HOMEOMORFISMO ENTRE ESPACIOS. RESUMEN En el presente trabajo estudiamos la existencia de homeomorfismos entre los

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1 HOMEOMORFISMO ENTRE ESPACIOS l Y Jorge E. Herádez U., Temístocles Zeballos M., Uiversidad de Paamá, Cetro Regioal Uiversitario de Veraguas, Deartameto de Matemática. edithleco@gmail.com Uiversidad de Paamá, Cetro Regioal Uiversitario de Azuero, Deartameto de Matemática. temizeballos@gmail.com L RESUMEN E el resete trabajo estudiamos la existecia de homeomorfismos etre los esacios L y l. Se rueba ue L, es homeomorfo a,. Posteriormete, se muestra ue L, es homeomorfo a, la bola uitaria cerrada e, uitaria cerrada de L, ara,., los esacios l y L, es homeomorfo a L ara todo L y ue L es uiformemete homeomorfa a la bola l so homeomorfos. l ara,. Seguidamete establecemos ue ara Fialmete, se rueba ue PALABRAS CLAVES Homeomorfismo, esacios L, esacios l. ABSTRACT I this aer the existece of homeomorhisms betwee the saces studied. It is roved that L, is homeomorhic to, Subseuetly, it is show that L, is homeomorhic to, closed uit ball i, L ad l was L for all. L ad that the L is uiformly homeomorhic to the closed uit ball of Tecociecia, Vol. 5, N 77

2 homeomorhic. Fially, it is rove that, L, for,. The we establish that for, the saces,. l ad L is homeomorhic to l are l for KEYWORDS Homeomorhism, saces L, saces l. INTRODUCCIÓN Los esacios L so fudametales e muchas ramas del aálisis modero, u caso articular y muy imortate es el esacio de todas las sucesioes x de úmeros reales o comlejos ara las ue x coverge; éste es el esacio de Hilbert l el cual es el rototio de los esacios de Hilbert searables de dimesió ifiita. El objetivo de este trabajo es el estudio de homeomorfismos etre los esacios L y l, los cuales os brida ejemlos ecatadores e el aálisis fucioal.. LOS ESPACIOS L Y l. Defiició.: Sea ( X, M, u esacio de medida (Ama & Escher, 9) y f ua fució medible real o comleja defiida sobre el esacio X. Para cualuier la fució Defiimos la orma de f or. X f f d f es medible. Observació: Para la orma o es ua orma (Caiski & Ko, 4), ya ue o se satisface la desigualdad triagular. Para la orma es ua orma e L, si se suoe ue f f x c. t Herádez U., J. E. y Zeballos M., T.

3 o simlemete L Defiició.: Sea ( X, M, u esacio de medida. or L (, X M, Deotaremos la colecció de todas las fucioes medibles f de valor real o comlejo defiidas sobre X tal ue X fiita. f d ; es decir, las fucioes ue tiee ua orma Defiició.3: Por l, deotamos la colecció de todas las sucesioes x x, x, x, de úmeros reales (o comlejos) tales ue 3 Observació: Los esacios l xi. i so casos articulares de los esacios L. So recisamete los esacios L tomados sobre el esacio de medida N co la medida de coteo. Estos esacios so de dimesió ifiita. Proiedad.: Sea ( X, M, u esacio de medida. L ara Los esacios co la orma f so esacios de Baach. Proiedad.: Sea ( X, M, u esacio de medida fiita, y suoga ue. Etoces L L. Proiedad.3: Si, etoces iclusió es roia. l l. Además, la Defiició.4: Sea X u esacio co roducto itero. X es u esacio de Hilbert si X co la orma iducida or el roducto itero es u esacio de Baach (Rye & Yougso, 8). Es decir, si d es la métrica iducida or la orma e X, iducida a su vez or el roducto itero, etoces X, d es comleto. Tecociecia, Vol. 5, N 79

4 Proiedad.4: El esacio itero; or lo tato, el esacio Hilbert (Maccluer, 9). Observació: Nigú Si embargo, l co o es u esacio co roducto l co o es u esacio de l es u esacio co roducto itero. l es comleto; or lo tato, de Baach ue o es u esacio de Hilbert. esacio de Hilbert es el esacio l. l co es u esacio El úico l ue es u. HOMEOMORFISMO ENTRE LOS ESPACIOS L Y l. f : X, X, etre dos esacios Defiició.: Ua fució toológicos es u homeomorfismo si es ua fució biyectiva y tato f como su iversa f so cotiuas. E este caso se dice ue X,, X, so esacios toológicos homeomorfos. Defiició.: Ua fució f : X, X, etre dos esacios toológicos es u homeomorfismo uiforme si es ua fució biyectiva y tato f como su iversa f so uiformemete cotiuas. Teorema.: L, es homeomorfo a, Demostració: Sea y defiida or F L L :,, sg F f f f L ara todo. dode sg f es la fució defiida or sg f x es el sigo de f x. sg f x, dode 8 Herádez U., J. E. y Zeballos M., T.

