Introducción y errores

Transcripción

1 1 Introducción y errores Introducción De una forma sencilla, el Cálculo Numérico se uede definir como la rama del Análisis Matemático ue estudia y desarrolla rocedimientos matemáticos ara resolver roblemas con ayuda del ordenador. Se ueden resolver de forma aroimada roblemas ue no tienen solución en el Análisis Matemático tradicional. Las únicas oeraciones ue se realizan son +, -, *,/ y comaraciones y los resultados son siemre numéricos y aroimados de la solución eacta del roblema. Los roblemas ue se estudian abarcan un amlio rango de camos como son la resolución de ecuaciones no lineales, grandes sistemas de ecuaciones lineales, interolación y aroimación numérica, derivación e integración de funciones, resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas arciales y otimización entre otros. Para imlementar los métodos numéricos se ueden utilizar distintos softwares como or ejemlo los de uso general: FORTRAN, C, C++,.. También se uede utilizar un software matemático como MATLAB, MAPLE, Mathematica o Derive, ue ermiten el cálculo numérico y simbólico, trabajar con valores eactos o hacer reresentaciones gráficas de forma muy sencilla, a la vez ue incororan comandos como Do, For o While ue ermiten reetir muchas veces un conjunto de oeraciones. Aritmética del ordenador La aritmética de las calculadoras u ordenadores es distinta de la tradicional ue se utiliza en cursos de cálculo o álgebra. En la aritmética tradicional se ueden manejar números con infinitas cifras decimales ue no se reiten, como or ejemlo al reresentar 3. Esto es lo ue se denomina aritmética eacta. Sin embargo, en los ordenadores o calculadoras, los números ue se ueden reresentar y los resultados ue se obtienen en las distintas oeraciones solo ueden tener un número finito de dígitos. Notación Científica La notación científica consiste en reresentar un número utilizando otencias de base diez : a 10 n, siendo a un número entero o con coma decimal mayor o igual ue 1 y menor ue 10, y n un número entero ue se denomina eonente u orden de magnitud. Con esta notación resulta muy cómodo reresentar números muy grandes en los ue aarecerá una otencia de diez de eonente ositivo, o números muy eueños con una otencia de diez de eonente negativo. 1

2 Por ejemlo: E E E + 7 La notación decimal en unto flotante normalizada consiste en reresentar cualuier número en la forma: ± 0. d d d 10, 1 d 9 y 0 d 9 i,3 k n 1 k 1 i Reresentación de números en el ordenador Los ordenadores usan ara los números reales una reresentación binaria en coma flotante normalizada. Esto significa ue lo ue almacena el ordenador no es una cantidad numérica, sino una aroimación binaria a : ± M n El número M se llama mantisa. El número entero n se llama eonente. Precisión de un ordenador Como se ha dicho anteriormente, las máuinas no ueden guardar tantos dígitos como se uiera de una determinada cantidad. Por esto tamoco se ueden almacenar cantidades tan grandes o tan eueñas como se uiera. La recisión del ordenador viene determinada or el menor y mayor valor con los ue uede trabajar. Si el resultado de una oeración es menor ue el menor valor ue uede reresentar el resultado se hace igual a cero (underflow) y si es mayor ue el mayor valor ue uede reresentar el resultado es una arada de los cálculos (overflow). Dígitos significativos Los dígitos significativos de un número, son auellos ue ueden ser emleados en forma fiable ara describir una cantidad. Es imortante establecer ue los ceros, no son siemre dígitos significativos, ya ue ueden emlearse ara ubicar el unto decimal, or ejemlo: a) b) c) d) Los aartados a, b y c, tienen cuatro dígitos significativos, donde el número 1 es el rimer dígito significativo (dígito significativo rincial o dígito más significativo), el 8 es el segundo dígito significativo, el 4 es el tercer dígito significativo y el 5 es el cuarto. El aartado d tiene tres dígitos significativos: 1, 8 y 0. Por otro lado el número uede tener 3, 4 ó 5 dígitos significativos, deendiendo los ceros ue se conocen con eactitud. Podemos reresentar esta cantidad utilizando la notación científica normalizada:

