1. El Teorema Ergódico

Transcripción

1 El Teorema Ergódico Pablo Lessa 9 de octubre de 204. El Teorema Ergódico Algú lector puede estar pregutádose Qué tiee que ver la ley de grades úmeros co los temas tratados e la seguda secció? La coexió es muy secilla. Sea Ω = {0, } N como e la primer secció. Cosideramos la trasformació σ : Ω Ω defiida a través de la ecuació σ((ω, ω 2,...)) = (ω 2, ω 3,...). La trasformació σ es coocida como el shift. Para distiguirla de alguas variates dode Ω es reemplazado por {0,,..., } N u otro cojuto de sucesioes, a veces se le deomia el shift de dos símbolos. El puto clave que coloca la ley de grades úmeros e el cotexto de la teoría ergódica es que σ preserva cualquiera de las probabilidades µ p (que modela el azar e el tiradas sucesivas de ua moeda que tiee probabilidad p de salir cara). Co esta observació la ley de grades úmeros puede euciarse de la siguiete forma Teorema (Ley de Grades Números). Para µ p -casi todo ω Ω se cumple f(ω) + f(σ(ω)) + + f(σ (ω)) lím = E µp (f), + dode f(ω) = ω para ω = (ω, ω 2,...). Por otro lado el Teorema de Khichi puede euciarse de la siguiete forma Teorema 2 (Khichi). Sea T : [0, ] [0, ] el mapa de Gauss, µ T la medida ivariate que cumple µ T (A) = log(2) /( + x)dx y f : [0, ] N defiida A por f(x) = a dode x = [0; a, a 2,...]. Etoces para µ T -casi todo x [0, ] se cumple log(f(x)) + log(f(t (x))) + + log(f(t (x))) lím = E µt (log(f)). + Ejercicio. Verificar que los dos euciados que dimos del teorema de Khichi so equivaletes.

2 Hemos observado etoces que tato la Ley de Grades Números como el Teorema de Khichi puede euciarse como afirmacioes sobre lo que le pasa al promedio de los valores de ua fució sobre segmetos de órbita x, T (x),..., T (x) cada vez más largos, para casi todo puto respecto a ua probabilidad ivariate para ua cierta trasformació T. Agreguemos ahora u ejemplo más de este tipo (luego veremos otros). Para esto pido al lector que pause u poco para reflexioar sobre el siguiete ejercicio. Ejercicio 2. Cuál te parece que es el límite de la sucesió si()+si(2)+ +si() cuado +? Podés dar ua demostració? El siguiete teorema da otro ejemplo, a priori o relacioado, dode los métodos de la teoría ergódica puede aplicarse. Teorema 3 (Equidistribució de Weyl). Sea S = {z C : z = } el círculo uidad e el plao complejo y θ R u úmero irracioal. Etoces la sucesió e 2πiθ se equidistribuye e S, es decir para todo arco I S si I es la idicatriz de I se cumple lím I (e 2πiθ ) = m(i) + dode m(i) es la logitud del arco I dividido el perímetro del círculo (i.e. 2π). Ejercicio 3 (Medida de Haar e S ). Demostrar que la medida logitud de arco ormalizada m e S es la úica probabilidad Boreliaa que es ivariate por toda rotació. Es decir, es la úica probabilidad que cumple m(e it A) = m(a) para todo Boreliao A... Euciado del teorema ergódico La ley de grades úmeros, el teorema de Khichi, y el teorema de equidistribució de Weyl puede obteerse a partir del siguiete resultado que es el puto de partida de la teoría ergódica. Teorema 4 (Teorema Ergódico). Sea X u espacio métrico completo y separable, T : X X ua trasformació medible, µ ua probabilidad T -ivariate, y f : X R ua fució medible y µ-itegrable. Etoces para µ-casi todo x X existe el límite f(x) = lím f(t k (x)). + La fució f así defiida cumple E µ (f) = E µ ( f). Además si µ es ua medida ergódica para T etoces f(x) = E µ (f) para µ-casi todo x X. 2