5 Note ue F f d f d. Luego, F está bie defiida. Probemos ue F es iyectiva. E efecto, sea f, g L, tal ue F f F g sg sg f f g g., etoces Esto imlica ue sg f sg g y Probemos ue F es suryectiva. f g. Por lo tato, f g. Sea h L,. Tomemos f sg h h. Como se tiee ue f L, y f d h d, sg F f f f sg sg h h. Por lo tato, F es suryectiva. De todo lo aterior se cocluye ue F es ua biyecció. Además la iversa de F está defiida or F Tecociecia, Vol. 5, N 8 h h h F : L, L, F h h h sg.

6 Probemos ahora ue F es ua fució cotiua. Sea f L, y sea f ua sucesió e, coverge a f. Luego, lim f f lim f f d. Ahora bie, como ara todo úmero α, b R, L ue se tiee ue or lo tato, de dode sg a a sg b b a b sg sg F f F f f f f f f f F f F f d f f d F f F f F f F f d f f. f f d Así ues, y lim F f F f lim f f e, lim F f F f L. 8 Herádez U., J. E. y Zeballos M., T.

7 Esto imlica ue F es ua fució cotiua e, L. Fialmete robemos ue la fució L,. G: F es cotiua e E efecto, sea h L, y sea h ua sucesió e L, ue coverge a h. Luego, lim h h d. Note ue ara todo úmero real α, b R. sg sg a a b b a b a b. Por lo tato, sg sg G h G h h h h h h h h h y Gh G h d h h h h d. Pero or la desigualdad de Hölder-Riesz ara Luego,, h h h h d h h d h h d G h G h G h G h d. h h d h h d Tecociecia, Vol. 5, N 83.

8 Pero Además, como se tiee ue max, h h d h h d h d h d. lim h h d lim h d h d. Así ues, lim G h G h lim h h d lim h d h d es decir, ue la sucesió Gh coverge a Gh e L, cosiguiete, G F es cotiua e L,. Hemos robado así ue la fució F : L, L, homeomorfismo ara todo. Así ues,, a L, ara todo. 84 Herádez U., J. E. y Zeballos M., T.. Por es u L es homeomorfo Como la relació es homeomorfo a es ua relació de euivalecia, or el Teorema aterior se tiee el siguiete resultado. Corolario.: Sea, L,., etoces, L es homeomorfo a

9 Corolario.: La bola uitaria cerrada e L, es uiformemete homeomorfa a la bola uitaria cerrada de L, ara,. Demostració: Sea f, g L, F : L, L, tal ue f y g y la fució defiida e el Teorema.. Etoces, F f y F g. Además, F f F g F f F g d f g. Luego, F es uiformemete cotiua e la bola uitaria cerrada B, B L L,. de Aálogamete, sea f, g L, Etoces, G f y G g tal ue f y g.. Además, G f G g G f G g d. f g Por lo tato, G es uiformemete cotiua e la bola uitaria cerrada B, B L L,. de Fialmete, como la relació es uiformemete homeomorfo a es ua relació de euivalecia, se tiee ue BL es uiformemete homeomorfa a BL ara todo,. Tecociecia, Vol. 5, N 85

10 Teorema.: l es homeomorfo a Demostració: Defiamos la fució l, ara todo. F : l l 3 3 F x sg x x,sg x x,sg x x, x x, x, x, l. dode 3 Note ue F está bie defiida, ya ue Defiamos la fució sg i i i. i i F x x x x x G : l l G y sg y y,sg y y,sg y y, 3 3 dode,,, y y y y l 3. Note ue G está bie defiida, ya ue Por otro lado, sg. G y y y y y F G y F G y i i i i i F sg y y, sg y y, sg y y, 3 3 F G y sg sg y y sg y y, sg sg y y sg y y, y sg y y,sg y y,sg y y, y y, y,, Herádez U., J. E. y Zeballos M., T.