3 a) , tres dígitos significativos. b) , cuatro dígitos significativos. c) , cinco dígitos significativos. Definición: Si ˆ es un valor aroimado de un valor eacto, se dice ue aroima a hasta el tº dígito significativo si: ˆ 5 10 t Al desarrollar métodos numéricos utilizando un software matemático como Mathematica es imortante ue uede clara la diferencia entre dígitos significativos y cifras decimales de una cantidad ue no tienen or ué coincidir. Incertidumbre en los datos Los datos de los roblemas ue se resentan en la realidad contienen incertidumbre o error. Este tio de error se conoce como ruido y afectará a la eactitud de cualuier cálculo numérico ue se base en dichos datos. No odemos mejorar la recisión de los cálculos si realizamos oeraciones con datos afectados or ruido. Así, si emezamos con datos ue contienen d cifras significativas, el resultado de un cálculo con ellos debería mostrarse con d cifras significativas;.ej., suongamos ue los datos y tienen ambos una recisión de cuatro cifras, entonces sería tentador indicar todas las cifras ue aarecen en la antalla de una calculadora al hacer, digamos su suma: Esto no es correcto, no deberíamos obtener conclusiones ue tengan más cifras significativas ue los datos de artida. Así el resultado obtenido de la suma será Distintos tios de errores Error absoluto y error relativo En la ráctica del cálculo numérico es imortante tener en cuenta ue las soluciones calculadas no son soluciones matemáticas eactas en la mayoría de los casos. La recisión de una solución numérica uede verse disminuida or diversos factores, y la comrensión de estas dificultades es imortante ara desarrollar o a construir algoritmos numéricos adecuados. Definición. Suongamos ue ɵ es una aroimación a. El error absoluto de la aroimación es E ɵ; y el error relativo es ˆ R, suuesto ue 0. El error absoluto no es más ue la distancia entre el valor eacto y el valor aroimado, mientras ue el error relativo mide el error entendido como una orción del valor eacto. Ejemlo Calcular el error absoluto y el error relativo siendo el valor eacto y el valor aroimado, ɵ El error absoluto es: 3

4 E ɵ y el error relativo: R ɵ Cuando se imlementa un método numérico mediante un algoritmo iterativo, en general, no se conoce el valor eacto. En este caso, en cada etaa de iteración se utiliza lo ue se uede denominar como error aroimado o error relativo aroimado ue se ueden definir de la siguiente forma: i i 1 ea i i 1 ra donde i es el valor aroimado de la solución eacta del roblema ue resulta en la iteración iª y i 1 en la iteración anterior. En métodos numéricos suele establecerse una tolerancia orcentual como criterio de arada. En cada iteración se calculará el error relativo aroimado ue se comarará con la tolerancia establecida de forma ue el roceso iterativo finaliza cunado r a < t, siendo t la tolerancia fijada de antemano. Cuanto menor sea la tolerancia mayor será la recisión del método aunue esto evidentemente suone un mayor número de iteraciones. Error de truncamiento La noción de error de truncamiento se refiere normalmente a los errores ue se roducen cuando una eresión matemática comlicada se reemlaza or una fórmula más simle. Esta terminología se originó en la sustitución de una función or uno de sus olinomios de Taylor. Por ejemlo, odríamos reemlazar la serie de Taylor i sen( ) ! 5! 7! 9! 11! or los cinco rimeros términos numéricamente a la hora de calcular una integral 3! 5! 7! Ejemlo. Sabiendo ue: 1 0 sen( ) d vamos a determinar la recisión de la aroimación obtenida al reemlazar el integrando f ( ) sen( ) or los 5 rimeros términos de su desarrollo en serie de Taylor. Integrando término a término este olinomio, obtenemos 4

5 d + 0 3! 5! 7!! 4! 6! 8! ˆ! 4! 6! 8! 8064 Puesto ue los valores de y ɵ coinciden hasta la 6ª cifra decimal diremos ue el error cometido al sustituir or ɵ es menor ue Error de redondeo La reresentación de los números reales en un ordenador está limitada or el número de cifras de la mantisa, de manera ue algunos números no coinciden eactamente con su reresentación en la máuina. Esto es lo ue se conoce como error de redondeo. El número ue, de hecho, se guarda en la memoria del ordenador uede haber sufrido el redondeo de su última cifra; en consecuencia, y uesto ue el ordenador trabaja con números ue tienen una cantidad limitada de dígitos, los errores de redondeo se introducen y roagan a través de oeraciones sucesivas. El redondeo se uede hacer de dos formas distintas. Truncado: Cuando no se modifica o altera el último dígito ue no se descarta. Redondeo (simétrico): Si el rimer dígito ue se va a descartar es menor ue 5 no se modifica el anterior, mientras ue si es mayor o igual ue 5, el último dígito no descartado aumenta en una unidad. Por ejemlo, consideremos el número real: La reresentación en coma flotante normalizada con redondeo a seis cifras significativas, tiene los dos resultados siguientes: fl ( ) trun ; fl ( ) red. En las alicaciones de ingeniería, en general, se utiliza el redondeo simétrico ya ue el redondeo or truncado suone una érdida de información. Pérdida de cifras significativas Consideremos los números y , ue son casi iguales y están ambos eresados con una recisión de 11 cifras significativas. Si calculamos su diferencia vemos ue, como las seis rimeras cifras de y de coinciden, su diferencia - sólo contiene cinco cifras decimales; este fenómeno se conoce como érdida de cifras significativas o cancelación, y hay ue tener cierto cuidado con él orue uede roducir sin ue nos demos cuenta, una reducción en la recisión de la resuesta final calculada. Ejemlo. Evaluemos la función f()1-cos(). Para valores róimos a cero, se roduce un efecto de cancelación. 1 5

