa. Diremos que la variable aleatoria, de tipo cotiuo, sigue ua distribució Normal de parámetros y, si su fució de desidad es: f 0 e, dode, R y tales que y La fució de desidad depede de dos parámetros: media y variaza de la distribució, y puede verse por la defiició que o hay ua úica distribució ormal sio ua familia completa de distribucioes. Abreviadamete esta distribució la idicaremos por: N, Se observa que tiee forma de campaa, de aquí que frecuetemete se le llame curva o campaa de Gauss

6 Los parámetros: -, es el cetro de la distribució y tambié se correspode co el puto máimo de la distribució. - os da ua idea del grado de apertura de la distribució. Veamos los siguietes ejemplos: a) E este caso teemos dos curvas ormales N, y, N que tiee distitas medias < pero tiee la misma desviació típica, por tato sus cetros está e diferetes lugares pero el grado de apertura de ambas distribucioes es el mismo. b) E este segudo caso teemos dos curvas ormales N, y N, tiee distitas desviacioes típicas pero tiee la misma media. Ahora las curvas está cetradas e el mismo puto pero su grado de apertura es distito. Como < la curva de mayor desviació típica, e este caso tedrá ua mayor dispersió. que - 6 -

7 Características de ésta distribució:. Fució de distribució: F PX e d La itegral correspodiete a esta fució de distribució sólo puede calcularse mediate métodos uméricos aproimados. Ua maera de simplificar estos cálculos es mediate el proceso de tipificació de ua N a ua variable aleatoria ormal, que os permite pasar de ua, N 0, La variable ormal co media cero y desviació típica la uidad se deomia ormal estádar N 0, ; su fució de distribució está tabulada. Para calcular probabilidades e el caso geeral, trasformaremos la variable aleatoria ormal e la variable ormal estádar z, mediate: z Si aplicamos el cambio de variable teemos como fució de desidad: f z e z z y su fució de distribució es: F z z PZ z e dz z z - 7 -

8 Las características que preseta la ormal tipificada so: No depede de igú parámetro. La curva f z es tambié es simétrica respecto del eje OY. Para realizar la represetació gráfica de la fució de desidad f z correspodiete a la ormal N 0, procederíamos de forma aáloga a como se hizo para la distribució, N.. Media : La media de la variable aleatoria es ; es decir: tiempo la media, la mediaa y la moda de la distribució E, es al mismo 3. Variaza: Var E E, cosiderado que: E Igualmete, es la desviació típica que os da ua idea de cual es la dispersió etoro a la media. Los parámetros básicos de la distribució so: Distribució N (, ) Media Parámetros Variaza Desviació típica Cálculo de probabilidades: Sea ua variable aleatoria ormal N, co fució de distribució acumulada F, y sea a y b dos posibles valores que verifica que a b. Etoces: P a b Fb Fa - 8 -

9 Cualquier probabilidad puede obteerse a partir de la fució de distribució acumulada, si embargo, como vimos ateriormete calcular la itegral correspodiete a esta fució de distribució sólo puede hacerse mediate métodos uméricos aproimados. No obstate cualquier distribució ormal epresarse como ua ormal estádar N 0, : puede a Pa b P F b * Fa * b a b b a P z F F Dode z es ua variable aleatoria ormal estádar que está tabulada. E esta tabla ecotraremos los valores de: F z z PZ z e dz z z No debemos olvidar que se trata de ua distribució simétrica y que el área bajo la curva ormal es igual a la uidad. Por tato: PZ z Fz PZ z Fz PZ z F z Fz - 9 -

10 Valoració de la ormalidad: La decisió de describir ua distribució mediate ua curva ormal puede determiar el aálisis que posteriormete se haga de los datos. Ua forma de ver si los datos so aproimadamete ormales es observado su histograma. Este os puede revelar de forma clara características o ormales de ua distribució: las asimetrías prologadas, los vacíos etre datos, etc. Ua forma de valorar si ua distribució es ormal es señalado los putos,,, 3 e el eje de las y observado la probabilidad compredida e estos itervalos. E el caso de ua distribució ormal, El 68,3 % de las observacioes se ecuetra etre El 95,5 % de las observacioes se ecuetra etre El 97,7 % de las observacioes se ecuetra etre 3 N : Propiedades de ésta distribució:. Si,,, so variables aleatorias idepedietes, distribuidas N, i, segú ua i i, y si a, a,., a y b so úmeros reales. Etoces la variable aleatoria: y a a b Sigue ua distribució: Na a b, a a. La suma de variables aleatorias idepedietes,,,, distribuidas segú ua distribució: N, 3. Si,,,, y N, i, sigue ua so variables aleatorias idepedietes e i i - 0 -