11 ara todo,,, y y y y l 3 y G F x G F x sg, sg, sg 3 3, G x x x x x x sg sg x x sg x x, sg sg x x sg x x, x x sg x x,sg x x,sg x x, x, x,, 3 ara todo x x, x, x, l. Así ues, F es ua fució biyectiva y Probemos ue F es cotiua e l.,, 3, y sea x,, 3, y lim x x x x x x l x x x x. G F. E efecto, suogamos ue ua sucesió e l tal ue Como ara todo úmero real α, b R, se tiee ue sg a a sg b b a b i i i i i i sg x x sg x x x x ara todo i,, or lo tato y lo ue imlica ue sg sg x x x x x x i i i i i i i i F x F x x x Tecociecia, Vol. 5, N 87

12 y lim F x F x lim x x F x lim F x. Por cosiguiete, F es cotiua e Probemos ue G F es cotiua e ue y y, y, y3, l y sea y y y, y, y3, y lim y y. Como ara todo úmero real α, b R, se tiee ue sg or lo tato, sg x, ara todo l. x l. E efecto, suogamos ua sucesió e sg a a b b a b a b yi yi sg yi yi yi yi yi yi l tal ue ara todo i,, ; yi yi sg yi yi yi yi yi yi sg. i i 88 Herádez U., J. E. y Zeballos M., T.

13 Por la desigualdad de Hölder-Riesz se tiee ue yi yi yi yi yi yi yi yi i i i Por lo tato, y y yi yi i y y max yi, y i i y y yi yi i y y max yi, y i i y y yi yi i i y y y y. sg sg i i i i i G y G y y y y y y y y y. Además, como se tiee ue y y y y lim y y. Tecociecia, Vol. 5, N 89

14 Por lo tato, y lim G y G y lim y y lim y y G y lim G y. Por cosiguiete, G es cotiua e Así ues, l es homeomorfo a y, ara todo l, ara todo. y l. Observació: La fució F defiida e los Teoremas. y. se llama la fució de Mazur y la fució G se llama la fució iversa de Mazur (Mazur, 99). Como cosecuecia imediata del Teorema., se tiee el siguiete resultado. Corolario.3: Sea,, etoces l es homeomorfo a l. Teorema.3: Sea, B l xl : x y B l y l : y. Etoces Bl y uiformemete homeomorfas. B l so Demostració: Cosideremos la fució de Mazur iversa G : l l defiida e el Teorema.. F : l l y su Como ara todo x B l, F x x y B l, G y y, se tiee ue F : B l B l y G : B l B l y y ara todo G F. 9 Herádez U., J. E. y Zeballos M., T.

15 Además, or el Teorema., ara todo y ara todo y, y B l x, x B l, F x F x x x G y G y y y lo ue imlica ue F y G so uiformemete cotiuas. B l so uiformemete homeomorfas. cosiguiete, B l y Por Como cosecuecia del Teorema.3, se tiee el siguiete resultado. Corolario.4: Sea,, etoces la bola uitaria cerrada Bl es uiformemete homeomorfa a la bola uitaria cerrada Bl. Teorema.4: Sea,. Etoces, Demostració: Por el Corolario.,, L, y, como, etoces L, es homeomorfo a es homeomorfo a l. Por cosiguiete,, l, ara todo,. L es homeomorfo a l. L es homeomorfo a L es isométricamete isomorfo a l, l. Pero or el Corolario.3, l L es homeomorfo a REFERENCIAS Ama, H. & J. Escher. 9. Aalysis III. First Editio. Birkhäuser Verlag AG, Basel. Caiski, M. & E. Ko. 4. Measure, Itegral ad Probability. Secod Editio. Sriger-Verlag, Berli. Maccluer, B.D. 9. Elemetary Fuctioal Aalysis. First Editio. Sriger-Verlag, New York. Tecociecia, Vol. 5, N 9

16 Mazur, S. 99. Ue Remarue sur L homèomorhie des Chams Foctioels, Studia Math.,, Rye, B.P. & M.A. Yougso. 8. Liear Fuctioal Aalysis. Secod Editio. Sriger-Verlag, Lodo. Recibido juio de, acetado marzo de 3. 9 Herádez U., J. E. y Zeballos M., T.