3 E la secció aterior verificamos que el mapa de Gauss T era ergódico para la medida µ T. Por lo tato el teorema de Khichi se obtiee imediatamete a partir del teorema ergódico. Otros resultados sobre los coeficietes de la fracció cotiua de los putos típicos x [0, ] so deducibles co el mismo método. Ejercicio 4. Demostrar que existe u úmero λ tal que para Lebesgue-casi todo x [0, ] el coeficiete aparece co frecuecia λ e la fracció cotiua de x. Calcular el valor de λ. E pricipio por ahora sólo sabemos que µ p es shift ivariate pero o ecesariamete ergódica e Ω = {0, } N. Por lo tato sólo deduciríamos a partir del teorema aterior que el límite f existe pero o que toma el valor p e casi todo puto. Si embargo la ergodicidad de µ p para el shift es mucho más simple de demostrar que la ergodicidad del mapa de Gauss (y las ideas so similares). Ejercicio 5. Demostrar que para todo p [0, ] la medida µ p es ergódica para el shift de dos símbolos σ. Deducir la ley de grades úmeros a partir del teorema ergódico. La rotació R θ (z) = e 2πiθ z e S co θ irracioal tiee u propiedad sorpredete que lo diferecia por ejemplo del shift de dos símbolos. No solamete la medida de Haar m es ergódica para R θ sio que es la úica probabilidad ivariate para R θ. Ejercicio 6. Demostrar que si θ es irracioal cualquier rotació R t es límite de cierta sucesió R k θ dode k +. Usado este hecho demostrar que m es la úica medida ivariate para R θ. Deducir el teorema de equidistribució de Weyl a partir del teorema ergódico. Ejercicio 7. Demostrar que para Lebesgue-casi todo x [0, 2π] el límite de si( + x) es 0. Usado el hecho de que si es -Lipschitz deducir que de hecho el mismo resultado se cumple para x = Demostració del teorema ergódico: Caso ergódico Lametablemete o etiedo la demostració del teorema ergódico. No me mal iterprete, lo sé demostrar. El tema es que de la demostració, y a pesar de mucha reflexió sobre el tema, lo úico que apredo es que Birkhoff era muy bue aalista. Se suele atribuir a David Hilbert la frase de que u resultado matemático o está realmete demostrado hasta que o se pueda explicar porqué es verdad a ua persoa por la calle. E ese setido el teorema ergódico sigue si estar demostrado. Hay ua larga geealogía de demostracioes, cada ua de las cuales toma elemetos de sus atecesores y simplifica (segú los autores) algú aspecto. Las últimas demostracioes de estos liajes so bastate cortas, pero todas tiee algú elemeto que resta misterioso. Aquí les preseto el argumeto más secillo que coozco para demostrar el teorema ergódico asumiedo que la trasformació T es ergódica para la medida µ. 3

4 La demostració tiee u corazó combiatorio. Si x,..., x es ua sucesió fiita de úmeros reales decimos que k {,..., } es u ídice líder si existe l {k, k +,..., } tal que x k + + x l 0. Como ejemplo, e la sucesió 2,,-2,0,-8,0,4,-6 los ídices líderes correspode a los úmeros,-2,0,-8,0,4,-6 (otemos que la suma es ). Ejercicio 8 (Lema de los líderes (Riesz)). Sea x,..., x ua sucesió fiita de úmeros reales, etoces x k 0. k es u líder Aplicado el lema de los líderes a la sucesió f(x), f(t (x)), f(t 2 (x)),..., f(t (x)) se obtiee lo siguiete. Lema (Karlsso y Margulis). Sea X u espacio métrico separable y completo, T : X X ua trasformació medible que preserva ua probabilidad µ, y f : X R ua fució medible co E µ (f) > 0. Etoces µ ({x X : f(x) + + f(t (x)) > 0 para todo }) > 0. Demostració. Para todo par de aturales co k < defiimos A k, como el cojuto de los x X tales que el ídice k es líder para la sucesió f(x), f(t (x)),..., f(t (x)). Por el lema de Riesz se cumple E µ ( f(x)a, + + f(t (x)) A, ) 0. Como T preserva µ la itegral de g T coicide co la de g para toda g : X R itegrable. Aplicado esto a la desigualdad aterior se obtiee E µ ( f(x) ( B + B + + B )) 0, dode B k es el cojuto de los x X tales que f(x) + + f(t l (x)) 0 para algú l. Dividiedo etre y aplicado el teorema de covergecia domiada se obtiee E µ (f(x) lím sup + ) Bk 0 k= Como E µ (f) > 0 el cojuto de los x tales que lím sup + k Bk = o puede teer medida total. Esto implica que u cojuto de medida positiva de x X perteece a ifiitos B k, lo cual implica el euciado. El lema de Karlsso y Margulis permite dar ua demostració directa del Teorema Ergódico e el caso ergódico. Demostració del teorema ergódico: Caso ergódico. Asumimos que E µ (f) = 0 (el caso geeral se deduce de este caso aplicádolo a f E µ (f)). 4