11 idéticamete distribuidas segú ua N,, etoces la variable aleatoria suma de las variables: y. Sigue ua distribució: N, 4. Si,,, so variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas segú ua, N, etoces la variable aleatoria media aritmética de estas variables: distribució: N, Sigue ua Aproimació a la distribució ormal la distribució biomial. El teorema de Moivre (.756) permite realizar esta aproimació cosiderado que las variables aleatorias siga ua distribució biomial co: p q (este teorema fue geeralizado posteriormete por Laplace e.80 para distribucioes o simétricas p q ). Vimos que la variable aleatoria biomial era el úmero de éitos que tiee lugar cuado se realiza repeticioes idepedietes de u eperimeto o prueba de Beroulli. La variable aleatoria puede escribirse como la suma de variables aleatorias de Beroulli: E p Var pq Si es ua variable aleatoria biomial, B, p, co media p desviació típica pq aleatoria: Z E y Var etoces, cuado la variable E p N0, Es decir: Np, pq Var pq E la práctica, decir que es lo suficietemete grade, se traduce e: p 5 q 5 y y p p - -

12 Lo que se hace es aproimar ua distribució discreta, como es la biomial, a ua distribució ormal que es cotiua, y ya que e el caso cotiuo la probabilidad o masa asociada a u valor cocreto de la variable aleatoria es ulo, tedremos que utilizar la correcció de cotiuidad de Fisher para calcular la probabilidad deseada: Probabilidad e p B, Correcció de cotiuidad P ( X = ) P ( ½ X + ½ ) P ( a X b ) P ( a ½ X b + ½ ) P ( X ) P ( X ) P ( X +½) P ( X -½) Aproimació a la distribució ormal la distribució de Poisso. E el caso de la distribució de Poisso, la variable aleatoria os establece el úmero de veces que ocurre u suceso e u determiado itervalo de tiempo, sabemos que la media y la variaza de esta distribució coicide co el parámetro. Si el úmero de ocurrecias esperadas es elevado y el itervalo de tiempo se divide e subitervalos de idética logitud. E ese caso, el úmero total de ocurrecias es la suma de las ocurrecias de cada subitervalo, y puede verse como la suma de u úmero moderadamete grade de variables aleatorias, cada ua de las cuales represeta el úmero de ocurrecias e u subitervalo del periodo de tiempo, puede utilizarse la distribució ormal como ua aproimació a la distribució de Poisso. E la práctica la aproimació es aceptable si 0, auque alguos autores acepta la aproimació cuado 5. El procedimieto práctico es aálogo al caso de la biomial, así pues si teemos ua variable aleatoria que se distribuye segú ua distribució de Poisso de parámetro, etoces cuado 0 la variable aleatoria: Z E Var N 0, Es decir: N, - -

13 Al igual que e el caso de la distribució biomial es ecesario aplicar la correcció de cotiuidad para calcular las probabilidades. 4.5 Teorea Cetral del Límite No eiste u úico Teorema Cetral del Límite, sio u cojuto de teoremas, todos ellos dado codicioes para que ua sucesió de variables aleatorias tieda a distribuirse segú ua distribució ormal. Muchas variables aleatorias que se ecuetra e la práctica so sumas o promedios de u úmero grade de variables aleatorias idepedietes. Cosideremos que,, es ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas, co media y variaza fiitas). Defiimos ua ueva variable: E Var (ambas Para cualquier variable aleatoria, al restar la media y dividir por la desviació típica se obtiee ua variable aleatoria tipificada de media 0 y variaza : X E Z Cuado Var o bie N,. etoces podemos decir que Z N0, El teorema cetral del límite tiee u impacto sustacial e la práctica estadística. Afirma que cualquiera que sea la distribució comú de u cojuto de variables aleatorias, supoiedo que la media y la variaza so fiitas, la suma de u úmero moderadamete grade de ellas será ua variable aleatoria co distribució parecida a la ormal. - La validez del teorema cetral del límite o está limitado a variables aleatorias cotiuas y simétricas, se etiede tambié a variables aleatorias discretas y asimétricas. Así teemos el Teorema de Moivre: - 3 -

14 - Si las variables aleatorias o so idepedietes o o tiee la misma distribució de probabilidad, e ese caso habrá que utilizar otras codicioes de mayor dificultad que o cosideraremos e este caso. Otro resultado iteresate de este teorema es el siguiete, cosideramos que,, es ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas, co media y variaza (ambas fiitas). Defiimos ua ueva variable que es el promedio de estas variables aleatorias: E Var Para cualquier variable aleatoria, al restar la media y dividir por la desviació típica se obtiee ua variable aleatoria tipificada de media 0 y variaza : E Z Cuado Var etoces podemos decir que N0, Z o bie N,. E los próimos apartados cosideraremos el problema de hacer iferecia sobre ua població, basado e los resultados que obteemos de ua muestra. Muchas de las medidas calculadas a partir de ua muestra so sumas o promedios. Por cosiguiete, el teorema cetral del límite es muy relevate y proporcioa validez a muchas de las técicas que se utiliza para efocar estos problemas. 4.6 Distribucioes asociadas a la ormal. Seguimos e esta parte estudiado distribucioes cotiuas uidimesioales, muy estrechamete relacioadas co la distribució ormal, pues las variables aleatorias asociadas a estas distribucioes so combiacioes de variables aleatorias ormales. Estas distribucioes fuero itroducidas para estudiar las distribucioes de las diferetes variables aleatorias que os aparecerá e los procesos de estimació y - 4 -