6 Calculemos el valor de f( ) utilizando cinco cifras significativas en las oeraciones. El resultado es: f( ) Al restar dos cantidades rácticamente idénticas se roduce el efecto de cancelación or lo ue en lugar de disoner de las cinco cifras significativas iniciales el resultado ueda tan solo con tres. Para evitar este roblema, se uede utilizar una función en la ue no se roduzca este efecto de Sen ( ) cancelación. La función g( ) evita este roblema 1 + Cos( ) 1 + Cos( ) (1 Cos( ))*(1 + Cos( )) 1 Cos ( ) Sen ( ) f ( ) 1 Cos( ) 1 Cos( )* 1 + Cos ( ) 1 + Cos ( ) 1 + Cos ( ) 1 + Cos ( ) Evaluando g( ) resulta: g( ) g( ) De este modo se disone de las cinco cifras significativas y el resultado es mas eacto ue el ue se obtiene a artir de la función f(). Proagación del error Los cálculos ue realiza el ordenador tamoco son eactos ya ue los oerandos no son valores eactos en general, y, además, los errores cometidos se van roagando en oeraciones sucesivas. Así, si un resultado está afectado de cierto error y osteriormente se multilica or un número grande o se divide or uno eueño, el error se amlifica. Vamos a ver ahora cómo ueden roagarse los errores en una cadena de oeraciones sucesivas. Consideremos la suma de dos números y (ue son valores eactos) con valores aroimados y ˆ cuyos errores son ε y ε, resectivamente. A artir de ˆ + ε y de ˆ + ε, la suma es + (ɵ + ε ) + (ɵ + ε ) (ɵ + ɵ) + ( ε + ε ) Por tanto, el error en una suma es la suma de los errores de los sumandos. La roagación del error en una multilicación es más comlicada. El roducto es (ɵ + ε )(ɵ + ε ) ɵɵ + ɵ ε + ɵ ε + ε ε Por tanto, si ɵ y ɵ son mayores ue 1 en valor absoluto, los términos ɵ ε y ɵ ε indican ue hay una osibilidad de ue los errores originales ε y ε sean magnificados. Si se analiza los errores relativos, se tiene una erceción más clara de la situación. Reordenando los términos : ɵɵ ɵ ε + ɵ ε + ε ε Suongamos ue 0 y ue 0 ; entonces odemos dividir entre ara obtener el error relativo del roducto : 6

7 R ɵɵ ɵ ε + ɵ ε + ε ε ɵ ε ɵ ε ε ε + + Es más, suoniendo ue ɵ y ɵ son buenas aroimaciones de y ; entonces ɵ 1, ɵ 1 y R R ε ε d id i 0 (R y R son los errores relativos de las aroimaciones ɵ y ɵ ). Sustituyendo estas aroimaciones en R se obtiene una relación más simle: R ɵɵ ε ε R + R Esto rueba ue el error relativo del roducto es aroimadamente la suma de los errores relativos de las aroimaciones ɵ y ɵ a los factores. Algoritmos y Convergencia Definición. Un algoritmo es un rocedimiento ue describe de forma recisa una sucesión de asos ue deben ser ejecutados en un orden esecificado ara resolver un roblema o ara obtener una aroimación a dicha solución. Los algoritmos imlementan los métodos numéricos ara la resolución de roblemas. Estos métodos ueden ser: Iterativos si el método va construyendo una sucesión ue en determinadas condiciones converge a la solución eacta del roblema, es decir, si el algoritmo es reiterativo, en el sentido de ue hay asos de él ue se reiten un número arbitrario de veces hasta ue se cumla cierto criterio de arada. En este tio de métodos el error de redondeo no suele afectar a la solución obtenida tanto como en los métodos directos. Directos si no son iterativos. En estos métodos los errores de redondeo suelen ser reonderantes sobre los de truncamiento. En el caso de los algoritmos iterativos, se entiende ue un método numérico converge si la sucesión formada or las aroimaciones obtenidas en cada iteración: { n} n 1 converge, es decir, tiene como límite la solución eacta. En términos más sencillos esto también se uede eresar diciendo ue las aroimaciones obtenidas en cada iteración, n se van aroimando cada vez más al valor eacto solución del roblema. Cuanto menor sea el número de iteraciones necesarias ara obtener la solución del roblema con una tolerancia fijada de antemano, mayor será la velocidad de convergencia del método. Es normal ue los errores iniciales en los datos se roaguen a lo largo de una cadena de oeraciones. Una cualidad deseable de cualuier roceso numérico es ue un error eueño en las condiciones iniciales roduzca errores eueños en el resultado final. Un algoritmo con esta cualidad se llama estable; en otro caso, se llama inestable. Siemre ue sea osible, elegiremos métodos ue sean estables. Un algoritmo iterativo estable garantiza la convergencia. Un método numérico no siemre converge. Se dice ue un método numérico iterativo diverge si los resultados obtenidos en cada iteración se van alejando cada vez más de la solución eacta. Por este motivo, al imlementar un 7