5 Aplicado el lema de Karlsso y Margulis a f + ɛ se obtiee que el cojuto de los x tales que f(x) + + f(t (x)) + ɛ 0 para todo es de µ-medida positiva. Esto implica que el cojuto { } A ɛ = x X : lím sup f(t k (x)) ɛ + cumple µ(a ɛ ) > 0. Como µ es ergódica y A ɛ es ivariate se tiee µ(a ɛ ) =. Como esto se cumple para todo ɛ > 0 (e particular los racioales) hemos demostrado que lím sup + f(t k (x)) 0 para µ-casi todo x. El mismo argumeto aplicado a f muestra que el lím if es mayor o igual a 0 para µ-casi todo x. Co esto se cocluye el teorema..3. Demostració del teorema ergódico: Caso geeral La diferecia fudametal etre el caso ergódico y el caso o ergódico se puede dar ejemplos e los cuales el límite f(x) = lím f(t k (x)) + toma diferetes valores co probabilidad positiva. Ejercicio 9. Comprobar la afirmació aterior (Sugerecia: Toda permutació de u cojuto fiito preserva la medida de coteo ormalizada, Qué comportamieto puede teer f e esta familia de ejemplos?). Para reducir la demostració al caso e el cual queremos mostrar que f = 0, e el caso ergódico alcazaba co cambiar f por f E µ (f). E el caso o ergódico hay que restarle a f ua fució, llamada la esperaza codicioal de f a la σ-álgebra de cojutos ivariates, u poco más difícil de idetificar. Ejercicio 0. Sea T : X X ua trasformació que preserva ua probabilidad µ e u espacio métrico separable y completo X. Deotemos por F iv la familia de Boreliaos que so T -ivariates.. Demostrar que F iv es ua σ-álgebra. 2. Demostrar que para toda f : X R que es µ-itegrable existe ua fució g : X R (e otació probabilística g = E µ (f F i v)) que es T -ivariate y µ-itegrable y que satisface f(x)dµ(x) = g(x)dµ(x) para todo Boreliao ivariate A F iv (Sugerecia: Usar el teorema de A A Rado-Nikodym para las medidas µ y A E µ (f A ) e F iv ). 5

6 Co esto podemos demostrar el teorema ergódico e el caso geeral. Demostració del teorema ergódico: Caso geeral. Podemos asumir que f itegra 0 e todo Boreliao ivariate (el caso geeral se reduce a este cambiado f por f E µ (f F iv )). Por el lema de Karlsso y Margulis dado ɛ > 0 el cojuto { } A ɛ = x : lím sup f(t k (x)) ɛ tiee medida positiva. Sea B ɛ = X \ A ɛ. Si µ(b ɛ ) > 0 etoces aplicado el lema de Karlsso y Margulis a la medida que cumple µ(a) = µ(a B ɛ )/µ(b ɛ ) para todo A, obteemos que A ɛ tambié tiee medida para positiva para µ lo cual es absurdo. Por lo tato µ(a ɛ ) =. Como esto es valido para todo ɛ > 0 (y tambié repitiedo el argumeto para f se obtiee el resultado. 6