15 que so muy utilizadas e la Iferecia Estadística. Distribució de Pearso. Aparece, aturalmete e la teoría, asociada a la suma de los cuadrados de variables aleatorias idepedietes e igualmete distribuidas segú ua distribució ormal. Es, por tato, ua distribució de variable cotiua cuyo domiio se etiede de 0 a. Dadas variables aleatorias idepedietes distribuidas segú: z N 0, z N 0, Variables a. idepedietes z N0, Se defie la variable co grados de libertad como: i Y se deota como: zi z z z Los parámetros fudametales so: i Parámetro Media Variaza Valor Características fudametales: La distribució es asimétrica, cuyo domiio se etiede de 0 a. La distribució se ecuetra tabulada e fució de. Para el cálculo de probabilidades es preciso recurrir a tablas que, al igual que e el caso de la N 0,, proporcioa valores aproimados. Las tablas estadísticas os proporcioará la probabilidad del suceso a, siedo la mecáica del cálculo muy similar a lo visto e la N 0,, co la ecepció de o ser simétrica y o admitir valores egativos y teer ua asítota para

16 Su propiedad fudametal es que si sumamos dos idepedietes de y grados de libertad, obteemos ua Esto lo podríamos geeralizar para, co,. grados de libertad. E la práctica a partir de 30 grados de libertad se aplica la covergecia a la distribució ormal: es aproimadamete 0, N. Distribució t de Studet. Ua seguda distribució muy relacioada co la ormal y co la y muy ampliamete utilizada e la iferecia es la distribució t de Studet o simplemete distribució t. Esta distribució fue estudiada por W.S. Gosset y publicada por primera vez e.908. Sea,,, variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas segú ua N 0, Etoces se dice que la variable aleatoria: t Se distribuye segú ua t de Studet co -grados de libertad, el úmero de grados de libertad es igual al úmero de variables que figura e el deomiador de t. Teiedo e cueta la defiició dada ateriormete para la distribució, si trasformamos las variables aleatorias distribuidas segú ua N 0, e 0, maera que el umerador: N 0, Y el deomiador: Co lo cual teemos, que la distribució t se puede defiir: N de - 6 -

17 t Abreviadamete lo idicaremos por: Los parámetros fudametales so: T t Parámetro Media 0 Variaza Valor. La importacia de esta variable aleatoria reside e el hecho de que su fució de desidad depede de la variaza de las variables que la itegra, y su utilidad se verá pleamete cuado se estudie la Iferecia Estadística e los casos dode la variaza poblacioal se descooce. El campo de variació de la variable t es el itervalo,. La variable t es simétrica, co mayor dispersió que la distribució ormal estádar, auque se observa que cuado aumeta la distribució t de Studet tiede a la 0, N. No debemos olvidar que esta distribució está tabulada, estadísticas os proporcioará la probabilidad del suceso a las tablas t. Para el maejo de tablas es importate recordar la simetría de la fució de desidad, siedo la mecáica del cálculo muy similar a lo visto e la N 0, Cuado 30, la distribució t coverge a la distribució ormal: N 0, - 7 -

18 Distribució F de Sedecor.. Ua distribució utilizada frecuetemete y relacioada co la distribució ormal es la distribució F de Sedecor. Esta distribució se utiliza fudametalmete e problemas relacioados co la variaza, y muy cocretamete e la técica de aálisis de la variaza. Sea,,,e y,, y m, idéticamete distribuidas segú ua N 0, aleatoria: m variables aleatorias idepedietes e. Etoces decimos que la variable F m m y m, y Se distribuye segú ua F de Sedecor co m y grados de libertad. Si realizamos la misma trasformació que e el caso de la t de Studet, para poder epresar esta variable como el cociete de dos, trasformado las variables N. aleatorias distribuidas segú ua N 0, e 0, N m 0, N0, y N y 0, N0, Tedremos lo siguiete: m F m, Es decir, hemos epresado esta variable aleatoria como el cociete de dos o depede de la de las variables itegrates. Abreviadamete lo idicaremos por: Los parámetros fudametales so: F F m, que - 8 -

19 Parámetro Media Valor si > Variaza m m 4 si > 4 No es simétrica, su campo de variació, como procedete de la suma de cuadrados, es el itervalo 0, y tiee ua asítota para. No debemos olvidar que esta distribució está tabulada, las tablas estadísticas os proporcioará la probabilidad del suceso F m a,. La presetació de las tablas de la distribució F es distita de las ateriores, debido a la eistecia de dos parámetros e la fució de desidad. E geeral las tablas se utiliza e setido iverso, es decir, coocida la probabilidad del suceso F m a, hallar el valor de a

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