8 método numérico mediante el corresondiente algoritmo suele ser una buena técnica ue el criterio de arada contemle un número máimo de iteraciones a realizar. Eisten métodos numéricos de convergencia ráida ero inestables y otros estables ero de convergencia lenta. La siguiente definición describe el fenómeno de la roagación de los errores. Definición. Suongamos ue ε reresenta un error inicial y ue ε(n) reresenta el crecimiento de dicho error desués de n oeraciones. Si se verifica ue ε(n) nε, entonces se dice ue el crecimiento es lineal. Si ε(n) K n ε, entonces se dice ue el crecimiento es eonencial. Si K > 1, entonces un error eonencial crece cuando n sin ue odamos acotarlo; ero si 0 < K < 1, entonces un error eonencial disminuye a cero cuando n. Un error inicial uede roagarse de manera estable o inestable. Ejemlo Algoritmo de Horner ara la evaluación de olinomios. Consiste en una forma eficiente de evaluar un olinomio en la ue se reduce el número de multilicaciones con resecto a la forma tradicional. Sea el olinomio: n n 1 ( ) P a + a + + a + a 0 1 n 1 Para obtener el valor de P ( 0 ) se considera una eresión euivalente de P(): P ( ) ( a0 + a1 ) + + a n 1 + a b1 bn 1 De esta forma sustituyendo or 0, P ( ) de la siguiente forma: 1º.- b0 a0. º.- Desde k 1 a n 3º.- P ( ) b b + a k k 1 0 k b 0 n n n b. Los asos del algoritmo se ueden describir 0 n 8

9 Ejercicios e Sean: f ( ) y P( ) Calcular f(0.01) y P(0.01) con 6 cifras significativas. Teniendo en cuenta ue P() es el olinomio de grado de f(), cuál de los dos resultados es más correcto? Sol: f(0.01)0.5, P(0.01) ; El º. 3. Sea P( ) Calcular P(.19) directamente y utilizando el algoritmo de Horner con 3 cifras significativas, y comarar con el valor eacto Sol.: a)1.67; b) Sean y , ue están dados con 4 cifras significativas. Hallar el resultado más adecuado ara 1 + y 1. Sol.: Suma: 1.505; Producto: Realizar los siguientes cálculos directamente indicando ué fenómeno se resenta. Obtener desués un valor más reciso. a) π π sin sin b) ( + ) ( ) ln ln Sol: a) a1)0.7; a) ; b)b1)0.5; b) La érdida de cifras significativas se uede evitar reordenando los cálculos. Hallar en los siguientes casos una forma euivalente ue evite la érdida de cifras significativas ara valores grandes de : a) ln ( 1) ln ( ) + b) Sean P( ) ; Q( ) (( 3) + 3) 1; R( ) ( 1 ) 3 3 Calcular con redondeo a 4 cifras significativas: a) P(.7) ; Q(.7) ; R(.7) 9

10 b) P(0.975) ; Q(0.975) ; R(0.975) Sol.:a)P(.7)5.08;Q(.7)5.087;R(.7)5.088; b)p(0.975) ; Q(0.975) ; R(0.975) Justificar ue ara evitar el efecto de cancelación en la resolución de la ecuación de segundo grado se ueden utilizar las eresiones: 1 c b + b 4ac y c b b 4ac Qué eresiones habría ue utilizar ara 1 y si b > 0? Y si b < 0? 8. Utilizar las eresiones más adecuadas ara resolver la ecuación: